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专题五 三角函数与解三角形
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础篇
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基 借助终边上点的坐标 设角 α 终边上任意一
② :
本关系及诱导公式 点 Ｐ 原点除外 的坐标为 ｘ ｙ 它与原点
( ) ( ꎬ )ꎬ
ｙ ｘ ｙ
一、三角函数的概念 的距离为 ｒ 则 α α α
ꎬ ｓｉｎ ＝ ｒ ꎬｃｏｓ ＝ ｒ ꎬｔａｎ ＝ ｘ
1.象限角
ｘ .
( ≠０)
第一象限角 { } 三角函数值在各象限内的符号
α ｋ α π ｋ ꎬｋ Ｚ ２)
的集合 ２ π< < ＋２ π ∈
２
第二象限角 { }
α ｋ π α ｋ ꎬｋ Ｚ
的集合 ２ π＋ < <２ π＋π ∈
２
第三象限角 { }
记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦.
α ｋ α ｋ ３ ꎬｋ Ｚ
: ꎬ ꎬ ꎬ
的集合 ２ π＋π< <２ π＋ π ∈
２
二、同角三角函数的基本关系
第四象限角 { }
α ｋ ３ α ｋ ꎬｋ Ｚ
的集合 ２ π＋ π< <２ π＋２π ∈ 1.平方关系： ２α ２α .
２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１
αæ ö
2.终边相同的角 2.商数关系： α ｓｉｎ çα π ｋ ｋ Ｚ÷.
ｔａｎ ＝ αè ≠ ＋ πꎬ ∈ ø
所有与角α 终边相同的角 连同角α 在内 构 ｃｏｓ ２
ꎬ ꎬ
三、三角函数的诱导公式
成的角的集合是 β β ｋ ° α ｋ Ｚ 或
{ ｜ ＝ ３６０ ＋ ꎬ ∈ }
β β α ｋ ｋ Ｚ . 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
{ ｜ ＝ ＋２ πꎬ ∈ }
3.弧长与扇形面积公式 ｋ α
一 ２ π＋ α α α
(ｋ Ｚ) ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ
弧长公式 ｌ α ｒ ∈ 函 数 名 不
１) : ＝ ｜ ｜ ꎻ 二 α α α α
π＋ －ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ 变ꎬ符号看
扇形面积公式 Ｓ １ｌｒ １ α ｒ２. 其中 α 为 三 α α α α 象限
２) : ＝ ＝ ｜ ｜ ( ｜ ｜ － －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ
２ ２
四 α α α α
圆心角弧度数的绝对值 ｒ 为扇形半径 π－ ｓｉｎ －ｃｏｓ －ｔａｎ
ꎬ )
4.三角函数的定义 五 π
－
α
ｃｏｓ
α
ｓｉｎ
α
２
函 数 名 改
任意角三角函数的定义 六 π α α α
１) ＋ ｃｏｓ －ｓｉｎ
２ 变ꎬ符号看
借助单位圆 设α 是一个任意角 α Ｒ 它的
七 ３ α α α
① : ꎬ ∈ ꎬ π＋ －ｃｏｓ ｓｉｎ 象限
5 终边 ＯＰ 与单位圆交于点 Ｐ ｘ ｙ 那么 ２
年 ( ꎬ )ꎬ 八 ３ α α α
π－ －ｃｏｓ －ｓｉｎ
高 ｙ ２
考 α ｙ α ｘ α ｘ .
3 ｓｉｎ ＝ ꎻｃｏｓ ＝ ꎻｔａｎ ＝ ｘ( ≠０)
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２５８
综合篇
考法 一 三角函数定义的应用
转π后得到角 β 的终边ꎬ则 β α πꎬ则 β
＝ ＋ ｓｉｎ ＝
1.已知角 α 终边上一点 Ｐ 的坐标 求三角函数 ２ ２
ꎬ æ ö
值 先求出点 Ｐ 到原点的距离 ｒ 然后利用三
çα π÷ α ３.
: ꎬ ｓｉｎè ＋ ø ＝ｃｏｓ ＝
２ ５
角函数的定义求解 若含参数 则需对参数进
ꎻ ꎬ 答案 ４ ３
行讨论.
３ ５
2.已知角 α 的终边所在直线的方程 角 α 的终
(
考法 二 同角三角函数基本关系式的应用
边为射线 此处给的是直线方程 求三角函
ꎬ )ꎬ
数值 一般地 由于不确定终边所在象限 故
1.利用 ２α ２α 可以实现角 α 的正弦
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ 、
: ꎬ ꎬ
α
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种
余弦的互化 利用ｓｉｎ α 可以实现角 α
ꎬ α＝ｔａｎ
情况 然后利用三角函数的定义求解 若直线 ｃｏｓ
ꎬ ꎻ 的弦切互化.
的倾斜角为特殊角 则可直接写出角 α 的三
ꎬ 2.sin α,cos α 的齐次式的应用
角函数值.
已知 α 的值 求关于 α 与 α 的齐ｎ
例1 ( 课标ꎬ ꎬ 分)已知角 θ 的顶点与 １) ｔａｎ ꎬ ｓｉｎ ｃｏｓ
２０１１ ５ ５ 次分式的值 分子 分母同除以 ｎα 转化为
原点重合ꎬ始边与 ｘ 轴的非负半轴重合ꎬ终边在 : 、 ｃｏｓ ꎬ
关于 α 的式子求解.
直线ｙ ｘ 上ꎬ则 θ ( ) ｔａｎ
＝２ ｃｏｓ ２ ＝ 的代换问题 含有 ２α ２α 及 α
２)“１” : ｓｉｎ ꎬｃｏｓ ｓｉｎ
４ ３ ３ ４ α 的整式求值问题 可将所求式子的分母
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ. ｃｏｓ ꎬ
５ ５ ５ ５ 看作 利用 ２α ２α 代换后转化
解析 解法一:由三角函数定义知ꎬ θ ꎬ “１”ꎬ “ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１”
ｔａｎ ＝２ 为 切 然后求解.
２θ ２θ ２θ “ ”ꎬ
则 θ ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ ３. 3.同角三角函数基本关系式的常用变形
ｃｏｓ ２ ＝ ２θ ２θ＝ ２θ＝－
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ ５
２α ２α ２α ２α.
解法二:由三角函数定义知ꎬ θ ꎬ即 θ １)ｓｉｎ ＝１－ｃｏｓ ꎬｃｏｓ ＝１－ｓｉｎ
ｔａｎ ＝２ ｓｉｎ ＝
α α ２ α α.
２)(ｓｉｎ ±ｃｏｓ ) ＝１±２ｓｉｎ ｃｏｓ
θꎬ则 ２θ ２θ.从而有 ２θ １.故 θ α α α.
２ｃｏｓ ｓｉｎ ＝４ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ２ ３)ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｔａｎ
５
２α ２α
２α ｓｉｎ ｔａｎ .
＝２ｃｏｓ
２θ
－１＝－
３. ４)ｓｉｎ ＝
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α＝
１＋ｔａｎ
２α
５
２α
答案 ２α ｃｏｓ １ .
Ｂ ５)ｃｏｓ ＝ ２α ２α＝ ２α
例2 ( 江苏盐城开学测ꎬ )在平面直角 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １＋ｔａｎ
２０２２ １４ 例3 ( 全国甲ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)若 α
坐标系中ꎬ角 α 的终边过点 Ａ( ꎬ )ꎬ则 α ２０２１ ９ １１ ５ ∈
３ ４ ｔａｎ ＝ æ ö α
ꎻ将射线 ＯＡ(Ｏ 为坐标原点)按逆时 ç ꎬπ÷ꎬ α ｃｏｓ ꎬ则 α ( )
è０ ø ｔａｎ ２ ＝ α ｔａｎ ＝
２ ２－ｓｉｎ 专
题
针方向旋转π后得到角 β 的终边ꎬ则 β 五
ｓｉｎ ＝ １５ ５ ５ １５
２ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 三
１５ ５ ３ ３
. 角
α æ ö 函
解析 α ｃｏｓ ꎬ且 α ç ꎬπ÷ꎬ 数
解析 角α 的终边过点Ａ( ꎬ )ꎬ则 α ∵ ｔａｎ ２ ＝ α ∈è０ ø 与
∵ ３ ４ ｔａｎ ＝ ２－ｓｉｎ ２
解
α α 三
４.将射线 ＯＡ(Ｏ 为坐标原点)按逆时针方向旋 ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ꎬ α α α 角
∴ α＝ α ∴ ２ｓｉｎ ２ ＝ ｃｏｓ ｃｏｓ ２ ＋ 形
３ ｃｏｓ ２ ２－ｓｉｎ
２５９
α αꎬ即 α α ( α α)
ｓｉｎ ｓｉｎ ２ ４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ２ － ＝ α １５ꎬ α １５.故选 .
∴ ｃｏｓ ＝ ∴ ｔａｎ ＝ Ａ
αꎬ又 α ꎬ α ꎬ即 α １ꎬ ４ １５
ｃｏｓ ｃｏｓ ≠０ ∴ ４ｓｉｎ ＝１ ｓｉｎ ＝ 答案
４ Ａ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２６０
