北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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9.2 椭圆
考点1 椭圆的定义及标准方程
x2
1.(2023全国甲文,7,5分,中)设F ,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点,点P在C上,若
1 2
5
· =0,则|PF |·|PF |= ( )
⃗PF ⃗PF 1 2
1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
答案 B 由题意知,a2=5,b2=1,∴c2=a2-b2=4,∴c=2,则|F F |=2c=4,
1 2
由椭圆的定义得|PF |+|PF |=2a=2√5,
1 2
∵ · =0,∴PF ⊥PF ,∴|PF |2+|PF |2=|F F |2=16,
⃗PF ⃗PF 1 2 1 2 1 2
1 2
即(|PF |+|PF |)2-2|PF ||PF |=16,即(2√5)2-2|PF ||PF |=16,得|PF ||PF |=2,故选B.
1 2 1 2 1 2 1 2
一题多解 由题意可知a2=5,b2=1,∵ · =0,∴∠F PF =90°,
⃗PF ⃗PF 1 2
1 2
∠F PF 1
∴S =b2tan 1 2=1,又S = |PF ||PF |,
△PF 1 F 2 2 △PF 1 F 2 2 1 2
∴|PF ||PF |=2,故选B.
1 2
x2 y2
2.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,
1 2
9 6
3
点P在C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( )
1 2
5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
x2 y2
答案 B 由椭圆方程 + =1知a2=9,b2=6,∴c2=3,设|PF |=r ,|PF |=r ,
1 1 2 2
9 6
由椭圆定义知r 1 +r 2 =2a=6,在△F 1 PF 2 中,cos∠F 1 PF 2 = |PF 1 |2+|PF 2 |2−|F 1 F 2 |2 ,即3
2|PF ||PF | 5
1 2
=(r +r ) 2−4c2 -1= 12 -1,解得 r r =15,∵cos∠F PF =3,∴sin∠F PF =4.∴△F PF
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2r r r r 2 5 5
1 2 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1 1 15 4 1 1
的面积S= r r ·sin∠F PF = × × =3,设P(x ,y ),则S = ×|F F |×|y |= ×2c×|y |
2 1 2 1 2 2 2 5 0 0 △F 1 PF 2 2 1 2 0 2 0
=√3|y |,
0
9
∴√3|y |=3,∴|y |=√3,代入椭圆方程得x2= ,
0 0 0 2
√9 √30
∴|OP|=√x2+ y2= +3= ,故选B.
0 0 2 2
x2
3.(2021全国乙文,11,5分)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 ( )
5
5
A. B.√6C.√5 D.2
2
答案 A 解法一:由题意可知B(0,1),
设P(x,y),则x2
=1, ,
0 0 0+ y2 x2=5−5 y2
5 0 0 0
|PB|= √x2+(y −1) 2=√5−5 y2+ y2−2y +1=√−4 y2−2y +6= √ −4 ( y + 1) 2 + 25.
0 0 0 0 0 0 0 0 4 4
1 5
因为-1≤y≤1,所以y=- 时,|PB|取得最大值 ,故选A.
0 0
4 2
x2
解法二:由题意可知B(0,1),由点P在椭圆 +y2=1上,
5
可设P(√5cos θ,sin θ),
则|PB|2=( cos θ)2+(sin θ-1)2=-4sin2θ-2sin θ+6=-4( 1) 2 25,
√5 sinθ+ +
4 4
1 25 5
当sin θ=- 时,|PB|2取得最大值 ,此时|PB|最大,为 ,故选A.
4 4 2
x2 y2
4.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF|·|MF|的最大
1 2 1 2
9 4
值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
x2 y2
答案 +
C ∵M在椭圆C: =1上,且a=3,
9 4
∴|MF|+|MF|=6,
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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|M F |+|M F |
∵ 1 2 ≥√|M F |·|M F |,
2 1 2
∴|MF|·|MF|≤(|M F |+|M F | ) 2 =9,
1 2 1 2
2
当且仅当|MF|=|MF|=3时等号成立.
1 2
故选C.
易错警示 在用基本不等式求最值时,要满足“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.
5.(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:x2 y2 =1(a>b>0)的离心率为1,A,A 分别为C的左、右顶点,B
+ 1 2
a2 b2 3
为C的上顶点.若 =-1,则C的方程为 ( )
⃗BA ·⃗BA
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1D. +y2=1
3 2 2
答案
B 由题意知A 1 (-a,0),A 2 (a,0),B(0,b),则⃗BA =(-a,-b),⃗BA =(a,-b),所以⃗BA ·⃗BA =-
1 2 1 2
a2+b2=-1①,又e=c
=
√
1−
b2
=
1,即b2
=
8②,联立①②,解得{a2=9,所以椭圆C的方程为x2
+
y2
a a2 3 a2 9 b2=8, 9 8
=1.故选B.
6.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x2
+
y2
=1(m>0)的左焦点为F(-4,0),则m=( )
1
25 m2
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
1
7.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
3 4 4 √3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 2 4 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1 c 1
答案 D 由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于 ,即 = ,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方
2 a 2
x2 y2
程为 + =1.故选D.
4 3
x2 y2
8.(2021全国甲理,15,5分)已知F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的
1 2
16 4
两点,且|PQ|=|FF|,则四边形PFQF 的面积为 .
1 2 1 2
答案 8
x2 y2
解析 如图,设|PF|=m,|PF|=n,由椭圆方程 + =1可得,2a=|PF|+|PF|=m+n=8,2c=|FF|=4√3.
1 2 1 2 1 2
16 4
由P,Q关于原点对称得|OP|=|OQ|,又|OF|=|OF|,故四边形PFQF 为平行四边形.
1 2 1 2
依据|FF|=|PQ|,得到四边形PFQF 为矩形,故PF⊥PF.
1 2 1 2 1 2
在Rt FPF 中,∠FPF=90°,则m2+n2=(4√3)2=48,
1 2 2 1
由(m△+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,
所以四边形PFQF 的面积为8.
1 2
解题关键 由|PQ|=|FF|判断平行四边形PFQF 是矩形为解题关键.
1 2 1 2
9.(2021浙江,16,6分)已知椭圆x2 y2
=1(a>b>0),焦点F(-c,0),F(c,0)(c>0).若过F 的直线和圆
+ 1 2 1
a2 b2
( x− 1 c ) 2 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF 2 ⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离
2
心率是 .
2√5 √5
答案 ;
5 5
3c √5c b2
解析
设切点为B,圆心为A,连接AB,如图,易知|FA|= ,|FF|=2c,|BF|= ,|AB|=c,|PF|= .
1 2 1 2 1 2 2 a
|AB| c 2√5
= =
∴直线PF 的斜率k=tan∠PFF=|BF | √5 5 ,
1 1 2 1 c
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b2
在△PFF 中, tan∠PFF= a 2√5,
1 2 1 2 =
2c 5
即√5b2=4ac⇒√5(a2-c2)=4ac,
方程两边同时除以a2,整理可得√5e2+4e−√5=0,
√5 √5
解得e= 或e=-√5(舍),∴e= .
5 5
2√5
一题多解 在求解离心率e时,∵tan∠PFF= ,∴在Rt PFF 中,可令|PF|=2,|FF|=√5,则|PF|=3,
1 2 1 2 2 1 2 1
5
△
故e=2c
=
|F
1
F
2
|
=
√5.
2a |PF |+|PF | 5
1 2
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F,F,离心率为
+ 1 2
a2 b2
1
.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
1 2
2
答案
13
解析
设F、F 分别为左、右焦点.如图,连接AF,DF,EF,
1 2 1 2 2
1 c
∵e= = ,
2 a
∴a=2c,∴b=√3c,∴A(0,√3c),F(c,0),F(-c,0),
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∴ ,∴∠AFO=60°,又∵|AF|=|AF|,∴△AFF 为正三角形,又∵DE⊥AF 且F∈DE,∴DE为
k =−√3 2 1 2 1 2 2 1
AF
2
AF 的中垂线,∴|AD|=|DF|,|AE|=|EF|,
2 2 2
∴△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF|+|FE|+|DF|+|FE|=4a.
2 2 1 1
√3 √3
∵DE⊥AF,∴k = ,∴DE的方程为y= (x+c),
2 DE
3 3
{3x2+4 y2−12c2=0,
联立得 消去y得,13x2+8cx-32c2=0,设D(x,y),E(x,y),则x+x=- 8c,xx=- 32
√3 1 1 2 2 1 2 1 2
y= (x+c), 13 13
3
c2,
∴|DE|= √
1+
(√3) 2
·
√ (
−
8c) 2
−4×
(
−
32 c2)=6,∴c= 13 ,又∵a=2c,∴4a=8c=13,∴△ADE的周长
3 13 13 8
为13.
x2 y2
11.(2014辽宁,理15,文15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点
9 4
分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F、F 为椭圆C的焦点,连接PF、PF.显然PF 是
1 2 1 2 1
△MAN的中位线,PF 是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF|+2|PF|=2(|PF|+|PF|)=2×6=12.
2 1 2 1 2
评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF、PF 利用椭圆的定义是求解的关键.
1 2
12.(2023北京,19,15分,中)已知椭圆E:x2 y2 =1(a>b>0)的离心率为√5,A,C分别是
+
a2 b2 3
E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2
交于点N.求证:MN∥CD.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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解析 (1)由题意知|AC|=2b=4,即b=2,
又e=c √ b2 √ 4 √5,∴a2=9.
= 1− = 1− =
a a2 a2 3
x2 y2
∴E的方程为 + =1.
9 4
(2)证明:设点P(x ,y ),则x2 y2 =1,即4 .
0 0 0+ 0 x2=36−9 y2
9 4 0 0
y 2
直线 PD:y= 0 (x-3),直线 BC:y=- x-2,联立直线 PD 与直线 BC 的方程,得点 M
x −3 3
0
3(3 y −2x +6) −12y
0 0 , 0 .
3 y +2x −6 3 y +2x −6
0 0 0 0
直线PA的方程为y=y −2x+2,
0
x
0
−4x
令y=-2,得点N(
0,−2
).
y −2
0
−12y
0 +2
3 y +2x −6
因为k MN = 0 0
3(3 y −2x +6) 4x
0 0 + 0
3 y +2x −6 y −2
0 0 0
−12y +6 y +4x −12
0 0 0
=
12x y +8x2−24x
9 y −6x +18+ 0 0 0 0
0 0 y −2
0
(−6 y +4x −12)(y −2)
= 0 0 0
9 y2−6x y +18 y −18 y +12x −36+12x y +8x2−24x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−6 y2+4x y −12y +12y −8x +24
= 0 0 0 0 0 0
9 y2+72−18 y2+6x y −12x −36
0 0 0 0 0
