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１６８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３．８ 函数模型及函数的综合应用
§
３．“对勾”函数的性质
ａ
函数ｆ ｘ ｘ ａ ．
（ ）＝ ＋ ｘ （ ＞０）
考点 函数模型及函数的综合应用
该函数在 ａ 和 ａ 上单调递增 在
（１） （－∞，－ ］ ［ ，＋∞） ，
１．几种常见的函数模型
ａ 和 ａ 上单调递减．
（－ ，０） （０， ）
函数模型 函数解析式
当ｘ 时 ｘ ａ时取最小值 ａ
一次函数模型 ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ ｂ为常数 ａ （２） ＞０ ， ＝ ２ ；
二次函数模型 ｆ （ ｘ ） （ ＝ ） ａｘ ＝ ２ ＋ ｂ ＋ ｘ ＋ （ ｃ （ ａ ， ， ｂ ， ｃ为常 ， 数 ≠ ， ａ ０ ≠ ） ０） 当ｘ ＜０ 时 ， ｘ ＝－ ａ时取最大值 －２ ａ．
ｆ ｘ ｂａｘ ｃ ａ ｂ ｃ为常数 ４．解函数应用题的步骤（四步八字）
指数函数模型 （ ）＝ ＋ （ ， ， ，
ａ 且ａ ｂ 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步
＞０ ≠１， ≠０） （１） ： ， ， ，
ｆ ｘ ｂ ｘ ｃ 选择数学模型
对数函数模型 （ ）＝ ｌｏｇａ ＋ ；
ａ ｂ ｃ为常数 ａ 且ａ ｂ 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为
（ ， ， ， ＞０ ≠１， ≠０） （２） ： ，
幂函数模型 ｆ ｘ ａｘｎ ｂ ａ ｂ为常数 ａ ｎ 符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型
（ ）＝ ＋ （ ， ， ≠０， ≠０） ， ；
ａ 求模 求解数学模型 得出数学结论
“对勾”函数模型 ｆ ｘ ｘ ａ
（ ）＝ ＋ ｘ （ ＞０） （３） ： ， ；
还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
２．三种增长型函数模型的性质比较 （４） ：
以上过程用框图表示如下
函数 ｙ ＝ ａｘ ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ ｙ ＝ ｘα ：
性质
（ａ ） （ａ ） （α ）
＞１ ＞１ ＞０
在（ ， ）
０ ＋∞ 增函数 增函数 增函数
上的增减性 ① ②
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随ｘ值的增大图 随ｘ值的增大图
图象的 随α值变
象与 ｙ轴接近 象与ｘ轴接近于
变化 ③ 化而不同
于平行 平行
④
联系 存在一个ｘ 当ｘ ｘ 时 有 ｘ ｘα ａｘ
０， ＞ ０ ， ｌｏｇａ ＜ ＜
Ａ．１８００ Ｂ．２７００ Ｃ．７２９０ Ｄ．８１００
答案 Ｄ
３．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况
考点 函数模型及函数的综合应用
的调查研究中 发现其注意力指数ｐ与听课时间ｔ之间的关系
，
１．某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为ｐ 第二 满足如图所示的曲线．
， ，
年的增长率为ｑ 则该市这两年生产总值的年平均增长率为
，
（ ）
ｐ ｑ ｐ ｑ
＋ （ ＋１）（ ＋１）－１
Ａ． Ｂ．
２ ２
ｐｑ ｐ ｑ
Ｃ． Ｄ． （ ＋１）（ ＋１）－１
答案 Ｄ
２．（２０２１届江苏苏州开学初调研）大西洋鲑鱼每年都要逆流而 当ｔ 时 曲线是二次函数图象的一部分 当ｔ 时
∈（０，１４］ ， ， ∈（１４，４０］ ，
上 ， 游回到自己出生的淡水流域产卵 ， 记鲑鱼的游速为 ｖ （ 单 曲线是函数ｙ ＝ｌｏｇａ（ ｔ －５）＋８３（ ａ ＞０ 且ａ ≠１） 图象的一部分．根据专
位 鲑鱼的耗氧量的单位数为 Ｑ．科学研究发现 ｖ 与 家研究 当注意力指数ｐ大于等于 时听课效果最佳．
：ｍ／ｓ）， ， ８０
Ｑ 试求ｐ ｆ ｔ 的函数关系式
成正比 当ｖ 时 鲑鱼的耗氧量的单位数为 ． （１） ＝ （ ） ；
ｌｏｇ３
１００
， ＝１ ｍ／ｓ ， ９００
（２）
老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最
当ｖ 时 其耗氧量的单位数为 佳 请说明理由．
＝２ ｍ／ｓ ， （ ） ？
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １６９
血液中酒精含量迅速上升到 ． 在停止喝酒后 血液中
０３ ｍｇ／ｍｌ， ，
酒精含量以每小时 ％的速度减少 他至少要经过
５０ ，
小时才可以驾驶机动车 精确到小时
（ ） （ ）
考点 函数模型及函数的综合应用
Ａ．１ Ｂ．２
１．动点Ｐ从点Ａ出发 按逆时针方向沿周长为ｌ的平面图形运动
， Ｃ．４ Ｄ．６
一周 Ａ Ｐ两点间的距离ｙ与动点Ｐ所走过的路程ｘ的关系如 答案 Ｃ 设ｎ小时后才可以驾驶机动车 由题意得 ．
， ， ， ０３（１－
图所示 则动点Ｐ所走的图形可能是 ( )ｎ
， （ ） ％ ｎ ． １ １ ｎ 即至少要经过 小时后
５０ ） ≤００２，∴ ≤ ，∴ ≥４， ４
２ １５
才可以驾驶机动车．故选 ．
Ｃ
４．（２０１９陕西第一次模拟联考，１６）定义在实数集Ｒ上的奇函
数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则
（ ） （ ＋２）＋（ ）＝ ０， ∈（０，１］ ， （ ）＝ ，
下列四个命题中 正确的是 填序号 ．
， （ ）
ｆ ｆ ｆ ｆ
①（１）＋（２）＋（３）＋…＋（２０１９）＝０；
方程ｆ ｘ ｘ 有 个根
② （ ）＝ｌｏｇ５｜ ｜ ５ ；
{ｘ ｋ ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ
ｆ ｘ －４ （４ －１≤ ≤４ ＋１， ∈ ），
③（ ）＝ ｘ ｋ ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ
－ ＋４ ＋２（４ ＋１≤ ≤４ ＋３， ∈ ）；
函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称．
④ ＝ （ ） ＝１
答案
①②③④
解析 定义在实数集Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） （ ＋２）＋ （ ）
可得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即有函数ｆ ｘ 的图象关于直
＝０， （ ＋２）＝－（ ）＝ （－ ）， （ ）
线ｘ 对称 故 正确
＝１ ， ④ ；
又ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 故可得ｆ ｘ 的周期为
答案 Ｄ 对于 当点Ｐ在边ＡＢ上运动时 ｙ ｘ 不符合题意 （ ＋４）＝－（ ＋２）＝ （ ）， （ ） ４，
Ａ， ， ＝ ， ； 由ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 可得ｆ 又ｆ ｆ
对于 在椭圆中 ｙ与ｘ的函数关系的图象不是对称的 不符 ∈（０，１］ ， （ ）＝ ， （１）＝１， （０）＝０， （２）＝０，
Ｂ， ， ， ｆ ｆ ｆ 所以 ｆ ｆ ｆ
合题意 （３）＝－（１）＝ －１， （４）＝ ０， （１）＋ （２）＋ （３）＋…＋
； ｆ 故 正确 当ｘ
对于 当点Ｐ在边ＡＢ上运动时 ｙ ｘ 不符合题意 （２０１９）＝５０４×（１＋０－１＋０）＋１＋０－１＝０， ① ； ∈［－１，
Ｃ， ， ＝ ， ； 时 ｘ 所以ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ ｘ ｘ
ｌ ０） ，－ ∈（０，１］， （－ ）＝－ ＝－（ ）， （ ）＝ （－１≤ ＜
对于 当点Ｐ运动到ＡＰ是直径时 ｙ最大 此时 ｘ 符合 所以ｆ ｘ ｘ ｘ 由ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对
Ｄ， ， ， ， ＝ ， ０）， （ ）＝ （－１≤ ≤１）， （ ） ＝１
２ 称可得ｆ ｘ ｘ ｘ
题意．故选 （ ）＝２－ （１≤ ≤３），
Ｄ． 如图 作出ｙ ｆ ｘ 的图象和ｙ ｘ 的图象 可得它们有五
２．（２０１９北京牛栏山一中期中，８）在股票买卖过程中 经常会用 ， ＝ （ ） ＝ｌｏｇ５｜ ｜ ，
， 个交点 即方程ｆ ｘ ｘ 有 个根 故 正确
各种曲线来描述某一只股票的变化趋势 其中一种曲线是即时 ， （ ）＝ｌｏｇ５｜ ｜ ５ ， ② ；
，
价格曲线ｙ ｆ ｘ 一种曲线是平均价格曲线 ｙ ｇ ｘ ．例如
＝ （ ）， ＝ （ ） ：
ｆ 表示开始交易后 小时的即时价格为 元 ｇ
（２）＝３ ２ ３ ， （２）＝ ４
表示开始交易后 小时内所有成交股票的平均价格为 元．下
２ ４
列四个图中 ， 实线表示ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）， 虚线表示ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） ．其中可能正 由ｆ ｘ 的周期为 且 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 时
确的是 （ ） ４， －１≤ ≤１ ， （ ）＝ ，１≤ ≤３ ，
（ ） ｆ ｘ ｘ 可得当 ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ ｘ ｋ
（ ）＝２－ ， －１＋４ ≤ ≤４ ＋１， ∈ ， （ ）＝ －４ ，１＋
ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ ｘ ｋ 故 正确．
４ ≤ ≤４ ＋３， ∈ ， （ ）＝２－ ＋４ ， ③
故答案为 ．
①②③④
５． 某人根据经验绘制了 年春节前后 从 月 日至
（１） ２０１９ ， １２ ２１ １
答案 Ｂ 刚开始交易时 即时价格和平均价格应该相等 月 日自己种植的西红柿的销售量ｙ 千克 随时间ｘ 天
， ， ８ （ ） （ ）
故 错误 变化的函数图象 如图所示 则此人在 月 日大约卖
Ａ ； ， ， １２ ２６
开始交易后 平均价格应该跟随即时价格变动 即时价格与平 出了西红柿 千克．
， ，
均价格同增同减 且平均价格在任何时刻的变化幅度应该小于
，
即时价格的变化幅度 当即时价格最低时 平均价格还没有达
， ，
到最低值 平均价格的最小值大于即时价格的最小值 故
， ， Ｃ、Ｄ
均错误 只有选项 满足条件 故选 ．
， Ｂ ， Ｂ
评析 考查函数的实际应用问题，要求学生学知识要学活，不
能“僵化”的学习．本题同时重点考查识图、认图的能力．
３．（２０１９北京八中１０月月考，５）调查表明 酒后驾驶是导致交 牧场中羊群的最大蓄养量为ｍ只 为保证羊群的生长空
， （２） ，
通事故的主要原因 交通法规规定 驾驶员在驾驶机动车时血 间 实际蓄养量不能达到最大蓄养量 必须留出适当的空
， ： ， ，
液中酒精含量不得超过 ． ．如果某人喝了少量酒后 闲量．已知羊群的年增长量ｙ只和实际蓄养量ｘ只与空闲
０ ０２ ｍｇ／ｍｌ ，
１７０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
率的乘积成正比 比例系数为ｋ ｋ ． ｘ ｘ ( ｘ )
， （ ＞０） 则蓄养率为 故空闲率为 由此可得ｙ ｋｘ
写出ｙ关于ｘ的函数关系式 并指出这个函数的定义域 ｍ， １－ｍ， ＝ １－ｍ （０＜
① ， ；
求羊群年增长量的最大值 ｘ ｍ
② ； ＜ ）；
当羊群的年增长量达到最大值时 求ｋ的取值范围． ｋ ｋ ( ｍ) ２ ｋｍ
③ ， 由 得ｙ ｘ２ ｍｘ ｘ ．
② ①， ＝－ｍ（ － ）＝－ｍ － ＋
答案 １９０ ２ ４
（１） ｍ ｋｍ
９ 即当ｘ 时 ｙ取得最大值
解析 前 天满足一次函数关系 设为ｙ ｋｘ ｂ ｋ ＝ ， ；
（１） １０ ， ＝ ＋ ， ≠０， ２ ４
{ ｋ ｂ 由题意知为给羊群留有一定的生长空间 则有实际蓄养量与
将点 和点 代入函数解析式得 １０＝ ＋ ， 解得 ③ ，
（１，１０） （１０，３０） ｋ ｂ 年增长量的和小于最大蓄养量 即 ｘ ｙ ｍ．
３０＝１０ ＋ ， ， ０＜ ＋ ＜
ｍ ｋｍ ｍ ｋｍ
ｋ ２０ ｂ ７０ 所以ｙ ２０ｘ ７０ 则当ｘ 时 ｙ １９０． 因为当ｘ 时 ｙ 所以 ｍ 解得 ｋ ．又
＝ ， ＝ ， ＝ ＋ ， ＝６ ， ＝ ＝ ， ｍａｘ＝ ， ０＜ ＋ ＜ ， －２＜ ＜２
９ ９ ９ ９ ９ ２ ４ ２ ４
根据题意 由于最大蓄养量为ｍ只 实际蓄养量为ｘ只 因为ｋ 所以 ｋ ．
（２）① ， ， ， ＞０， ０＜ ＜２
题策略
单一考查一次函数或二次函数模型．解决此类问题应注意
三点
：
考法一 解函数应用题的方法
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决
（１） ，
例１ （２０２０山东潍坊期中）在经济学中 函数ｆ ｘ 的边 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错
， （ ） ， ；
际函数Ｍｆ ｘ 定义为Ｍｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ．某医疗设备公司生 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用
（ ） （ ）＝ （ ＋１）－ （ ） （２） ， ，
产某医疗器材 已知每月生产ｘ台 ｘ Ｎ∗ 的收益函数为Ｒ ｘ 待定系数法
， （ ∈ ） （ ） ；
ｘ ｘ２ 单位 万元 成本函数 Ｃ ｘ ｘ 单 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题．
＝３０００ －２０ （ ： ）， （ ）＝ ５００ ＋４ ０００（ （３） ，
位 万元 该公司每月最多生产 台该医疗器材 利润函数 例２ （２０２１届山东枣庄三中第一次月考，２１） 年某
： ）， １００ （ ＝ ２０２０
收益函数 成本函数 ． 开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备
－ ） ，
求利润函数Ｐ ｘ 及边际利润函数ＭＰ ｘ 通过市场分析全年需投入固定成本 万元 生产ｘ 百辆
（１） （ ） （ ）； ５ ０００ ， （ ），
此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润
需 另 投 入 成 本 Ｃ ｘ 万 元 且 Ｃ ｘ
（２） （ ） ， （ ） ＝
最大 ， 最大值为多少 ？ （ 精确到 ０ ． １） { １０ ｘ２ ＋２００ ｘ ，０＜ ｘ ＜５０，
求ｘ为何值时利润函数Ｐ ｘ 取得最大值 并解释边际 由市场调研知 每辆车售价 万元
利润 （ 函 ３ 数 ） ＭＰ ｘ 的实际意义． （ ） ， ８０１ ｘ ＋ １０ ｘ ０００ －９０００， ｘ ≥５０ ． ， ８ ，
（ ）
解析 （ ）由题意知，ｘ ［ ， ］且ｘ Ｎ∗， 且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
１ ∈ １ １００ ∈
Ｐ（ｘ） Ｒ（ｘ） Ｃ（ｘ） ｘ ｘ２ （ ｘ ） ｘ２ 求出 年的利润Ｌ ｘ 万元 关于年产量ｘ 百辆
＝ － ＝３ ０００ －２０ － ５００ ＋４ ０００ ＝－２０ ＋ （１） ２０２０ （ ）（ ） （ ）
ｘ ， 的函数关系式
２５００ －４０００ ；
ＭＰ（ｘ） Ｐ（ｘ ） Ｐ（ｘ） （ｘ ）２ （ｘ ） 年产量为多少百辆时 企业所获利润最大 并求
＝ ＋１ － ＝－２０ ＋１ ＋２ ５００ ＋１ －４ ０００－ （２）２０２０ ， ？
（ ｘ２ ｘ ） ｘ． 出最大利润．
－２０ ＋２５００ －４０００ ＝２４８０－４０
（ ）每台医疗器材的平均利润为
Ｐ（ｘ） (
ｘ ４０００
) {
－１０
ｘ２
＋６００
ｘ
－５０００
，
０＜
ｘ
＜５０
，
２ ｘ ＝－ ２０ ＋ ｘ ＋ 解析 （ ）由题意，知Ｌ（ｘ） ( )
１ ＝ ｘ １００００ ，ｘ ．
， ４０００－ ＋ ｘ ≥５０
２５００≤－４００ ２＋２５００
当且仅当ｘ
＝１０ ２
时等号成立． （
２
）当
０＜
ｘ
＜５０
时，Ｌ（ｘ）
＝－１０
（ｘ
－３０
）２
＋４０００
，
因为ｘ
∈
Ｎ∗， 当ｘ
＝３０
时，Ｌ（ｘ）
ｍａｘ＝
Ｌ（
３０
）
＝４０００
；
( )
所以当每月生产 台机器时，每台的平均利润约为 ．
１４ １９３４３ 当ｘ 时，Ｌ（ｘ） ｘ １００００ ，
万元，每月生产 台时，每台的平均利润约为 ． 万元， ≥５０ ＝－ ＋ ｘ ＋４０００
１５ １９３３３
故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大，为
１４ １ ｘ １００００ ｘ·１００００ ，
． 万元． ∵ ＋ ｘ ≥２ ｘ ＝２００
９３４３
（
３
）Ｐ（ｘ）
＝－２０
ｘ２
＋２５００
ｘ
－４０００＝－２０
（ｘ
－６２
．
５
）２
＋７４１２５
，
当且仅当ｘ １００００，
由ＭＰ（ｘ） ｘ ，得ｘ ，此时Ｐ（ｘ）随ｘ的增大 ＝ ｘ
＝２４８０－４０ ≥０ ≤６２
而增大， 即ｘ 时等号成立，
＝１００
由ＭＰ（ｘ） ｘ ，得ｘ ，此时Ｐ（ｘ）随ｘ的增大 Ｌ（ｘ） Ｌ（ ） ．
＝２４８０－４０ ≤０ ≥６２ ∴ ｍａｘ＝ １００ ＝３８００
而减小， 综上， 年产量为 百辆时，企业所获利润最大，且最大利润
２０２０ ３０
ｘ 或 时，Ｐ（ｘ）取得最大值． 为 万元．
∴ ＝６２ ６３ ４０００
ＭＰ（ｘ）反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多 方法总结 １．解决分段函数模型问题应关注以下三点
：
生产一台医疗器材利润增量在减少． 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给
（１）
方法总结 一次函数 二次函数模型问题的常见类型及解 出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车车费与路程之间的
、 ， ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １７１
关系 应构建分段函数模型求解
， ；
构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理不重不漏
（２） ， 、 ， ；
分段函数的最值是各段的最大 或最小 值中的最大 （１）
（３） （ ）
或最小 值．
（ ）
ｂ （２）
２．函数ｙ ａｘ 模型的应用
＝ ＋ ｘ 解析 （ ）当ｘ 时，ｙ １０ （ ）２ ，此时该店每日
１ ＝４ ＝ ＋４× ４－６ ＝２１
明确对勾函数是由正比例函数ｆ ｘ ａｘ与反比例函数 ２
（１） （ ）＝ 销售产品Ａ所获得的利润为（ ） 千元．
ｂ ４－２ ×２１＝４２
ｆ ｘ 叠加而成的 （ ）设该店每日销售产品Ａ所获得的利润为ｆ（ｘ）千元，
（ ）＝ ｘ ； ２
[ ]
解决实际问题时一般可以直接建立ｆ ｘ ａｘ
ｂ
的模
则ｆ（ｘ）
＝
（ｘ
－２
）·
ｘ
１０
＋４
（ｘ
－６
）２
＝１０＋４
（ｘ
－６
）２（ｘ
－２
）
＝
（２） （ ）＝ ＋ ｘ －２
ｘ３ ｘ２ ｘ （ ｘ ），
ｂ ４ －５６ ＋２４０ －２７８ ２＜ ＜６
型
，
有时将所列函数解析式转化为ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ
＋ ｘ
的形式
；
从而ｆ ′（ｘ）
＝１２
ｘ２
－１１２
ｘ
＋２４０＝４
（
３
ｘ
－１０
）（ｘ
－６
）（
２＜
ｘ
＜６
）．
关注函数的定义域 取得最值时等号成立的条件． 令ｆ ′（ｘ） ，得ｘ １０，
（３） ， ＝０ ＝
例３ （２０２１ 届山东枣庄三中第一次月考（９ 月）） ３
２０１９ ( )
年 月 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录 标志着中华 易知在 ，１０ 上， ｆ ′（ｘ） ，函数ｆ（ｘ）单调递增；在
７ ， ， ２ ＞０
五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市
( )
３
文明的范例 实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址 １０， 上， ｆ ′（ｘ） ，函数ｆ（ｘ）单调递减．
， ６ ＜０
年龄的过程中利用了 放射性物质因衰变而减少 这一规律．已 ３
知样本中碳 的质量
“
Ｎ随时间ｔ 单位 年 的衰
”
变规律满足Ｎ
所以ｆ（ｘ）在ｘ
＝
１０处取得极大值，即最大值．
＝ Ｎ ０·２ －５７ ｔ ３０ （ Ｎ １ ０ ４ 表示碳 １４ 原有的质 （ 量 ）， 则 ： 经 ） 过 ５７３０ 年后 ， 碳 １４ 所以当ｘ １０ ３ ． 时，函数ｆ（ｘ）取得最大值．
的质量变为原来的 经过测定 良渚古城遗址文物样本 ＝ ≈３３
； ， ３
故当销售价格为 ． 元／件时，利润最大．
中碳 的质量是原来的 １ 至 ３ 据此推测良渚古城存在的时期 ３３
１４ ，
２ ５ 方法总结 解决函数模型的实际应用题 首先应考虑该题
距今约在 年到 年之间． 参考数据 ． ，
５７３０ （ ：ｌｏｇ２３≈１５８５， 考查的是何种函数 并要注意定义域 然后结合所给模型 列出
． ， ， ，
ｌｏｇ２５≈２３２２） 函数关系式 最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解
，
解析 当ｔ 时，Ｎ Ｎ · －１ １ Ｎ ， 题步骤是解题的必要基础
＝５７３０ ＝ ０ ２ ＝ ０ ：
２
经过 年后，碳 的质量变为原来的 １ ．
∴ ５７３０ １４
２
令Ｎ ３ Ｎ ，
＝ ０ 例 （２０２０ 海南天一大联考一模，８）如图 矩形花园
５ ，
则 ２ － ５７ ｔ ３０＝ ３ ， ＡＢＣＤ的边ＡＢ靠在墙ＰＱ上 ， 另外三边是由篱笆围成的．若该
５ 矩形花园的面积为 平方米 墙ＰＱ足够长 则围成该花园所需
ｔ ４ ， ，
３ ． ． ． 要篱笆的
∴ － ＝ｌｏｇ２ ＝ｌｏｇ２３－ｌｏｇ２５≈１５８５－２３２２＝－０７３７， （ ）
５７３０ ５
ｔ ．
∴ ＝０７３７×５７３０≈４２２３，
良渚古城存在的时期距今约在 年到 年之间．
∴ ４２２３ ５７３０
答案 １ ；
４２２３
２
方法总结 应用指数函数模型的关注点
：
指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考
（１）
查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题 最大长度为 米 最大长度为 米
， 、 、 Ａ． ８ Ｂ． ４ ２
可以利用指数函数模型来解决． 最小长度为 米 最小长度为 米
Ｃ． ８ Ｄ． ４ ２
应用指数函数模型的关键是对模型的判断 先设定模 解析 设ＢＣ ａ米，ＣＤ ｂ米，则ａｂ ，
（２） ， ＝ ＝ ＝４
型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型．
， ， ，
（３） ｙ ＝ ａ （１＋ ｘ ） ｎ 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为 ２ ａ ＋ ｂ ＝２ ａ ＋ ａ ４ ≥
例４ 某店销售进价为 元／件的产品Ａ 该店产品Ａ每日
２ ，
的销售量ｙ 单位 千件 与销售价格ｘ 单位 元／件 满足关系式 ２ ２ ａ· ４ ａ ＝４ ２ ，
（ ： ） （ ： ）
ｙ １０ ｘ ２ 其中 ｘ ． 当且仅当 ａ ４ ，即ａ 时取等号．
＝ｘ ＋４（ －６） ， ２＜ ＜６ ２ ＝ ａ ＝ ２
－２
若产品Ａ销售价格为 元／件 求该店每日销售产品Ａ 故选
（１） ４ ， Ｄ．
所获得的利润
； 答案 Ｄ
试确定产品Ａ的销售价格 使该店每日销售产品Ａ所获
（２） ，
得的利润最大． 保留 位小数
（ １ ）
解题导引
１７２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
例 某企业生产Ａ Ｂ两种产品 根据市场调查与预测 Ａ产品 解不等式得 ｘ ｘ Ｎ∗
， ， ， ２≤ ≤２０（ ∈ ），
的利润与投资成正比
，
其关系如图
①；
Ｂ产品的利润与投资的
∴６＜
ｘ
≤２０（
ｘ
∈
Ｎ∗
），
算术平方根成正比
，
其关系如图
②（
注
：
利润和投资单位
：
万
故ｙ
{
５０
ｘ
－１１５（３≤
ｘ
≤６，
ｘ
∈
Ｎ∗
）， 定义域为 ｘ
元
）
． ＝
－３
ｘ２
＋６８
ｘ
－１１５（６＜
ｘ
≤２０，
ｘ
∈
Ｎ∗
），
｛ ｜３
分别将 Ａ Ｂ 两种产品的利润表示为投资的函数关
（１） ， ｘ ｘ Ｎ∗ ．
系式 ≤ ≤２０， ∈ ｝
； 对于ｙ ｘ ｘ ｘ Ｎ∗ 显然当ｘ 时
已知该企业已筹集到 万元资金 并将全部资金投入 （２） ＝５０ －１１５（３≤ ≤６， ∈ ）， ＝６ ，
（２） １８ ， ｙ ．
Ａ Ｂ两种产品的生产中． ｍａｘ＝１８５
， ( ) ２
若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 对于ｙ ｘ２ ｘ ｘ ３４ ８１１ ｘ ｘ
① ， ？ ＝－３ ＋６８ －１１５＝－３ － ＋ （６＜ ≤２０， ∈
如果你是厂长 怎样分配这 万元投资 才能使该企业 ３ ３
② ， １８ ， Ｎ∗
获得最大利润 其最大利润为多少万元 ），
？ ？ 当ｘ 时 ｙ ．
＝１１ ， ｍａｘ＝２７０
又
∵２７０＞１８５，
当每辆自行车的日租金定为 元时 才能使一日的净
∴ １１ ，
收入最多．
例 稿酬所得以个人每次取得的收入 定额或定率减除规
，
定费用后的余额为应纳税所得额 每次收入不超过 元 定
， ４０００ ，
解析 （ ）设Ａ，Ｂ两种产品都投资ｘ万元（ｘ ）， 额减除费用 元 每次收入在 元以上的 定率减除 ％
１ ≥０ ８００ ； ４０００ ， ２０
所获利润分别为ｆ（ｘ）万元、ｇ（ｘ）万元， 的费用．适用 ％的比例税率 并按规定对应纳税额减征 ％
２０ ， ３０ ，
由题意可设ｆ（ｘ） ｋ ｘ，ｇ（ｘ） ｋ ｘ， 计算公式为
＝ １ ＝ ２ 每次 ： 收入不超过 元的 应纳税额 每次收入额
根据题图可得ｆ（ｘ） ． ｘ（ｘ ），ｇ（ｘ） ｘ（ｘ ）． （１） ４０００ ： ＝（
＝０２５ ≥０ ＝２ ≥０ ％ ％
（ ） 由（ ）得ｆ（ ） ． ，ｇ（ ） ， －８００）×２０ ×（１－３０ ）；
２ ① １ ９ ＝２２５ ９ ＝２ ９＝６ 每次收入在 元以上的 应纳税额 每次收入额
故总利润ｙ ． （万元）． （２） ４０００ ： ＝ ×
＝８２５ ％ ％ ％ ．
设Ｂ产品投入ｘ万元，Ａ产品投入（ ｘ）万元，该企业 （１－２０ ）×２０ ×（１－３０ ）
② １８－ 已知某人出版一份书稿 共纳税 元 这个人应得稿费
可获总利润为ｙ万元， ， ２８０ ，
扣税前 为 元．
（ ）
则ｙ １ （ ｘ） ｘ， ｘ ． 解析 设这个人应得稿费（扣税前）为ｘ元．
＝ １８－ ＋２ ０≤ ≤１８
４ 当ｘ 时，（ｘ ） ％ （ ％） ，
令 ｘ ｔ，ｔ ［ ， ］， ① ≤４０００ －８００ ×２０ × １－３０ ＝２８０
＝ ∈ ０ ３ ２ 解得ｘ ．
＝２８００
则ｙ １ （ ｔ２ ｔ ） １ （ｔ ）２ １７． 当ｘ 时，ｘ（ ％） （ ％） ％ ，
＝ － ＋８ ＋１８ ＝－ －４ ＋ ② ＞４０００ １－２０ × １－３０ ×２０ ＝２８０
４ ４ ２ 解得ｘ （舍去）．
＝２５００
故当ｔ 时，ｙ １７ ． ， 综上，ｘ ．
＝４ ｍａｘ＝ ＝８５ ＝２８００
此时ｘ ， ｘ
２
．所以当Ａ，Ｂ两种产品分别投入 万
故这个人应得稿费（扣税前）为
２８００
元．
＝１６ １８－ ＝２ ２
元、 万元时，可使该企业获得最大利润 ． 万元． 答案
１６ ８５ ２８００
例 为了迎接世博会 某旅游区提倡低碳生活 在景区提 例 （２０１９湖北荆州质量检查（一），２０）为响应国家提出
， ，
供自行车出租．该景区有 辆自行车供游客租赁使用 管理这 的 大众创业 万众创新 的号召 小李大学毕业后 决定利用
５０ ， “ ， ” ， ，
些自行车的费用是每日 元．根据经验 若每辆自行车的日 所学专业进行自主创业．经过市场调查 生产某小型电子产品
１１５ ， ，
租金不超过 元 则自行车可以全部租出 若超过 元 则每超 需投入年固定成本为 万元 每年生产ｘ万件 需另投入流动
６ ， ； ６ ， ５ ， ，
出
车的 １
元
日 ， 租
租
金
不
ｘ
出
元
的自
只
行
取
车
整
就
数
增
并
加
且 ３ 要
辆
求
．为
出
了
租
便
自
于
行
结
车
算
一 ，
每
日
辆
的
自
总
行
收
ì
ï ï １ ｘ２ ＋４ ｘ ，０＜ ｘ ＜８，
（ ） ， 成本为Ｃ ｘ 万元 且Ｃ ｘ í２ 每件产品售价
入必须高于这一日的管理费用 用ｙ 元 表示出租自行车的日 （ ） ， （ ）＝ ï
净收入 即一日中出租自行车 ， 的总收 （ 入 ） 减去管理费用后的所 î ï １１ ｘ ＋ ４ ｘ ９ －３５， ｘ ≥８，
（
得 ．
为 元．经市场分析 生产的产品当年能全部售完．
１０ ，
）
求函数ｙ ｆ ｘ 的解析式及其定义域 写出年利润Ｐ ｘ 万元 关于年产量ｘ 万件 的函数
（１） ＝ （ ） ； （１） （ ）（ ） （ ）
解析式 注 年利润 年销售收入 固定成本 流动成本
试问当每辆自行车的日租金定为多少元时 才能使一
；（ ： ＝ － － ）
（２） ，
日的净收入最多
？
解析 （ ）当ｘ 时，ｙ ｘ ．
１ ≤６ ＝５０ －１１５
令 ｘ ，解得ｘ ． ．
５０ －１１５＞０ ＞２３
ｘ Ｎ∗，
∵ ∈
ｘ ，ｘ Ｎ∗．
∴３≤ ≤６ ∈
当ｘ 时，ｙ ［ （ｘ ）］ｘ ｘ２ ｘ ．
＞６ ＝ ５０－３ －６ －１１５＝－３ ＋６８ －１１５
令 ｘ２ ｘ ，有 ｘ２ ｘ ．
－３ ＋６８ －１１５＞０ ３ －６８ ＋１１５＜０
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １７３
当年产量为多少万件时 小李在这一产品的生产中所 ｋ
（２） ， 若 １ ，即 ｋ ，
获利润最大 最大利润是多少 ① ≥ ７５≤ ≤１００
？ ？ ９０００ １２０
解析 （ ）因为每件产品售价为 元， ｋ ｋ２
１ １０ 则当ｔ ，即ｘ ９０００时，ｙ ；
所以ｘ万件产品的销售收入为 ｘ万元，
＝
９０００
＝ ｋ ｍｉｎ＝２０－
９００
１０ ( ) 若 ｋ １ ，即 ｋ ，
依题意得，当 ｘ 时，Ｐ（ｘ） ｘ １ ｘ２ ｘ １ ② ＜ ６０≤ ＜７５
０＜ ＜８ ＝ １０ － ＋４ －５＝－ ９０００ １２０
( ２ ) ２ 则当ｔ １ ，即ｘ 时，ｙ １０５ ｋ ．
ｘ２
＋６
ｘ
－５
，当 ｘ
≥８
时，Ｐ（ｘ）
＝ １０
ｘ
－ １１
ｘ
＋
４
ｘ
９
－３５ －５＝ ３０
＝
１２０
＝１２０ ｍｉｎ＝
４
－
６
( ) 答：当 ｋ 时，该汽车行驶 千米的耗油量的最
７５≤ ≤１００ １００
－ ｘ ＋ ４ ｘ ９ ， 小值为 ( ｋ２ ) 升；当 ｋ 时，该汽车行驶 千米的
２０－ ６０≤ ＜７５ １００
所以Ｐ（ｘ） ＝ ì í ï ï ï － ２ １ ( ｘ２ ＋６ ｘ － ) ５ ， ０＜ ｘ ＜８ ， 耗油量的最小 ９０ 值 ０ 为 ( １０ ４ ５ － ６ ｋ ) 升．
î ï ３０－ ｘ ＋ ４ ｘ ９ ，ｘ ≥８ ． 例 （２０１８福建三明联考，６）用清水洗衣服 每次能洗去
，
（
２
）当
０＜
ｘ
＜８
时，Ｐ（ｘ）
＝－
１ （ｘ
－６
）２
＋１３
， 污垢的 ３
，
要使存留的污垢不超过
１
％
，
则至少要洗的次数是
２ ４
当ｘ 时，Ｐ（ｘ）取得最大值Ｐ（ ） ， 参考数据 ．
＝６ ６ ＝１３ （ ：ｌｇ２≈０３０１） （ ）
当ｘ 时，Ｐ′（ｘ） ４９ ， Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
≥８ ＝－１＋ｘ２＜０
解析 设洗衣次数为 ｘ，则
(
３
)ｘ
１ ， ｘ １
所以Ｐ（ｘ）为减函数， １－ ≤ ∴ ≥ ≈
４ １００ ｌｇ２
． ，因此至少需要洗 次，故选 ．
所以当ｘ 时，Ｐ（ｘ）取得最大值 Ｐ（ ） １２７，因为 ３３２２ ４ Ｂ
＝８ ８ ＝ １３ 答案 Ｂ
８
例 我们处在一个有声世界里 不同场合 人们对声音的
１２７， ， ，
＜ 音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝 对于一个强
８ （ｄＢ），
故当年产量为 万件时，小李在这一产品的生产中所获利
Ｉ
８ 度为Ｉ的声波 其音量的大小η可由如下公式计算 η
， ： ＝１０ｌｇ Ｉ
润最大，最大利润为１２７ 万元．
０
８
其中Ｉ 是人耳能听到声音的最低声波强度 则 的声
例 （２０１７江苏常州教育学会学业水平检测）某辆汽车 （ ０ ）， ７０ ｄＢ
音的声波强度Ｉ 是 的声音的声波强度Ｉ 的
以ｘ千米／时的速度在高速公路上匀速行驶 考虑到高速公路 １ ６０ ｄＢ ２ （ ）
（
行车安全要求 ｘ 时 每小时的耗油量 所需要的汽 ７ 倍 ７ ６倍
６０≤ ≤１２０） ， （ Ａ． Ｂ．１０
( ) ６
油量 为 １ ｘ ｋ ４５００ 升 其中ｋ为常数 且 ｋ ．
） － ＋ ｘ ， ， ６０≤ ≤１００ 倍 ７
５ Ｃ．１０ Ｄ．ｌｎ
若汽车以 千米／时的速度行驶时 每小时的耗油量 ６
为 （ ． １） 升 欲使每小 １２ 时 ０ 的耗油量不超过 升 ， 求ｘ的取值范围 解析 由η Ｉ 得Ｉ Ｉ １ η ０，
１１５ ， ９ ， ； ＝１０ｌｇ Ｉ ＝ ０１０
求该汽车行驶 千米的耗油量的最小值． ０
（２） １００ 所以Ｉ Ｉ ７，Ｉ Ｉ ６，
( ) １＝ ０１０ ２＝ ０１０
解析 （ ）由题意知，当 ｘ 时， １ ｘ ｋ ４５００ ． Ｉ
１ ＝１２０ ５ － ＋ ｘ ＝１１ 所以 Ｉ １ ＝１０ ，
， ｋ ，
５ ∴ ＝１００ ( ) 所以 ２ 的声音的声波强度Ｉ 是 的声音的声波
由 １ ｘ ４５００ ， ７０ ｄＢ １ ６０ ｄＢ
－１００＋ ｘ ≤９ 强度Ｉ 的 倍，故选 ．
５ ２ １０ Ｃ
得ｘ２ ｘ ， ｘ ． 答案 Ｃ
－１４５ ＋４５００≤０ ∴４５≤ ≤１００
又 ｘ ， ｘ ． 例 （２０１８全国名校第三次大联考）某市垃圾处理站每
６０≤ ≤１２０ ∴６０≤ ≤１００
故ｘ的取值范围为 ｘ ． 月的垃圾处理量最少为 吨 最多为 吨 月处理成本 ｙ
６０≤ ≤１００ ４００ ， ６００ ，
（ ）设该汽车行驶 千米的耗油量为ｙ升，则 元 与月垃圾处理量ｘ 吨 之间的函数关系可近似地表示为
２ ( １００ ) ｋ （ ） （ ）
ｙ
＝
１０
ｘ
０· １ ｘ
－
ｋ
＋
４５
ｘ
００
＝２０－
２
ｘ
０
＋
９０
ｘ
０
２
００（
６０≤
ｘ
≤１２０
）． ｙ
＝
１ ｘ２
－２００
ｘ
＋８０ ０００，
且每处理一吨垃圾得到的可利用的资
５ ２
[ ] 源值为 元．
令ｔ １ ，则ｔ １ ，１ ， １００
＝ ｘ ∈ 该站每月垃圾处理量为多少吨时 才能使每吨垃圾的
１２０ ６０
( ｋ ) ２ ｋ２ 平均 （ 处 １ 理 ） 成本最低 ，
ｙ ｔ２ ｋｔ ｔ ， ？
∴ ＝９００００ －２０ ＋２０＝９００００ － ＋２０－ 该站每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果
９０００ ９００
（２） ？ ， ；
该函数图象的对称轴为直线ｔ ｋ ． 不获利 则需要市财政补贴 至少补贴多少元才能使该站不
∴ ＝ ， ，
９０００ 亏损
ｋ [ ] ？
ｋ ， １ ，１ ．
∵６０≤ ≤１００ ∴ ∈
９０００ １５０ ９０
１７４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｙ 当ｘ在什么范围内时 乘坐定制公交的平均时间少于
解析 （ ）由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为 （１） ，
１ ｘ ＝ 自行打车的平均时间
？
求该校学生参加考试出行平均时间ｇ ｘ 的表达式 讨
１ ｘ ８００００ １ ｘ·８００００ ． （２） （ ） ；
＋ ｘ －２００≥２ ｘ －２００＝２００ 论ｇ ｘ 的单调性 并说明其实际意义．
２ ２ （ ） ，
当且仅当 １ ｘ ８００００， 解析 （ ）由题意知，当 ｘ 时， ｆ（ｘ） ｘ １８００
＝ ｘ １ ３０＜ ＜１００ ＝ ２ ＋ ｘ －
２
即ｘ
＝４００
时等号成立，
９０＞４０
，即ｘ２
－６５
ｘ
＋９００＞０
，解得ｘ
＜２０
或ｘ
＞４５
，
∴
ｘ
∈
（
４５
，
１００
）
故该站垃圾月处理量为 吨时，才能使每吨垃圾的平均 时，乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间．
４００
处理成本最低，最低成本为 元． ｘ
２００ （ ）当 ｘ 时，ｇ（ｘ） ·ｘ％ （ ｘ％） ；
（ ）不获利．设该站每月获利Ｓ元， ２ ０＜ ≤３０ ＝３０ ＋４０ １－ ＝４０－
２ １０
( ) ( )
则Ｓ ｘ １ ｘ２ ｘ １ ｘ２ ｘ ， 当 ｘ 时，ｇ（ｘ） ｘ １８００ ·ｘ％ （ ｘ％）
＝１００ － －２００ ＋８００００ ＝－ ＋３００ －８００００ ３０＜ ＜１００ ＝ ２ ＋ ｘ －９０ ＋４０ １－
２ ２
因为ｘ ［ ， ］，所以Ｓ ［ ， ］． ì ｘ
∈ ４００ ６００ ∈ －８００００ －４００００ ï ， ｘ ，
故该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴 元才 ｘ２ ï４０－ ０＜ ≤３０
４００００ １３ｘ ． ｇ（ｘ） í １０
能不亏损． ＝ － ＋５８∴ ＝ïｘ２
５０ １０ ï １３ｘ ， ｘ ，
例 为了降低能源损耗 某体育馆的外墙需要建造隔热 î － ＋５８ ３０＜ ＜１００
， ５０ １０
层 体育馆要建造可使用 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建 当 ｘ ． 时，ｇ（ｘ）单调递减；
， ２０ ， ０＜ ＜３２５
造成本为 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 Ｃ 单位 万 当 ． ｘ 时，ｇ（ｘ）单调递增．
６ （ ： ３２５＜ ＜１００
ｋ 说明当 ． ％以上的人自行打车时，人均通勤时间开始
元 与隔热层厚度ｘ 单位 满足关系 Ｃ ｘ ｘ ３２５
） （ ：ｃｍ） ： （ ）＝ ｘ （０≤ ≤ 增加．
３ ＋５
ｋ为常数 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 万元．设ｆ 例 （２０１９齐鲁名校教科研协作体第一次联考，２０）某地
１０， ）， ， ８
ｘ 为隔热层建造费用与 年的能源消耗费用之和． 空气中出现污染 需喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算 每
（ ） ２０ ， ，
求ｋ的值及ｆ ｘ 的表达式 喷洒 个单位的去污剂 空气中释放的浓度 ｙ 单位 毫克／立
（１） （ ） ； １ ， （ ：
隔热层修建多厚时 总费用ｆ ｘ 达到最小 并求出最 方米 随着时间 ｘ 单位 天 变化的函数关系式近似为 ｙ
（２） ， （ ） ？ ） （ ： ） ＝
小值． ì ｘ
ï ｘ
解析 （ １ ）当ｘ ＝０ 时，Ｃ ＝８ ， ∴ ｋ ＝４０ ， í ï８－ ２ ，０＜ ≤４， 若多次喷洒 则某一时刻空气中的去污剂浓度
ï ，
ï３６ ｘ ．
Ｃ（ｘ） ４０ （ ｘ ）， îｘ ，４＜ ≤１０
∴ ＝ ｘ ０≤ ≤１０ ＋２
３ ＋５ 为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验
ｆ（ｘ） ｘ ２０×４０ ｘ ８００（ ｘ ）． 知 当空气中去污剂的浓度不低于 毫克／立方米 时 它才能
∴ ＝６ ＋ ｘ ＝６ ＋ ｘ ０≤ ≤１０ ， ４（ ） ，
３ ＋５ ３ ＋５ 起到去污作用．
（ ）ｆ（ｘ） （ ｘ ） ８００ ， 若一次喷洒 个单位的去污剂 则去污时间可达几天
２ ＝２ ３ ＋５ ＋ ｘ －１０
３ ＋５ （１） １ ， ？
令 ｘ ｔ，ｔ ［ ， ］， 若第一次喷洒 个单位的去污剂 天后再喷洒ａ个
３ ＋５＝ ∈ ５ ３５ （２） １ ，６
单位的去污剂 要使接下来的 天中能够持续有效去污 试求ａ
则ｙ ｔ ８００ ， ， ４ ，
＝２ ＋ ｔ －１０ 的最小值． 精确到 ．
（ ０１）
{ ｘ ， { ｘ ，
ｙ′ ８００， ０＜ ≤４ ４＜ ≤１０
∴ ＝２－ ｔ２ 解析 （
１
）依题意，令ｙ
≥４
，则 ｘ 或
３６ ，
８－ ≥４ ｘ ≥４
当 ｔ 时，ｙ′ ，ｙ ｔ ８００ 为减函数； ２ ＋２
５≤ ＜２０ ＜０ ＝２ ＋ ｔ －１０ 解得 ｘ 或 ｘ ， ｘ ，
０＜ ≤４ ４＜ ≤７ ∴０＜ ≤７
一次喷洒 个单位的去污剂，去污时间可达 天．
当 ｔ 时，ｙ′ ，ｙ ｔ ８００ 为增函数． ∴ １ ７
２０＜≤３５ ＞０ ＝２ ＋ ｔ －１０ （ ）设从第一次喷洒起，经ｘ（ ｘ ）天空气中的去污剂
２ ６＜ ≤１０
浓度为ｆ（ｘ），
函数ｙ ｔ ８００ 在ｔ 时取得极小值，即最小值，
∴ ＝２ ＋ ｔ －１０ ＝２０ ( ｘ ) ａ
则ｆ（ｘ） ３６ ａ －６ ３６ ｘ ａ（ ｘ ），
此时ｘ ，因此ｆ（ｘ）的最小值为 ． ＝ｘ ＋ ８－ ＝ｘ － ＋１１ ６＜ ≤１０
＝５ ７０ ＋２ ２ ＋２ ２
隔热层修建 厚时，总费用ｆ（ｘ）达到最小，最小值为 依题意ｆ（ｘ） 对一切ｘ （ ， ］恒成立， ｆ（ｘ） ．
∴ ５ ｃｍ ≥４ ∈ ６ １０ ∴ ｍｉｎ≥４
万元． 易知ｆ（ｘ）在（ ， ］上单调递减， ｆ（ｘ） ｆ（ ） ａ，
７０ ６ １０ ∴ ｍｉｎ＝ １０ ＝３＋６
例 （２０１９福建福鼎三校联考，２０）某中学高二年级组织
ａ ， ａ １ ． ，故ａ的最小值为 ． ．
外出参加学业水平考试 出行方式为 乘坐学校定制公交或自 ∴３＋６ ≥４ ∴ ≥ ≈０２ ０２
， ： ６
行打车前往 大数据分析显示 当ｘ％ ｘ 的学生选择自
， ， （０＜ ＜１００）
行打 车 时 自 行 打 车 的 平 均 时 间 为 ｆ ｘ 考法二 函数的综合应用
， （ ） ＝
{ ｘ 例５ （２０２１ 届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学 ９ 月月
３０，０＜ ≤３０，
ｘ １８００ ｘ （ 单位 ： 分钟 ）， 而乘坐定制公交的平 考）已知函数ｆ （ ｘ ）＝４ ｘ － ａ ·２ ｘ ＋１ ＋１ ．
２ ＋ ｘ －９０，３０＜ ＜１００ 若函数ｆ ｘ 在ｘ 上有最大值 求实数ａ的值
均时间不受ｘ影响
，
恒为
４０
分钟
，
试根据上述分析结果回答下 （１）
若方程ｆ
（
ｘ
）
在
∈［
ｘ
０，２］
上有解
－８
求
，
实数ａ的取值
；
列问题 （２） （ ）＝０ ∈［－１，２］ ，
：
范围．
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １７５
解析 （ ）因为 ｘ ［ ， ］，所以 ｘ ［ ， ］，令 ｔ ｘ，ｔ
１ ∈ ０ ２ ２ ∈ １ ４ ＝２ ∈ 答案 Ｃ
［
１
，
４
］，所以得到函数ｆ（ｔ）
＝
ｔ２
－２
ａｔ
＋１
，图象为抛物线，开口向上，
思路 分析 作出ｆ ｘ 的图象 根据函数与方程之间的关
（ ） ，
对称轴为ｔ ａ，当 ａ ５ 时，则在 ｔ 处， ｆ（ｔ）取最大值，即 系 确定ｘ ｘ ｘ 的取值范围 结合对数的运算法则进行化简
＝ ≤ ＝４ ， １， ２， ３ ，
２ 求解即可．
ｆ（ｔ） ｆ（ ） ，所以 ａ ，解得ａ ２５，不满足ａ 例 （２０１８江西吉安八所重点中学４月联考，１２）定义在
ｍａｘ＝ ４ ＝－８ １６－８ ＋１＝－８ ＝ ≤
８ 实数集Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ
（ ） （ ＋２）＝－（ ）， ∈［－１，
５ ，所以舍去．当ａ ５ 时，则在ｔ 处， ｆ（ｔ）取最大值，即ｆ（ｔ） 时 ｆ ｘ ｘ 则下列四个命题
＞ ＝１ ｍａｘ １］ ，（ ）＝ ， ：
２ ２ ｆ 函数ｆ ｘ 的最小正周期为
ｆ（ ） ，所以 ａ ，解得ａ ，满足ａ ５ ． ①（２０１８）＝０；② （ ） ２；
＝ １ ＝－８ １－２ ＋１＝－８ ＝５ ＞ ２ 当ｘ 时 方程ｆ ｘ １ 有 个根
综上，ａ的值为 ． ③ ∈［－２０１８，２０１８］ ， （ ）＝ ２ ２０１８ ；
５ [ ] 方程ｆ ｘ ｘ 有 个根．
（ ）因为 ｘ ［ ， ］，所以 ｘ １ ， ，令 ｍ ｘ，ｍ ④ （ ）＝ｌｏｇ５｜ ｜ ５
２ ∈ －１ ２ ２ ∈ ４ ＝２ ∈ 其中真命题的个数为
２ （ ）
[ ]
１ ， ，所以得到函数ｆ（ｍ） ｍ２ ａｍ ， Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
４ ＝ －２ ＋１ 解析 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ）， ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ），
２ ∵ ＋２ ＝－ ∴ ＋４ ＝－ ＋２ ＝
令ｆ（ｍ） ，得ｍ２ ａｍ ，即 ａ ｍ １ ， ∴
函数ｆ（ｘ）的最小正周期为
４
，故
②
错误．
＝０ －２ ＋１＝０ ２ ＝ ＋ｍ
ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），
∴ ２０１８ ＝ ４×５０４＋２ ＝ ２ ＝－ ０
所以要使ｆ（ｍ） 有解，则直线ｙ ａ与函数ｙ ｍ １ 的图 当ｘ ［ ， ］时， ｆ（ｘ） ｘ，
＝０ ＝２ ＝ ＋ｍ ∵ ∈ －１ １ ＝
ｆ（ ） ，即ｆ（ ） ，故 正确．
[ ] ∴ ０ ＝０ ２０１８ ＝０ ①
象有交点，而函数ｙ ｍ １ 在 １ ， 上单调递减，在（ ， ］上单 函数ｆ（ｘ）在实数集Ｒ上为奇函数， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ），
＝ ＋ｍ １ １ ４ ∵ ∴ － ＝ －
２ ｆ（ｘ ） ｆ（ ｘ），即函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ 对称．
∴ ＋２ ＝ － ＝１
调递增，故在ｍ 时，有ｙ ，在ｍ 时，有ｙ １７， 画出函数ｆ（ｘ）的图象如图所示：
＝１ ｍｉｎ＝２ ＝４ ｍａｘ＝
４
所以可得 ａ １７，所以 ａ １７．
２≤２ ≤ １≤ ≤
４ ８
{ }
即ａ的取值范围是 ａ ａ １７ ．
１≤ ≤
８
方法总结 函数的综合应用基本思路
：
首先确定函数的定义域 由图象可得，当ｘ ［ ， ］时，方程ｆ（ｘ） １ 有 个根，故
（１） ； ∈ －２ ２ ＝ ２
２
拆分或化简解析式
（２） ； 当ｘ ［ ， ］时，方程ｆ（ｘ） １ 有
确定函数的单调性 奇偶性 周期性 ∈ －２０１８ ２０１８ ＝ ２ ０１８÷２×２＝２ ０１８
（３） 、 、 ； ２
引入导数 不等式等工具 运用数形结合 分类讨论 化 个根，故 正确；画出ｙ ｘ 的图象如图所示，与函数ｆ（ｘ）
归与
（
转
４
化
）
等数学思
、
想解决问题．
， 、 、
的图象有
③
个交点，即方
＝
程
ｌｏｇ５
ｆ（
｜
ｘ）
｜
ｘ 有 个根，故 正确．
５ ＝ｌｏｇ５｜ ｜ ５ ④
故选
Ｃ．
例 （２０１９ 福建八校一模，１２） 已知函数 ｆ ｘ 答案 Ｃ
{ ｜ ｌｎ ｘ ｜， ０＜ ｘ ＜ｅ，
（ ） ＝
例 （２０１９天一中学检测，１８）对于函数ｆ ｘ 若在定义
若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ有三个不同的零点ｘ （ ），
ｅ ｘ ， ｘ ≥ｅ， （ ）＝ （ ）－ １， 域内存在实数ｘ ， 满足ｆ （－ ｘ ）＝－ ｆ （ ｘ ）， 则ｆ （ ｘ ） 称为 “ 局部奇函
数 ．
ｘ ｘ ”
ｘ ｘ 且ｘ ｘ ｘ 则 １ ２ 的取值范围为 已知二次函数 ｆ ｘ ａｘ２ ｘ ａ 试判断 ｆ ｘ 是不是
２， ３， １＜ ２＜ ３， ｆ
（
ｘ
３）
（ ）
局部
（１
奇
）
函数 并说明理
（
由
）＝ ＋ －４ ， （ ）
“ ”， ；
Ａ．（０，１］ Ｂ．（０，１） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．［１，＋∞） 若ｆ ｘ ｘ ｍ是定义在区间 上的 局部奇函
（２） （ ）＝２ ＋ ［－１，１］ “
解析 作出直线ｙ
＝
ｍ及ｆ（ｘ）的图象如图，由ｇ（ｘ）
＝
ｆ（ｘ） 数 求实数ｍ的取值范围
”， ；
－ ｍ ＝０ 得ｆ（ｘ） ＝ ｍ， ∵ ｘ １＜ ｘ ２＜ ｘ ３ ， ∴０＜ ｘ １＜１ ， １＜ ｘ ２＜３ ，ｘ ３＞ｅ ，则由ｆ （３） 若ｆ （ ｘ ）＝４ ｘ － ｍ ２ ｘ ＋１ ＋ ｍ２ －３ 为定义域Ｒ上的 “ 局部奇函
（ｘ ） ｆ（ｘ ），得 ｘ ｘ ，即 ｘ ｘ ，得 ｘ ｘ 数 求实数ｍ的取值范围．
１ ＝ ２ ｜ｌｎ １｜＝｜ｌｎ ２｜ －ｌｎ １＝ｌｎ ２ ｌｎ １＋ｌｎ ２ ”，
ｘ ｘ ｘ 解析 ｆ（ｘ）为“局部奇函数”等价于关于ｘ的方程ｆ（ｘ）
（ｘ ｘ ） ，即ｘ ｘ ， ｆ（ｘ ） ｅ ，则 １ ２ １ ３ ｅ ＋
＝ｌｎ １ ２ ＝０ １ ２＝１ ３ ＝ ｘ ｆ（ｘ ）＝ ＝ ＞ ＝ ｆ（ ｘ） 在定义域内有解．
３ ３ ｅ ｅ ｅ － ＝０
ｘ
３
（
１
）对于ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
＋
ｘ
－４
ａ（ａ
∈
Ｒ），方程ｆ（ｘ）
＋
ｆ（
－
ｘ）
＝ ０
，
ｘ ｘ
１ ，即 ｆ（ １ ｘ ２ ） 的取值范围是（ １ ， ＋∞ ），故选 Ｃ． 即 ２ ａ（
所
ｘ
以
２ －４
ｆ（
）
ｘ
＝
）
０
为
，由
“局
题
部
意
奇
得
函
ａ ≠
数
０
”
，
．
则ｘ ＝±２ ，
３
（ ）对于ｆ（ｘ） ｘ ｍ， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） 即 ｘ － ｘ ｍ ，
２ ＝２ ＋ ＋ － ＝０ ２ ＋２ ＋２ ＝０
因为ｆ（ｘ）的定义域为［ ， ］，所以方程 ｘ － ｘ ｍ 在
－１ １ ２ ＋２ ＋２ ＝０
［ ， ］上有解．
－１ １
[ ]
令ｔ ｘ，ｔ １ ， ，则 ｍ ｔ １ ，设ｇ（ｔ） ｔ １ ，
＝２ ∈ ２ －２ ＝ ＋ ｔ ＝ ＋ ｔ
２
１７６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｔ２ 例 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的
则ｇ′（ｔ） １ －１， ，
＝１－ｔ２ ＝ ｔ２ 科学家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ｖ
， ＝５ｌｏｇ２
当ｔ （ ， ）时，ｇ′（ｔ） ，故ｇ（ｔ）在（ ， ）上为减函数； Ｑ
∈ ０ １ ＜０ ０ １ 单位是 其中Ｑ表示燕子的耗氧量．
当ｔ （ ， ）时，ｇ′（ｔ） ，故ｇ（ｔ）在（ ， ）上为增函 ， ｍ／ｓ，
∈ １ ＋∞ ＞０ １ ＋∞ １０
[ ] [ ] 试计算 燕子静止时的耗氧量是多少个单位
数．所以ｔ １ ， 时，ｇ（ｔ） ，５ ． （１） ： ；
∈ ２ ∈ ２ 当一只燕子的耗氧量是 个单位时 它的飞行速度是
２ ２ （２） ８０ ，
[ ] [ ] 多少
所以 ｍ ，５ ，故ｍ ５ ， ． ？
－２ ∈ ２ ２ ∈ － ４ －１ 解析 （ ）由题意知，当燕子静止时，它的速度为 ，代入
（ ３ ）对于ｆ（ｘ） ＝４ ｘ － ｍ ２ ｘ ＋１ ＋ ｍ２ －３ ， ｆ（ｘ） ＋ ｆ（ － ｘ） ＝０ 可化为 １ Ｑ ０
４
ｘ
＋４
－ ｘ
－２
ｍ（
２
ｘ
＋２
－ ｘ）
＋２
ｍ２
－６＝０
． 题目所给关系式可得 ０＝５ｌｏｇ２
１０
，解得Ｑ ＝１０ ，
令ｔ ｘ － ｘ，ｔ ［ ， ），则 ｘ － ｘ ｔ２ ， 即燕子静止时的耗氧量为 个单位．
＝２ ＋２ ∈ ２ ＋∞ ４ ＋４ ＝ －２ １０
从而ｔ２ ｍｔ ｍ２ 在［ ， ）有解即可保证ｆ（ｘ）为
－２ ＋２ －８＝０ ２ ＋∞ （ ）将耗氧量Ｑ 代入关系式得ｖ ８０
“局部奇函数”． ２ ＝８０ ＝５ｌｏｇ２ ＝５ｌｏｇ２８＝
１０
令Ｆ（ｔ） ｔ２ ｍｔ ｍ２ ， （ ），即当一个燕子的耗氧量为 个单位时，它的飞行速
＝ －２ ＋２ －８ １５ ｍ／ｓ ８０
①
当Ｆ（
２
）
≤０
时，ｔ２
－２
ｍｔ
＋２
ｍ２
－８＝０
在［
２
，
＋∞
）有解， 度为
１５ ｍ／ｓ
．
由Ｆ（
２
）
≤０
，即
２
ｍ２
－４
ｍ
－４≤０
， 例 （２０１８上海杨浦一模）如图所示
，
用总长为定值ｌ的
篱笆围成长方形的场地 以墙为一边 并用平行于一边的篱笆
解得 ｍ ； ， ，
１－ ３≤ ≤１＋ ３ 隔开．
当Ｆ（ ） 时，ｔ２ ｍｔ ｍ２ 在［ ， ）有解等
② ２ ＞０ －２ ＋２ －８＝０ ２ ＋∞
价于
{Δ ｍ２ （ ｍ２ ） ，
＝４ －４ ２ －８ ≥０
ｍ ， 解得 ｍ ．
＞２ １＋ ３＜ ≤２ ２ 设场地面积为ｙ 垂直于墙的边长为ｘ 试用解析式将ｙ
Ｆ（ ） ， （１） ， ，
２ ＞０ 表示成ｘ的函数 并确定这个函数的定义域
综上，所求实数ｍ的取值范围为｛ｍ ｍ ｝． ， ；
｜１－ ３≤ ≤２ ２ 怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少
思路分析 （ ）由“局部奇函数”的定义，知ｆ（ｘ）为“局部 （２） ？ ？
１ 解析 （ ）设平行于墙的边长为ａ，
奇函数”等价于关于ｘ的方程ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） 在定义域有解， １
＋ － ＝０ 则篱笆总长ｌ ｘ ａ，
结合函数ｆ（ｘ） ａｘ２ ｘ ａ，解方程即可得结论；（ ）若ｆ（ｘ） ｘ ＝３ ＋
＝ ＋ －４ ２ ＝２ 即ａ ｌ ｘ，
＋ ｍ是定义在［ －１ ， １ ］上的“局部奇函数”，则 ２ ｘ ＋２ － ｘ ＋２ ｍ ＝０ 在 ＝ －３ ( ｌ )
［ ， ］有解，分离参数，利用导数求函数的最值，进而可得实 场地面积ｙ ｘ（ｌ ｘ），ｘ ， ．
－１ １ ∴ ＝ －３ ∈ ０
数ｍ的取值范围；（ ）若ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的“局部奇函数”， ３
３ ( ｌ ) ２ ｌ２ ( ｌ )
则ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） 有解，根据分类讨论思想，结合一元二次方 （ ）ｙ ｘ（ｌ ｘ） ｘ２ ｌｘ ｘ ，ｘ ， ，
＋ － ＝０ ２ ＝ －３ ＝－３ ＋ ＝－３ － ＋ ∈ ０
程根的分布，列不等式（组）求出满足条件的ｍ的取值范围可 ６ １２ ３
ｌ ｌ２
得结果． 当ｘ 时，ｙ ，
∴ ＝ ｍａｘ＝
６ １２
ｌ
故当场地垂直于墙的边长为 时，面积最大，最大面积
６
ｌ２
为 ．
１２
正确的是
（ ）
等于 ． 在 ． 到 ． 之间
Ａ． １２５ Ｂ． １２５ １２６
等于 ． 大于 ．
Ｃ． １２６ Ｄ． １２６
考法一 解函数应用题的方法
答案 Ｄ
１．（２０１９河南郑州模拟，７）某电动汽车 行车数据 的两次记录 ２．（２０２１届湖南９月份百校联考，８）太阳是位于太阳系中心的
“ ”
如下表
：
恒星
，
其质量Ｍ大约是
２×１０
３０千克
，
地球是太阳系八大行星之
ｍ
记录时间
累计里程 平均耗电量
（
单 剩余续航里程 一
，
其质量ｍ大约是
６×１０
２４千克．下列各数中与
Ｍ
最接近的是
单位 千米 位 ／千米 单位 千米
（ ： ） ：ｋＷ·ｈ ） （ ： ） 参考数据 ． ．
年 月 日 ． （ ：ｌｇ３≈０４７７１，ｌｇ６≈０７７８２） （ ）
２０１９ １ １ ４０００ ０１２５ ２８０ －５ ． ５１９ －５ ． ５２１ －５ ． ５２３ －５ ． ５２５
Ａ．１０ Ｂ．１０ Ｃ．１０ Ｄ．１０
年 月 日 ． 答案 Ｃ
２０１９ １ ２ ４１００ ０１２６ １４６
( ３．（２０２０河南南阳一中第一次月考，２２）某厂生产某种产品的年
注 累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程 累计耗电
： ， 固定成本为 万元 每生产ｘ千件 需另投入成本为Ｃ ｘ 万
２５０ ， ， （ ）
量指汽车从出厂开始累计消耗的电量 平均耗电量
累计耗电量 剩余电量 )
， ＝ 元
，
当年产量不足
８０
千件时
，
Ｃ
（
ｘ
）＝
１ ｘ２
＋１０
ｘ
；
当年产量不小
剩余续航里程 ３
累计里程 ， ＝平均耗电量
于 千件时 Ｃ ｘ ｘ １００００ ．每件商品的售价为
下面对该车在两次记录时间段内行驶 千米的耗电量估计 ８０ ， （ ）＝ ５１ ＋ ｘ －１ ４５０
１００
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １７７
． 万元．通过市场分析 该厂生产的商品能全部销售完． 出定义 能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称
００５ ， ：
写出年利润 Ｌ ｘ 万元 关于年产量 ｘ 千件 的函数解 为这个圆的 优美函数 给出下列命题
（１） （ ）（ ） （ ） “ ”， ：
析式 对于任意一个圆Ｏ 其 优美函数 有无数个
； ① ， “ ” ；
年产量为多少千件时 该厂在这一产品的生产中所获利润
（２） ， ②
函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ（
ｘ２
＋
ｘ２
＋１）
可以是某个圆的
“
优美函数
”；
最大 最大利润是多少
函数ｙ ｘ可以同时是无数个圆的 优美函数
， ？ ③ ＝１＋ｓｉｎ “ ”；
函数ｙ ｘ 可以同时是无数个圆的 优美函数
考法二 函数的综合应用 ④ ＝２ ＋１ “ ”；
函数ｙ ｆ ｘ 是 优美函数 的充要条件为函数ｙ ｆ ｘ 的图
４．（多选题）（２０２１届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学９月月考， ⑤ ＝ （ ） “ ” ＝ （ ）
象是中心对称图形．
１１）下列函数中 既是奇函数又在区间 上单调递增的是
， （０，１） 其中正确的命题是 ．
（ ）
ｙ ｘ３ ｘ ｙ ｘ ｘ
Ａ． ＝２ ＋４ Ｂ． ＝ ＋ｓｉｎ（－ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ － ｘ
Ｃ． ＝ｌｏｇ２｜ ｜ Ｄ． ＝２ ＋２
答案 ＡＢ
５．（２０１９福建漳州模拟，１６）中国传统文化中很多内容体现了数
学的对称美 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆 答案
， ①③④
形图案 充分展现了相互转化 对称统一的形式美 和谐美．给
， 、 、
由共需支付门票费为 元可知 ｂ ａ
１２９０ ，１≤ ≤５０，５１≤ ≤１００，
得 ａ ｂ 联立 解得ａ ｂ ．
１１ ＋１３ ＝１２９０，④ ③④ ＝７０， ＝４０
这两个旅游团队的人数之差为 ．故选 ．
考法一 解函数应用题的方法 ∴ ７０－４０＝３０ Ｂ
３．（２０２０江西南昌模拟，７）衡东土菜辣美鲜香 享誉三湘．某衡
，
１．（２０２０北京延庆一模，９）某企业生产Ａ Ｂ两种型号的产品 每 东土菜馆为实现 万元年经营利润目标 拟制订员工的奖励
， ， １００ ，
年的产量分别为 万支和 万支 为了扩大再生产 决定对两种 方案 在经营利润超过 万元的前提下奖励 且奖金ｙ 单位
１０ ４０ ， ， ： ６ ， （ ：
产品的生产线进行升级改造 预计改造后的Ａ Ｂ两种产品的年产 万元 随经营利润ｘ 单位 万元 的增加而增加 但奖金总数不
， ， ） （ ： ） ，
量的增长率分别为 ％和 ％ 那么至少经过多少年后 Ａ产品的 超过 万元 同时奖金不能超过利润的 ％．下列函数模型中
５０ ２０ ， ， ３ ， ２０ ，
年产量会超过Ｂ产品的年产量 取 ． 符合该要求的是
？ （ ｌｇ２＝０３０１０） （ ） （ ）
Ａ．６ 年 Ｂ．７ 年 Ｃ．８ 年 Ｄ．９ 年 （ 参考数据 ：１ ． ０１５ １００ ≈４ ． ４３２，ｌｇ１１≈１ ． ０４１）
答案 Ｂ 本题考查函数的实际应用问题 考查学生灵活运 ｙ ． ｘ ｙ ． ｘ
， Ａ． ＝００４ Ｂ． ＝１０１５ －１
用所学的函数知识分析 解决问题的能力 渗透数学建模与数 ( ｘ )
、 ，
ｙ ｙ ｘ
学运算的核心素养
，
体现数学应用性的特点． Ｃ． ＝ｔａｎ
１９
－１ Ｄ． ＝ｌｏｇ１１（３ －１０）
Ａ型号的产品年产量为 万支 年产量的增长率为 ％ 经过 答案 Ｄ 本题结合现实生活情境 考查了函数模型的应
１０ ， ５０ ， ，
ｎ年后产量为 ％ ｎ 万支 Ｂ型号的产品年产量为 用 考查了数学建模的核心素养．
１０（１＋５０ ） ， ４０ ，
万支 年产量的增长率为 ％ 经过 ｎ 年后产量为 对于函数ｙ ． ｘ 当ｘ 时 ｙ 不符合题意
％ ， ｎ 万支 Ａ 产品的年产 ２０ 量超 ， 过 Ｂ 产品的年产量 ４０ 则 （１ 有 ＋ 对于函数ｙ ＝０ ． ０４ ， ｘ 当 ＝１ ｘ ００ ， 时 ＝４ ｙ ＞３， ． 不符 ； 合题意
１ ２ ０ ０ （ 因 １ ） 而 ＋５ 经 ０ ％ 过 ） ， ｎ ＞ 年 ４０ 后 （１＋ Ａ ２０ 产 ％ 品 ） ｎ 的 ， 整 年 理 产 得 量 ｎ 超 ｌｇ 过 ５＞ Ｂ （ ｎ 产 ＋ 品 １） 的 ｌｇ 年 ４， 产 解 ， 量 得ｎ 故 ＞ 对于函数ｙ ＝ ＝ １ ｔａｎ ０１ ( ５ ｘ － － １ １ ， ) ， 不 ＝ 满 １０ 足 ０ 在 ， ｘ ∈ ＝３ （６ ４ ， ３ １ ２ ０ ＞ ０ ３ ］ ， 上递增 ， 不符 ；
６， ７ ， ， １９
选 ． 合题意 对于函数ｙ ｘ 满足在ｘ 上是增
２．（２０
Ｂ
２０四川绵阳模拟，８） 年 月 国内新冠肺炎疫情得 函数 且
；
ｙ
＝ｌｏｇ１１（３ －１０）， ∈（６，１００］
画出ｙ
到有效控制 人们开始走出
２０
家
２０
门享
３
受春
，
光．某旅游景点为吸引
， ≤ｌｏｇ１１（３×１００－１０）＝ｌｏｇ１１２９０＜ｌｏｇ１１１３３１＝３， ＝
游客
，
推出团 ， 体购票优惠方案如表
： ５
１ ｘ与ｙ ＝ｌｏｇ１１（３ ｘ －１０） 的图象如图所示 ， 符合题意．故选 Ｄ ．
购票人数 以上
１～５０ ５１～１００ １００
门票价格 元／人 元／人 元／人
１３ １１ ９
两个旅游团队计划游览该景点 若分别购票 则共需支付门票
， ，
费 元 若合并成一个团队购票 则需支付门票费 元
１２９０ ； ， ９９０ ，
那么这两个旅游团队的人数之差为
（ ） ４．（２０１７北京房山一模，１４） 中华人民共和国个人所得税法
《 》
Ａ．２０ Ｂ．３０ Ｃ．３５ Ｄ．４０ 规定 从 年 月 日开始 个人所得税起征点由原来的
答案 Ｂ 设两个旅游团队的人数分别为ａ
，
ｂ
，
且ａ
，
ｂ
∈
Ｎ∗
，
：
元提
２
高
０１１
到
９
元
１
也就是
，
说原来月收入超过 元的
不妨令ａ ｂ． 不能被 整除 ａ ｂ ． ２０００ ３５００ ， ２ ０００
≥ ∵１２９０ １３ ，∴ ＋ ≥５１ 部分需要纳税 从 年 月 日开始 超过 元的部分
若 ａ ｂ 则 ａ ｂ 得ａ ｂ ， ２０１１ ９ １ ， ３ ５００
５１≤ ＋ ≤１００， １１（ ＋ ）＝９９０， ＋ ＝９０，① 需要纳税 若税法修改前后超过部分的税率相同 按下表分段
由共需支付门票费为 元可知 ａ ｂ ， ，
１２９０ ，１１ ＋１３ ＝１２９０，② 计税
联立 解得ｂ ａ 不符合题意 ：
若ａ ① ｂ ② 则 ＝１ ａ ５０ ｂ ， ＝－６０， 得ａ ｂ ； 级数 全月应纳税所得额 税率 （ ％ ）
＋ ＞１００， ９（ ＋ ）＝９９０， ＋ ＝１１０，③
１７８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
不超过 元的部分 故正确结论的序号为 ．
①④
１ １５００ ３
超过 元不超过 元的部分
２ １５００ ４５００ １０ 考法二 函数的综合应用
３ 超过 ４５００ 元不超过 ９０００ 元的部分 ２０ １．（２０１７四川绵阳一诊，９）已知定义在 上的函数ｆ ｘ
［０，＋∞） （ ）
某职工 年 月缴纳个人所得税 元 在收入不变的情 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 设ｆ ｘ 在
２０１１ ５ ２９５ ， （ ＋１）＝２（ ）， ∈［０，１） ， （ ）＝－ ＋ ， （ ）
况下
，２０１１
年
１０
月该职工需缴纳个人所得税 元．
［
ｎ
－１，
ｎ
）
上的最大值为ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则ａ
３＋
ａ
４＋
ａ
５＝ （ ）
答案
１４５ ７ ５
解析 调整前 月收入为 元时 需纳税 Ａ．７ Ｂ． Ｃ． Ｄ．１４
， ２ ０００＋１ ５００＝３ ５００ ， ８ ４
． 元 答案 Ａ 由题意知 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ
１５００×００３＝４５ ， ， ∈［０，１） ， （ ）＝ － ＋ ＝
( )
月收入为 ３５００＋３ ０００＝６ ５００ 元时 ， 需纳税 ４５＋３ ０００×０ ． １＝ ｘ １ ２ １ 当ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
元 － － ＋ ； ∈［１，２） ， －１∈［０，１）， （ ）＝２ （ －１）
２ ４
３４５ ， ( )
∵４５＜２９５＜３４５，∴ 该职工的月收入超过 ３ ５００ 元且不超过 ＝－２（ ｘ －１） ２ ＋２（ ｘ －１）＝－２ ｘ － ３ ２ ＋ １ ， 由函数的图象与性质
元 该职工在超过 元不超过 元的部分纳税 ２ ２
６５００ ，∴ １５００ ４ ５００ 可知 ｆ ｘ 在 上的图象可由ｆ ｘ 在 上的图象向右
元 故超过 不超过 元的部分为 ， （ ） ［１，２） （ ） ［０，１）
２９５－４５＝２５０ ， １ ５００ ４ ５００ ２５０÷ 平移一个单位长度 并沿ｙ轴正方向向上拉伸为原来的 倍得到
． 元 ， ２ ，
０１＝２５００ ， 以此类推 可以在平面直角坐标系中画出ｆ ｘ 的图象 如图 ．
该职工的月收入为 元． ， （ ） （ ）
∴ ３５００＋２５００＝６０００
年 月该职工需缴纳个人所得税 ．
∴ ２０１１ １０ １５００×００３＋（６０００－
． 元．
３５００－１５００）×０１＝１４５
５．（２０１６北京西城期末，１４）某食品的保鲜时间ｔ 单位 小时
（ ： ）
{ ｘ
与储藏温度ｘ 单位 满足函数关系 ｔ ６４， ≤０， 且该食
（ ：℃） ＝ ｋｘ ＋６ ｘ
２ ， ＞０，
品在 的保鲜时间是 小时．
４ ℃ １６
已知甲在某日上午 时购买了该食品 并将其遗放在室外 且
此日的室外温度随时
１０
间的变化如图所示
，
．给出以下四个结论
， 再根据ｆ
（
ｘ
）
在
［
ｎ
－１，
ｎ
）
上的最大值为ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
结合图象
，
：
该食品在 的保鲜时间是 小时 可知 ａ 是以 １ 为首项 为公比的等比数列 所以ａ ａ ａ
① ６ ℃ ８ ； ｛ ｎ｝ ，２ ， ３＋ ４＋ ５
当ｘ 时 该食品的保鲜时间 ｔ 随着 ｘ 增大而逐渐 ４
② ∈［－６，６］ ， ．故选 ．
减少 ＝１＋２＋４＝７ Ａ ( ) ｘ
； ｜ －１｜
到了此日 时 甲所购买的食品还在保鲜时间内 ２．（２０１９山西吕梁模拟，１２）记函数ｆ ｘ １ ｘ在
（ ）＝ ＋ｃｏｓ π
③ １３ ， ； ２
到了此日 时 甲所购买的食品已然过了保鲜时间． ｎ
④ １４ ， 区间 上的零点分别为ｘ ｘ ｉ ｎ 则 ｘ
其中
，
所有正确结论的序号是 ． （－２，４） ＝ ｉ（ ＝１，２，…， ）， ∑ｉ＝
１
ｉ＝
（ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
( ) ｘ ( ) ｘ
｜ －１｜ ｜ －１｜
答案 Ｃ 由 ｆ ｘ １ ｘ 得 １
（ ）＝ ＋ｃｏｓ π ＝０ － ＝
２ ２
( ) ｘ
｜ －１｜
ｘ 设ｇ ｘ １ ｈ ｘ ｘ 则ｇ ｘ 的图象关
ｃｏｓ π ， （ ）＝－ ， （ ）＝ｃｏｓ π ， （ ）
２
于直线ｘ 对称 ｈ ｘ 的图象也关于直线ｘ 对称 作出两
＝１ ， （ ） ＝１ ，
个函数的图象 如图 由图象知在 上两个函数图象有
， ， （－２，４） ７
个交点 其中 个交点两两关于直线ｘ 对称 第 个交点的
， ６ ＝１ ， ７
答案 横坐标为 设关于直线ｘ 对称的 个交点的横坐标从小到
①④ １， ＝１ ６
解析 该食品的保鲜时间ｔ 单位 小时 与储藏温度ｘ 单 ａ ｆ ｂ ｅ ｃ ｄ ｎ
∵ （ ： ） （ 大为ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ 则满足 ＋ ＋ ＋ 所以 ｘ
位 满足函数关系ｔ
{
６４，
ｘ
≤０，
， ， ， ， ， ，
２
＝
２
＝
２
＝１， ∑ｉ＝
１
ｉ＝３×２
：℃） ＝ ２ ｋｘ ＋６ ， ｘ ＞０， ＋１＝６＋１＝７， 故选 Ｃ．
且该食品在 的保鲜时间是 小时
４ ℃ １６ ，
{ ｘ
４ ｋ ＋６ 即 ｋ 解得ｋ １ ｔ ６４， ≤０，
∴２ ＝１６， ４ ＋６＝４， ＝－ ２ ，∴ ＝ ２ －１ ２ ｘ ＋６ ， ｘ ＞０ ．
当ｘ 时 ｔ 故 该食品在 的保鲜时间是 小时
＝６ ， ＝８， ① ６ ℃ ８ ，
正确
；
②
当ｘ
∈［－６，０］
时
，
保鲜时间恒为
６４
小时
，
当ｘ
∈（０，６］
时
，
该 ３．（多选题）有一组实验数据如下表所示
：
食品的保鲜时间ｔ随着ｘ的增大而逐渐减小 故错误
， ； ｘ
到了此日 时 温度超过 此时保鲜时间不超过 小 １ ２ ３ ４ ５
③ １０ ， ８ ℃， ４ ｙ ． ． ． ．
时 故到了此日 时 甲所购买的食品不在保鲜时间内 故 １５ ５９ １３４ ２４１ ３７
， １３ ， ，
错误 则下列所给函数模型较不适合的是
； （ ）
到了此日 时 甲所购买的食品已然过了保鲜时间 故 ｙ ｘ ａ ｙ ａｘ ｂ ａ
④ １４ ， ， Ａ． ＝ｌｏｇａ （ ＞１） Ｂ． ＝ ＋ （ ＞１）
正确．
Ｃ．
ｙ
＝
ａｘ２
＋
ｂ
（
ａ
＞０） Ｄ．
ｙ
＝ｌｏｇａ
ｘ
＋
ｂ
（
ａ
＞１）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １７９
答案 ＡＢＤ 由所给数据可知ｙ随ｘ的增大而增大 且增长 因为当ｘ 时 ｙ ｙ 所以当印制 千个证书时 选择乙厂更
， ＞６ ， １＞ ２， ８ ，
速度越来越快 而 中的函数的增长速度越来越慢 中的 节省费用 故 不正确．故选 ．
， Ａ，Ｄ ，Ｂ ， Ｅ ＡＢＣＤ
函数增长速度保持不变．故选 ． ５．（２０１８上海崇明一模，２１）若存在常数ｋ ｋ 使得对定义域
ＡＢＤ （ ＞０），
４．（多选题）某单位准备印制一批证书 现有两个印刷厂可供选 Ｄ内的任意ｘ ｘ ｘ ｘ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ ｋ ｘ ｘ 成
， １， ２（ １≠ ２）， ｜ （ １）－ （ ２）｜≤ ｜ １－ ２｜
择 甲厂费用分为制版费和印刷费两部分 先收取固定的制版 立 则称函数ｆ ｘ 在其定义域Ｄ上是 ｋ 利普希兹条件函数 ．
， ， ， （ ） “ － ”
费 再按印刷数量收取印刷费 乙厂直接按印刷数量收取印刷 若函数ｆ ｘ ｘ ｘ 是 ｋ 利普希兹条件函数 求
， ， （１） （ ）＝ （１≤ ≤４） “ － ”，
费 甲厂的总费用ｙ 千元 乙厂的总费用ｙ 千元 与印制证 常数ｋ的最小值
， １（ ）， ２（ ） ；
书数量ｘ 千个 的函数关系图象分别如图中甲 乙所示 则 判断函数ｆ ｘ ｘ是不是 利普希兹条件函数 若
（ ） 、 ， （２） （ ）＝ｌｏｇ２ “２－ ”，
是 请证明 若不是 请说明理由
（ ） ， ； ， ；
若ｙ ｆ ｘ ｘ Ｒ 是周期为 的 利普希兹条件函数
（３） ＝ （ ）（ ∈ ） ２ “１－ ”，
证明 对任意的实数ｘ ｘ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ ．
： １， ２， ｜ （ １）－（ ２）｜≤１
解析 若函数ｆ ｘ ｘ ｘ 是 ｋ 利普希兹条件
（１） （ ）＝ （１≤ ≤４） “ －
函数 则存在ｋ ｋ 使得对于定义域 上任意两个ｘ
”， （ ＞０）， ［１，４］ １，
ｘ ｘ ｘ 均有 ｆ ｘ ｆ ｘ ｋ ｘ ｘ 成立
２（ １≠ ２）， ｜ （ １）－（ ２）｜≤ ｜ １－ ２｜ ，
ｘ ｘ
Ａ． 甲 甲 厂 厂 的 的 总 制 费 版 用 费为 ｙ １ 与 千 印 元 制 ， 证 印 书 刷 数 费 量 平均 ｘ之 每 间 个 的 为 函 ０ ． 数 ５ 元 关系式为ｙ 不妨设ｘ １＞ ｘ ２， 则ｋ ≥ ｘ １ １ － － ｘ ２ ２ ＝ ｘ １＋ １ ｘ ２ 恒成立．
Ｂ． ． ｘ １ １ ｘ ｘ １ １ １ ｋ的最小值为 １ ．
＝０５ ＋１ ∵１≤ ２＜ １≤４，∴ ＜ ｘ ｘ ＜ ，∴
当印制证书数量不超过 千个时 乙厂的印刷费平均每个为 ４ １＋ ２ ２ ２
Ｃ． ２ ，
． 元 ｆ ｘ ｘ的定义域为 令ｘ １ ｘ １
１５ （２） （ ）＝ｌｏｇ２ （０，＋∞）， １＝ ， ２＝ ，
当印制证书数量超过 千个时 乙厂的总费用ｙ 与印制证
( ) ( )
２ ４
Ｄ． ２ ， ２ 则ｆ １ ｆ １ １ １
书数量ｘ之间的函数关系式为ｙ １ ｘ ５ － ＝ｌｏｇ２ －ｌｏｇ２ ＝－１－（－２）＝１，
２＝ ＋ ２ ４ ２ ４
４ ２
若该单位需印制证书数量为 千个 则该单位选择甲厂更节 而 ｘ ｘ １ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ
Ｅ． ８ ， ２｜ １－ ２｜＝ ，∴ （ １）－（ ２）＞２｜ １－ ２｜，
省费用 ２
函数ｆ ｘ ｘ不是 利普希兹条件函数 ．
答案 ＡＢＣＤ 由题图知甲厂的制版费为 １ 千元 ， 印刷费平 ∴ 设ｆ （ ｘ ） 的 ＝ｌ 最 ｏｇ 大 ２ 值为 “ Ｍ ２－ 最小值为ｍ 在一个 ” 周期 内
均每个为 ． 元 故 正确 甲厂的总费用ｙ 与印制证书数量 （３） （ ） ， ， ［０，２］
ｘ
量
满
不
足
超
的
过
函 ０
２
数
千
５ 关
个
， 系
时
式
， 乙
Ａ 为
厂
ｙ
的
１＝ ；
印
０ ．
刷
５ ｘ
费
＋１
平
，
均
故
每
Ｂ
个
正
为
１ 确
３
； 当
÷２
印
＝１
制
． ５
证
元
书
，
数
故
ｆ 则
若
（ ａ
｜
） ｆ
ａ （
＝ ｘ
ｂ
Ｍ
１）
，
－
ｆ ｆ （
（
ｂ ｘ
显
）
２）
＝
然 ｜
ｍ
≤ 有
， Ｍ
ｆ －
ｍ
ｘ ＝
ｆ
（ ｆ
ａ
） ｘ －
ｆ
（
ｂ
）≤ ａ ｜
ａ
ｂ －
ｂ
｜
．
．
｜ － ｜≤１， ｜ （ １）－（ ２）｜≤｜ － ｜≤１
正确 易知当ｘ 时 ｙ 与ｘ之间的函数关系式为ｙ １ ｘ 若 ａ ｂ 不妨设ａ ｂ 则 ｂ ａ
Ｃ ； ＞２ ， ２ ２＝ ４ ＋ ｜ ｆ － ｘ ｜＞１ ｆ ， ｘ Ｍ ＞ ｍ ， ｆ ０ ａ ＜ ＋ ｆ ２－ ｂ ＜１， ａ ｂ ．
∴ ｜ （ １）－（ ２）｜≤ － ＝ （ ）－（ ＋２）≤｜ － －２｜＜１
５ 故 正确．当ｘ 时 ｙ ． ｙ １ ５ ９ 综上 ｆ ｘ ｆ ｘ ．
， Ｄ ＝８ ， １＝０５×８＋１＝５， ２＝ ×８＋ ＝ ， ，｜ （ １）－（ ２）｜≤１
２ ４ ２ ２
解析 （ ）ｆ（ｘ） （ｘ ｍ）（ ｘ） ｘ２ （ ｍ）ｘ （
１ ＝ －４－ １４－ ＝－ ＋ １８＋ －１４ ４＋
ｍ），定义域为［ ， ］．
９ １０
( ｍ ) ２ ( ｍ) ２
例 （２０２０ 河南八市重点中学 ９ 月月考，２１） （ ）由（ ）知ｆ（ｘ） ｘ ＋１８ １０－ ．
“２０１９ ２ １ ＝－ － ＋
２ ２
年 是一个重要的时间节点 中华人民共和国成立 周年和 ｍ (ｍ )
” ——— ７０ 当 ｍ 时， １８＋ ， ｆ（ｘ）的最大值为ｆ ＋１８
全面建成小康社会的关键之年． 年披荆斩棘 年砥砺奋进 １≤ ≤２ ９＜ ≤１０ ＝
７０ ，７０ ， ２ ２
７０ 年风雨兼程 ，７０ 年沧桑巨变 ， 勤劳勇敢的中国人用自己的双 ( １０－ ｍ) ２ ．当 ｍ 时， ｍ ＋１８ ， ｆ（ｘ）的最大值为 ｆ（ ）
手创造了一项项辉煌的成绩 取得了举世瞩目的成就．趁此良机 ２＜ ≤３ ＞１０ １０ ＝
， ， ２ ２
李明在某网店销售 新中国成立 周年纪念册 每本纪念册进 ｍ
“ ７０ ”， （ ｍ） ｍ．综上可知，当 ｍ 时，售价为 ＋１８元，
价 元 物流费 管理费共为ｍ ｍ 元／本 预计当每本纪 ４ ６－ ＝２４－４ １≤ ≤２
４ ， 、 （１≤ ≤３） ， ２
念册的售价为ｘ元 ｘ 时 月销售量为 ｘ 千本． ( ｍ) ２
（９≤ ≤１０） ， （１４－ ） ｆ（ｘ）取得最大值 １０－ 千元．当 ｍ 时，售价为 元，
求月利润ｆ ｘ 千元 与每本纪念册的售价ｘ 元 的函 ２＜ ≤３ １０
（１） （ ）（ ） （ ） ２
数关系式 并注明定义域 ｆ（ｘ）取得最大值（ ｍ）千元．
， ； ２４－４
当ｘ为何值时 月利润ｆ ｘ 最大 并求出最大月利润． 方法总结 认真阅读 还原函数模型题解决此类问题的关键
（２） ， （ ） ？ ， ，
解题导引 本例以 中华人民共和国成立 周年 为背景创 通过对还原的函数模型的研究 得出对生活 或实际问题 的结论．
“ ７０ ” ， （ ）
设情境 考查二次函数模型的建立及运用 以模型解决实际问题．
， ，
１８０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ ｘ ｘ 处的函数值分别为 ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ
（ １＜ ２＜ ３） １ ＝ （ １）， ２ ＝ （ ２）， ３ ＝
ｆ ｘ 则在区间 ｘ ｘ 上ｆ ｘ 可以用二次函数来近似代替
（ ３）， ［ １， ３］ （ ） ，
ｙ ｙ
１．（２０２０福建永安一中、漳平一中第一次联考，８）将甲桶中的ａ ｆ
（
ｘ
）＝
ｙ
１＋
ｋ
１（
ｘ
－
ｘ
１）＋
ｋ
２（
ｘ
－
ｘ
１）（
ｘ
－
ｘ
２），
其中 ｋ
１ ＝ｘ
２－
ｘ
１
，
ｋ
＝
升水缓慢注入空桶乙中 ｔ分钟后甲桶中剩余的水量符合指数 ２－ １
衰减曲线ｙ ＝ ａ ｅ ｎｔ．假设过 ， ５ 分钟 ａ 后甲桶和乙桶的水量相等 ， 若 ｙ ｘ ３ ３ － － ｙ ｘ ２ ２ ， ｋ ２＝ｘ ｋ ３ － － ｋ ｘ １ １ ．若令ｘ １＝０， ｘ ２＝ π ２ ， ｘ ３＝π， 请依据上述算法 ，
再过ｍ分钟甲桶中的水只有 升
，
则ｍ的值为
（ ）
估算 π的值是
４ ｓｉｎ （ ）
５
Ａ．５ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０
答案 Ａ Ａ． １４ Ｂ． ３ Ｃ． １６ Ｄ． １７
２５ ５ ２５ ２５
２．（２０２０江西新余四中月考，１１）中国古代近似计算方法源远流 答案 Ｃ
长 早在 世纪 我国著名数学家张遂为编制 大衍历 发明了
， ８ ， 《 》
一种二次不等距插值算法．若函数ｙ ｆ ｘ 在ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
＝ （ ） ＝ １， ＝ ２， ＝ ３
１．（２０１７北京顺义二模，８）某学校为了提高学生综合素质 树立
、
社会主义荣辱观 发展创新能力和实践能力 促进学生健康成
、 、
长 开展评选 校园之星 活动．规定各班每 人推选一名候选
， “ ” １０
人 当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名候选人 那
， １０ ７ ，
么 各班可推选候选人人数ｙ与该班人数ｘ之间的函数关系用
， 图
取整函数ｙ ｘ ｘ 表示不大于ｘ的最大整数 可以表示为 １
＝［ ］（［ ］ ）
（ ）
[ ｘ ] [ｘ ]
ｙ ｙ ＋２
Ａ． ＝ Ｂ． ＝
１０ １０
[ｘ ] [ｘ ]
ｙ ＋３ ｙ ＋４
Ｃ． ＝ Ｄ． ＝
１０ １０
答案 Ｂ 采用特值法．令余数分别为 和 将两个临界值
７ ８，
[ ] [ ]
代入选项加以判断． ７ ８ 排除
＝０， ＝０， Ａ；
１０ １０ 图
[ ] [ ] ２
７＋２ ８＋２ 符合 根据图 有以下四个说法
＝０， ＝１，Ｂ ；
１０ １０ １， ：
[ ] [ ] 在第二圈的 ． 到 ． 之间 赛车速度逐渐增加
７＋３ ８＋３ 排除 ① ２６ ｋｍ ２８ ｋｍ ， ；
＝１， ＝１， Ｃ； 在整个跑道中 最长的直线路程不超过 ．
１０ １０ ② ， ０６ ｋｍ；
[ ] [ ] 大约在第二圈的 ． 到 ． 之间 赛车开始了那段最
７＋４ ８＋４ 排除 ．故选 ． ③ ０４ ｋｍ ０６ ｋｍ ，
＝１， ＝１， Ｄ Ｂ 长直线路程的行驶
１０ １０ ；
２．某食品的保鲜时间ｙ 单位 小时 与储藏温度ｘ 单位 满 在图 的四条曲线 注 ｓ为初始记录数据位置 中 曲线Ｂ
（ ： ） （ ：℃） ④ ２ （ ： ） ，
足函数关系ｙ ｋｘ ＋ ｂ ． 为自然对数的底数 ｋ ｂ 为常 最符合赛车的运动轨迹．
＝ｅ （ｅ＝２ ７１８… ， ，
数 ．若该食品在 的保鲜时间是 小时 在 的保鲜 其中 所有正确说法的序号是 ．
） ０ ℃ １９２ ， ２２ ℃ ，
时间是 小时 则该食品在 的保鲜时间是 答案
４８ ， ３３ ℃ ①④
小时． 解析 由题图 看 在 ． 到 ． 之间 赛车速度从
１ ， ２ ６ ｋｍ ２ ８ ｋｍ ，
答案 逐渐增加到 对
２４ １００ ｋｍ／ｈ １４０ ｋｍ／ｈ，① ；
解析 依题意有 １９２＝ｅ ｂ ，４８＝ｅ ２２ ｋ ＋ ｂ ＝ｅ ２２ ｋ ·ｅ ｂ ， 在 ０ ． ４ｋｍ 到 １ ． ２ｋｍ 之间 ， 赛车应该是缓慢加速到平稳行驶 ， 最
长直线路程超过 ． 错
所以 ｅ ２２ ｋ ＝ ４８ ｂ ＝ ４８ ＝ １ ， 所以 ｅ １１ ｋ ＝ １ 或 － １ （ 舍去 ）， 在 ． 到 ． ０６ 之 ｋｍ 间 ，② 赛车 ； 开始了最长直线路程的行驶
ｅ １９２ ４ ２ ２ １４ ｋｍ １８ ｋｍ ， ，
( ) 错
于是该食品在 ３３℃ 的保鲜时间是 ｅ ３３ ｋ ＋ ｂ ＝（ｅ １１ ｋ ） ３ ·ｅ ｂ ＝ １ ３ × ③ 从题 ； 图 看 赛车先直线行驶一小段距离 然后减速拐弯 然后
２ １ ， ， ，
小时 ． 直线行驶一大段距离 再减速拐弯 再直线行驶一大段距离 然
１９２＝２４（ ） ， ， ，
３．（２０１６北京西城一模，１４）一辆赛车在一个周长为 的封 后拐弯后直线行驶一小段距离 曲线 Ｂ 最符合赛车的运动轨
３ ｋｍ ，
闭跑道上行驶 跑道由几段直道和弯道组成 图 反映了赛车 迹 对．
， ， １ ，④
在 计时赛 整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 失分警示 利用图象还原赛车的路线要考虑实际情况 特别
“ ” ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １８１
地 进入弯道前就需要提前减速．不考虑实际情况会得出错误 ( )ｔ
， Ｍ ｔ ２
的结论． ∴ （ ）＝１００ ＋２４，
５
４．（２０１８ 北京东城二模，１４）某种物质在时刻 ｔ 的浓度 将ｔ 代入得Ｍ ． ．
（ｍｉｎ） ＝４ （４）＝２６５６
Ｍ 与ｔ的函数关系为Ｍ ｔ ａｒｔ ａ ｒ为常数 ．在ｔ ( )ｔ
（ｍｇ／Ｌ） （ ）＝ ＋２４（ ， ） ＝ 由题意得 ２ ．
和ｔ 时 测得该物质的浓度分别为 和 １００ ＋２４＜２４００１，
６
０
４
ｍ
ｍ
ｉｎ
ｇ／Ｌ，
＝
那
１
么
ｍ
在
ｉｎ
ｔ ＝４
，
ｍｉｎ 时 ， 该物质的浓度为
１２ ４ ｍｇ
ｍ
／
ｇ
Ｌ
／Ｌ； 即
(
２
)ｔ
．
５
即
(
２
)ｔ
－５
若该物质的浓度小于 ． 则最小整数 ｔ 的值 １００ ５ ＜０００１， ５ ＜１０ ，
２４ ００１ ｍｇ／Ｌ，
为 ． 参考数据 ． 两边取以 为底的对数得ｔ ２
（ ：ｌｇ２≈０３０１０） １０ ｌｇ ＜－５，
答案 ． ５
２６５６；１３ ｔ ｔ
解析 由题意知当ｔ 时 Ｍ 即ａ 解得ａ （ｌｇ２－ｌｇ５）＜－５，［ｌｇ２－（１－ｌｇ２）］＜－５，
＝０ ， ＝１２４， ＋２４＝１２４， ＝
ｔ ｔ －５ ｔ ．
１００；
当ｔ
＝１
时
，
Ｍ
＝６４，
即ａｒ
＋２４＝６４，∴
ｒ
＝
２
，
（２ｌｇ２－１）＜－５，∴ ＞
２ｌｇ２－１
，∴ ｍｉｎ＝１３
５
结合上图 下列说法错误的是
， （ ）
的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
Ａ．５Ｇ
设备制造商的经济产出前期增长较快 后期放缓
Ｂ． ，
例 （２０２０河北衡水中学考试，３）由我国引领的 时 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
５Ｇ Ｃ．
代已经到来 的发展将直接带动包括运营 制造 服务在内的 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
，５Ｇ 、 、 Ｄ．
通信行业整体的快速发展 进而对 增长产生直接贡献 并 解题导引 本题以 时代为背景创设情境 引导学生关
， ＧＤＰ ， ５Ｇ ，
通过产业间的关联效应和波及效应 间接带动国民经济各行业
，
注社会现实和经济发展．考查学生收集数据 整理数据 处理数据
的发展 创造出更多的经济增加值 如图是某单位结合近年数 ， ，
， ，
的能力．
据 对今后几年的 经济产出所做的预测．
， ５Ｇ 解析 设备制造商的经济产出在 年将被信息服务商
２０２９
超过，故选 ．
Ｄ
答案 Ｄ
方法总结 仔细阅读题目 与社会生活联系 得出与实际相
， ，
符的结论．
古代对年龄的表述可谓是名目繁多 比如 二八年华 指女子
， “ ”
岁．乾隆曾出上联 花甲重逢 外加三七岁月 纪晓岚对下
１６ “ ， ”，
联 古稀双庆 更多一度春秋 暗指一位老人的年龄．根据类比
“ ， ”，
１．（２０２０安徽示范高中联考，７）在 九章算术 方田章圆田术
思想和文化常识 这位老人的年龄为
《 》
， （ ）
刘徽注 中指出 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不
岁 岁
（ ） ：“ ， ， ，
Ａ．７１ Ｂ．８１
可割 则与圆周合体而无所失矣． 注述中所用的割圆术是一种
岁 岁
， ”
Ｃ．１３１ Ｄ．１４１
无限与有限的转化过程．比如在 中 即代 答案 Ｄ
２＋ ２＋ ２＋… “…” ３．（命题标准样题，１９）给出一个满足以下条件的函数ｆ ｘ 并证
表无限次重复 但原式却是个定值ｘ 这可以通过方程 ｘ （ ），
， ， ＋２＝ 明你的结论．
ｘ确定出来 ｘ 类比上述结论可得
＝２， ｌｏｇ２（２＋ｌｏｇ２（２＋ｌｏｇ２（２＋ ｆ ｘ 的定义域是Ｒ 且其图象是一条连续不断的曲线
的正值为 ①（ ） ， ；
…））） （ ） ｆ ｘ 是偶函数
②（ ） ；
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ．２ Ｄ．４ ｆ ｘ 在 上不是单调函数
答案 Ｃ ③（ ） （０，＋∞） ；
ｆ ｘ 恰有 个零点．
２．（２０２０重庆万州二中第一次月考，８）中华文化博大精深．我国 ④（ ） ２
１８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
积不相等 故选项 错误
， Ｂ ；
当ｔ 时 ｙ ４ 故选项 错误
＝４ ， ＝３ ＝８１＞８０， Ｃ ；
对于 选项 ｔ ｔ ｔ
Ｄ ，∵３
１＝２，３ ２＝４，３ ３＝８，
１．（２０１８北京石景山期末，８，５分）小明在如图 所示的跑道上
ｔ ｔ ｔ
匀速跑步 他从点Ａ出发 沿箭头方向经过点Ｂ
１
跑到点Ｃ 共用
∴
又
１＝ｌｏｇ３２，２＝ｌｏｇ３４，３＝ｌｏｇ３８，
ｔ ｔ ｔ 故选项 正确．
时 他
，
的教练选择了
，
一个固定的位置观察小明跑步
，
的过
∵２ｌｏｇ３４＝ｌｏｇ３１６＝ｌｏｇ３２＋ｌｏｇ３８，∴２２＝ １＋ ３， Ｄ
故选ＡＤ．
３０ ｓ，
程 设小明跑步的时间为ｔ 他与教练间的距离为ｙ 表
３．（２０１８北京一六一中学期中，８）经济学家在研究供求关系时
， （ｓ）， （ｍ），
，
示ｙ与ｔ的函数关系的图象大致如图 所示 则这个固定位置
一般用纵轴表示产品价格 自变量 用横轴表示产品数量 因
２ ，
（ ）， （
可能是图 中的
变量 ．某类产品的市场供求关系在不受外界因素 如政府限制
１ （ ）
） （
最高价格等 的影响下 市场会自发调解供求关系 当产品价
） ， ：
格Ｐ 低于均衡价格Ｐ 时 需求量大于供应量 价格会上升为
１ ０ ， ，
Ｐ 当产品价格Ｐ 高于均衡价格Ｐ 时 供应量大于需求量 价
２； ２ ０ ， ，
格又会下降 价格如此波动下去 产品价格将会逐渐靠近均衡
， ，
价格Ｐ ．能正确表示上述供求关系的图象是
０ （ ）
点Ｍ 点Ｎ 点Ｐ 点Ｑ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ 假设这个位置在点Ｍ 则从Ａ至Ｂ这段时间 ｙ
Ａ． ， ，
不随时间的变化而变化 与函数图象不符 故本选项错误
， ， ；
假设这个位置在点Ｎ 则从Ａ至Ｃ这段时间 Ａ点与Ｃ点对
Ｂ． ， ，
应ｙ的大小应该相同 与函数图象不符 故本选项错误
， ， ；
假设这个位置在点Ｐ 由函数图象可得 从Ａ到Ｃ的过程中
Ｃ． ， ， ，
会有一个时刻 教练到小明的距离等于ｔ 时教练到小明的
， ＝３０
距离 而点Ｐ不符合这个条件 故本选项错误
， ， ；
经判断点Ｑ符合函数图象 故本选项正确．故选
Ｄ． ， Ｄ．
思路分析 分别假设这个位置在点Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ 然后结合图象
、 、 、 ，
进行判断．
２． 多选题 （２０２１届华南师范大学附中模拟）如图 某池塘里浮
（ ） ，
萍的面积ｙ 单位 ２ 与时间ｔ 单位 月 的关系为ｙ ａｔ．则下
（ ：ｍ ） （ ： ） ＝
列说法正确的是
（ ）
答案 Ｄ 因为当价格为Ｐ 时 需求量应大于供应量 由此
１ ， ，
可将 排除．
Ｂ、Ｃ
选项 的区别在于两条曲线的斜率变化的快慢．
Ａ、Ｄ
当价格为Ｐ 时 供应量大于需求量 价格下降为Ｐ 此时供应
２ ， ， ３，
量小于需求量 价格会上升为Ｐ 在价格由Ｐ 到Ｐ 的变化过
， ４， １ ４
程中 选项 和选项 的图象如图
， Ａ Ｄ ：
浮萍每月的增长率为
Ａ． ２
浮萍每月增加的面积都相等
Ｂ．
第 个月时 浮萍面积不超过 ２
Ｃ． ４ ， ８０ ｍ
若浮萍蔓延到 ２ ２ ２ 所经过的时间 单位 月 分
Ｄ． ２ ｍ ，４ ｍ ，８ ｍ （ ： ）
别是ｔ ｔ ｔ 则 ｔ ｔ ｔ
１，２，３， ２２＝ １＋ ３
答案 ＡＤ 由图象可知 函数图象过点 ａ 函
， （１，３），∴ ＝３，∴
ｔ ｔ ｔ
数解析式为ｙ ｔ ｔ 浮萍每月的增长率为３
＋１
－３ ２×３
＝３（ ≥０），∴ ｔ ＝ ｔ
３ ３ 由图可知 选项 的价格会越来越远离Ｐ 选项 越来越靠近
故选项 正确 ， Ａ ０， Ｄ
＝２， Ａ ； Ｐ ．故选 ．
函数ｙ ｔ是指数函数 是曲线型函数 浮萍每月增加的面 ０ Ｄ
∵ ＝３ ， ，∴
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １８３
考点 函数模型及函数的综合应用 实现人类历史上首次月球背面软着陆 我国航天事业取得又一
，
１．（２０２０课标Ⅲ，文４，理４，５分） 模型是常用数学模型 重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ
之一 可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地 是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题 发射了嫦娥四
， ，
区新冠肺炎累计确诊病例数Ｉ ｔ ｔ 的单位 天 的 模 号中继星 鹊桥 鹊桥沿着围绕地月拉格朗日Ｌ 点的轨道运
（ ）（ ： ） Ｌｏｇｉｓｔｉｃ “ ”， ２
Ｋ 行．Ｌ 点是平衡点 位于地月连线的延长线上．设地球质量为
型
：
Ｉ
（
ｔ
）＝ １＋ｅ －０ ． ２３（ ｔ －５３），
其中 Ｋ 为最大确诊病例数．当 Ｉ
（
ｔ∗
）＝ Ｍ １， 月
２
球质量为Ｍ ２
，
， 地月距离为Ｒ ， Ｌ ２ 点到月球的距离为ｒ ， 根
０
．
９５
Ｋ时
，
标志着已初步遏制疫情
，
则ｔ∗约为
（ｌｎ１９≈３） （ ）
据牛顿运动定律和万有引力定律
，
ｒ满足方程
：
Ｍ Ｍ Ｍ
Ａ．６０ Ｂ．６３ Ｃ．６６ Ｄ．６９ １ ２ Ｒ ｒ １．
答案 Ｃ Ｒ ｒ ２ ＋ｒ２ ＝（ ＋ ）Ｒ３
（ ＋ ）
２．（２０２０新高考Ⅰ，６，５分）基本再生数Ｒ 与世代间隔Ｔ是新 ｒ α３ α４ α５
０
设α ．由于α的值很小 因此在近似计算中３ ＋３ ＋
冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染 ＝ Ｒ ， α ２ ≈
（１＋ ）
的平均人数 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在 α３ 则ｒ的近似值为
， ３ ， （ ）
新冠肺炎疫情初始阶段 可以用指数模型 Ｉ ｔ ｒｔ描述累计 Ｍ Ｍ ３ Ｍ ３ Ｍ
， ： （ ）＝ｅ ２Ｒ ２ Ｒ ３ ２Ｒ ２ Ｒ
感染病例数Ｉ ｔ 随时间ｔ 单位 天 的变化规律 指数增长率 Ａ． Ｍ Ｂ． Ｍ Ｃ． Ｍ Ｄ． Ｍ
（ ） （ ： ） ， １ ２ １ １ ３ １
ｒ与Ｒ Ｔ近似满足Ｒ ｒＴ．有学者基于已有数据估计出Ｒ 答案 Ｄ
０， ０＝１＋ ０
． Ｔ ．据此 在新冠肺炎疫情初始阶段 累计感染病例 ５．（２０１９课标Ⅱ，１２，５ 分）设函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 满足
＝３ ２８， ＝６ ， ， （ ） ，
数增加 倍需要的时间约为 ． ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ．若对任意ｘ
１ （ｌｎ ２≈０ ６９） （ ） （ ＋１）＝２（ ）， ∈（０，１］ ， （ ）＝ （ －１）
． 天 ． 天 ． 天 ． 天
Ａ．１２ Ｂ．１８ Ｃ．２５ Ｄ．３５ ｍ 都有ｆ ｘ ８ 则ｍ的取值范围是
答案 Ｂ ∈（－∞， ］， （ ）≥－ ， （ ）
９
３．（２０２０北京，１０，４分） 年 月 日是全球首个国际圆周 ( ] ( ] ( ] ( ]
２０２０ ３ １４ ９ ７ ５ ８
率日 ．历史上 求圆周率 的方法有多种 与中国传统 Ａ． －∞， Ｂ． －∞， Ｃ． －∞， Ｄ． －∞，
（π Ｄａｙ） ， π ， ４ ３ ２ ３
数学中的 割圆术 相似 数学家阿尔 卡西的方法是 当正整 答案 Ｂ
“ ” ， · ：
数ｎ充分大时 计算单位圆的内接正 ｎ边形的周长和外切正 ６．（２０１７山东，１５，５分）若函数 ｘｆ ｘ ． 是自然对
， ６ ｅ （ ）（ｅ＝２７１８ ２８…
ｎ边形 各边均与圆相切的正 ｎ边形 的周长 将它们的算术 数的底数 在ｆ ｘ 的定义域上单调递增 则称函数ｆ ｘ 具有
６ （ ６ ） ， ） （ ） ， （ ） Ｍ
平均数作为 的近似值．按照阿尔 卡西的方法 的近似值 性质．下列函数中所有具有 性质的函数的序号为 ．
２π · ，π Ｍ
的表达式是 ｆ ｘ － ｘ ｆ ｘ － ｘ ｆ ｘ ｘ３ ｆ ｘ ｘ２
（ ） ①（ ）＝２ ②（ ）＝３ ③（ ）＝ ④（ ）＝ ＋２
( ° °) ( ° °) 答案
ｎ ３０ ３０ ｎ ３０ ３０ ①④
Ａ．３ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ Ｂ．６ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ
７．（２０１７浙江，１７，４ 分）已知 ａ Ｒ 函数 ｆ ｘ ｘ ４ ａ ａ
( ° °) ( ° °) ∈ ， （ ）＝ ＋ ｘ － ＋
ｎ ６０ ６０ ｎ ６０ ６０
Ｃ．３ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ Ｄ．６ ｓｉｎ ｎ ＋ｔａｎ ｎ 在区间 上的最大值是 则ａ的取值范围是 ．
［１，４］ ５，
答案 Ａ ( ]
答案 ９
４．（２０１９课标Ⅱ，４，５分） 年 月 日嫦娥四号探测器成功 －∞，
２０１９ １ ３ ２
考点 函数模型及函数的综合应用 数之和为 故选 ．
１０， Ｃ
１．（２０２０课标Ⅱ文，３，５分）如图 将钢琴上的 个键依次记为 { ｘ２ ｘ ｘ
， １２ ２．（２０１３课标Ⅰ理，１１，５分）已知函数ｆ ｘ － ＋２ ， ≤０，若
ａ ａ ａ 设 ｉ ｊ ｋ ．若ｋ ｊ 且ｊ ｉ 则称ａ ａ （ ）＝ ｘ ｘ ．
１， ２，…， １２， １≤ ＜＜ ≤１２ － ＝３ － ＝４， ｉ， ｊ， ｌｎ（ ＋１）， ＞０
ａ 为原位大三和弦 若ｋ ｊ 且ｊ ｉ 则称ａ ａ ａ 为原位 ｆ ｘ ａｘ 则ａ的取值范围是
ｋ ； － ＝４ － ＝３， ｉ， ｊ， ｋ ｜ （ ）｜≥ ， （ ）
小三和弦．用这 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三
１２ Ａ．（－∞，０］ Ｂ．（－∞，１］
和弦的个数之和为
（ ） Ｃ．［－２，１］ Ｄ．［－２，０］
{ｘ２ ｘ ｘ
答案 Ｄ 由题意作出ｙ ｆ ｘ －２ （ ≤０），的图象
＝｜ （ ）｜＝ ｘ ｘ ：
ｌｎ（ ＋１）（ ＞０）
Ａ．５ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１５
答案 Ｃ 根据已知条件可知原位大三和弦有ａ ａ ａ ａ 由题意结合图象知 当ａ 时 ｙ ａｘ与ｙ ｘ 在ｘ 时
１， ５， ８； ２， ， ＞０ ， ＝ ＝ｌｎ（ ＋１） ＞０
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 共 个．原位小三和弦有 必有交点 所以ａ ．当ｘ 时 ｆ ｘ ａｘ显然成立 当ｘ
６， ９； ３， ７， １０； ４， ８， １１； ５， ９， １２， ５ ， ≤０ ≥０ ，｜ （ ）｜≥ ； ＜０
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 共 个 所 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ａｘ 则ａ ｘ 恒成立 又ｘ ａ
１， ４， ８； ２， ５， ９； ３， ６， １０； ４， ７， １１； ５， ８， １２， ５ ， ，｜ （ ）｜＝ －２ ≥ ， ≥ －２ ， －２＜－２，∴ ≥
以用这 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个 ．综上 ａ 故选 ．
１２ －２ ，－２≤ ≤０， Ｄ
１８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
评析 本题考查了函数的综合应用，考查了数形结合的能 由对称性得ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
１＋ ８＝ ２＋ ７＝ ３＋ ６＝ ４＋ ５＝２，∴ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５
力．借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键． ｘ ｘ ｘ 故选 ．
＋ ６＋ ７＋ ８＝８， Ｄ
５．（２０１１课标文，１２，５分）已知函数ｙ ｆ ｘ 的周期为 当ｘ
３．（２０１２课标理，１２，５分）设点Ｐ在曲线ｙ １ ｘ 上 点Ｑ在曲 ＝ （ ） ２， ∈
＝ ｅ ， 时ｆ ｘ ｘ２ 那么函数ｙ ｆ ｘ 的图象与函数ｙ ｘ 的
２ ［－１，１］ （ ）＝ ， ＝ （ ） ＝｜ｌｇ ｜
线ｙ ｘ 上 则 ＰＱ 的最小值为 图象的交点共有
＝ｌｎ（２ ） ， ｜ ｜ （ ） （ ）
个 个 个 个
Ａ．１－ｌｎ２ Ｂ． ２（１－ｌｎ２） Ａ．１０ Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．１
答案 Ａ 在同一平面直角坐标系中分别作出ｆ ｘ 和 ｙ
Ｃ．１＋ｌｎ２ Ｄ． ２（１＋ｌｎ２） （ ） ＝
ｘ 的图象 如图．又 由图象知选 ．
答案 Ｂ 由 ｙ １ ｘ 得 ｘ ｙ 所以 ｘ ｙ 所以 ｙ ｜ｌｇ ｜ ， ｌｇ１０＝１， Ａ
＝ ｅ ｅ ＝２ ， ＝ｌｎ（２ ）， ＝
２
１ ｘ的反函数为ｙ ｘ 所以ｙ １ ｘ 与ｙ ｘ 的图象
ｅ ＝ｌｎ（２ ）， ＝ ｅ ＝ｌｎ（２ ）
２ ２
关于直线ｙ ｘ对称 所以两条曲线上的点的距离的最小值是
＝ ，
两条曲线上切线斜率为 的切点之间的距离 令 ｘ ′ 评析 本题考查函数的图象、周期等相关知识，考查学生作图、
１ ， ［ｌｎ（２ ）］ ＝
( )
１ 解得ｘ 令 １ ｘ ′ 解得ｘ 所以两切点分
用图能力，体现了数形结合思想．
ｘ ＝１， １＝１， ２ ｅ ＝１， ２＝ｌｎ２， ６．（２０１１湖北文，１５，５分）里氏震级Ｍ的计算公式为 ： Ｍ ＝ｌｇ Ａ －
别为 和 故ｄ 故选 ． Ａ 其中Ａ是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 Ａ 是相应
（１，ｌｎ２） （ｌｎ２，１）， ＝ ２（１－ｌｎ２）， Ｂ ｌｇ ０， ， ０
评析 本题考查了导数的应用，互为反函数的两函数图象的性 的标准地震的振幅．假设在一次地震中 测震仪记录的最大振
，
质，考查了数形结合的思想． 幅是 此时标准地震的振幅为 ． 则此次地震的震级
１０００， ０ ００１，
为 级 级地震的最大振幅是 级地震最大振幅
４．（２０１１课标理，１２，５分）函数ｙ １ 的图象与函数ｙ ｘ ；９ ５
＝ ｘ ＝２ｓｉｎ π 的 倍．
１－
ｘ 的图象所有交点的横坐标之和等于 答案
（－２≤ ≤４） （ ） ６；１００００
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ 解析 Ａ ＝１０００＝１０ ３ ， Ａ ０＝０ ． ００１＝１０ －３ ，
答案 Ｄ 函数ｙ
＝
１
ｘ＝ｘ
－１和ｙ Ｍ ＝ｌｇ１０ ３ －ｌｇ１０ －３ ＝３－（－３）＝６ ．
１－ －１ 设 级地震 级地震的最大振幅分别为Ａ Ａ 则 Ａ
ｘ的图象有公共的对称中心 ９ ，５ １， ２， ｌｇ １－９＝ｌｇ
＝２ｓｉｎ π Ａ Ａ
画出二者图象如图所示 易 Ａ 得 Ａ Ａ 即 １ １ ．
（１，０）， ， ２－５， ｌｇ １－ｌｇ ２＝４， ｌｇ Ａ ＝４，∴ Ａ ＝１００００
２ ２
知ｙ １ 与ｙ ｘ ｘ
＝ ｘ ＝２ｓｉｎ π （－２≤ ≤４）
１－
的图象共有 个交点 不妨设其横
８ ，
坐标为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 且
１， ２， ３， ４， ５， ６， ７， ８，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
１＜ ２＜ ３＜ ４＜ ５＜ ６＜ ７＜ ８，
时间： 分钟 分值： 分
４０ ６５
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２５ ）
１．（２０１９湖北荆门模拟，８）复利是一种计算利息的方法 即把前
，
一期的利息和本金加在一起算作本金 再计算下一期的利息．某
，
同学有压岁钱 元 存入银行 年利率为 ． ％ 若购买某理
１０００ ， ， ２２５ ，
财产品 年利率可达 ． ％．假设 年内各年利率保持不变 则将
， ４０１ ５ ，
这 元用于购买理财产品比存入银行可以多获利息
１０００ （ ）
参考数据 ． ４ ． ． ５ ． ． ５ ．
（ ：１０２２５ ＝１０９３，１０２２５ ＝１１１８，１０４０１ ＝１２１７）
元 元 元 元
Ａ．１７６ Ｂ．９９ Ｃ．７７ Ｄ．８８
答案 Ｂ
消耗 升汽油 乙车最多可行驶 千米
２．（２０２０海南中学第一次月考，８）汽车的 燃油效率 是指汽车 Ａ． １ ， ５
“ ” 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油最多
每消耗 升汽油行驶的里程 下图描述了甲 乙 丙三辆汽车在 Ｂ． ， ，
１ ， 、 、 甲车以 千米／小时的速度行驶 小时 消耗 升汽油
不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 Ｃ． ８０ １ ， １０
（ ） 某城市机动车最高限速 千米／小时．相同条件下 在该市
Ｄ． ８０ ，
用丙车比用乙车更省油
答案 Ｄ
３．（２０２０河北武邑中学期中，８）有关数据显示 中国快递行业产
，
生的包装垃圾在 年约为 万吨 年的年增长率为
２０１５ ４００ ，２０１６
％ 有专家预测 如果不采取措施 未来包装垃圾还以此增长
５０ ， ， ，
率增长 从 年开始 快递业产生的包装垃圾超过
， ， ４０００
万吨． 参考数据 ． ．
（ ：ｌｇ２≈０３０１０，ｌｇ３≈０４７７１） （ ）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １８５
７．（２０２１届山东新泰第一中学１０月月考，１２）已知ｆ ｘ 是定义
Ａ．２０２０ Ｂ．２０２１ Ｃ．２０２２ Ｄ．２０２３ （ ）
答案 Ｂ 域为Ｒ的函数 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
， （ ）＝ （ －４）， （ ＋２）＝ （２－ ）， ０≤
４．（２０２０福建泉州３月适应性线上测试，３）下图为服用同等剂 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则下列说法正确的是
≤２ ，（ ）＝ － ， （ ）
量的三种新药后血药浓度 的变化情况 其中点Ａ 的 函数ｆ ｘ 是偶函数
（ｍｇ／ｍＬ） ， ｉ Ａ． （ ）
横坐标表示服用第ｉ种药后血药浓度达到峰值 最高浓度 时 函数ｆ ｘ 的最小正周期为
（ ） Ｂ． （ ） ４
间 其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降
， 当 ｘ 时 函数ｆ ｘ 的最小值为 １
到峰值一半时所用的时间 单位 点Ａ 的纵坐标表示服用 Ｃ． ０≤ ≤４ ， （ ） －
（ ：ｈ）， ｉ ２
第ｉ种药后血药浓度的峰值 ｉ ．记Ｖ 为服用第ｉ种药 方程ｆ ｘ ｘ 有 个实根
（ ＝１，２，３） ｉ Ｄ． （ ）＝ｌｏｇ３｜ ｜ １０
后达到血药浓度峰值时 血药浓度提高的平均速度 记Ｔ为服 答案 ＡＢＤ
， ， ｉ
用第ｉ种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时
间 则Ｖ Ｖ Ｖ 中最小的 Ｔ Ｔ Ｔ 中最大的分别是
， １， ２， ３ ， １， ２， ３ （ ）
三、填空题 共 分
（ ５ ）
８．（２０１９吉林第一次调研测试，１６）某工厂投资 万元开发新产
１００
品 第一年获利 万元 从第二年开始每年获利比上一年增加
， １０ ，
％ 从第ｎ年开始 前ｎ年获利总和超过投入的 万元 则ｎ
２０ ， ， １００ ， ＝
． 参考数据 ． ．
（ ：ｌｇ２≈０３０１０，ｌｇ３≈０４７７１）
答案
７
四、解答题 共 分
（ ２５ ）
Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ Ｖ Ｔ ９．（２０２０南京学情调研，１７）随着城市地铁建设的持续推进 市
Ａ． 答 ２ 案 ， ３ Ｂ Ｂ． ２， ２ Ｃ． １， ３ Ｄ． １， ２ 民的出行越来越便利．根据大数据统计 某条地铁线路运行 ， 时
， ，
{ ｘ ｘ 发车时间间隔ｔ 单位 分钟 满足 ｔ ｔ Ｎ 平均每趟地
｜ｌｎ ｜，０＜ ＜ｅ， （ ： ） ：４≤≤１５，∈ ，
５．（２０１９福建八校一模，１２）已知函数ｆ ｘ 若 铁的载客人数ｐ ｔ 单位 人 与发车时间间隔ｔ近似地满足
（ ）＝ ｅ ｘ （ ）（ ： ）
ｘ ， ≥ｅ， 下列函数关系
：
函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ有三个不同的零点ｘ ｘ ｘ 且ｘ ｘ ｘ { ｔ ２ ｔ
（ ）＝ （ ）－ １， ２， ３， １＜ ２＜ ３， ｐ ｔ １８００－１５（９－） ，４≤ ＜９，其中ｔ Ｎ．
ｘ ｘ （ ）＝ ｔ ∈
则 １ ２ 的取值范围为 １８００，９≤≤１５，
ｆ ｘ （ ） 若平均每趟地铁的载客人数不超过 人 试求发车时
（ ３） （１） １ ５００ ，
间间隔ｔ的值
Ａ．（０，１］ Ｂ．（０，１） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．［１，＋∞） ；
答案 Ｃ ｐ ｔ
若平均每趟地铁每分钟的净收益为Ｑ ６ （ ）－７９２０
（２） ＝ ｔ －１００
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， １０ ） 单位 元 问当发车时间间隔ｔ为多少时 平均每趟地铁
ｘ （ ： ）， ，
６．（２０２１届山东潍坊重点中学联考，１１）已知函数 ｆ ｘ ｜ ｜ 每分钟的净收益最大 并求出最大净收益．
（ ）＝ ｜ ｘ ｜ ＋ ？
ｅ １０．（２０１９山东寿光现代中学１０月月考，１９）近年来 共享单
{ｆ ｘ ｘ ，“
ｇ ｘ （ ）， ≤０， 且ｇ 则关于ｘ的方程ｇ ｇ ｘ 车 的出现为市民 绿色出行 提供了极大的方便 某共享单
１， （ ）＝ ｘ２ ｘ ａ ｘ （１）＝０， （ （ ） ” “ ” ，
－２ ＋ ， ＞０， 车公司计划在甲 乙两个城市共投资 万元 根据行业规
ｔ 实根个数的判断正确的是 、 ２４０ ，
－）－１＝０ （ ） 定 每个城市至少要投资 万元 由前期市场调研可知 甲城
当ｔ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 没有实根 ， ８０ ， ：
Ａ． ＜－２ ， （ （ ）－）－１＝０ 市收益Ｐ 单位 万元 与投入ａ 单位 万元 满足Ｐ ａ
（ ： ） （ ： ） ＝４ ２ －
当 １ ｔ 或ｔ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 个 乙城市收益Ｑ 单位 万元 与投入ａ 单位 万元 满足Ｑ
Ｂ． －１＋ ＜ ＜０ ＝－２ ， （ （ ）－ ）－１＝０ １ ６， （ ： ） （ ： ） ＝
ｅ {
实根
１ ａ ａ
＋２，８０≤ ≤１２０，设甲城市的投入为 ｘ 单位 万元 两
４ （ ： ），
当 ｔ １ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 有 个相异实根 ａ
Ｃ． １＜ ＜１＋ ， （ （ ）－）－１＝０ ２ ３２，１２０＜ ≤１６０，
ｅ 个城市的总收益为ｆ ｘ 单位 万元 ．
（ ）（ ： ）
当 ｔ １ 或 ｔ 或ｔ １ 时 方程ｇ ｇ ｘ ｔ 当投资甲城市 万元时 求此时公司总收益
Ｄ． －１＜ ＜－１＋ ０＜≤１ ＝１＋ ， （ （ ）－ ）－１
ｅ ｅ （１） １２８ ， ；
有 个相异实根 试问如何安排甲 乙两个城市的投资 才能使公司总收益
＝０ ４ （２） 、 ，
答案 ＡＢ 最大
？
１８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０２０河南安阳模拟，８） 技术的数学原理之一便是著名的 没有盈利也没有亏损
５Ｇ Ｃ．
( Ｓ ) 无法判断盈亏情况
香农公式 Ｃ Ｗ ．它表示 在受噪声干扰的信道中 Ｄ．
： ＝ ｌｏｇ２ １＋Ｎ ： ， 答案 Ｂ 设该股民购进这支股票的价格为ａ元
，
最大信息传递速率Ｃ取决于信道带宽Ｗ 、 信道内信号的平均 则 （１＋１０ ％ ） ５ （１－１０ ％ ） ５ａ ＝０ ． ９９ ５ａ ＜ ａ．
功率Ｓ 信道内部的高斯噪声功率Ｎ的大小 其中
Ｓ
叫做信噪
所以该股民购进的这支股票略有亏损．
、 ， Ｎ 故选
Ｂ．
比．按照香农公式 若不改变带宽Ｗ 而将信噪比 Ｓ 从 提 ５．根据统计 一名工人组装第ｘ 件某产品所用的时间 单位 分
， ， Ｎ １ ０００ ， （ ：
ì ｃ
升至 则Ｃ大约增加了 ï ｘ Ａ
２０００， （ ） ï ｘ， ＜ ，
％ ％ ％ ％ 钟 为ｆ ｘ í Ａ ｃ为常数 ．已知工人组装第 件产
Ａ．１０ Ｂ．３０ Ｃ．５０ Ｄ．１００ ） （ ）＝ï ｃ （ ， ） ４
答案 Ａ 本题主要考查了函数的实际应用 以及对数的运 ï ｘ Ａ
， î Ａ， ≥
算性质 体现了数学运算和数学建模的核心素养．
， 品用时 分钟 组装第Ａ件产品用时 分钟 那么ｃ和Ａ的
Ｓ ３０ ， １５ ，
将信噪比 从 提升至 Ｃ大约增加了 值分别是
Ｎ １０００ ２０００， （ ）
Ｗ Ｗ Ａ．７５，２５ Ｂ．７５，１６
ｌｏｇ２（１＋２０００）－ ｌｏｇ２（１＋１０００） ｌｏｇ２２００１－ｌｏｇ２１００１
Ｗ ＝ ≈ Ｃ．６０，２５ Ｄ．６０，１６
ｌｏｇ２（１＋１０００） ｌｏｇ２１００１ 答案 Ｄ 由函数解析式可以看出 组装第Ａ件产品所需时
１０ ． ９６７－９ ． ９６７ ％ 故选Ａ． ，
． ≈１０ ， ｃ ｃ
９９６７ 间为 故组装第 件产品所需时间为
２．（２０２０北京平谷一模，１０）在声学中 声强级Ｌ 单位 由公 Ａ＝１５， ４ ＝３０，
， （ ：ｄＢ） ４
æ Ｉ ö ｃ
式Ｌ ç ÷给出 其中 Ｉ 为声强 单位 ２ ．Ｌ 解得ｃ 将ｃ 代入 得Ａ ．故选 ．
＝１０ｌｇè －１２ ø ， （ ：Ｗ／ｍ ） １ ＝ ＝６０， ＝６０ Ａ＝１５ ＝１６ Ｄ
１０
Ｉ ６．（２０１６北京朝阳统一考试）设某公司原有员工 人从事产
Ｌ 那么 １ １００
６０ ｄＢ， ２＝７５ ｄＢ， Ｉ ＝ （ ） 品Ａ的生产 平均每人每年创造产值ｔ万元 ｔ为正常数 ．公司
２ ， （ ）
４ ５ － ４ ５ ３ － ３ ２ 决定从原有员工中分流ｘ （０＜ ｘ ＜１００， ｘ ∈ Ｎ∗ ） 人去进行新开发
Ａ．１０ Ｂ．１０ Ｃ．－ Ｄ．１０
２
的产品Ｂ的生产．分流后 继续从事产品Ａ生产的员工平均每
答案 Ｄ 本题考查对数在声学中的应用问题 考查学生的 ，
， 人每年创造产值在原有的基础上增长了 ． ｘ％．若要保证产品
运算求解能力 渗透数学运算的核心素养 试题体现应用性． １ ２
， ， Ａ的年产值不减少 则最多能分流的人数是
æ Ｉ ö Ｉ ， （ ）
由题意 ，１０ｌｇè ç １０ １ －１２ ø ÷ ＝６０⇒ １０ １ －１２ ＝１０ ６ ， Ａ． 答 １５ 案 Ｂ 由 Ｂ 题 ．１ 意 ６ 分流前每 Ｃ 年 ．１７ 创造的产值 Ｄ 为 ．１８ ｔ 万元
， １００ （ ），
æ ç Ｉ ２ ö ÷ Ｉ ２ ７ ． ５ 分流ｘ人后 ， 每年创造的产值为 （１００－ ｘ ）（１＋１ ． ２ ｘ％ ） ｔ （ 万元 ），
１０ｌｇè １０ －１２ ø＝７５⇒ １０ －１２ ＝１０ ， 则由 { ０＜ ｘ ＜１００，
因而 Ｉ １ １０ ６ － ３ ２ 故选 ． （１００－ ｘ ）（１＋１ ． ２ ｘ％ ） ｔ ≥１００ ｔ ，
Ｉ ＝ ７ ． ５ ＝１０ ， Ｄ
２ １０ 解得 ｘ ５０．
３．当生物死亡后 其体内原有的碳 的含量大约每经过 ０＜ ≤
， １４ ５ ７３０ ３
年衰减为原来的一半
，
这个时间称为
“
半衰期
”
．当死亡生物体 因为ｘ
∈
Ｎ∗
，
所以ｘ的最大值为
１６
．
内的碳 含量不足死亡前的千分之一时 用一般的放射性探
１４ ， ７．（２０１６北京西城二模，６）某市家庭煤气的使用量ｘ ３ 和煤
测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳
１４
用该放射性探测
{Ｃ ｘ Ａ
（ｍ ）
器探测不到 则它经过的 半衰期 个数至少是 气费ｆ ｘ 元 满足关系式ｆ ｘ ，０＜ ≤ ， 已知某家
， “ ” （ ） （ ）（ ） （ ）＝ Ｃ Ｂ ｘ Ａ ｘ Ａ．
＋ （ － ）， ＞
Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１１ 庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表
答案 Ｃ 设该死亡生物体内原有的碳 的含量为 则经 ：
( )ｎ １４ １， 月份 使用量 煤气费
过ｎ个 半衰期 后的含量为 １
“ ” ， 一月份 ３ 元
２ ４ｍ ４
( )ｎ
由题意得 １ １ 解得ｎ 二月份 ２５ｍ ３ １４ 元
＜ ， ≥１０，
所以 若某死 ２ 亡生 １ 物 ０ 体 ００ 内的碳 用该放射性探测器探测不到 三月份 ３５ｍ ３ １９ 元
， １４ ，
则它至少需要经过 个 半衰期 ．故选 若四月份该家庭使用了 ３的煤气 则煤气费为
１０ “ ” Ｃ． ２０ ｍ ， （ ）
４．（２０１７北京平谷零模，８）某位股民购进某支股票 在接下来的 ． 元 元
， Ａ．１１５ Ｂ．１１
交易时间内 他的这支股票先经历了 次涨停 每次上涨 ． 元 元
， ５ （ Ｃ．１０５ Ｄ．１０
％ 又经历了 次跌停 每次下跌 ％ 则该股民购进的 答案 Ａ 由题中表格易知 Ａ
１０ ）， ５ （ １０ ）， ４≤ ＜２５，
这支股票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 {Ｃ
（ ） （ ） ＝４，
略有盈利 由题意可得 Ｂ Ａ
Ａ． ４＋ （２５－ ）＝１４，
略有亏损 Ｂ Ａ
Ｂ． ４＋ （３５－ ）＝１９，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １８７
ì ï Ａ ＝５， 等于常数 １０ －１４．已知 ｐＨ 值的定义为 ｐＨ＝－ｌｇ［Ｈ ＋ ］， 健康人体
ï 血液的 值保持在 ． ． 之间 那么健康人体血液中的
解得íＢ １ ｐＨ ７３５～７４５ ，
ï ＝ ， ＋
ï ２ ［Ｈ ］
îＣ － ＝ （ ）
＝４， ［ＯＨ ］
参考数据 ． ．
当ｘ 时 ｆ １ ． ．故选 ． （ ：ｌｇ２≈０３０，ｌｇ３≈０４８）
＝２０ ， （２０）＝４＋ ×（２０－５）＝１１５ Ａ
２ １ １ １ １
８．（２０１８宁夏银川月考，５）国家规定个人稿费纳税条件为 不超 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
： ２ ３ ６ １０
过 元的不纳税 超过 元而不超过 元的按超过部 答案 Ｃ 本题考查对数的运算法则．
８００ ； ８００ ４ ０００
分的 ％纳税 超过 元的按全稿酬的 ％纳税．若某人 由题可得 ＋ ． ． 且 ＋ －
１４ ； ４ ０００ １１ ｐＨ＝－ｌｇ［Ｈ ］∈（７ ３５，７ ４５）， ［Ｈ ］·［ＯＨ ］
共纳税 元 则这个人的稿费为
－１４
４２０ ， （ ） ＝１０ ，
元 元 元 元
＋ ＋
Ａ．３０００ Ｂ．３８００ Ｃ．３８１８ Ｄ．５６００ ［Ｈ ］ ［Ｈ ］ ＋ ２ １４ ＋
答案 Ｂ 设纳税额为ｙ元 稿费为ｘ元． ｌｇ － ＝ｌｇ －１４／ ＋ ＝ｌｇ（［Ｈ ］ ·１０ ）＝２ｌｇ［Ｈ ］＋１４，
， ［ＯＨ ］ １０ ［Ｈ ］
由题意可建立纳税额 ｙ 关于稿费 ｘ 的函数解析式为 ｙ 又因为 ． ＋ ． 所以 ． ＋ ．
７３５＜－ｌｇ［Ｈ ］＜７４５， －７４５＜ｌｇ［Ｈ ］＜－７３５，
{ ｘ ＋
０， ≤８００， 所以 ． ＋ ． 即 ． ［Ｈ ］ ． ．
． ｘ ｘ －０９＜２ｌｇ［Ｈ ］＋１４＜－０７， －０９＜ｌｇ － ＜－０７
＝ ０１４（ －８００），８００＜ ≤４０００， ［ＯＨ ］
． ｘ ｘ
０１１ ， ＞４０００， 因为 １ ． 所以 项错
由题意可知稿费满足 ｘ ｌｇ ＝－ｌｇ２≈－０３０， Ａ ，
８００＜ ≤４０００， ２
则 ． ｘ 解得ｘ ．
０１４（ －８００）＝４２０， ＝３８００ 因为 １ ． 所以 项错
９．（２０１４北京文，８，５分）加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占 ｌｇ ＝－ｌｇ３≈－０４８， Ｂ ，
， ３
加工总粒数的百分比称为
“
可食用率
”
．在特定条件下
，
可食用
因为 １ ． 所以 项正确
率ｐ与加工时间ｔ 单位 分钟 满足函数关系ｐ ａｔ２ ｂｔ ｃ ａ ｌｇ ６ ＝－（ｌｇ２＋ｌｇ３）≈－０７８， Ｃ ，
（ ： ） ＝ ＋ ＋ （ ，
ｂ ｃ是常数 下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型 因为 １ 所以 项错．故选 ．
， ）， ｌｇ ＝－１， Ｄ Ｃ
和实验数据 可以得到最佳加工时间为 １０
， （ ） １２．（２０１８吉林吉大附中四模，１６）已知定义域为Ｒ的函数ｆ ｘ 既
（ ）
( )
是奇函数 又是周期为 的周期函数 当ｘ ３ 时 ｆ ｘ
， ３ ， ∈ ０， ， （ ）＝
２
ｘ 则函数ｆ ｘ 在区间 上的零点个数是 ．
ｓｉｎπ ， （ ） ［０，６］
答案
９
解析 因为函数ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的奇函数 且周期为
（ ） ， ３，
( ) ( )
所以ｆ ｆ ３ ｆ ９
． 分钟 ． 分钟 （０）＝ ＝ ＝０，
Ａ．３５０ Ｂ．３７５ ２ ２
． 分钟 ． 分钟 如图所示 画出函数的图象 由图象可知 在 上的零点
Ｃ．４００ Ｄ．４２５ ， ， ， ［０，６］
{ ａ ｂ ｃ ． {ａ ．
９ ＋３ ＋ ＝０７， ＝－０２， 为 ３ ９ ．所以共有 个零点．
答案 Ｂ 由已知得 ａ ｂ ｃ ． 解得 ｂ ． ０，１， ，２，３，４， ，５，６ ９
１６ ＋４ ＋ ＝０８， ＝１５， ２ ２
ａ ｂ ｃ ． ｃ
２５ ＋５ ＋ ＝０５， ＝－２，
( )
２
ｐ ． ｔ２ ． ｔ １ ｔ １５ １３ 当ｔ １５ ． 时ｐ
∴ ＝－０２ ＋１５ －２＝－ － ＋ ，∴ ＝ ＝３ ７５
５ ４ １６ ４
最大 即最佳加工时间为 ． 分钟．故选 ．
， ３７５ Ｂ
评析 本题主要考查二次函数及配方法求最值，考查学生的计
算能力，利用待定系数法求出ａ，ｂ，ｃ是解题的关键．
１３．（２０１８广西南宁、梧州、防城港毕业班适应性考试）已知函数
１０．（２０１６北京东城二模，６）一名顾客计划到商场购物 他有三
， ｆ ｘ 是偶函数 且ｘ 时 ｆ ｘ ２ ｘ 若函数ｙ ｆ ｘ ｘ
张优惠券 每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标 （ ） ， ≥０ ， （ ）＝ｅ ， ＝ （ ）－｜ －１｜
， ｋｘ有且只有 个零点 则实数ｋ的取值范围是 ．
价 三张优惠券的优惠方式不同 具体如下 － １ ，
， ， ： 答案
优惠券 若标价超过 元 则付款时减免标价的 ％ ［－１，３］
１： ５０ ， １０ ； 解析 显然ｘ 是ｙ ｆ ｘ ｘ ｋｘ的一个零点．
优惠券 若标价超过 元 则付款时减免 元 ＝０ ＝ （ ）－｜ －１｜－
优惠券 ２： 若标价超过 １００ 元 ， 则超过 元的 ２０ 部分 ； 减免 ％． 当ｘ 时 ２ ｘ ｘ ｋｘ ｋ ｅ ２ ｘ １ 令ｇ ｘ ｅ ２ ｘ １
３： １００ ， １００ １８ ① ≥１ ，ｅ ＝ －１＋ ， ＝ ｘ －１＋ ｘ ， （ ）＝ ｘ －１＋ ｘ ，
若顾客购买某商品后 使用优惠券 比优惠券 优惠券 减
， １ ２、 ３ ｘ ２ ｘ ２ ｘ ２ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ
免的都多 则他购买的商品的标价可能为 则ｇ′ ｘ ２ ｅ －ｅ １ ｅ （ －１）＋ ｅ －１ ｇ ｘ 在
， （ ） （ ）＝ ｘ２ －ｘ２ ＝ ｘ２ ＞０，∴ （ ） ［１，
元 元 元 元
Ａ．１７９ Ｂ．１９９ Ｃ．２１９ Ｄ．２３９ 上是增函数 ｇ ｘ ｇ ２ 函数ｙ ｆ ｘ ｘ
答案 Ｃ 设他购买的商品的标价为 ｘ 元 ｘ 则 ＋∞） ， （ ）ｍｉｎ＝ （１）＝ｅ ，∴ ＝ （ ）－｜ －１｜
（ ＞１００）， ｋｘ在 上没有零点时 ｋ ２．
{ｘ ％ － ［１，＋∞） ， ＜ｅ
·１０ ＞２０， 解得 ｘ 故选 ． 当 ｘ 时 ２ ｘ ｘ ｋｘ ｋ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ
ｘ ％ ｘ ％ ２００＜ ＜２２５， Ｃ ② ０＜ ＜１ ，ｅ ＝１－ ＋ ＝（ －１） ＋１， ≥０ ， （ ）＝
·１０ ＞（ －１００）·１８ ， ２ ｘ ｆ′ ｘ ２ ｘ 过点 的切线斜率为 由题意得ｋ
１１．（２０１８北京西城期末，８）在标准温度和大气压下 人体血液 ｅ ， （ ）＝２ｅ ， （０，１） ２， －１≤
， ｋ ２．由函数ｆ ｘ 是偶函数知ｘ 时 ｋ
中氢离子的物质的量的浓度 单位 记作 ＋ 和氢氧 ２，∴ ≤３＜ｅ （ ） ≤０ ， －１≥－２，
（ ｍｏｌ／Ｌ， ［Ｈ ］） ｋ ｋ ．
根离子的物质的量的浓度 单位 记作 － 的乘积 ∴ ≥－１，∴ ∈［－１，３］
（ ｍｏｌ／Ｌ， ［ＯＨ ］）
