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专题五 三角函数与解三角形
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础篇
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基
１
æ ö －
本关系及诱导公式 ç １ ÷ 则 α ２ ５.故
è－
２
ꎬ１øꎬ ｃｏｓ ＝
æ ö２
＝ －
５
考向一 三角函数的定义及相关概念 è ç － １ ø ÷ ＋１ ２
２
１.( 届安徽江淮名校质量检测ꎬ )设角 θ 选
２０２３ ４ Ｂ.
θ θ ３.( 石家庄一模ꎬ )已知角 α 的终边上一
是第一象限角 且满足 则 ２０２２ ２
ꎬ ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ ꎬ 点 Ｐ 的坐标为 则 α 的值为
２ ２ (－２ꎬ１)ꎬ ｃｏｓ
θ
的终边所在的象限是 ( )
( )
２
５ ５ ２ ５ ２ ５
第一象限 第二象限 Ａ. Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－
Ａ. Ｂ. ５ ５ ５ ５
第三象限 第四象限 答案 Ｄ 设 Ｏ 为坐标原点 则 ＯＰ
Ｃ. Ｄ. ꎬ ｜ ｜ ＝ ５ꎬ
答案 Ｃ 由角 θ 是第一象限角 得 ｋ θ
ꎬ ２ π< <
所以 α －２ ２ ５ 故选 .
θ ｃｏｓ ＝ ＝－ ꎬ Ｄ
ｋ π ｋ Ｚ 可得 ｋ ｋ π ｋ Ｚ ５ ５
２ π＋ ( ∈ )ꎬ π< < π＋ ( ∈ )ꎬ
２ ２ ４ ４.( 长沙一中月考八ꎬ )若角 α 的终边过
２０２２ １
θ
当 ｋ ｎ ｎ Ｚ 时 ｎ ｎ
＝２ －１( ∈ ) ꎬ(２ －１)π< <２ π－ 点 Ｐ ｍ 且 α ３ 则 ｍ 的值为
２ (８ ꎬ－３)ꎬ ｔａｎ ＝ ꎬ
４
θ
３π ｎ Ｚ 为第三象限角
( )
( ∈ )ꎬ ꎬ
４ ２
１ １ ３ ３
θ
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.
当 ｋ ｎ ｎ Ｚ 时 ｎ ｎ π ｎ
２ ２ ２ ２
＝２ ( ∈ ) ꎬ２ π< <２ π＋ ( ∈
２ ４
答案 Ａ α －３ ３ ｍ １ 故
θ θ ∵ ｔａｎ ＝ ｍ＝ ꎬ∴ ＝－ ꎬ
Ｚ 为第一象限角 又由 ８ ４ ２
)ꎬ ꎬ ｃｏｓ ＝ －ｃｏｓ
选 .
２ ２
Ａ
θ θ ５.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)若 α 为第四象限
可得 为第三象限角.故选
２０２０ Ⅱ ２ ５
ꎬ Ｃ.
２ ２ 角 则
ꎬ ( )
２.( 届江苏南京、镇江学情调查ꎬ )已知点
α α
5 ２０２３ ２
Ａ.ｃｏｓ ２ >０ Ｂ.ｃｏｓ ２ <０
年
高 æ ö α α
Ｐç ２ ÷是角 α 终边上一点 则 α Ｃ.ｓｉｎ ２ >０ Ｄ.ｓｉｎ ２ <０
考
èｃｏｓ πꎬ１ø ꎬ ｃｏｓ ＝
3 ３
年 答案 Ｄ α 是第四象限角 π ｋ
∵ ꎬ∴ － ＋２ π<
模
( ) ２
拟
α ｋ ｋ Ｚ
A <２ πꎬ ∈ ꎬ
５ ５ ２ ５ ３
版 Ａ. Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－ ｋ α ｋ ｋ Ｚ 角 α 的终边
５ ５ ５ ２ ∴ －π＋４ π<２ <４ πꎬ ∈ ꎬ∴ ２
高
在第三 四象限或 ｙ 轴非正半轴上 α
考
数 答案 Ｂ ２ １ 则点 Ｐ 的坐标为 、 ꎬ∴ ｓｉｎ ２
学 ｃｏｓ π＝－ ꎬ 故选 .
３ ２ <０ꎬ Ｄ
１４４
６.(多选)( 届山东潍坊临朐实验中学月 α α
２０２３ 象限或第三象限角 且
ꎬ ｔａｎ >１ꎬ ｔａｎ ＝
考ꎬ )下列结论正确的是 ２ ２
９ ( )
α
７π是第三象限角 ｓｉｎ α
Ａ.－ ２ 故 的符号不确定且与
６ α >１ꎬ ｓｉｎ ｃｏｓ
α α ２
若 α 则ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｃｏｓ
Ｂ. ｔａｎ ＝２ꎬ α α＝３ ２
ｓｉｎ －ｃｏｓ α α α
的大小不确定 而
若圆心角为π的扇形的弧长为 则该扇 ꎬ ｔａｎ > ０ꎬ ｓｉｎ >
Ｃ. πꎬ ２ ２ ２
３ α
.所以 错误 正确.故选
形的面积为３π ｃｏｓ Ａ、Ｃ ꎬＢ、Ｄ ＢＤ.
２
２ ８.( 全国甲理ꎬ ꎬ
终边经过点 ｍ ｍ ｍ 的角的集合 ２０２２ ８ ５
Ｄ. ( ꎬ )( >０)
分)沈括的 梦溪笔谈
{ }
« »
是 α α π ｋ ｋ Ｚ
＝ ＋２ πꎬ ∈ 是中国古代科技史上
４
的杰作 其中收录了计
答案 ＢＣＤ 由于 ７π π是第二象限 ꎬ
－ ＝－π－
算圆弧长度的 会圆
６ ６
“
角 故 错误
ꎬ Ａ ꎻ 术 .如图 ＡＢ
” ꎬ
α α α
若 α 则ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ 故
ｔａｎ ＝２ꎬ α α＝ α ＝３ꎬ Ｂ
ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ －１
正确
ꎻ
圆心角为π的扇形的弧长为 则扇形的半
πꎬ
３
径为π 则该扇形的面积为１ ３π
＝３ꎬ ×π×３＝ ꎬ
π ２ ２
３
故 正确
Ｃ ꎻ
终边经过点 ｍ ｍ ｍ 的角的集合是
( ꎬ )( >０)
{ }
α α π ｋ ｋ Ｚ 故 正确.故选
＝ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ Ｄ ＢＣＤ.
４
７.(多选)( 届重庆南开中学月考ꎬ )已知
２０２３ ９
角 α 的终边落在第二象限 则下列不等式一
ꎬ
定成立的是
( )
α α
Ａ.ｓｉｎ <０ Ｂ.ｔａｎ >０
２ ２
α α α α
专
Ｃ.ｓｉｎ >ｃｏｓ Ｄ. ｓｉｎ > ｃｏｓ 题
２ ２ ２ ２
五
答案 ＢＤ 由题设知 ｋ π α ｋ ｋ 三
２ π＋ < <２ π＋πꎬ 角
２ 函
α α 数
Ｚ 故 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ 则 是第一 与
∈ ꎬ π＋ < < π＋ ꎬ ∈ ꎬ 解
４ ２ ２ ２ 三
角
形
１４５
(
是以 Ｏ 为圆心 ＯＡ 为半径的圆
ꎬ
弧 Ｃ 是 ＡＢ 的中点 Ｄ 在ＡＢ
ꎬ ꎬ
(
上 ＣＤ ＡＢ. 会
ꎬ ⊥ “
圆术 给出ＡＢ
”
(
的弧长的近似值 ｓ 的计算公
ＣＤ２
式 ｓ ＡＢ .当 ＯＡ ＡＯＢ °时 ｓ
: ＝ ＋ＯＡ ＝２ꎬ∠ ＝６０ ꎬ ＝
( )
１１－３ ３ １１－４ ３
Ａ. Ｂ.
２ ２
９－３ ３ ９－４ ３
Ｃ. Ｄ.
２ ２
答案 Ｂ 连接 ＯＣ 如图.
ꎬ
Ｃ 是 ＡＢ 的中点 ＯＡ
∵ ꎬ ＝
ＯＢ ＯＣ ＡＢ.又
＝２ꎬ∴ ⊥ ∵
ＣＤ ＡＢ
⊥ ꎬ
Ｄ Ｃ Ｏ 三点共线.
∴ ꎬ ꎬ
ＡＯＢ ° ＡＢ
∵ ∠ ＝ ６０ ꎬ∴ ＝
ＯＣ ＣＤ
２ꎬ ＝ ３ꎬ ＝２－ ３ꎬ
２
ｓ (２－ ３) １１－４ ３ 故选 .
∴ ＝２＋ ＝ ꎬ Ｂ
２ ２
考向二 同角三角函数的基本关系
１.( 山东省实验中学二诊ꎬ )已知 α
２０２２ ３ ｓｉｎ( ＋
１ 且 α 为第二象限角 则 α 等于 Ａ.－２－ ３ Ｂ.－２＋ ３ Ｃ.２－ ３ Ｄ.２＋ ３
３π)＝ － ꎬ ꎬ ｃｏｓ
４ 答案 Ｄ ° ° °
ｔａｎ ２５５ ＝ ｔａｎ(１８０ ＋７５ )＝ ｔａｎ
( ) ° °
° ° ° ｔａｎ ３０ ＋ｔａｎ ４５
７５ ＝ ｔａｎ(３０ ＋４５ ) ＝ ° ° ＝
１５ ２ ２ ２ ２ ２ １－ｔａｎ ３０ ｔａｎ ４５
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.
４ ４ ３ ３
３
答案 Ａ 由 α １ 得 α １ ＋１
ｓｉｎ( ＋３π)＝ － ꎬ ｓｉｎ ＝ ꎬ ３ 故选 .
４ ４ ＝２＋ ３ꎬ Ｄ
３
æ ö２ １－
又 α 是第二象限角 则 α ç １÷ ３
ꎬ ｃｏｓ ＝－ １－è ø ＝
４ ２.( 大纲全国ꎬ ꎬ 分)设 ａ ° ｂ
２０１４ ３ ５ ＝ｓｉｎ ３３ ꎬ ＝
１５ 故选 . ° ｃ ° 则
－ ꎬ Ａ ｃｏｓ ５５ ꎬ ＝ｔａｎ ３５ ꎬ ( )
４ ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
２.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ ) 若 Ａ. > > Ｂ. > > Ｃ. > > Ｄ. > >
２０２２ １３ 答案 Ｃ ｂ ° ° ° ａ
æ ö ∵ ＝ｃｏｓ ５５ ＝ｓｉｎ ３５ >ｓｉｎ ３３ ＝ ꎬ
α çπ α÷ ｂ ａ.
ｓｉｎ( ＋π)－２ｃｏｓè ＋ ø ∴ >
α 则 ２ .
ｔａｎ ＝４ꎬ α α ＝ °
－ｓｉｎ(－ )＋ｃｏｓ(π＋ ) 又 ｃ ° ｓｉｎ ３５ ° °
∵ ＝ｔａｎ ３５ ＝ °>ｓｉｎ ３５ ＝ｃｏｓ ５５ ＝
ｃｏｓ ３５
答案 ４
ｂ ｃ ｂ. ｃ ｂ ａ.故选 .
３ ꎬ∴ > ∴ > > Ｃ
α α α ３.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )已知
解析 原式 －ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｔａｎ ４ ２０２２ ４
＝ α α ＝ α ＝
ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ －１ ４－１ æ ö æ ö
çα π÷ １ 则 çα π÷的值是
ｓｉｎè － ø ＝ ꎬ ｃｏｓè ＋ ø ( )
４. ３ ３ ６
＝
３
３.( 届重庆南开中学质检ꎬ ) 若 θ １ １ ２ ２ ２ ２
２０２３ １４ ∈ Ａ.－ Ｂ. Ｃ. Ｄ.－
３ ３ ３ ３
æ ö æ ö
ç π÷ 且 θ 则 çθ π÷ æ ö æ ö
è０ꎬ øꎬ ｔａｎ ＝ ２ ２ꎬ ２ｓｉｎ è ＋ ø － 答案 Ａ çα π÷ １ çα π÷
２ ４ ∵ ｓｉｎè － ø ＝ ꎬ∴ ｃｏｓè ＋ ø ＝
３ ３ ６
θ .
１＋ｃｏｓ ２ ＝ é ê π æ çα π ö ÷ ù ú æ çα π ö ÷ １.故选
ｃｏｓë ê ＋è － øû ú ＝－ｓｉｎè － ø ＝－ Ａ.
答案 ４ ２ ３ ３ ３
３ ４. ( 河 北 六 校 联 考ꎬ ) 化 简
２０２２ ５ :
æ ö
解析 因为 θ ç π÷ 且 θ 所以 æ ö
∈è０ꎬ øꎬ ｔａｎ ＝２ ２ꎬ α α çπ α÷
２ ｓｉｎ(２π＋ )ｃｏｓ(π＋ )ｓｉｎè ＋ ø
ì θ ２
ｓｉｎ
θ
由 í
ï ïｓｉｎ
θ＝２ ２ꎬ 得 θ ｃｏｓ(－
α
)ｃｏｓ(－π＋
α
)ｔａｎ(－
α
－π)
＝ ( )
θ ＝ ２ ２ꎬ ï ｃｏｓ ｓｉｎ ＝
ｃｏｓ î ï
ｓｉｎ
２θ
＋ｃｏｓ
２θ
＝１ꎬ Ａ.ｓｉｎ
α
Ｂ.－
１
α
ｃｏｓ
5
年 ２ ２ θ １
高 ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ Ｃ.－ １ α Ｄ.－ｃｏｓ α
考 ３ ３ ｓｉｎ
3 æ ö
年 所以 çθ π÷ θ θ æ ö
模
２ｓｉｎè ＋
４
ø－ １＋ｃｏｓ ２ ＝ ２(ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
ｓｉｎ(２π＋
α
)ｃｏｓ(π＋
α
)ｓｉｎè
çπ
＋
α
ø
÷
拟 答案 Ｄ ２
α α α
A θ ２θ θ ４. ｃｏｓ(－ )ｃｏｓ(－π＋ )ｔａｎ(－ －π)
版 )－ ２ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ＝
３ α α α α
ｓｉｎ (－ｃｏｓ )ｃｏｓ ｓｉｎ α
高 考向三 三角函数的诱导公式 ＝ α α α ＝ － α＝－ｃｏｓ ꎬ
考 ｃｏｓ (－ｃｏｓ )(－ｔａｎ ) ｔａｎ
数
学 １.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) ° 故选 .
２０１９ Ⅰ ７ ５ ｔａｎ ２５５ ＝ ( ) Ｄ
１４６
５.( 北京ꎬ ꎬ 分)若点 Ａ θ θ 关 ì ï æ ö
２０２１ １４ ５ (ｃｏｓ ꎬｓｉｎ ) θ çθ π÷
ï ïｃｏｓ ＝－ｃｏｓè ＋ øꎬ
于 ｙ 轴 的 对 称 点 为 Ｂ ç æ æ çθ π ö ÷ í ６
è ｃｏｓ è ＋ øꎬ ∴ ï æ ö
６ ï ï θ çθ π÷
îｓｉｎ ＝ｓｉｎè ＋ øꎬ
æ ö ö ６
çθ π÷ ÷ 则 θ 的一个取值为 .
ｓｉｎè ＋ ø øꎬ
６ θ θ π ｋ ｋ Ｚ θ ５π ｋ ｋ
∴ ＋ ＋ ＝π＋２ πꎬ ∈ ꎬ∴ ＝ ＋ πꎬ
６ １２
答案 ５π 答案不唯一
( ) Ｚ.
１２ ∈
æ æ ö æ
解析 Ａ θ θ 与 Ｂ ç çθ π÷ 令 ｋ 得 θ ５π.故 θ 的值可为５π ç答案不
∵ (ｃｏｓ ꎬｓｉｎ ) èｃｏｓè ＋ øꎬｓｉｎ ＝０ꎬ ＝ è
６ １２ １２
æ ö ö ö
çθ π÷ ÷ 关 于 ｙ 轴 对 称 唯一 只要符合 θ ５π ｋ ｋ Ｚ 均可 ÷.
è ＋ ø ø ꎬ ꎬ ＝ ＋ πꎬ ∈ ø
６ １２
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
１４７
综合篇
考法 一 三角函数定义的应用 æ ö æ ö
２α α α ４ çç ２ ÷÷ çç １ ÷÷ ８.
ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ＋２× è － ø × è － ø ＝
考向一 已知终边上一点的坐标求三角函 ５ ５ ５ ５
故选 .
数值 Ｂ
３.( 山东滕州一中开学考ꎬ )已知角 α 的
１.( 届哈尔滨师大附中月考ꎬ )已知角 α
２０２２ ４
２０２３ ２
的顶点为坐标原点 始边为ｘ 轴的非负半轴 æ ö
ꎬ ꎬ 终边上一点 Ｐ 的坐标为ç ５π ５π÷ 则
èｓｉｎ ꎬｃｏｓ øꎬ
终边过点 Ｐ 则 α 的值为 ６ ６
(１ꎬ－３)ꎬ ｓｉｎ ２
角 α 的最小正值为
( )
( )
４ ４ ３ ３ π ２π ７π ５π
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ. Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ５ ５ ５ ６ ３ ６ ３
答案 Ｃ 由角 α 的终边过点 Ｐ 且
(１ꎬ－３)ꎬ 答案 Ｄ 因为 ５π ５π 所以角
ｓｉｎ >０ꎬｃｏｓ <０ꎬ
ｒ ２ ２ 由三角函数的定义得 ６ ６
＝ (－３) ＋１ ＝ １０ꎬ
α 的终边在第四象限 根据三角函数的定义
ꎬ ꎬ
α －３ α １ 故 α α
ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ
１０ １０ 可知 α ５π ３ 故角 α 的最小正
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝－ ꎬ
６ ２
α －３ １ ３.故选
＝２× × ＝－ Ｃ.
１０ １０ ５ 值为 π ５π 故选 .
２π－ ＝ ꎬ Ｄ
２.( 河北唐山三模ꎬ )已知角 α 的始边与
３ ３
２０２１ ５
ｘ 轴的非负半轴重合 终边过点 Ｐ ４.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)已知角 α 的顶点
ꎬ (－１ꎬ－２)ꎬ ２０１８ Ⅰ １１ ５
则 ２α α 为坐标原点 始边与ｘ 轴的非负半轴重合 终
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ２ ＝ ( ) ꎬ ꎬ
５ ８ ５ ２ ５ 边上有两点 Ａ ａ Ｂ ｂ 且 α ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. (１ꎬ )ꎬ (２ꎬ )ꎬ ｃｏｓ ２ ＝ ꎬ
８ ５ ５ ５ ３
答案 Ｂ 由三角函数的定义有 α 则 ａ ｂ
ｓｉｎ ＝ ｜ － ｜ ＝ ( )
－２ ２ α
＝ － ꎬ ｃｏｓ ＝ １ ５ ２ ５
２ ２ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.１ (－１) ＋(－２) ５ ５ ５ ５
ｂ ａ
－１ １ 所以 ２α α 答案 Ｂ 由题可知 α － ｂ ａ 又 ＝ － ꎬ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ２ ＝
２ ２ ｔａｎ ＝ ＝ － ꎬ ｃｏｓ
(－１) ＋(－２) ５ ２－１
２α ２α ２α æ ö
α ２α ２α ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ ç３π α÷ α α 则 ２α
２ ＝ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ ２α ２α ＝ ２α ＝ ｓｉｎè － ø＋ｃｏｓ(π－ )＝ ｓｉｎ ꎬ ２ｓｉｎ －
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ ２
１－( ｂ － ａ ) ２ ２ ｂ ａ ２ 得 ｂ ａ ２ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ( )
ｂ ａ ２ ＝ ꎬ∴ ５( － ) ＝１ꎬ ( － ) ＝
１＋( － ) ３
２１ ３ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.２
１０ ２ ２
１ 即 ｂ ａ ａ ｂ ５ 故选 .
ꎬ ｜ － ｜ ＝ ｜ － ｜ ＝ ꎬ Ｂ 答案 Ｄ 由诱导公式可得 α
５ ５ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ
５.( 山东日照开学校际联考ꎬ )已知 α æ ö
２０２２ ６ ∈
ç３π α÷ α α 所以 α
è － ø＋ｃｏｓ(π－ )＝ －２ｃｏｓ ꎬ ｔａｎ ＝
点 Ｐ 是角 α 终边上一点 ２
[０ꎬ２π]ꎬ (１ꎬｔａｎ ２) ꎬ
.
则 α －２
＝ ( ) ２α α α
因此 ２α α α ２ｓｉｎ －ｓｉｎ ｃｏｓ
Ａ.２ Ｂ.２＋π Ｃ.π－２ Ｄ.２－π ２ ｓｉｎ －ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ２α ２α
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
答案 Ｂ 由三角函数的定义可知 α
ꎬｔａｎ ＝ ２α α
２ｔａｎ －ｔａｎ １０ .故选
ｔａｎ ２<０ꎬ
故 α 是第四象限角
ꎬ
因为 α
∈[０ꎬ
＝ ２α ＝ ＝２ Ｄ.
ｔａｎ ＋１ ５
所以 α 故选 .
４.( 重庆八中高考适应性月考五ꎬ )在平
２π]ꎬ ＝π＋２ꎬ Ｂ
２０２２ ８
考向二 三角函数定义、诱导公式、同角三 面直角坐标系 ｘＯｙ 中 角 α 的始边为 ｘ 轴的
ꎬ
角函数基本关系的综合应用 非负半轴 终边与单位圆 Ｏ 的交点 Ｐ ｘ ｙ
ꎬ ( ０ꎬ ０)
１.( 辽东南协作体期中ꎬ )已知角 θ 的终 æ ö
２０２２ ３ 在第一象限内 若 çα π÷ ３ 则 ｘ
ꎬ ｓｉｎè ＋ ø ＝ ꎬ ０ ＝
θ ３ ４
边经过点 Ｐ 则 ｓｉｎ(π－ )
(１ꎬ２)ꎬ θ θ＝ ( )
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ( )
１ １ ２ ２ ３＋ ２１ ３ ３± ７
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ. Ａ. Ｂ.
３ ３ ３ ３ ８ ８
答案 Ｄ 角 θ 的终边经过点 Ｐ 则
∵ (１ꎬ２)ꎬ ３ ３－ ７ ３ ３＋ ７
Ｃ. Ｄ.
８ ８
θ ２
ｔａｎ ＝ ＝２ꎬ 答案 Ｃ 因为角 α 的终边与单位圆 Ｏ 的
１
θ θ θ 交点 Ｐ ｘ ｙ 在第一象限内 所以 ｘ α
ｓｉｎ(π－ ) ｓｉｎ ｔａｎ ２.故 ( ０ꎬ ０) ꎬ ０ ＝ｃｏｓ
∴ θ θ＝ θ θ ＝ θ ＝ ｙ α .
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ３ >０ꎬ ０ ＝ｓｉｎ >０
选
æ ö
Ｄ.
因为 çα π÷ ３ 所以 １ α ３ α
２.( 广东茂名一模ꎬ )已知角 α 的顶点在 ｓｉｎè ＋ ø ＝ ꎬ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ
２０２２ ４ ３ ４ ２ ２
原点 始边与ｘ 轴非负半轴重合 终边与直线
ꎬ ꎬ ３
＝ ꎬ
α α ４
ｘ ｙ 平行 则ｓｉｎ －ｃｏｓ 的值为
２ ＋ ＋３＝０ ꎬ α α ( )
即 α ３ α
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
ｓｉｎ ＝ － ３ｃｏｓ ꎬ
２
5
１
年
高
Ａ.－２ Ｂ.－
４
Ｃ.２ Ｄ.３ 将
ｓｉｎ
α
＝
３
－ ３ｃｏｓ
α 代入
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１ꎬ
考
答案 Ｄ 因为角 α 的终边与直线 ｘ ｙ ２
年 模 3 ＝０ 平 行 ꎬ 即角 α 的终边在直线 ｙ ＝－ ２ ２ ＋ ｘ 上 ＋３ ꎬ 得ç æ è ３ － ３ｃｏｓ α ö ø ÷ ２ ＋ｃｏｓ ２α ＝１ꎬ
拟 ２
α α α
A 所以 α 则 ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ －１ .
版 ｔａｎ ＝－２ꎬ ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α＝ ｔａｎ α ＋１ ＝３ 即 ４ｃｏｓ ２α － ３ ３ ｃｏｓ α ＋ ５ ＝ ０ꎬ 解得 ｃｏｓ α
４
高 故选
考 Ｄ.
数 ３ ３± ７.
学 ３.( 重庆云阳江口中学期末ꎬ ) 已知 ＝
２０２２ ４ ８
１４８
当 α ３ ３＋ ７时 α ３－ ２１ 舍 以 α α ７ 联 立 可 得
ｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ ＝ <０( ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ꎬ
８ ８ ５
ì
去 ï
α α １
)ꎻ ï ïｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ꎬ
í ５ 解得 α ４ α ３
当 α ３ ３－ ７时 α ３＋ ２１ . ï ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ ＝－ ꎬ
ｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ ＝ >０ ï α α ７ ５ ５
ï
８ ８ îｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ꎬ
５
α
所以 ｘ α ３ ３－ ７ 故选 . 所以 α ｓｉｎ ４
０ ＝ｃｏｓ ＝ ꎬ Ｃ ｔａｎ ＝ α＝－ ꎬ
８
ｃｏｓ ３
α π ４
考法 二 同角三角函数基本关系式的应用
æ ö ｔａｎ ＋ｔａｎ １－
所以 çα π÷ ４ ３ １.
ｔａｎè ＋ ø ＝ ＝ ＝－
考向一 利用三角函数基本关系式化简求值
４ α π ４ ７
１－ｔａｎ ｔａｎ １＋
１.( 福建三明二中月考三ꎬ )已知 θ ４ ３
２０２２ ４ ｓｉｎ ＋ 故选
Ａ.
æ ö
θ ４ θ çπ π÷ 则 θ θ ３.( 海南三亚华侨学校月考ꎬ )若 α
ｃｏｓ ＝ ꎬ ∈è ꎬ øꎬ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２０２２ １５ ｓｉｎ －
３ ４ ２
α ３ ２ 则 α .
( ) ｃｏｓ ＝ ꎬ ｓｉｎ ２ ＝
５
２ ２ １ １ 答案 ７
Ａ. Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－
３ ３ ３ ３
２５
答案 Ａ θ θ ２ θ θ
(ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ) ＝１＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
解析 因为 α α ３ ２
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ꎬ
１６ 则 θ θ ７ θ θ ２ ５
ꎬ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ∴ (ｓｉｎ －ｃｏｓ ) ＝１－ 所以 α α ２ ２α ２α
９ ９ (ｓｉｎ －ｃｏｓ ) ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ － ２ｓｉｎ
æ ö α α
θ θ ２ θ çπ π÷ θ ｃｏｓ
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ∵ ∈è ꎬ øꎬ∴ ｓｉｎ >ｃｏｓ
９ ４ ２
α １８
＝１－ｓｉｎ ２ ＝ ꎬ
２５
θ 则 θ θ ２.故选 .
ꎬ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ Ａ
３ 所以 α ７.
ｓｉｎ ２ ＝
２.( 福建龙岩一中月考ꎬ )已知 α ２５
２０２２ ３ ｓｉｎ(π－ )
４.( 届安徽十校联考ꎬ )若角α 的终边在
æ ö æ ö ２０２３ １３
çπ α÷ １ 且α 则 çα π÷ æ ö
＋ｓｉｎè － ø ＝ ꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬ ｔａｎè ＋ ø ＝ 第四象限 且 α ４ 则 ç５π α÷ .
２ ５ ４ ꎬ ｃｏｓ ＝ ꎬ ｔａｎè － ø ＝
５ ４
( ) 答案
７
１ １
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.７ Ｄ.－７ 解析 由题意得 α æ ç ４ ö ÷ ２ ３ 则
７ ７ ｓｉｎ ＝－ １－è ø ＝－ ꎬ
æ ö ５ ５
答案 Ａ 由 α çπ α÷ １ 可 α æ ö
ｓｉｎ(π－ )＋ｓｉｎè － ø ＝ ꎬ α ｓｉｎ ３ 则 ç５π α÷
２ ５ ｔａｎ ＝ α ＝ － ꎬ ｔａｎ è － ø ＝ ｔａｎ
ｃｏｓ ４ ４
得 α α １ 两边平方得 α æ ö 专
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ꎬ １＋２ｓｉｎ ｃｏｓ π α ç ３÷ 题
５ æ ö ｔａｎ －ｔａｎ １－è－ ø 五
çπ α÷ ４ ４ .
è － ø ＝ ＝ æ ö ＝７
α １ 可得 α α ２４ 因为 α ４ π α ç ３÷ 三
＝ ꎬ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ － <０ꎬ ∈ １＋ｔａｎ ｔａｎ １＋è－ ø 角
２５ ２５ ４ ４ 函
数
所以 α α 所以 α ５.( 届沈阳四中月考ꎬ )已知α 是三角形
与
(０ꎬπ)ꎬ ｓｉｎ >０ꎬｃｏｓ <０ꎬ ｓｉｎ －ｃｏｓ ２０２３ １４
解
æ ö æ ö 三
α 所以 α α ２ ç ２４÷ ４９ 所 一内角 且 çα π÷ ３ 则 α . 角
>０ꎬ (ｓｉｎ －ｃｏｓ ) ＝１－è－ ø ＝ ꎬ ꎬ ｓｉｎè ＋ ø ＝ ꎬ ｃｏｓ ＝ 形
２５ ２５ ４ ５
１４９
ì
ï
答案 － ２ ì ï ï α α １ ï ïｓｉｎ α ＝ ４ ꎬ
１０ 由í ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ꎬ可得í ５
５
ï ï
解析 由已知条件可得 α 因为 ï
０< <πꎬ ｓｉｎ î ２α ２α ï ï α ３
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ꎬ îｃｏｓ ＝ ꎬ
æ ö ５
çα π÷ ３
α α
è ＋ ø ＝ ꎬ α ｓｉｎ ４ α ２ｔａｎ
４ ５ ∴ ｔａｎ ＝ α ＝ ꎬ∴ ｔａｎ ２ ＝ ２α ＝
ｃｏｓ ３ １－ｔａｎ
所以 ２ α α ３ 则 α α
(ｓｉｎ ＋ｃｏｓ )＝ ꎬ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ４
２ ５ ２×
３ ２４.
＝－
３ ２ １６ ７
①ꎬ １－
５ ９
考向二 应用齐次式进行化简求值
两边平方得 α α １８ α α
１＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
１.( 湖北重点高中联考ꎬ )已知 θ
２５
２０２２ ５ ｔａｎ ＝
θ
７ 所以π α α α 则 α 则 ｓｉｎ
－ ꎬ < <πꎬｓｉｎ >０ꎬｃｏｓ <０ꎬ ｃｏｓ －２ꎬ θ θ＝ ( )
２５ ２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
α 所 以 α α
－ ｓｉｎ < ０ꎬ ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ － １ １
Ａ.２ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－２
α α ２ α α ２ ２
(ｃｏｓ －ｓｉｎ ) ＝ － １－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
θ
ｓｉｎ
θ θ
４ ２ 由 得 α ２.
答案 Ａ ｓｉｎ ｃｏｓ
－ ②ꎬ ①② ｃｏｓ ＝－
θ θ ＝ θ θ ＝
５ １０
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ
６.( 广东湛江一中、深圳实验学校联考ꎬ θ＋ θ
２０２２ ｃｏｓ ｃｏｓ
θ
ｔａｎ －２ .故选
) 已 知 π α π ｆ α θ ＝ ＝２ Ａ.
１７ < < ꎬ ( ) ｔａｎ ＋１ －２＋１
４ ２
２.( 武汉部分学校质量检测ꎬ )若 α
æ ö ２０２２ ２ ｔａｎ ＝
çπ α÷ α
２ｃｏｓè ＋ ø １－ｓｉｎ ２ α
２ . 则 ｃｏｓ ２
＝ ２ꎬ α＝ ( )
α α １－ｓｉｎ ２
ｔａｎ( ＋π) ２＋２ｃｏｓ ２
化简 ｆ α １ １
(１) ( )ꎻ Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－３ Ｄ.３
３ ３
若 ｆ α １ 求 α 的值. α
(２) ( )＝ － ꎬ ｔａｎ ２ 答 案 Ｃ ｃｏｓ ２
５ α ＝
１－ｓｉｎ ２
解 析 ｆ α
( １ ) ( ) ２α ２α ２α
ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ
α ２α α α ２α ２α ２α α α＝ ２α α ＝
－２ｓｉｎ ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ －２ｃｏｓ ｓｉｎ １＋ｔａｎ －２ｔａｎ
＝
α ２α ２
ｔａｎ ２２ｃｏｓ １－２ .故选
＝－３ Ｃ.
α α α １＋２ ２ －２×２
ｓｉｎ ｜ｓｉｎ －ｃｏｓ ｜ π α π
5 ＝－ α ꎬ∵ < < ꎬ ３.( 届湖北摸底联考ꎬ )在平面直角坐标
年 ｓｉｎ α ４ ２ ２０２３ ６
高 α｜ｃｏｓ ｜
考 ｃｏｓ
系 ｘＯｙ 中 角 θ 的大小如图所示 则 ２θ
ꎬ ꎬ ９ｓｉｎ ＋
3
α α α θ
年 ｆ α ｓｉｎ (ｓｉｎ －ｃｏｓ ) α ｓｉｎ ２ ＝ ( )
模 ∴ ( ) ＝ － α ＝ ｃｏｓ －
拟 ｓｉｎ α
αｃｏｓ
A ｃｏｓ
版
α.
ｓｉｎ
高
考
数 π α π α α .
学 (２)∵ < < ꎬ∴ ｓｉｎ >ｃｏｓ >０
４ ２
１５０
２θ θ θ
２ ２θ θ θ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ
Ａ.１ Ｂ. ＝ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ２θ ２θ
３ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
２θ θ
４８ ５ ｔａｎ ＋ｔａｎ
Ｃ. Ｄ. ＝ ２θ ꎬ
１３ ２ ｔａｎ ＋１
答案 Ｃ 由题图可知 角 θ π的终边过点 把 θ 代入得原式 (－２) ２ －２ ２.故
ꎬ ＋ ｔａｎ ＝－２ ＝ ＝
４ (－２) ２ ＋１ ５
Ｐ 由 三 角 函 数 的 定 义 可 知 选 .
(１ꎬ ５)ꎬ ｔａｎ
Ｃ
æ ö æ ö θ ５.( 沈阳市郊联体一模ꎬ )已知
çθ π÷ 由于 çθ π÷ １＋ｔａｎ 则
２０２１ ３ ２ｓｉｎ(π－
è ＋ ø ＝５ꎬ ｔａｎè ＋ ø ＝ θ ＝ ５ꎬ
４ ４ １－ｔａｎ æ ö
α çπ α÷ 则 ２α １ α ２α
ｔａｎ
θ
＝
２
ꎬ
所 以
９ｓｉｎ
２θ
＋ ｓｉｎ ２
θ
＝
)＝ ３ｓｉｎè
２
＋ øꎬ ｓｉｎ －
２
ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ＝
３
( )
２θ θ θ ２θ θ
９ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ９ｔａｎ ＋２ｔａｎ ４８. 故
２θ ２θ ＝ ２θ ＝ ５ １
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ １３ Ａ. Ｂ.－
１３ １３
选
Ｃ.
５ １
４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若 θ 则 Ｃ.－ Ｄ.
２０２１ Ⅰ ６ ５ ｔａｎ ＝ －２ꎬ
１３ １３
θ θ æ ö
ｓｉｎ (１＋ｓｉｎ ２ ) 答案 Ｂ 由 α çπ α÷ 得
θ θ ＝ ( ) ２ｓｉｎ(π－ )＝ ３ｓｉｎè ＋ øꎬ
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２
α α
６ ２ ２ｓｉｎ ＝３ｃｏｓ ꎬ
Ａ.－ Ｂ.－
５ ５
所以 α ３ 从而 ２α １ α ２α
ｔａｎ ＝ ꎬ ｓｉｎ － ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ＝
２ ６ ２ ２
Ｃ. Ｄ.
５ ５ ２α α α ２α ２α α
ｓｉｎ －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｔａｎ －ｔａｎ －１
答案 Ｃ ｓｉｎ
θ
(１＋ｓｉｎ ２
θ
) ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α ＝
ｔａｎ
２α
＋１
＝ －
θ θ
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
１.故选 .
θ ２θ ２θ θ θ
Ｂ
ｓｉｎ (ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ )
１３
＝ θ θ
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
θ θ θ ２
ｓｉｎ (ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ) θ θ θ
＝ θ θ ＝ｓｉｎ (ｓｉｎ ＋ｃｏｓ )
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
１５１
