文档内容
第17课 同角三角函数的基本关系（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2015·福建·高考真题）若 ，且 为第四象限角，则 的值等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵sina= ,且a为第四象限角,
∴ ，
则 ，
故选D.
2．（2022秋·广东东莞·高三东莞实验中学校考阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 及 解出 与 即可求解.
【详解】因为 ，且 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：A.3．（2023·江苏·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.
【详解】由 可得， ，
即 ，
故选：B
4．（2023·全国·高一假期作业）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】 ， ， ， ，
，
，所以 .
故选：C
二、多选题
5．（2023秋·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A：因为 所以
即 ，所以A正确;
对于B、C： 因为 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 所以B错误，C正确;
对于D：联立 ，解得 所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
6．（2023春·浙江宁波·高一校考阶段练习）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】对于A选项， ，故A选项正确；
对于B选项， ，故B选项错误；
对于C选项， ，故C选项正确；
对于D选项， ，故D选项正确.
故选：ACD
7．（2023·全国·高三专题练习）设 为第一象限角, ,则（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由题意得 是第一象限角,所以 ,再利用诱导公式和同角三角函数关系式
对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得 ,
则 ,
若 在第四象限,则 ,
所以 也是第一象限角,即 ,
,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.三、填空题
8．（2023春·高一单元测试）若 ， 且 ， 则 ．
【答案】 /-0.2
【分析】根据已知条件，可以求出 的值，利用正切函数的二倍角公式可求得 的值，然后利用余
弦函数的二倍角公式以及 对所求式进行转化，转化为只含有 的式子进
行求解.
【详解】由 得 ，故 ，
所以 ，解得 ，或 .
因为 ，所以 ，
所以
.
故答案为：
9．（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）已知 为锐角， ，
，则
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为 为锐角，且 ，所以
所以联立 ，解得 ，
，
，
故答案为: .
四、解答题
10．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）已知 、 是方程 的两
个实数根.
(1)求实数 的值；
(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；
（2）根据同角关系式化简即得；（3）由题可得 ，然后利用二倍角公式即得.
【详解】（1）因为 、 是方程 的两个实数根，
由韦达定理得 ，
由 ，
则 ，
所以 ；
（2）
；
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
所以 .
【二层练综合】
一、单选题1．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）已知 ， 都为锐角， ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系可得 和 ，代入
，计算可得．
【详解】解： ， 都是锐角， ， ，
， ，
故选：A．
二、多选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l： ，l： ，l：
1 2 3
，l： .则（ ）
4
A．存在实数α，使l l，
1 2
B．存在实数α，使l l；
2 3
C．对任意实数α，都有l⊥l
1 4
D．存在点到四条直线距离相等
【答案】ACD
【分析】利用直线平行、直线垂直的条件和点到直线的距离逐项检验即可求解.
【详解】当 时， ，故选项A正确；
，所以 与 不平行，故选项B错误；恒成立， ，故选项C正确；
坐标原点 到四条直线距离均为1，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
π
3．（2017·全国·高考真题）已知 ，tanα=2，则cos(α− )= ．
4
【答案】
【详解】由 得 ，又 ，所以 ，因为 ，所以
，因为 ，所以
．
四、解答题
4．（2022·全国·高一专题练习）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据 可得 ，解方程并结合角的范围求得 ；
（2）利用弦化切，将 化为 ，可得答案；
（3）利用 ，将 化为 ，继而化为
，求得答案.
【详解】（1）由 得 ，
解得 或 ，
因为 ，故 ，则 ；
（2） ；
（3）
.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·山东烟台·校联考三模）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，
例如 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增B．若函数 ，则 的值域为
C．若函数 ，则 的值域为
D． ，
【答案】AC
【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断BD；变形函数式，分类讨论判断C即可.
【详解】对于A， ， ，有 ，
则函数 在 上单调递增，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C，
，
当 时， ， ，有 ，
当 时， ， ，有 ，
综上： 的值域为 ，故C正确；
对于D，当 时， ，有 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是利用三角函数的基本关系式将函数化为
，从而结合高斯函数的定义即可得解.
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题可得 ，将 用含 的式子表示，然后根据角 的范围，求 的取值范围.
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∵又 ，且 都为锐角，故 ， ，
因为锐角三角形 ，所以
所以
所以 所以 ，
又因为
所以
所以 ，解得 或 (舍去)
故 .
故答案为： .
