北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.2 椭圆
五年高考
考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F ,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|
1 2
9 4
MF |·|MF |的最大值为 ( )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
x2
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F ,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点,点P在C上,若
1 2
5
⃗PF ·⃗PF =0,则|PF |·|PF |= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
答案 B
x2 y2 1
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的
a2 b2 3 1 2
左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为 ( )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1D. +y2=1
3 2 2
答案 B
x2 y2
4.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P
1 2
9 6
3
在C上,cos∠F PF = ,则|OP|=( )
1 2 5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
答案 B
5.(2019课标Ⅰ理,10,5分,中)已知椭圆C的焦点为F (-1,0),F (1,0),过F 的直线与C交于
1 2 2
A,B两点.若|AF |=2|F B|,|AB|=|BF |,则C的方程为 ( )
2 2 1
x2 x2 y2
A. + y2=1B. + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C. + =1D. + =1
4 3 5 4
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,15,5分,中)设F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在
1 2
36 20
第一象限.若△MF F 为等腰三角形,则M的坐标为 .
1 2
答案 (3,√15)
x2 y2
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 a2 b2 2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于
1 2 1 2
4
C,D两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
解析 (1)由已知可设C 的方程为y2=4cx,其中c=√a2−b2.不妨设A,C在第一象限,由题设
2
b2 b2 2b2
得A,B的纵坐标分别为 ,- ;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c.由|CD|=
a a a
4 8b2 c (c) 2 c
|AB|得4c= ,即3× =2−2 ,解得 =-2(舍去)或
3 3a a a a
c 1 1
= .所以C1的离心率为 .
a 2 2
x2 y2
(2)由(1)知a=2c,b=√3c,故C : + =1.
1 4c2 3c2
x2 y2 x2 4x
设M(x ,y ),则 0 + 0 =1,y2=4cx ,故 0 + 0=1.①
0 0 4c2 3c2 0 0 4c2 3c
(5−c) 2 4(5−c)
由于C 的准线为x=-c,所以|MF|=x +c,而|MF|=5,故x =5-c,代入①得 + =1,
2 0 0 4c2 3c
x2 y2
即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C 的标准方程为 + =1,C 的标准方程为
1 2
36 27
y2=12x.
x2 y2
8.(2019天津文,19,14分,难)设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为
a2 b2
B.已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线
4
l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
因为√3|OA|=2|OB|,所以√3a=2b.
(√3 ) 2 c 1
又由a2=b2+c2,消去b得a2= a +c2,解得 = .
2 a 2
1
所以,椭圆的离心率为 .
2
x2 y2 3
(2)由(1)知,a=2c,b=√3c,故椭圆方程为 + =1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=
4c2 3c2 4
(x+c).
第一步:先由直线与椭圆位置关系求出点P坐标.
{
x2 y2
+ =1,
4c2 3c2 13c
点P的坐标满足 消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x =c,x =- .
3 1 2 7
y= (x+c),
4
3 9
代入l的方程,解得y = c,y =- c.
1 2 2 14
( 3 )
因为点P在x轴上方,所以P c, c .
2
第二步:由OC∥AP求得圆心C的坐标.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
3
c
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t 2 ,
=
4 c+2c
解得t=2.则C(4,2).
第三步:由圆与直线l的相切关系求出c的大小,进而求得椭圆方程.
|3 |
(4+c)−2
4
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得 =2,可得
√ (3) 2
1+
4
x2 y2
c=2.所以,椭圆的方程为 + =1.
16 12
考点2 椭圆的几何性质
x2 y2
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分,易)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为
a2 4
( )
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 C
x2 y2 1
2.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则 ( )
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
x2 x2
3.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C : +y2=1(a>1),C : +y2=1的离心率分别为e ,e .若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e ,则a= ( )
2 1
2√3
A. B.√2
3
C.√3D.√6
答案 A
x2
4.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
1 2
3
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( )
1 2
2 √2 √2 2
A. B. C.− D.−
3 3 3 3
答案 C
x2 y2
5.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
a2 b2
1
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( )
4
√3 √2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案 A
x2 y2
6.(2017课标Ⅰ文,12,5分,中)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M
3 m
满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,√3]∪[4,+∞)
答案 A
x2 y2
7.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
[√2 ) [1 )
A. ,1 B. ,1
2 2
( √2] ( 1]
C. 0, D. 0,
2 2
答案 C
x2 y2
8.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
a2 b2 1 2 1
( 1 ) 2
线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率
2 2
是 ,椭圆的离心率是 .
2√5 √5
答案 ;
5 5
x2 y2
9.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 .
答案 x+√2y−2√2=0
x2 y2
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 2 1 2
.
答案 13
x2 y2
11.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为
a2 b2
|BF| √3
B,且满足 = .
|AB| 2
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|
OM|=|ON|,且△OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.
解析 (1)∵|BF|=√c2+b2=a,|AB|=√a2+b2,
|BF| a √3
= =
∴ ,解得a=√3b,
|AB| √a2+b2 2
c √6
∴c=√a2−b2=√2b,∴离心率e= = .
a 3
x2 y2
(2)由(1)知椭圆方程为 + =1.
3b2 b2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,
如图.
则有|OM|=|ON|=m.
{
x2 y2
+ =1,
联立得 3b2 b2
y=kx+m,
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0 3b2k2+b2-m2=0,
3mk
⇒
由根与系数的关系得x =- ,代入直线l的方程,有y =
M 3k2+1 M
m m√9k2+1 √3
.∴|OM|=√x2 + y2 = =m,解得k=- ,
3k2+1 M M 3k2+1 3
设直线OM的倾斜角为θ,
y 1 √3
∴k =tan θ= M =− = ,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
OM x 3k 3
M
1 √3
∴S = m2sin∠NOM= m2=√3,解得m=2,
OMN 2 4
△
1
∴3b2× +b2-4=0,可得b2=2,
3
x2 y2
∴椭圆的标准方程为 + =1.
6 2
三年模拟
综合基础练
1.(2023江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”
遨游苍穹.太空中,飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道
是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S ,近
1
地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S ,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为 (
2
)
A.√S S
1 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
B.2√S S
1 2
C.√(S +R)(S +R)
1 2
D.2√(S +R)(S +R)
1 2
答案 D
√5 x2 y2
2.(2024届广东普宁二中第一次月考,5)已知离心率 的椭圆C的方程为 +
3 m n
m+n
=1(m>n>0),则 = ( )
m−n
12 13
A.2 B. C. D.3
5 5
答案 C
x2 y2
3.(2023广东深圳二模)设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,直线l过点
a2 b2 1 2
1
F .若点F 关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且⃗F P·⃗F F = a2,则C的离心率为( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 3 2 5
答案 C
4.(2024届湖北武汉武钢三中月考,7)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现
了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的
x2 y2
另一个焦点.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,若从椭圆右焦点F 发出
a2 b2 1 2 2
3
的光线经过椭圆上的点A和点B反射后,满足AB⊥AD,且cos∠ABC= ,则该椭圆的离心
5
率为( )
1 √2 √3 √5
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案 D
x2 y2
5.(2024届湖北武昌实验中学月考,5)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F ,F ,点
1 2
16 12
4m+n
P是椭圆C上的动点,m=|PF |,n=|PF |,则 的最小值为 ( )
1 2 mn
