文档文本内容
专题五 三角函数与解三角形
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．了解任意角的概念和弧度制的概念．
１
．能进行弧度与角度的互化．
２
．理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义．
一、三角函数的 ３ （ 、 、 ）
．理解同角三角函数的基本关系式． ．在复习备考中 注
概念 ４ ．本专题考查的核心素养以 １ ，
１ 意基础知识的积累
．能利用单位圆中的三角函数线推导出 π α α的正弦 余 数学运算 逻辑推理为主 同 ，
５ ± 、π± 、 、 ， 基础概念 定义要弄
２ 时兼顾考查直观想象． ．从近 、
弦 正切的诱导公式． ２ 清楚．
、 几年高考情况来看 本专题内
， ．切实掌握三角函数
容为高考必考内容 考题难度 ２
．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ， 的图象 性质以及基
１ 以中档题为主 题型在选择 、
．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式． ， 本变换思想．
二、三角恒等 ２ 、 题 填空题和解答题均有可能
．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切公式 、 ．高考对正弦定理和
变换 ３ 、 、 出现 比如 新高考 的 ３
和二倍角的正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联系． ， （２０２０ Ⅰ 余弦定理的考查较
、 、 ， 第 题 多选题 第 题
．能运用上述公式进行简单的恒等变换． １０ （ ）， １５ 为灵活 题型多变
４ 填空题 第 题 解答 ， ，
（ ）， １７ （ 往往以小题的形式
题 占 分 课标 理
）， ２０ ；２０２０ Ⅰ 独立考查正弦定理
第 题考查二倍角公式 第
．理解正弦 余弦 正切函数的性质及图象． ９ ， １６ 或余弦定理 以解答
１ 、 、 题是翻折问题与解三角形的 ，
三、三角函数的 ．能画ｙ Ａ ωｘ φ 的图象 了解参数Ａ ω φ对函数图象变换 题的形式综合考查
２ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ， 、 、 结合 北京第 题考查
图象、性质 的影响． ；２０２０ １４ 定理的综合应用 多
三角函数最值及诱导公式 第 ，
及应用 ．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角 ， 与三角形周长 面积
３ ， 题选条件用正 余弦定理 、
函数解决一些简单实际问题． １７ 、 有关 有时也会与平
解三角形与求三角形的面积 ；
面向量 三角恒等变
结合等 ． 、
．掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的解三角形问题．
） 换等结合考查．
四、解三角形及 １ 、 ，
．能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
综合应用 ２ 、
几何计算有关的问题．
必备知识 解题指导 易错警示
正弦定理 余弦定理． 在处理三角形中的边角关系时 一般全部 应用正 余弦定理时 注意公式变式的应用．
、 ， 、 ，
化为角的关系或全部化为边的关系．题中 解决三角形问题时 注意角的限制范围．
核心素养 ，
若出现边的一次式一般采用正弦定理 出
数学运算 逻辑推理． ，
、 现边的二次式一般采用余弦定理．
专题五 三角函数与解三角形 ２４９２５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
二倍角公式、同角三角
２０２０课标Ⅰ理，９ 选择题 中 三角恒等变换 公式法 数学运算
５ 函数的基本关系
２０２０课标Ⅰ，文７，理７ 选择题 易 三角函数的图象与性质 求最小正周期 定义法 数学运算
５
多项 数学运算
２０２０新高考Ⅰ，１０ 中 三角函数的图象与性质 诱导公式、三角函数的性质 定义法
５ 选择题 逻辑推理
数学运算
２０２０北京，１４ 填空题 中 三角函数的图象与性质 三角函数的最值的应用 直接法
５ 逻辑推理
逻辑推理
２０２０课标Ⅰ理，１６ 填空题 中 解三角形 余弦定理的应用 直接法
５ 数学运算
三角函数的周期、 逐项判断法
２０２０天津，８ 选择题 中 三角函数的性质及其应用 数学运算
５ 最值，图象平移 数形结合法
条件选择；正、余弦定理的
逻辑推理
２０２０北京，１７ 解答题 中 解三角形及其综合应用 应用，三角形的面积公式， 直接法
１３ 数学运算
两角和的正弦公式
条件选择；正、余弦 逻辑推理
２０２０新高考Ⅰ，１７ 解答题 中 解三角形及其综合应用 直接法
１０ 定理的应用 数学运算
正、余弦定理的应用，两角和 逻辑推理
２０２０天津，１６ 解答题 中 解三角形及其综合应用 直接法
１４ 的正弦公式、二倍角公式 数学运算
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容为高考热点 考题难度以中档为主 选择题 填空题和解答题均有可能出现．
１ ２０２０ ， ， ， 、
．高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换 性质及其应用 以及正弦 余弦定理在解三角形中的应用 有时也以化简求值
２ 、 ， 、 ，
为背景考查三角恒等变换等问题．
．在处理三角函数与解三角形有关问题时 熟记公式是解决此类问题的前提 同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题
３ ， ，
中的应用．
．本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理．
４
命题变化与趋势
．高考对本专题内容的考查在稳定中有所提升 考查方式及题目难度在 年变化较大 分值所占比重比往年要高 要引起足
１ ， ２０２０ ， ，
够重视．
．考查内容主要体现在以下方面 以三角函数图象为背景考查诱导公式 图象的变换 性质的应用以及三角恒等变换 如
２ ：① 、 、 （ ２０２０
年新高考 卷第 题 以解三角形为载体考查正弦 余弦定理以及三角形面积公式的应用 如 年新高考 卷第
Ⅰ １０ ）；② 、 （ ２０２０ Ⅰ １７
题 是一种全新的题型 需要先选择条件 再解三角形 有很强的自主选择性 考查了学生探究问题的能力 以函数 不等式
， ， ， ， ， ）；③ 、 、
向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注．同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用．专题五 三角函数与解三角形 ２５１
５．１ 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
§
α ｋ α
ｓｉｎ（ ＋ ·２π）＝ｓｉｎ ，
α ｋ α
ｃｏｓ（ ＋ ·２π）＝ｃｏｓ ，
α ｋ α 其中ｋ Ｚ
ｔａｎ（ ＋ ·２π）＝ｔａｎ ， ∈ ，
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
系及诱导公式 知识拓展 终边相同的角与对称性
一、三角函数的概念 β α终边相同 β α ｋ ｋ Ｚ．
（１） ， ⇔ ＝ ＋２ π， ∈
１．任意角的概念 β α终边关于ｘ轴对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
（２） ， ⇔ ＝－ ＋２ π， ∈
我们把角的概念推广到任意角 任意角包括正角 负角 β α终边关于ｙ轴对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
（１） ， 、 、 （３） ， ⇔ ＝π－ ＋２ π， ∈
零角． β α终边关于原点对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
（４） ， ⇔ ＝π＋ ＋２ π， ∈
正角 按 逆时针 方向旋转形成的角 ６．三角函数线
： ① ；
负角 按 顺时针 方向旋转形成的角 各象限内角的三角函数线如下表
： ② ； ：
零角 如果一条射线 没有作任何旋转 我们称它形成了 角的终
： ③ ，
一个零角． 边所在 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
终边相同的角 与α终边相同的角可表示为 ｛β β α 的象限
（２） ： ④ ｜ ＝
ｋ ，ｋ Ｚ｝ ．
＋２ π ∈
２．弧度与角度的互化
图形
弧度的角 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
（１）１ ： ⑤
ｌ
角α的弧度数公式 α ．
（２） ：｜ ｜＝⑥ ｒ 当角α的终边与ｘ轴重合时 正弦线 正切线分别变成一个
， 、
角度与弧度的换算 点 此时角α的正弦值和正切值都为 当角α的终边与ｙ轴重
（３） ， ０；
( ) 合时 余弦线变成一个点 正切线不存在 此时角α的余弦值为
° ° π １８０ ° ． ° ， ， ，
３６０ ＝⑦ ２π ｒａｄ，１ ＝⑧ ｒａｄ，１ ｒａｄ＝⑨ ≈５７３０ ＝ 正切值不存在．
１８０ π ０，
° ′．
５７ １８ 二、同角三角函数的基本关系式
扇形的弧长及面积公式
（
弧
４
长
）
公式 ｌ α ·ｒ ．
： １．平方关系
： ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１
．
： ＝⑩ ｜ ｜ α( )
２．商数关系 α ｓｉｎ α π ｋ ｋ Ｚ ．
面积公式 Ｓ １ ｌ·ｒ １ α ｒ２． ：ｔａｎ ＝ α ≠ ＋ π， ∈
： ＝ ＝ ｜ ｜· ｃｏｓ ２
２ ２
３．象限角 三、诱导公式
{ }
函数
第一象限角的集合 α ２ ｋ π＜ α ＜ π ＋２ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ 正弦 余弦 正切
{ ２ } 角
第二象限角的集合 α ｋ π α ｋ ｋ Ｚ
２ π＋ ＜ ＜２ π＋π， ∈ α α α α
{ ２ } － －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ
第三象限角的集合 α ２ ｋ π＋π＜ α ＜２ ｋ π＋ ３ π， ｋ ∈ Ｚ π－ α ｓｉｎ α －ｃｏｓ α －ｔａｎ α
{ ２ } α α α α
第四象限角的集合 α ｋ ３ α ｋ ｋ Ｚ π＋ －ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ
２ π＋ π＜ ＜２ π＋２π， ∈ α α α α
２ ２π－ －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ
４．三角函数 α α α α
２π＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ
任意角的三角函数的定义
（１） π － α ｃｏｓ α ｓｉｎ α
设角α终边上任意一点Ｐ 原点除外 的坐标为 ｘ ｙ 它与 ２
（ ） （ ， ），
ｙ ｘ ｙ π α α α
原点的距离为ｒ 则 α α α ｘ ． ＋ ｃｏｓ －ｓｉｎ
， ｓｉｎ ＝ ｒ ，ｃｏｓ ＝ ｒ ，ｔａｎ ＝ ｘ （ ≠０） ２
３π α α α
三角函数值在各象限内的符号 － －ｃｏｓ －ｓｉｎ
（２） ２
３π α α α
＋ －ｃｏｓ ｓｉｎ
２
ｋ
角 π α ｋ Ｚ 的三角函数的记忆口诀为 奇变偶不变
“ ± （ ∈ ）” “ ，
２
上述符号规律可简记为 一全正 二正弦 三正切 四余弦． 符号看象限 ．
： ， ， ， ”
５．终边相同的角的三角函数
２５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )
的终边逆时针旋转２π得到角β 若 π α １ 则 β
， ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｃｏｓ ＝
３ ６ ３
（ ）
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关
２ ２ ２ ２ １
系及诱导公式 Ａ．－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
３ ３ ３ ３
１．单位圆中 °的圆心角所对的弧长为 答案 Ｄ
，２００ （ ）
５．已知扇形的周长为 当这个扇形的面积最大时 半径Ｒ为
９ １０ ２０ｃｍ， ，
Ａ．１０π Ｂ．９π Ｃ． π Ｄ． π
１０ ９ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．４ ｃｍ Ｂ．５ ｃｍ Ｃ．６ ｃｍ Ｄ．７ ｃｍ
２．已知角α的终边经过点 ｍ ｍ 其中ｍ 则 α α 答案 Ｂ
（ ，－２ ）， ≠０， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
( )
（ ） ６．已知 π θ θ θ 则 θ θ ２θ
ｓｉｎ ＋ ＋３ｃｏｓ（π－ ）＝ｓｉｎ（－ ）， ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝
２
５ ５ ３ ３
Ａ．－ Ｂ．± Ｃ．－ Ｄ．±
５ ５ ５ ５ （ ）
答案 Ｂ
１ ２ ３ ５
θ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３．若 θ θ ｔａｎ 则角θ是 ５ ５ ５ ５
ｓｉｎ ·ｃｏｓ ＜０， θ＞０， （ ） 答案 Ｃ
ｓｉｎ
第一象限角 第二象限角 α α
Ａ． Ｂ． ７．已知点Ｐ 在角α的终边上 则６ｓｉｎ ＋８ｃｏｓ ．
第三象限角 第四象限角 （１，３） ， α α＝
Ｃ． Ｄ． ３ｓｉｎ －２ｃｏｓ
答案 Ｄ
答案 ２６
４．在平面直角坐标系中 角α的始边与ｘ轴的非负半轴重合 将角α
， ， ７
３．（２０２０山西大同期中）设ａ ５π ｂ ５π ｃ ５π 则
＝ｓｉｎ ， ＝ｃｏｓ ， ＝ｔａｎ ，
１２ １２ １２
（ ）
考点一 三角函数的概念、同角三角函数的基本关 ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
系及诱导公式 ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
１．（２０２０山西模拟） “ θ为第一或第四象限角 ” 是 “ｃｏｓ θ ＞０” 的 答案 Ｄ 设５π的终边与单位圆相交于点Ｐ 根据三角函数
，
１２
（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 线的定义可知ａ ＭＰ ５π ｂ ＯＭ ５π ｃ ＡＴ ５π
Ａ． Ｂ． ＝ ＝ｓｉｎ ， ＝ ＝ｃｏｓ ， ＝ ＝ｔａｎ ，
充要条件 既不充分也不必要条件 １２ １２ １２
Ｃ． Ｄ． 显然ＡＴ ＭＰ ＯＭ 所以ｂ ａ ｃ．故选 ．
答案 Ａ 当θ为第一或第四象限角时 θ 所以 θ为 ＞ ＞ ， ＜ ＜ Ｄ
，ｃｏｓ ＞０， “
第一或第四象限角 是 θ 的充分条件
” “ｃｏｓ ＞０” ，
当 θ 时 θ是第一或第四象限角或ｘ轴正半轴上的角 所
ｃｏｓ ＞０ ， ，
以 θ为第一或第四象限角 不是 θ 的必要条件
“ ” “ｃｏｓ ＞０” ，
所以 θ为第一或第四象限角 是 θ 的充分不必要
“ ” “ｃｏｓ ＞０”
条件．
故选 ．
Ａ
易错警示 忽视角的终边在ｘ轴正半轴上的情况．
２．（２０１９北京海淀期中，５）角θ终边经过点Ｐ ｙ 且 θ
（４， ）， ｓｉｎ ＝
３ 则 θ
－ ， ｔａｎ ＝ （ ）
５
４ ４ ３ ３ ４．（２０２０百校联考高考考前冲刺（二），３）已知Ｏ为坐标原点 角
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． ，
３ ３ ４ ４
答案 Ｃ 本题考查三角函数的定义． α的终边经过点Ｐ ｍ ｍ 且 α １０ｍ 则 α
（３， ）（ ＜０） ｓｉｎ ＝ ， ｓｉｎ２ ＝
ｙ ｙ １０
θ ３
ｓｉｎ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４ ２ ＋ ｙ２ ＝－ ５ ， （ ）
ｙ ４ ３ ３ ４
∴ ＝－３， Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
Ｐ点坐标为 ５ ５ ５ ５
∴ （４，－３）， ｍ
ｙ 答案 Ｃ 根据题意得 α １０ｍ 解得 ｍ
∴ ｔａｎ
θ
＝ ｘ ＝－
３ ．故选
Ｃ
． ，ｓｉｎ ＝ ｍ２
＋９
＝
１０
， ＝
４
专题五 三角函数与解三角形 ２５３
ｆ 则ｆ ．
所以Ｐ 所以 α １０ α ３ １０ 所以 （８）＝２， （２０１８）＝
－１， （３，－１）， ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝ ， 答案
１０ １０ ０
解析 ｆ α α
α α α ３ ． ∵ （８）＝ｃｏｓ（４π＋ ）＋１＝ｃｏｓ ＋１＝２，
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ( )
５ α ｆ π α α
５．（２０１９ 湖南衡阳一中月考，５）已知 α 是第三象限角 且 ∴ｃｏｓ ＝１，∴ （２０１８）＝ｃｏｓ ×２０１８＋ ＋１＝ｃｏｓ（１００９π＋ ）＋１
， ２
α α α α α ．
则 是 ＝ｃｏｓ（π＋ ）＋１＝－ｃｏｓ ＋１＝－１＋１＝０
ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ ， （ ）
３ ３ ３ ８．（２０２０广东化州二模，１５）已知曲线 ｆ ｘ ２ ｘ３ 在点
第一象限角 第二象限角 （ ）＝ （１，
Ａ． Ｂ． ３
第三象限角 第四象限角 ２α ２α
Ｃ． Ｄ． ｆ 处的切线的倾斜角为 α 则 ｓｉｎ －ｃｏｓ 的值为
答案 Ｃ α 是第三象限角 ｋ α ｋ （１）） ， α α ２α
∵ ，∴ ２ π＋π＜ ＜２ π＋ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ
ｋ α ｋ α ．
３ ｋ Ｚ ． ２ π π ２ π π ｋ Ｚ 的终边在
π（ ∈ ） ∴ ＋ ＜ ＜ ＋ （ ∈ ），∴
２ ３ ３ ３ ３ ２ ３ 答案 ３
α α
第一象限或第三象限或第四象限．又 ５
∵ ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ ，
３ ３ 解析 由ｆ ｘ ２ｘ３得ｆ ′ ｘ ｘ２ ｆ ′ 故 α ．
α α （ ）＝ （ ）＝２ ，∴ （１）＝２， ｔａｎ ＝２
是第三象限角 故选 ． ３
∴ ｃｏｓ ≤０，∴ ， Ｃ ２α ２α ２α ２
３ ３ ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ －１ ２ －１ ３ ．
６．（２０１９北京西城一模，１３）能说明
“
若
ｓｉｎ
α
＝ｃｏｓ
β
，
则α
＋
β
＝
ｋ ∴
２ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α
＋ｃｏｓ
２α＝
２ｔａｎ
α
＋１
＝
２×２＋１
＝
５
° ° 其中 ｋ Ｚ 为假命题的一组 α β 的值 思路分析 根据导数的几何意义求出 α 然后将所给齐
·３６０ ＋ ９０ ， ∈ ” ， ｔａｎ ＝２，
是 ． 次式转化为只含有 α的形式后求解即可．
ｔａｎ
答案 α ° β ° 答案不唯一 方法总结 本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值．
＝１８０ ， ＝９０ （ ）
解析 当 α ° β °时 满足 α β 但 α β 对于含有 α α的齐次式的求值问题 一般利用同角三
＝１８０ ， ＝９０ ， ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ， ＋ ＝ ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，
° 不满足α β ｋ ° ° ｋ Ｚ 因此原命题为假 角函数的基本关系转化为关于 α的形式后再求解．
２７０ ， ＋ ＝ ·３６０ ＋９０ （ ∈ ）， ｔａｎ
命题．
( )
７．（２０１９豫北六校精英对抗赛，１３）若ｆ ｘ πｘ α 且
（ ）＝ｃｏｓ ＋ ＋１，
２
１３ ５ ２ ．
－ ＋ ＝－
１２ １２ ３
答案 （ ）Ｄ （ ） ２
考法一 三角函数定义的应用 １ ２ －
３
例１ 函数ｙ ｘ ａ 且ａ 的图象过 方法总结 １．已知角α终边上一点Ｐ 不与原点重合 的坐
（１） ＝ｌｏｇａ（ －３）＋２（ ＞０ ≠１） （ ）
定点Ｐ 且角α的顶点在原点 始边与ｘ轴非负半轴重合 终边过 标 求三角函数值 先求出点Ｐ到原点的距离ｒ 然后利用三角函
， ， ， ， ： ，
点Ｐ 则 α α的值为 数的定义求解 若含参数 则需对参数进行讨论．
， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ） ； ，
２．已知角α的终边所在直线的方程 求三角函数值 先设出
， ：
７ ６ ５ ３ 终边上一点 除原点 的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５
（ ） ， ，
５ ５ ５ ５
三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 则
（２） 已知角α的终边经过点Ｐ （－ ｘ ，－６）， 且 ｃｏｓ α ＝－ ５ ， 则 可直接写出角α的三角函数值． ； ，
１３
１ １ ．
α＋ α＝ 例 （２０１９ 福建永安一中、德化一中、漳平一中三校联
ｓｉｎ ｔａｎ
解析 （ ）因为函数ｙ （ｘ ） （ａ 且ａ ）的图象 考，３）已知角θ的顶点与原点重合 始边与ｘ轴的正半轴重合
１ ＝ｌｏｇａ －３ ＋２ ＞０ ≠１ ， ，
终边在直线ｙ ｘ上 则 θ
过定点Ｐ（ ， ），且角α的终边过点Ｐ，所以ｘ ，ｙ ，ｒ ．由 ＝２ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
４ ２ ＝４ ＝２ ＝２ ５
４ ３ ２ ３
三角函数的定义可得 α ５， α ２ ５，所以 α α Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ５ ５ ３ ４
５ ５ 解析 解法一：设角 θ 的终边上任一点为 Ｐ（ｋ， ｋ）（ｋ
２ ≠
５ ２ ５ ３ ．故选
＋ ＝ ５ Ｄ． ），则ｒ ｋ２ （ ｋ）２ ｋ ．
５ ５ ５ ０ ＝ ＋ ２ ＝ ５｜ ｜
ｋ ｋ
（ ） 角α的终边经过点Ｐ（ ｘ， ），且 α ５ ， 当ｋ 时，ｒ ｋ， θ ２ ２ ５， θ ５，
２ ∵ － －６ ｃｏｓ ＝－ ＞０ ＝ ５ ∴ ｓｉｎ ＝ ｋ＝ ｃｏｓ ＝ ｋ＝
１３ ５ ５ ５ ５
α － ｘ ５ ，解得ｘ ５ 或ｘ ５ （舍去）， æ ö２ æ ö２
∴ ｃｏｓ ＝ ｘ２
＋３６
＝－
１３
＝
２
＝－
２
∴ ｃｏｓ２ θ ＝ｃｏｓ ２θ －ｓｉｎ ２θ ＝è ç
５
５ ø ÷ －è ç２
５
５ ø ÷ ＝－
５
３ ．
( )
Ｐ ５ ， ， α １２， α １２，则 １ １
∴ － －６ ∴ ｓｉｎ ＝－ ∴ ｔａｎ ＝ α＋ α＝
２ １３ ５ ｓｉｎ ｔａｎ
２５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
式子 已知其中一个式子的值 其余二式的值可求．转化的公式为
当ｋ 时，ｒ ｋ， ， ，
＜０ ＝－ ５ α α ２ α α．
（ｓｉｎ ±ｃｏｓ ） ＝１±２ｓｉｎ ｃｏｓ
ｋ ｋ
θ ２ ２ ５， θ ５．
∴ ｓｉｎ ＝－ ｋ＝－ ｃｏｓ ＝－ ｋ＝－
５ ５ ５ ５ 例 （２０１７重庆巴蜀中学三模）已知角α满足 α
æ ö２ æ ö２ ｔａｎ ＝２，
∴ ｃｏｓ２ θ ＝ｃｏｓ ２θ －ｓｉｎ ２θ ＝è ç － ５ ø ÷ －è ç － ２ ５ ø ÷ ＝－ ３ ． 则ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α 的值为
５ ５ ５ ｓｉｎ α －ｃｏｓ α （ ）
综上可得， θ ３ ，故选 ．
ｃｏｓ２ ＝－ Ｂ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
５ α
解法二：因为该直线的斜率ｋ ＝２＝ｔａｎ θ， 解析 分子分母同时除以 ｃｏｓ α得，原式 ＝ ｔ
ｔ
ａ
ａ
ｎ
ｎ
α ＋
－
１
１
，将 ｔａｎ
所以 θ ｃｏｓ ２θ －ｓｉｎ ２θ １－ｔａｎ ２θ ３ ．故选 ． α ＝２ 代入，得原式 ＝３ ．
ｃｏｓ２ ＝
ｃｏｓ
２θ
＋ｓｉｎ
２θ＝
１＋ｔａｎ
２θ＝－
５
Ｂ
答案 Ｃ
答案 Ｂ
例 （２０１８江苏金陵中学高三阶段练习）已知 α １
例 （２０１８浙江金华十校模拟（４月），１１）在平面直角坐 ｓｉｎ ＝ ，
３
标系中 角α的顶点与原点重合 始边与ｘ轴的非负半轴重合 ( )
， ， ， 且α π 则 α ．
终边过点 Ｐ 则 α α ∈ ，π ， ｔａｎ ＝
（－ ３，－ １）， ｔａｎ ＝ ，ｃｏｓ ＋ ２
( ) ( )
α π ． 解析 α １ ，α π， ，
ｓｉｎ － ＝ ∵ ｓｉｎ ＝ ∈ π
２ ３ ２
解析 根据三角函数的定义知 α －１ ３， α α ２ ２，
ｔａｎ ＝ ＝ ｃｏｓ ＋ ∴ ｃｏｓ ＝－
－ ３ ３ ３
( )
１
α π α α ． α
ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝０ α ｓｉｎ ３ ２．
２ ∴ ｔａｎ ＝ α＝ ＝－
ｃｏｓ ２ ２ ４
答案 ３； －
０ ３
３
答案 ２
考法二 同角三角函数的基本关系式的应用 －
４
例２ 已知ｘ ｘ ｘ １ ．
∈（－π，０），ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ 考法三 利用诱导公式化简求值
５
求 ｘ ｘ的值 例３ 设 ° ｋ 那么 °
（１） ｓｉｎ ｃｏｓ ； （１） ｃｏｓ（－３６ ）＝ ， ｔａｎ２０１６ ＝ （ ）
求 ｘ ｘ的值
（２） ｓｉｎ －ｃｏｓ ； ｋ２ ｋ２ ｋ ｋ
求ｓｉｎ２
ｘ
＋２ｓｉｎ
２ｘ
的值． Ａ．
１
ｋ
－
Ｂ．－
１
ｋ
－
Ｃ． ｋ２ Ｄ．－ ｋ２
（３） ｘ １－ １－
１－ｔａｎ ( ) ( ) ( )
已知 π θ ａ 则 ５π θ ２π θ 的值是
解析 （ ）由 ｘ ｘ １ 两边平方得 ２ｘ ｘ ｘ （２） ｃｏｓ － ＝ ， ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ －
１ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ６ ６ ３
５ ．
ｃｏｓ
２ｘ
＝
１ ，化简整理得
２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝－
２４，即
ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝－
１２．
已知 θ １ 求 ｃｏｓ（π＋
θ
）
２５ ２５ ２５ （３） ｓｉｎ （３π ＋ ） ＝ ， θ θ ＋
３ ｃｏｓ ［ｃｏｓ（π－ ）－１］
（
２
）由（
１
）可得，（
ｓｉｎ
ｘ
－ｃｏｓ
ｘ）２
＝１－２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝
４９．
( ) ｃｏｓ（
θ
－２π） ( ) 的值．
２５
由ｘ ∈ （ －π ， ０ ），知 ｓｉｎ ｘ ＜０ ，又 ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ ＞０ ，所以 ｃｏｓ ｘ ＞０ ， ｓｉｎ θ － ３π ｃｏｓ（ θ －π）－ｓｉｎ ３π ＋ θ
２ ２
则 ｘ ｘ ，故 ｘ ｘ ７ ． 解析 （ ） （ °） ° ｋ，
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＜０ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ １ ｃｏｓ －３６ ＝ｃｏｓ３６ ＝
５
ｘ ２ｘ ｘ（ ｘ ｘ） 所以 ｓｉｎ３６ ° ＝ １－ｃｏｓ ２ ３６ ° ＝ １－ ｋ２，
（ ３ ）ｓｉｎ２ ＋２ｓ ｘ ｉｎ ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｘ ｓｉｎ 所以 ° （ ° °） ° （ °
１－ｔａｎ ｓｉｎ ｔａｎ２０１６ ＝ｔａｎ ３６０ ×５＋２１６ ＝ｔａｎ ２１６ ＝ｔａｎ １８０ ＋
１－
ｃｏｓ
ｘ
°） ° ｓｉｎ３６
°
１－
ｋ２
．
３６ ＝ｔａｎ３６ ＝ °＝ ｋ
２４ １ ｃｏｓ３６
ｘ ｘ（ ｘ ｘ） － × ( ) [ ( )] (
２ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２５ ５ ２４． （ ）解法一： ５π θ π θ π
＝ ｘ ｘ ＝ ＝－ ２ ∵ ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ π－ － ＝－ｃｏｓ －
ｃｏｓ －ｓｉｎ ７ １７５ ６ ６ ６
) ( ) [ ( )]
５ θ ａ，且 ２π θ π π θ ａ，
方法总结 １．已知 α α与 α三者中的一个求另 ＝－ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ＋ － ＝
ｓｉｎ ，ｃｏｓ ｔａｎ ３ ２ ６
( ) ( )
外两个 利用平方关系和商数关系求解
５π θ ２π θ ａ ａ ．
： ； ∴ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ － ＝－ ＋ ＝０
２．已知 α的值 求关于 α与 α的齐ｎ次分式的值 ６ ３
ｔａｎ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ： ( )
分子 分母同除以 ｎα 转化为关于 α的式子求解 解法二：令π θ α，则θ π α，且 α ａ，则 ５π θ
、 ｃｏｓ ， ｔａｎ ； － ＝ ＝ － ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＋ ＋
３．
“１”
的代换问题
：
含有
ｓｉｎ
２α
，ｃｏｓ
２α及
ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α的整式求
( )
６
[ ( )]
６
[ ( )]
６
值问题
，
可将所求式子的分母看作
“１”，
利用
“ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１”
代
ｓｉｎ
２π
－
θ
＝ｃｏｓ
５π
＋
π
－
α
＋ｓｉｎ
２π
－
π
－
α
＝ｃｏｓ
（
π－
α）
＋
换后转化为 切 然后求解．
(
３
)
６ ６ ３ ６
“ ”，
π α α α ａ ａ ．
特别提醒 对于 α α α α α α这三个 ｓｉｎ ＋ ＝－ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝－ ＋ ＝０
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，ｓｉｎ ｃｏｓ ，ｓｉｎ －ｃｏｓ ２
专题五 三角函数与解三角形 ２５５
（ ）因为 （ θ） θ １ ，所以 θ １ ． 解析 因为 （ α） α ，所以 α ，所以
３ ｓｉｎ ３π＋ ＝－ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝－ ｔａｎ π－ ＝ －ｔａｎ ＝２ ｔａｎ ＝－２
３ ３
原式 －ｃｏｓ θ ｃｏｓ （ ２π－ θ） ｓｉｎ α ＝－２ｃｏｓ α，且α是第二或第四象限角，又 ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α ＝１ ，
＝ θ（ θ ）＋ ( )
ｃｏｓ －ｃｏｓ －１ ３π θ （ θ） θ 所以 α ２ ５， α ５或 α ２ ５， α ５，所以
－ｓｉｎ － ｃｏｓ π－ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝－ ｓｉｎ ＝－ ｃｏｓ ＝
２ ５ ５ ５ ５
θ α α α α
１ ｃｏｓ １ １ ２ ２ ｓｉｎ４ ｓｉｎ４ ２ｓｉｎ２ ｃｏｓ２ α α α
＝
１＋ｃｏｓ
θ＋
－ｃｏｓ
２θ
＋ｃｏｓ
θ＝
１＋ｃｏｓ
θ＋
１－ｃｏｓ
θ＝
１－ｃｏｓ
２θ＝
ｓｉｎ
２θ＝ (
π α
) ＝
ｃｏｓ２
α＝
ｃｏｓ２
α ＝２ｓｉｎ ２ ＝４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
ｓｉｎ ＋２
２ ． ２
(
１
)
２
＝１８
８ ，故选 ．
－ － Ｃ
３ ５
答案 （ ）Ａ （ ） 答案 Ｃ
１ ２ ０
( )
方法总结 １．化简求值的思路方法
： 例 （２０１７湖北襄阳五中模拟，１５）已知 α π
ｔａｎ ＋ ＝２，
分析结构特点 选择恰当的公式 ３
（１） ， ； ( ) ( )
利用公式化成单角三角函数 α ４π ２π α
（２） ； ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ －
整理得出最简形式． 则 ３ ３ ．
（３） ( ) ( ) ＝
２．化简要求 π α α ５π
： ｃｏｓ － －ｓｉｎ ＋
化简过程是恒等变形 ６ ６
( ) ( )
（１） ；
结果要求项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简 α ４π ２π α
单 能 （ 求 ２） 值的要求出值． ， ， 解析 ｓｉｎ ( ＋ ３ ) ＋ｃｏｓ ( ３ － )
， π α α ５π
３．求任意角的三角函数值的步骤 ｃｏｓ － －ｓｉｎ ＋
６ ６
负角化正角 正角化锐角 最后求值． ( ) ( )
， ， α π α π
－ｓｉｎ ＋ －ｃｏｓ ＋
３ ３
＝ ( ) ( )
例 （２０２０ 云南统一检测，９）已知 α 则 α π α π
ｔａｎ（π－ ）＝ ２， ｓｉｎ ＋ －ｃｏｓ ＋
α ３ ３
ｓｉｎ４ ( )
( ) ＝ （ ） α π
π α ｔａｎ ＋ ＋１ ( )
ｓｉｎ ＋２ ３ ，将 α π 代入，原式 ２＋１
２ ＝－ ( ) ｔａｎ ＋ ＝２ ＝－ ＝
α π ３ ２－１
８ ８ ８ ６ ｔａｎ ＋ －１
Ａ．± Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ３
５ ５ ５ ５ ．
－３
答案
－３
α
ｓｉｎ ＝ （ ）
１２ １２
Ａ．－ Ｂ．
１３ １３
考法一 三角函数定义的应用
５ ５
１．（２０２０山东仿真联考２，３）已知角θ的始边与ｘ轴的非负半轴 Ｃ．－ Ｄ．
１２ １２
重合 终边过点Ｍ 则 θ的值为 答案 Ａ
， （－３，４）， ｃｏｓ２ （ ）
５．（２０２０山东日照、潍坊、临沂部分学校６月模拟，５）已知直线ｌ
７ ７ ２４ ２４ １：
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． ｘ α ｙ 直线ｌ ｘ ｙ α 若ｌ ｌ 则 α
２５ ２５ ２５ ２５ ｓｉｎ ＋ －１＝０， ２： －３ ｃｏｓ ＋１＝０， １⊥２， ｓｉｎ２ ＝
答案 Ａ
（ ）
２．（２０２０山东滕州一中３ 月模拟，５）已知角 α 的终边经过点
Ｐ ° ° 则 α ° Ａ． ２ Ｂ．± ３
（ｓｉｎ４７ ，ｃｏｓ４７ ）， ｓｉｎ（ －１３ ）＝ （ ） ３ ５
１ ３ １ ３ ３ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ Ｃ．－ Ｄ．
２ ２ ２ ２ ５ ５
答案 Ａ 答案 Ｄ
３．（２０２０四川绵阳南山中学月考，４）已知角 α 的终边过点 ６．（２０２０ 山东济宁 ６ 月三模，１２）已知 α 则
ｔａｎ（π－ ）＝ ２，
α α
Ｐ ｍ ° 且 α ４ 则ｍ的值为 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ．
（－８ ，－６ｓｉｎ３０ ）， ｃｏｓ ＝－ ， （ ） α α＝
５ ｓｉｎ －ｃｏｓ
１ １ １ ３ 答案 １
Ａ．± Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ２ ３
答案 Ｃ
考法三 利用诱导公式化简求值
考法二 同角三角函数的基本关系式的应用 ( )
７．直线ｌ ｘ ｙ ｅ 的倾斜角为α 则 α π α 的值为
：２ － ＋ ＝０ ， ｓｉｎ（π－ ）ｓｉｎ ＋
４．（２０２０山东济南二模，３）已知α为第四象限角 α ５ 则 ２
，ｃｏｓ ＝ ，
１３ （ ）
２５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ａ
２ １ １ ２
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． １０．（多选题）（２０２０山东聊城一中线上３月测试，９）下列化简
５ ５ ５ ５
答案 Ｄ 正确的是
（ ）
α α α
８．（２０２０湖南株洲检测，３）化简 ｓｉｎ ( （π－ ） ) ·ｃｏｓ（ ( ３π＋ ） ) 的结 Ａ．ｔａｎ（π＋１）＝ｔａｎ１ Ｂ． ｓｉｎ（－ ° ） α ＝ｃｏｓ α
３π α α π ｔａｎ（３６０ － ）
ｓｉｎ ＋ ·ｃｏｓ － α α α
２ ２ ｓｉｎ（π－ ） α ｃｏｓ（π－ ）ｔａｎ（－π－ ）
果为 Ｃ． α ＝ｔａｎ Ｄ． α ＝１
（ ） ｃｏｓ（π＋ ） ｓｉｎ（２π－ ）
答案 ＡＢ
Ａ．１ Ｂ．－１
α α １１．（２０２０ 陕 西 渭 南 尚 德 中 学 月 考， １７） 已 知 ｆ α
Ｃ．ｓｉｎ Ｄ．ｃｏｓ （ ）
答案 Ａ ( )
α α ３π α
ｓｉｎ（５π－ ）·ｃｏｓ ＋ ·ｃｏｓ（π＋ ）
９．（２０２０吉林部分名校３月联考，８）若 θ θ ４ 且θ ２ ．
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ， ∈ ＝ ( ) ( )
３ α ３π α π α
( ) ｓｉｎ － ·ｃｏｓ ＋ ·ｔａｎ（ －３π）
３ 则 θ θ ２ ２
π，π ， ｓｉｎ（π－ ）－ｃｏｓ（π－ ）＝ （ ） 化简ｆ α
４ （１） （ ）；
( )
２ ２ ４ ４ 若α是第三象限角 且 ３π α １ 求ｆ α 的值．
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． （２） ， ｃｏｓ － ＝ ， （ ）
３ ３ ３ ３ ２ ５
３ ３＋４ ３ ３＋４ ３ ３－４ ４－３ ３
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
１０ １０ １０ １０
答案 Ｂ 本题主要考查三角函数的定义 两角和的余弦公式
、 ，
考法一 三角函数定义的应用
通过角的旋转以及凑角法转化角α的形式 考查转化与化归思想
， ，
１．（２０１９北京海淀一模，２）若角α的终边在第二象限 则下列三 考查的核心素养为逻辑推理和数学运算．
，
角函数值中大于零的是
（ ） 将角α的终边按顺时针方向旋转π后得到的角为α π 由三角
( ) ( ) － ，
α π α π ６ ６
Ａ．ｓｉｎ ＋ Ｂ．ｃｏｓ ＋ ( ) ( )
２ ２ 函数的定义 可得 α π －３ ３ α π
α α ， ｃｏｓ － ＝ ＝－ ，ｓｉｎ － ＝
Ｃ．ｓｉｎ（π＋ ） Ｄ．ｃｏｓ（π＋ ） ６ （－３） ２ ＋４ ２ ５ ６
答案 Ｄ 角α的终边在第二象限 [( ) ] ( )
∵ ， ４ ４ 所以 α α π π α π
( ) ( ) ＝ ， ｃｏｓ ＝ｃｏｓ － ＋ ＝ｃｏｓ －
α π的终边在第三象限 α π α π ． （－３） ２ ＋４ ２ ５ ６ ６ ６
∴ ＋ ，∴ ｓｉｎ ＋ ＜０，ｃｏｓ ＋ ＜０
２ ２ ２ ( ) ( )
α 的终边在第四象限 α α ．故选 ． π α π π ３ ３ ４ １ ３ ３＋４ 故选 ．
∵ ＋π ，∴ｓｉｎ（ ＋π）＜０，ｃｏｓ（ ＋π）＞０ Ｄ ｃｏｓ －ｓｉｎ － ｓｉｎ ＝ － × － × ＝－ ， Ｂ
２．（２０１８云南曲靖质检，５）已知角θ的顶点与原点重合 始边与 ６ ６ ６ ５ ２ ５ ( ２ ) １０
，
( ) 思路分析 首先利用三角函数定义求出角 α π 的正 余弦值
ｘ轴非负半轴重合 终边在直线ｙ ｘ上 则 θ π － ６ 、 ，
， ＝３ ， ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ( )
３ 然后利用凑角法把角α转化为 α π π 再利用两角和的余弦
－ ＋ ，
（ ） ６ ６
公式求得结果．
３－４ ３ ３－４ ３ ４－３ ３ ４－３ ３
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ４．（２０１９新疆石河子一中期中，７）已知角β的终边上的一点Ｐ的坐
１０ １０ １０ １０
答案 Ａ 由题意知θ的终边在第一或第三象限 且 θ ( )
， ｔａｎ ＝３， 标为 ３ ４ 若角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转 °得到
， ， ９０
５ ５
则 ｓｉｎ ( ２ θ ＋ π ) ＝ １ ｓｉｎ２ θ ＋ ３ ｃｏｓ２ θ ＝ ｓｉｎ θ ｃｏｓ θ ＋ ２ ２ θ ３ （ｃｏｓ ２ ２ θ θ －ｓｉｎ ２θ ） 角α ， 则 １ ｃ ＋ ｏ ｓ ｓ ｉｎ ２ ２ α α＝ （ ）
３ ２ ２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
１ １
θ ３ ２θ Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－７ Ｄ．７
ｔａｎ ＋ （１－ｔａｎ ） ７ ７
２ ３－４ ３ 故选 ． ( )
＝ ２θ ＝ ， Ａ 答案 Ｄ 角β的终边上的一点Ｐ的坐标为 ３ ４
ｔａｎ ＋１ １０ ∵ ， ，
解后反思 用三角函数定义求三角函数值的两种情况 ５ ５
：
已知角α终边上一点Ｐ的坐标 则直接用三角函数的定义求
∴ｃｏｓ
β
＝
３
，ｓｉｎ
β
＝
４
，
（１） ， ５ ５
解三角函数值 角β的终边绕着坐标原点逆时针旋转 °得到角α 则 α
； ∴ ９０ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
已知角α的终边所在的直线方程 注意终边位置有两个 对应 ( ) ( )
（２） ， ， β π β ３ α β π β ４
的三角函数值有两组． ＋ ＝ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ ，
２ ５ ２ ５
３．（２０２０山西太原名校联盟４月模拟，７）已知角α的顶点在坐标原
α ２α ７ α α α ２４
点 始边与ｘ轴的非负半轴重合 将角α的终边按顺时针方向旋转 ∴ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝ ，ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ，
， ， ２５ ２５
π后经过点 则 α
（－３，４）， ｃｏｓ ＝ （ ）
６
专题五 三角函数与解三角形 ２５７
( )
７ α π 则角α
α ｔａｎ ＋ ， ＝ （ ）
ｃｏｓ２ ２５ ．故选 ３
∴ α＝ ＝７ Ｄ．
１＋ｓｉｎ２ ２４ π π π π
１－ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２５ １２ ６ ４ ３
思路分析 由题意利用任意角的三角函数的定义可求 β 答案 Ｃ 本题主要考查同角三角函数的基本关系 诱导公式
ｃｏｓ ，ｓｉｎ 、
β 利用诱导公式可求 α α的值 根据二倍角公式可求 等 考查的核心素养为逻辑推理和数学运算．
， ｓｉｎ ，ｃｏｓ ， ｃｏｓ ，
α α 代入计算即可． ( ) ( )
２ ，ｓｉｎ２ ， α π α π
５．（２０１７北京海淀期中）若角θ的终边过点Ｐ 则 θ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＋
（３，－４）， ｓｉｎ（ －π）＝ 由条件得 ３ ３ 又因为 α 为锐角 所以
． ( ) ＝ ( )， ，
α π α π
ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋
答案 ４ ３ ３
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
５ α π α π 即 α π π α π
ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ ＋ ， ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ － ＋ ，
解析 由角θ的终边过点Ｐ 得 θ ４ ３ ３ ３ ２ ３
（３，－４）， ｓｉｎ ＝－ ， ( )
５ 所以有α π π α π 解得α π 故选 ．
－ ＝ － ＋ ， ＝ ， Ｃ
所以 θ θ ４． ３ ２ ３ ４
ｓｉｎ（ －π）＝－ｓｉｎ ＝ ( ) ２θ
５ ４．（２０２０湖北武汉外国语学校月考）已知θ π 则４ｃｏｓ
( ) ∈ ０， ， ４θ
６．（２０１８陕西榆林一模，１３）若角α的终边经过点Ｐ ３ ４ 则 ２ ｓｉｎ
，－ ，
５ ５ １ 的最小值为 ．
α α的值是 ． ＋ ４θ
ｓｉｎ ｔａｎ ｃｏｓ
答案
答案 １６ ５＋４ ２
１５ 解析 １ ｓｉｎ ２θ １ ｃｏｓ ２θ
解析 设坐标原点为Ｏ ＯＰ ｒ
(
３
) ２ (
４
) ２
ｃｏｓ
２θ＝
ｃｏｓ
２θ＋１，
ｓｉｎ
２θ＝
ｓｉｎ
２θ＋１，
， ＝ ＝
５
＋ －
５
＝１，
令
(
ｓｉｎ
θ)
２ ｋ ｋ
θ ＝ ， ＞０，
４ ｃｏｓ
∴ ｓｉｎ α ＝－
５
４ ，ｔａｎ α ＝ －
３
５ ＝－
３
４ ，∴ ｓｉｎ α ｔａｎ α ＝ ( －
５
４ ) × 则
ｓｉｎ
１ ２θ＝ １ ｋ ＋１，
ｃｏ
１
ｓ
４θ＝ æ è ç
ｃｏ
１
ｓ
２θ ö ø ÷ ２ ＝（ ｋ ＋１） ２ ＝ ｋ２ ＋２ ｋ ＋１，
５ ２θ ２θ ( )
( ) ４ｃｏｓ １ ４ｃｏｓ １ １ ４ １ ｋ２ ｋ
４ １６． ∴ ４θ ＋ ４θ＝ ２θ · ２θ＋ ４θ＝ ｋ ｋ ＋１ ＋ ＋２ ＋１
－ ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ
３ １５
思路分析 利用三角函数的定义即可求解． ４ ｋ２ ４ ｋ ４ ｋ２ ４ ｋ
＝ｋ２ ＋ ＋ ｋ ＋２ ＋１≥２ ｋ２· ＋２ ｋ ·２ ＋１＝５＋４ ２，
考法二 同角三角函数的基本关系的应用 当且仅当ｋ４ ｋ２ 即ｋ 时 取等号
＝４，２ ＝４， ＝ ２ ， ，
１．（２０１９四川成都石室中学４月月考，２）已知α为第二象限角
，
且
则４ｃｏｓ
２θ
１ 的最小值为 ．
４θ ＋ ４θ ５＋４ ２
ｓｉｎ
α
＋ｃｏｓ
α
＝
１
，
则
ｃｏｓ
α
－ｓｉｎ
α
＝ （ ）
ｓｉｎ ｃｏｓ ( θ)
２
５ 思路分析 令 ｓｉｎ ｋ ｋ 利用同角三角函数的基本关
θ ＝ ， ＞０，
ｃｏｓ
７ ７ ７ ２４
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．± Ｄ． ２θ
５ ５ ５ ２５ 系得出 １ １ １ ｋ２ ｋ 从而将４ｃｏｓ １ 化为
２θ＝ ｋ ＋１， ４θ＝ ＋２ ＋１， ４θ ＋ ４θ
答案 Ｂ α α １ 两边平方得 α α １ ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ
∵ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ， １＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，
５ ２５ ４ ｋ２ ４ ｋ 再结合基本不等式得出最值．
ｋ２ ＋ ＋ ｋ ＋２ ＋１，
α α ２４
∴２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ，
２５
考法三 利用诱导公式化简求值
∴（ｃｏｓ α －ｓｉｎ α ） ２ ＝１－２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝１＋ ２４ ＝ ４９ ，∵ α为第二象限角 ， ( )
２５ ２５ １．（２０１９河北邯郸重点中学３月联考，５）已知 ３３π α
３ｓｉｎ ＋ ＝
α α ７ 故选 １４
∴ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ， Ｂ． ( ) ( )
５ ５π α 则 ５π α
( ) ( ) －５ｃｏｓ ＋ ， ｔａｎ ＋ ＝ （ ）
２．（２０２０河南六市一模，５）已知 π α ３ 且α π ３π １４ １４
ｃｏｓ ＋ ＝ ， ∈ ， ，
２ ５ ２ ２ ５ ３ ３ ５
则 α Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
ｔａｎ ＝ （ ） ３ ５ ５ ３
( ) ( ) ( )
４ ３ ３ ３ 答案 Ａ 由 ３３π α ５π α 得 ５π α
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．± ３ｓｉｎ ＋ ＝－５ｃｏｓ ＋ ， ｓｉｎ ＋ ＝
３ ４ ４ ４ １４ １４ １４
( ) ( ) ( )
答案 Ｂ π α ３ α ３．又α π ３π ５π α
∵ｃｏｓ ＋ ＝ ，∴ｓｉｎ ＝－ ∈ ， ， ( ) ( ) ｓｉｎ ＋
２ ５ ５ ２ ２ ５ ５π α 所以 ５π α １４ ５ ．
α － ｃｏｓ ＋ ， ｔａｎ ＋ ＝ ( ) ＝－
∴ｃｏｓ
α
＝－ １－ｓｉｎ
２α
＝－
４
，∴ｔａｎ
α
＝
ｓｉｎ
α＝
３．故选
Ｂ．
３ １４ １４
ｃｏｓ
５π
＋
α ３
５ ｃｏｓ ４ １４
( )
α π ２．（２０１７巴蜀黄金大联考，４）已知 ４π ７π ９π ７π
ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝
３．（２０２０ 吉林长春二模，９）已知 α 为锐角 且 ３ ５ １５ ５ １５
， ( ) ＝ ( )
α π ｘ π ｘ ２ 则 ｘ等于
ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＋ ， ｓｉｎ２ （ ）
３ ２ ３
２５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１ １ １ １ ４ 故选 ．
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ － ， Ｄ
３ ３ １２ １２ ５
( ) (
答案 Ａ ４π ７π ９π ７π ４π ７π ４．（２０２０江西九江模拟，１４）已知 π α ２ 则 π
∵ ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ － ＝ ， ｓｉｎ ＋
５ １５ ５ １５ ５ １５ ６ ３ ６
( ) )
４π ７π ４π ７π π １ α ．
ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ ＝ ， ２ ＝
５ １５ ５ １５ ３ ２
( )
ｘ π ｘ ２ １ 即 ｘ ｘ １ ２ １ ． 答案 １
∴ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＋ ＝ ， －ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ － ＝－ －
２ ３ ２ ２ ３ ６ ９
解析 本题主要考查三角函数的诱导公式 二倍角公式 考
１ ｘ １ ． ｘ １ ．故选 ． 、 ，
∴ ｓｉｎ２ ＝ ∴ ｓｉｎ２ ＝ Ａ 查的核心素养为数学运算和逻辑推理．
２ ６ ３
[ ( )] ( ) ( ) [
３．（２０２０广东深圳统测，６）已知 α 则 α π 因为 π α π α π 所以 π α π
ｔａｎ ＝－３， ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ２ － ＋ ＋２ ＝ ， ｓｉｎ ＋２ ＝ｓｉｎ －
４ ６ ６ ２ ６ ２
( ) ] [ ( )] ( )
（ ） π α π α ２ π α 把
２ － ＝ ｃｏｓ ２ － ＝ ２ｃｏｓ － － １，
３ ３ ４ ４ ６ ６ ６
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ( )
５ ５ ５ ５ π α ２ 代入得 原式 ４ １ ．
[ ( )] ( ) ｃｏｓ － ＝ ， ＝２× －１＝－
答案 Ｄ α π α π α ２α ６ ３ ９ ９
ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｃｏｓ ２ ＝ｃｏｓ －
４ ２
２α ２α ２α
２α ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ 将 α 代入 原式 １－９
ｓｉｎ ＝
ｃｏｓ
２α
＋ｓｉｎ
２α＝
１＋ｔａｎ
２α， ｔａｎ ＝－３ ， ＝
１＋９
＝
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关 ４．（２０１７北京，１２，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 角α与角β
，
系及诱导公式
均以Ｏｘ为始边 它们的终边关于 ｙ 轴对称．若 α １ 则
， ｓｉｎ ＝ ，
１．（２０２０课标Ⅱ理，２，５分）若α为第四象限角 则 ３
， （ ） α β ．
α α α α ｃｏｓ（ － ）＝
Ａ．ｃｏｓ２ ＞０ Ｂ．ｃｏｓ２ ＜０ Ｃ．ｓｉｎ２ ＞０ Ｄ．ｓｉｎ２ ＜０
答案 Ｄ 答案 ７
－
９
２．（２０１６课标Ⅲ，５，５分）若 α ３ 则 ２α α ５．（２０１８浙江，１８，１４分）已知角α的顶点与原点Ｏ重合 始边
ｔａｎ ＝ ， ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ２ ＝ ，
４ ( )
与ｘ轴的非负半轴重合 它的终边过点Ｐ ３ ４ ．
（ ） ， － ，－
５ ５
６４ ４８ １６ 求 α 的值
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ． （１） ｓｉｎ（ ＋π） ；
２５ ２５ ２５
答案 Ａ 若角β满足 α β ５ 求 β的值．
（２） ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ， ｃｏｓ
３．（２０１８课标Ⅱ，１５，５分）已知 α β α β １３
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１，ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝０，
则 α β ．
ｓｉｎ（ ＋ ）＝
答案 １
－
２
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关 用 主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力 考查的核
； ；
系及诱导公式 心素养是数学运算．
由圆的性质易知 当 ＰＡ ＰＢ 时 阴影部分的面积最大 其
１．（２０１９北京文，８，５分）如图 Ａ Ｂ是半径为 的圆周上的定 ， ｜ ｜＝｜ ｜ ， ，
， ， ２ 面积为 ＰＡＢ的面积与弓形的面积之和．
点 Ｐ为圆周上的动点 ＡＰＢ是锐角 大小为β．图中阴影区域
△
的 ， 面积的最大值为 ，∠ ， 作ＰＤ ⊥ ＡＢ于Ｄ点 ， 由 ∠ ＡＰＢ ＝ β ， 知 ∠ ＤＯＢ ＝ β （ Ｏ为圆心 ） ．所
（ ） 以 ＯＤ β ＰＤ β ＡＢ β．所以Ｓ
｜ ｜＝２ｃｏｓ ，｜ ｜＝２＋２ｃｏｓ ，｜ ｜ ＝４ｓｉｎ △ ＰＡＢ＝
１ ＡＢ ＰＤ β β ．Ｓ Ｓ Ｓ １
·｜ ｜·｜ ｜＝４ｓｉｎ （１＋ｃｏｓ ） 弓形＝ 扇形ＯＡＢ－ △ ＯＡＢ＝
２ ２
β ２ １ β β β β β．
·２ ·２ － ·４ｓｉｎ ·２ｃｏｓ ＝４ －４ｓｉｎ ｃｏｓ
２
故阴影部分的面积为 Ｓ Ｓ β β β β
△ ＰＡＢ＋ 弓形＝４ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ ＋４ －
β β β β．故选 ．
β β β β ４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝４ ＋４ｓｉｎ Ｂ
Ａ．４ ＋４ｃｏｓ Ｂ．４ ＋４ｓｉｎ 思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成 当β
β β β β ，
Ｃ．２ ＋２ｃｏｓ Ｄ．２ ＋２ｓｉｎ 确定时 弓形面积是确定的 故三角形面积最大时 阴影部分面
答案 Ｂ 本题主要考查扇形面积 三角形面积公式及应 ， ， ，
、 积最大．
专题五 三角函数与解三角形 ２５９
２．（２０１８北京文，７，５分）在平面直角坐标系中 ＡＢ
，
(
ＣＤ
，
(
ＥＦ
，
(
ＧＨ
，
(
是
圆ｘ２ ｙ２ 上的四段弧 如图 点Ｐ在其中一段上 角α以Ｏｘ为
＋ ＝１ （ ）， ，
始边 ＯＰ为终边．若 α α α 则Ｐ所在的圆弧是
， ｔａｎ ＜ｃｏｓ ＜ｓｉｎ ，
（ ）
ＡＢ
Ａ．
(
ＣＤ
Ｂ．
(
ＥＦ
Ｃ．
(
ＧＨ
Ｄ．
(
答案 Ｃ 本题主要考查三角函数的概念 同角三角函数的
，
基本关系式．
若点Ｐ在ＡＢ
(
或ＣＤ
(
不包含端点Ａ Ｄ 上 则角α在第一象限
（ ， ） ， ，
此时 α α α α 与 α α矛盾 故排
ｔａｎ －ｓｉｎ ＝ｔａｎ （１－ｃｏｓ ）＞０， ｔａｎ ＜ｓｉｎ ，
除 ．
Ａ，Ｂ
若点Ｐ在 ＧＨ
(
４ ３ ３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
３ ４ ４ ３
答案 Ｃ α α ２ ５ 展开得 ２α α α
（ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ） ＝ ， ３ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ
２
３ 再由二倍角公式得 ３ α α 故 α
＝ ， ｃｏｓ ２ ＋２ｓｉｎ ２ ＝０， ｔａｎ ２ ＝
２ ２
３
α
ｓｉｎ２ ２ ３ 选 ．
α＝－ ＝－ ， Ｃ
ｃｏｓ２ ２ ４
评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换，
考查转化与化归思想，考查学生灵活应用公式的能力和运算求
解能力．三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和
三角函数名之间的关系．
８．（２０１３大纲全国文，２，５分）已知α是第二象限角 α ５
，ｓｉｎ ＝ ，
１３
则 α
ｃｏｓ ＝ （ ）
１２ ５ ５ １２
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
１３ １３ １３ １３
答案 Ａ α是第二象限角 α ．
∵ ，∴ ｃｏｓ ＜０
不包含端点 Ｇ 上 则角 α 在第三象限 此时
α α
（
与 α
）
α矛
，
盾 故排除 故选 ．
，
∴ ｃｏｓ
α
＝－ １－ｓｉｎ
２α
＝－
１２．故选
Ａ
．
ｔａｎ ＞０，ｃｏｓ ＜０， ｔａｎ ＜ｃｏｓ ， Ｄ， Ｃ １３
３．（２０１４课标Ⅰ文，２，５分）若 α 则 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号，同角三角函数关
ｔａｎ ＞０， （ ）
． α ． α ． α ． α 系，属容易题．
Ａｓｉｎ ＞０ Ｂｃｏｓ ＞０ Ｃｓｉｎ２ ＞０ Ｄｃｏｓ２ ＞０
答案 Ｃ 由 α 得α是第一或第三象限角 若α是第 ( )
ｔａｎ ＞０ ， ９．（２０１３广东文，４，５分）已知 ５π α １ 那么 α
三象限角 则 错 由 α α α知 α 正 ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｃｏｓ ＝
， Ａ，Ｂ ； ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ ＞０，Ｃ ２ ５
( )
确 α取π时 α ２α １ ２ １ 错． （ ）
； ，ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝２× －１＝－ ＜０，Ｄ
３ ２ ２ ２ １ １ ２
故选 ． Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
Ｃ ５ ５ ５ ５
评析 本题考查三角函数值的符号，判定时可运用基本知识、 ( ) ( )
答案 Ｃ ５π α π α α α １ ．
恒等变形及特殊值等多种方法，具有一定的灵活性． ∵ ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ ，∴ ｃｏｓ ＝
２ ２ ５
４．（２０１４大纲全国文，２，５分）已知角α的终边经过点
（－４，３），
故选
Ｃ
．
则 ｃｏｓ α ＝ （ ）
１０．（２０１７北京文，９，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中
，
角α与角
β均以Ｏｘ为始边 它们的终边关于ｙ轴对称．若 α １ 则
４ ３ ３ ４ ， ｓｉｎ ＝ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ３
５ ５ ５ ５
β ．
ｓｉｎ ＝
答案 Ｄ 由三角函数的定义知 α －４ ４ ．
ｃｏｓ ＝ （－４） ２ ＋３ ２ ＝－ ５ 答案 １
故选 ． ３
Ｄ 解析 本题考查三角函数的诱导公式．
５．（２０１５福建文，６，５分）若 α ５ 且α为第四象限角 则 由角α与角β的终边关于ｙ轴对称 可得β ｋ α ｋ
ｓｉｎ ＝－ ， ， ， ＝（２ ＋１）π－ ， ∈
１３
α的值等于 Ｚ α １ β ｋ α α １ ．
ｔａｎ （ ） ，∵ ｓｉｎ ＝ ，∴ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ［（２ ＋１）π－ ］＝ｓｉｎ ＝
３ ３
１２ １２ ５ ５ １１．（２０１１江西文，１４，５分）已知角θ的顶点为坐标原点 始边
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ，
５ ５ １２ １２ 为ｘ轴的正半轴．若 Ｐ ｙ 是角 θ 终边上一点 且 θ
（４， ） ， ｓｉｎ ＝
答案 Ｄ α ５ α为第四象限角
∵ ｓｉｎ ＝－ ， ， ２ ５ 则ｙ ．
１３ － ， ＝
α ５
α ２α １２ α ｓｉｎ ５ ．故选 ． 答案
∴ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ，∴ ｔａｎ ＝ α＝－ Ｄ －８
１３ ｃｏｓ １２ 解析 Ｐ ｙ 是角 θ 终边上一点 由三角函数的定义知
６．（２０１４大纲全国理，３，５ 分）设 ａ ° ｂ ° ｃ （４， ） ，
＝ｓｉｎ ３３ ， ＝ｃｏｓ ５５ ， ＝
° 则 θ ｙ 又 θ ２ ５ ｙ ２ ５ 解得 ｙ
ｔ Ａ ａ ． ｎ ａ ＞ ３５ ｂ ＞ ， ｃ Ｂ． ｂ ＞ ｃ ＞ ａ Ｃ． ｃ ＞ ｂ ＞ ａ Ｄ． ｃ ＞ ａ ＞ ｂ （ ） ｓｉｎ ＝ １６＋ ｙ２ ， ｓｉｎ ＝－ ５ ，∴ １６＋ ｙ２ ＝－ ５ ， ＝
答案 Ｃ ｂ ° ° ° ａ ｂ ａ． ．
∵ ＝ｃｏｓ５５ ＝ｓｉｎ３５ ＞ｓｉｎ３３ ＝ ，∴ ＞ －８
° 评析 本题主要考查任意角三角函数的定义，考查运算求解
又 ｃ ° ｓｉｎ３５ ° ° ｂ ｃ ｂ． ｃ ｂ ａ．
∵ ＝ｔａｎ３５ ＝ °＞ｓｉｎ ３５ ＝ｃｏｓ ５５ ＝ ，∴ ＞ ∴ ＞ ＞ ｙ
ｃｏｓ３５ 能力，由题意得 ２ ５是本题求解的关键．
故选 ． ＝－
Ｃ １６＋
ｙ２
５
１２．（２０１６四川文，１１，５分） ．
７．（２０１３浙江理，６，５ 分）已知 α Ｒ α α １０ 则 ｓｉｎ７５０°＝
∈ ，ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝ ，
２ 答案 １
α
ｔａｎ ２ ＝ （ ） ２
２６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 １ ． １
ｓｉｎ７５０°＝ｓｉｎ（７２０°＋３０°）＝ｓｉｎ３０°＝ [( ) ] －１
２ 解析 θ θ π π ２ １
解后反思 利用诱导公式把大角化为小角． ｔａｎ ＝ｔａｎ ＋ － ＝ ＝－ ，
４ ４ １ ３
评析 本题考查了三角函数的诱导公式． １＋
２
( )
１３．（２０１３课标Ⅱ理，１５，５分）设θ为第二象限角 若 θ π θ １ θ 将其代入 ２θ ２θ 得１０ ２θ
， ｔａｎ ＋ ∴ ｓｉｎ ＝－ ｃｏｓ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ ｃｏｓ ＝１，
４ ３ ９
１ 则 θ θ ． ２θ ９ 又易知 θ θ ３ θ
＝ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ∴ ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ ＜０，∴ ｃｏｓ ＝－ １０，∴ ｓｉｎ ＝
２ １０ １０
答案 １０ １０ 故 θ θ １０．
－ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝－
５ １０ ５
时间： 分钟 分值： 分
４０ ７０
一、单项选择题 每题 分 共 分 æ ö
（ ５ ， ３０ ） Ｂç ２ ２÷ 则 α
è－ ， ø， ｓｉｎ ＝ （ ）
１．（２０２１届山东枣庄第三中学第二次阶段测试，１）下列与角９π ２ ２
４
的终边相同的角的表达式中正确的是 － ２＋ ６ ２－ ６ ２＋ ６ ２＋ ６
（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
４ ４ ４ ４
ｋ ° ｋ Ｚ ｋ ° ９π ｋ Ｚ 答案 Ｃ
Ａ．２ π＋４５ （ ∈ ） Ｂ． ·３６０ ＋ （ ∈ ）
４ ６．（２０２１届江苏扬州中学１０月月考，６）如图 直角坐标系中 角
， ，
ｋ ° ° ｋ Ｚ ｋ ５π ｋ Ｚ ( ) ( )
Ｃ． ·３６０ －３１５ （ ∈ ） Ｄ． π＋ （ ∈ ） α α π 角β π β 的终边分别交单位圆于Ａ Ｂ两
４ ０＜ ＜ 、 － ＜ ＜０ ，
答案 Ｃ ２ ２
α
２．（２０２１届江苏扬州期中检测，７）我国古代数学家刘徽在 九章 点 若 Ｂ 点的纵坐标为 ５ 且满足 Ｓ ３ 则
《 ， － ， △ ＡＯＢ＝ ， ｓｉｎ ·
算术注 中提出了割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以 １３ ４ ２
》 ：“ ， ， ， ( α α )
至于不可割 则与圆合体 而无所失矣 ．这可视为中国古代极 １ 的值为
， ， ” ３ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋ （ ）
限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正ｎ边形等分成 ２ ２ ２
ｎ个等腰三角形 如图所示 当ｎ变得很大时 等腰三角形的
（ ）， ，
面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想 可得到 °
， ｓｉｎ ２
的近似值为 取近似值 ．
（π ３１４） （ ）
５ １２ １２ ５
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
１３ １３ １３ １３
． ． 答案 Ｂ
Ａ．００３５ Ｂ．００２６
． ．
Ｃ．００１８ Ｄ．００３３ 二、多项选择题 共 分
答案 Ａ （ ５ ）
７．（２０２０山东师范大学附属中学第三次月考，１２）在平面直角坐标
３． （２０２０ 安 徽 六 安 一 中 ３ 月 周 考 （ 二）， １） 化 简
( ) ( )
系ｘＯｙ中 角α的顶点在原点Ｏ 以ｘ轴的非负半轴为始边 终边
， ， ，
ｃｏｓ（π＋ α ）ｃｏｓ π ２ ＋ α ｃｏｓ １１ ２ π － α 的结果是 经过点Ｐ （１， ｍ ）（ ｍ ＜０）， 则下列各式的值恒大于 ０ 的是 （ ）
( ) （ ） α
α α ９π α ｓｉｎ α α
ｃｏｓ（π－ ）ｓｉｎ（－π－ ）ｓｉｎ ＋ Ａ． α Ｂ．ｃｏｓ －ｓｉｎ
２ ｔａｎ
α α α α α α
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．ｔａｎ Ｄ．－ｔａｎ Ｃ．ｓｉｎ ｃｏｓ Ｄ．ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
答案 Ｃ 答案 ＡＢ
４．（２０２０山东潍坊线上测试，１） ° 三、填空题 每题 分 共 分
ｓｉｎ２２５ ＝ （ ） （ ５ ， ２５ ）
８．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，１３）已知角α终边上
１ ２ ３
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．－１ 一点Ｐ的坐标为 则 α ．
２ ２ ２ （－ ６，１）， ｓｉｎ２ ＝
答案 Ｂ
答案 ２ ６
５．（２０２０湖南长沙一中月考，８）如图 点Ａ －
， ７
为单位圆上一点 ｘＯＡ π 点 Ａ沿单
９．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，１５）已知角α的
，∠ ＝
３
， 顶点与原点重合 始边与ｘ轴的非负半轴重合 将角α的终边
位圆按逆时针方向旋转角 α 到点 ， ，
绕原点逆时针旋转 π 后与单位圆 ｘ２ ｙ２ 交于点 Ｐ
＋ ＝ １
４
专题五 三角函数与解三角形 ２６１
( )
４ ３ 则 α ． 答案 ５
， ， ｓｉｎ２ ＝
５ ５ １８
１２．（２０１９江西金太阳联考卷（六），１５）已知 α和 α是方
答案 ７ ｓｉｎ ｃｏｓ
１０．（２０２１ 届 － ２ 上 ５ 海嘉定一中测试，８）已知顶点在原点的锐角α绕 程 ４ ｘ２ ＋２ ６ ｘ ＋ ｍ ＝０ 的两个实数根 ， 则 ｓｉｎ ３α －ｃｏｓ ３α ＝ ．
( ) 答案 ５ ２
原点逆时针转过π后 终边交单位圆于Ｐ １ ｙ 则 α ±
， － ， ， ｓｉｎ ＝ ８
３ ３
．
四、解答题 共 分
（ １０ ）
( )
１３．（２０１９山东夏津一中月考，１９）已知 π α ．
答案 ２ ３ ｔａｎ ＋ ＝２
＋ ４
３ ６ 求 α的值
（１） ｔａｎ ；
１１．（２０２０山东师范大学附属中学月考，１４）已知
ｔａｎ
α
＝
１
，
则
求２ｓｉｎ
２α
＋ｓｉｎ２
α
的值．
３ （２） α
α ２α １＋ｔａｎ
ｓｉｎ２ －ｓｉｎ 的值为 ．
α
１＋ｃｏｓ２
２６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９江西九江一模，３）若 ｘ 且 ｘ 则角ｘ是 ( )
ｓｉｎ ＜０， ｓｉｎ（ｃｏｓ ）＞０， 进而可求 θ π 的值．
ｃｏｓ －
（ ） ６
第一象限角 第二象限角 ６．（２０１８山西康杰中学等五校３ 月联考，４）已知 θ 则
Ａ． Ｂ． ｔａｎ ＝２，
第三象限角 第四象限角 θ θ
Ｃ． Ｄ． ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２θ的值为
答案 Ｄ ｘ 且 ｘ ｘ θ ＋ｓｉｎ （ ）
∵ －１≤ｃｏｓ ≤１， ｓｉｎ（ｃｏｓ ）＞０，∴ ０＜ｃｏｓ ≤１， ｓｉｎ
又 ｘ 角ｘ为第四象限角 故选 １９ １６
ｓｉｎ ＜０，∴ ， Ｄ ( ． ) Ａ． Ｂ．
５ ５
２．（２０１９天津天和城实验中学检测，１） ５π 的值等于
ｓｉｎ － ２３ １７
３ Ｃ． Ｄ．
１０ １０
（ ） θ θ θ θ ２θ
答案 Ｃ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２θ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
１ １ ３ ３ θ ＋ｓｉｎ ＝ θ ＋ ２θ ２θ＝
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
２ ２ ２ ２ θ ２θ
( ) ( ) ｔａｎ ＋１ ｔａｎ 将 θ 代入 得原式 ２３ 故选 ．
答案 Ｃ ５π ５π π π ３． ｔａｎ θ ＋ ｔａｎ ２θ ＋１ ， ｔａｎ ＝２ ， ＝ １０ ， Ｃ
ｓｉｎ － ＝－ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ ２π－ ＝ｓｉｎ ＝ ( )
故选 ．
３ ３ ３ ３ ２ ７．（２０１８海南二模）已知α
∈ ０，
π
，ｔａｎ
α
＝３，
则
ｓｉｎ
２α
＋２ｓｉｎ
α
Ｃ ２
( )
α ．
３．（２０１７陕西榆林一模）若角α的终边经过点Ｐ ３ ４ 则 ·ｃｏｓ ＝
，－ ，
５ ５ 答案 ３
α α的值是
ｃｏｓ ·ｔａｎ （ ） ２
２α α α ２α α
４ ４ 解析 ２α α α ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ ＋２ｔａｎ
Ａ．－ Ｂ． ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ２α ２α ＝ ２α
５ ５ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１
３ ３ ９＋６ ３ 故答案为 ３ ．
Ｃ．－ Ｄ． ＝ ＝ ，
５ ５ ９＋１ ２ ２
( ) ８．（２０１８江苏东台安丰高级中学月考）在平面直角坐标系 ｘＯｙ
答案 Ａ 因为角α的终边经过点Ｐ ３ ４ 所以 α
，－ ， ｃｏｓ
５ ( ５ ) 中 ， 角θ的终边经过点Ｐ （－２， ｔ ）， 且 ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ＝ ５ ， 则实数ｔ
３ α ４ 所以 α α ３ ４ ４ ． ５
＝ ，ｔａｎ ＝－ ， ｃｏｓ ·ｔａｎ ＝ × － ＝－ 的值为 ．
５ ３ ５ ３ ５
４．（２０２０山东九校联考，６）已知点Ａ在圆ｘ２ ｙ２ 上 且 ｘＯＡ 答案
＋ ＝４ ， ∠ ４
＝ ７ π， 则点Ａ的横坐标为 （ ） 解析 ∵ ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ＝ ５ ，∴ ｔ ＋ －２ ＝ ５ ， 平方得ｔ２ －
１２
５ ４＋
ｔ２ ｔ２
＋４ ５
２－ ６ ２－ ６ １－ ３ １－ ３ ５ ｔ ＋４＝０， 解得ｔ ＝１ 或 ４， ｔ ＝１ 时 ，ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ＜０， 舍去 ，∴ ｔ ＝４ ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ４ ４ ２ ９．（２０１９湖北仙桃、天门、潜江期末，１３）已知函数 ｆ ｘ
答案 Ａ 设点 Ａ ｘ ｙ 点 Ａ 在圆上 ｘ２ ｙ２ ( ) （ ）＝
ｘＯ Ａ ７
（
７π
０， ０），∵ (
π π
) ，∴
π
０＋ ０
π
＝４，
２
１ ａ ｓｉｎ２ ｘ －ｌｏｇ１ ２２ ｃｏｓ ｘ ， 若ｆ π
６
＝０， 则ａ ＝ ．
∵ ∠ ＝ π，ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＋ ＝ ｃｏｓ ｃｏｓ － 答案
１２ １２ ４ ３ ４ ３ －２
ｘ ｘ
ｓｉｎ π
４
ｓｉｎ π
３
＝ ２－
４
６ ， 又 ∵ ｃｏｓ∠ ｘＯＡ ＝ ｘ２
０
０
＋
ｙ２
０
， 即 ｃｏｓ ７
１
π
２
＝
２
０ ， 解析
( )
函数ｆ （ ｘ ）＝
２
１ ａ ｓｉｎ２ ｘ －ｌｏｇ１ ２２ ｃｏｓ ｘ ＝
２
１ ａ ｓｉｎ２ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ．
ｘ ２－ ６．故选 ． 由ｆ π ＝ ３ａ ＋ ３ ＝０， 得ａ ＝－２ ．
∴ ０＝ Ａ ６ ４ ２
２ ( )
( ) １０．（２０１９ 四川蓉城名校联盟第二次联考，１３） π α
５．（２０２０天津部分区二模，５）若 θ π ３ θ 则 ｓｉｎ － ＝－
ｓｉｎ － ＝ ， ∈（０，π）， ２
３ ２ ( )
( ) １ α ３π 则 α ．
θ π ， ∈ π， ， ｔａｎ ＝
ｃｏｓ － ＝ （ ） ３ ２
６ 答案
２ ２
( )
１ ３
Ａ．０ Ｂ． Ｃ．１ Ｄ． 解析 π α α １
２ ２ ∵ ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ ＝－ ，
( ) ２ ３
答案 Ａ θ θ π π ２π ( )
∵ ∈（０，π），∴ － ∈ － ， ， α ３π α ２ ２ α ．
３ ３ ３ ∈ π， ，∴ ｓｉｎ ＝－ ，∴ ｔａｎ ＝２ ２
( ) ( ) ２ ３
又 θ π ３ θ π π θ ２π θ π
１１．（２０１９江苏淮安淮海中学高三上学期第二阶段测试）已知
ｓｉｎ － ＝ ，∴ － ＝ ，∴ ＝ ，∴ ｃｏｓ － ＝
( ３ ) ２ ３ ３ ３ ６ α 则ｓｉｎ（π＋ α ）＋ｃｏｓ（π－ α ） ．
ｔａｎ ＝２， α α ＝
２π π 故选 ． ｓｉｎ（－ ）＋ｃｏｓ（－ ）
ｃｏｓ － ＝０， Ａ 答案
３ ６
３
( ) α α α α
思路分析 由角θ的范围和 θ π ３ 可求出θ ２π 解析 α ｓｉｎ（π＋ ）＋ｃｏｓ（π－ ） －ｓｉｎ －ｃｏｓ
ｓｉｎ － ＝ ， ＝ ， ∵ ｔａｎ ＝２，∴ α α ＝ α α＝
３ ２ ３ ｓｉｎ（－ ）＋ｃｏｓ（－ ） －ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
专题五 三角函数与解三角形 ２６３
α ( )
－ｔａｎ －１ －２－１ ． 即有 α α １２ 又α π
α ＝ ＝３ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， ∈ ０， ，
－ｔａｎ ＋１ －２＋１ ２５ ２
α α
思路分析 利用诱导公式化简 ｓｉｎ（π＋ ）＋ｃｏｓ（π－ ） 则 α α α α ２ α α ７
α α ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ） ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，
ｓｉｎ（－ ）＋ｃｏｓ（－ ） ５
α α
－ｓｉｎ －ｃｏｓ 再根据同角三角函数的关系可得结果． 则 α ４
α α， ｓｉｎ ＝ ，
－ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ５
( ) α ２α ２α
１２．（２０１８广东佛山教学质量检测（二），１４）若 α π ｃｏｓ２ ｃｏｓ －ｓｉｎ
ｓｉｎ － ＝ ( ) ＝
４ α π ２ α α
ｓｉｎ － （ｓｉｎ －ｃｏｓ ）
７ ２ α 则 α ． ４ ２
， ∈（０，π）， ｔａｎ ＝
１０ α α ７ ２．
＝－ ２（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＝－
答案 ４ 或 ３ ５
－ － １４．（２０１９天津河北一模，１５）已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边
３ ４ △ ， ，
( )
解析 α π ７ ２ ２ α α ７ ２ 分别为ａ ｂ ｃ 满足ａ ｃ ６ｂ Ｂ Ｃ．
∵ ｓｉｎ － ＝ ，∴ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ）＝ ， ， ， ， － ＝ ，ｓｉｎ ＝ ６ｓｉｎ
４ １０ ２ １０ ６
求 Ａ的值
α α ７ （１） ｃｏｓ ；
∴ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ①， ( )
５ 求 Ａ π 的值．
（２） ｓｉｎ ２ ＋
α α ４９ ６
∴１－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， 解析 本题主要考查两角和的正弦公式 二倍角公式 同角
２５
、 、
α α ２４
三角函数的基本关系 正余弦定理的综合应用．
∴２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ， 、
２５
Ｂ Ｃ 由正弦定理得ｂ ｃ． ａ ｃ ６ｂ ａ
α α ２ α α １ （１）ｓｉｎ ＝ ６ｓｉｎ ， ＝ ６ ∵ － ＝ ，∴ ＝
∴ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＝１＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， ６
２５ ｂ２ ｃ２ ａ２ ｃ２ ｃ２ ｃ２
ｃ Ａ ＋ － ６ ＋ －４ ６．
∴ ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝± ５ １ ②， ２ ，∴ ｃｏｓ ＝ ２ ｂｃ ＝ ２ ６ ｃ２ ＝ ４
ì ì
ï
ïｓｉｎ
α
＝
４
，
ï
ïｓｉｎ
α
＝
３
， （２）∵
Ａ
∈（０，π），∴ ｓｉｎ
Ａ
＝ １－ｃｏｓ
２Ａ
＝
１０
，
由 解得í ５ 或í ５ ４
①② ï ï
î ï ｃｏｓ α ＝－ ３ î ï ｃｏｓ α ＝－ ４ ， ∴ ｓｉｎ２ Ａ ＝２ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ａ ＝ １５ ，ｃｏｓ２ Ａ ＝２ｃｏｓ ２Ａ －１＝－ １ ．
５ ５ ４ ４
α ｓｉｎ α ４ 或 ３ ． ( )
∴ ｔａｎ ＝ α＝－ － Ａ π Ａ π Ａ π ３ ５－１．
ｃｏｓ ３ ４ ∴ ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｓｉｎ２ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２ ｓｉｎ ＝
１３．（２０１８浙江“七彩阳光”联盟期中，１１）已知 α α ６ ６ ６ ８
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ 思路分析 将 Ｂ Ｃ 利用正弦定理转化为 ｂ
( ) α （１） ｓｉｎ ＝ ６ｓｉｎ ＝
１ 且 α π 则 α ｃｏｓ２
， ∈ ０， ， ｓｉｎ ＝ ， ( ) ＝ ｃ 代入ａ ｃ ６ｂ 得到ａ ｃ 结合余弦定理的推论 Ａ
５ ２ ｓｉｎ α － π ６ ， － ＝ ， ＝２ ， ｃｏｓ ＝
６
４
．
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
求出 Ａ的值 由同角三角函数的基本关系求
ｂｃ ｃｏｓ ；（２）
２
答案 ４ ７ ２ 出 Ａ 进而求出 Ａ和 Ａ 利用两角和的正弦公式求
；－ ｓｉｎ ， ｓｉｎ２ ｃｏｓ２ ，
５ ５ ( )
出 Ａ π 的值即可．
解析 由 α α １ 得 α α １ ｓｉｎ ２ ＋
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ ， １－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， ６
５ ２５
