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9.2 椭圆及其性质
基础篇
续表
考点 一 椭圆的定义及标准方程
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
1. 定义 长轴、
长轴Ａ Ａ 长为 ａꎬ短轴Ｂ Ｂ 长为 ｂ
短轴 １ ２ ２ １ ２ ２
把平面内与两定点 Ｆ Ｆ 的距离之和等于常
１、 ２ 离心 ｃ
数 大于 Ｆ Ｆ 的点的轨迹叫做椭圆. 椭圆的焦距与长轴长的比ｅ
( ｜ １ ２｜) 率 ＝ ａ
2.
标准方程
2.
常用结论
ｘ２ ｙ２
焦点在 ｘ 轴上 ａ ｂ
设 Ｐ Ａ Ｂ 是中心在原点 焦点在 ｘ 轴上的椭
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)ꎻ
１) ꎬ ꎬ ꎬ
圆上不同的三点 其中 Ａ Ｂ 两点关于原点对
ｙ２ ｘ２
ꎬ ꎬ
焦点在 ｙ 轴上 ａ ｂ .
:ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０) 称
ꎬ
且直线 ＰＡ
、
ＰＢ 的斜率都存在
ꎬ
则 ｋ
ＰＡ
ｋ
ＰＢ
3. 焦点三角形 ｂ２
.
Ｐ 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点
＝－ａ２
１) ꎬ
Ｐ 是椭圆上一点 Ｆ 为椭圆的焦点 则 ＰＦ
θ
２) ꎬ ꎬ ｜ ｜
Ｆ Ｆ 为椭圆的两焦点 则 Ｓ ｂ２
１ꎬ ２ ꎬ △ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ｔａｎ ꎬ ａ ｃ ａ ｃ 即椭圆上的点到焦点距离的
２ ∈[ － ꎬ ＋ ]ꎬ
其中θ 为 Ｆ ＰＦ . ＰＦ Ｆ 的周长为 ａ ｃ . 最大值为 ａ ｃ 最小值为 ａ ｃ.
∠ １ ２ △ １ ２ ２( ＋ ) ＋ ꎬ －
过焦点 Ｆ 的弦 ＡＢ 与椭圆另一个焦点 Ｆ 构 椭圆的通径 过焦点且垂直于长轴的弦 长
２) １ ２ ３) ( )
成的 ＡＢＦ 的周长为 ａ. ｂ２
△ ２ ４ 为２ 通径是最短的焦点弦.
ａ ꎬ
考点 二 椭圆的几何性质
考点 三 直线与椭圆的位置关系
1.
椭圆的几何性质
1.
位置关系的判断
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
标准 ｘ２ ｙ２
(ａ ｂ )
ｙ２ ｘ２
(ａ ｂ ) 若把椭圆方程
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 与直线方程
方程 ａ２ ＋ｂ２ ＝１ > >０ ａ２ ＋ｂ２ ＝１ > >０ ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > >０)
ｙ ｋｘ ｍ ｋ 联立 消去ｙ 整理成Ａｘ２ Ｂｘ
＝ ＋ ( ≠０) ꎬ ꎬ ＋ ＋
Ｃ 的形式 这里的系数 Ａ 一定不为
＝ ０ (
图形 零 则
)ꎬ :
位置关系 图形 判断方法 交点个数
焦点 相交 Δ
>０ ２
Ｆ ( ｃꎬ )ꎬＦ (ｃꎬ ) Ｆ( ꎬ ｃ)ꎬＦ( ꎬｃ)
坐标 １ － ０ ２ ０ １ ０ － ２ ０
5
年
高
对称 关于ｘ轴、ｙ轴对称ꎬ关于原点对称 相切 Δ
＝０ １
性
考
3
年 模 顶点 Ａ １ ( － ａꎬ ０ )ꎬＡ ２ (ａꎬ ０ )ꎬ Ａ １ ( ０ ꎬ － ａ)ꎬＡ ２ ( ０ ꎬａ)ꎬ 相离 Δ <０ ０
拟 坐标 Ｂ ( ꎬ ｂ)ꎬＢ ( ꎬｂ) Ｂ ( ｂꎬ )ꎬＢ (ｂꎬ )
１ ０ － ２ ０ １ － ０ ２ ０
2.
A 椭圆的弦长
版 范围 ｘ ａꎬ ｙ ｂ ｘ ｂꎬ ｙ ａ
｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ 设直线ｙ ｋｘ ｍ 与椭圆交于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ
高 ＝ ＋ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ
考
数 ｙ 两点 则 ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ ｋ２
学 ２) ꎬ ｜ ｜ ＝ １＋ ｜ １ － ２ ｜ ＝ １＋
３０６
.
ｘ ｘ ２ ｘ ｘ 或 ＡＢ １ ｙ ｙ ０)
( １ ＋ ２) －４ １ ２ ｜ ｜ ＝ １＋ｋ２ ｜ １ － ２ ｜ ＝ ｂ２ｘ
若椭圆焦点在 ｘ 轴上 则 ｋ ０.
ꎬ ＡＢ＝－ａ２ｙ
１ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｋ . ０
１＋ｋ２ ( １ ＋ ２) －４ １ ２( ≠０) ａ２ｘ
若椭圆焦点在 ｙ 轴上 则 ｋ ０.
3. 弦中点问题 ꎬ ＡＢ＝－ｂ２ｙ
０
设ＡＢ 是椭圆的弦 其中点为 Ｐ ｘ ｙ ｙ
ꎬ ( ０ꎬ ０)( ０≠
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３０７
综合篇
2. 考法 一 求椭圆的标准方程 椭圆方程未知 建立关于 ａ ｂ ｃ 的齐次式
→ ꎬ ꎬ
不等式 化为关于 ａ ｃ 的齐次式 不等
方法一：待定系数法 ( )→ ꎬ (
式 化为关于 ｅ 的方程 不等式 求解.
)→ ( )
例2 ( 广东汕头二模ꎬ )已知椭圆 Ｃ 的
２０２２ ５
左、右焦点分别为 Ｆ ꎬＦ ꎬ过 Ｆ 的直线 ＡＢ 与椭
１ ２ １
圆交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ当 Ｆ ＡＢ 为正三角形时ꎬ该
△ ２
椭圆的离心率为 ( )
方法二：定义法 ３ ３ ２ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
４ ３ ３ ２
解析 设正三角形 Ｆ ＡＢ 的边长为 ｍꎬ椭圆的
２
例1 ( 长沙长郡中学一模ꎬ )已知椭圆 ｘ２ ｙ２
２０２２ １４ 标准方程为 (ａ ｂ )ꎬ左、右焦点坐标
ｘ２ ｙ２
ａ２ ＋ｂ２ ＝１ > >０
Ｃ: (ａ ｂ )ꎬ若长轴长为 ꎬ且两焦点
ａ２ ＋ｂ２ ＝１ > >０ ６ 分别为 Ｆ ( ｃꎬ )ꎬＦ (ｃꎬ )ꎬ ＢＦ ｘꎬ则有
１ － ０ ２ ０ ｜ １ ｜ ＝
恰好将长轴三等分ꎬ则此椭圆的标准方程为 ＡＦ ｍ ｘ.由椭圆的定义可知 ＢＦ ＢＦ
｜ １｜ ＝ － ｜ １ ｜＋｜ ２ ｜
. ａ ｘ ｍ ａꎬ ＡＦ ＡＦ ａ ｍ ｘ ｍ
＝２ ⇒ ＋ ＝２ ｜ １｜＋｜ ２｜ ＝２ ⇒ － ＋ ＝
解析 设椭圆的半焦距为 ｃ(ｃ ).由椭圆长
>０ ａꎬ解得 ｍ ４ａꎬｘ ２ａ.
２ ＝ ＝
轴长为 ꎬ知 ａ ꎬ得 ａ . ３ ３
６ ２ ＝６ ＝３
在 Ｆ Ｆ Ｂ 中ꎬ由余弦定理可知 Ｆ Ｆ ２ ＢＦ ２
△ ２ １ ｜ １ ２｜ ＝｜ １｜
两焦点恰好将长轴三等分ꎬ ｃ １ ａ ꎬ
∵ ∴ ２ ＝ ×２ ＝２
３ ＢＦ ２ ＢＦ ＢＦ πꎬ即 ｃ２ ４ａ２
＋｜ ２｜ －２｜ １｜ ｜ ２｜ ｃｏｓ ４ ＝ ＋
得 ｃ ꎬ ｂ２ ａ２ ｃ２ ꎬ 此椭圆的标准 ３ ９
＝１ ∴ ＝ － ＝９－１＝８ ∴
ａ ａ ｃ
方程为
ｘ２ ｙ２
.
１６ａ２
－２
２ ４ １
⇒
ａ２
＝３
ｃ２
⇒
ｅ
＝ ａ ＝
３.
＋ ＝１
９ ３ ３ ２ ３
９ ８
答案
ｘ２ ｙ２ Ｂ
答案
９
＋
８
＝１
例3 已知椭圆
ｘ２ ｙ２
(ａ ｂ )的左ꎬ右焦
ａ２ ＋ｂ２ ＝１ > >０
考法 二 求椭圆的离心率（或范围） 点分别为 Ｆ ꎬＦ ꎬ若在直线 ｘ ａ 上存在点 Ｐ
１ ２
＝２
1. 使线段 ＰＦ 的垂直平分线过点 Ｆ ꎬ则椭圆离心
给定椭圆的方程 确定 ａ２ ｂ２ 求出 ａ ｃ 的
→ ꎬ → ꎬ １ ２
率的取值范围是 .
ｃ
值 利用 ｅ 求解.
→ ＝ ａ 解析 连接 ＰＦ . 直线 ｘ ａ 上存在点 Ｐ 使
２ ∵ ＝２
线段 ＰＦ 的垂直平分线过点 Ｆ ꎬ ＰＦ 中点坐标的关系来解决 称为点差法 .
１ ２ ∴ ｜ ２ ｜ ＝ ( )
Ｆ Ｆ ｃ.若点 Ｐ 在 ｘ 轴上ꎬ则 ＰＦ ａ ｃꎻ 4. 在直线与椭圆的位置关系问题中 常涉及变
｜ １ ２｜ ＝２ ｜ ２｜ ＝２ － ꎬ
若点 Ｐ 不在 ｘ 轴上ꎬ则 ＰＦ ａ ｃ. ＰＦ 量的求值和最值 范围 问题 通常要用方程
｜ ２｜>２ － ∴ ｜ ２｜ ＝ ( ) ꎬ
和函数的思想方法 恰当地选择函数的自变
ｃ ａ ｃꎬ即 ａ ｃ. ｅ ２ꎬ又 ｅ ꎬ ２ ｅ ꎬ
２ ≥２ － ２ ≤３ ∴ ≥ <１ ∴ ≤ <
量至关重要.
３ ３
é ê ö 例4 ( 河北三市联考ꎬ )已知斜率存在
.即椭圆离心率的取值范围是 ２ꎬ ÷.
ê ２０２１ ８
１ ë １ø
３ ｘ２ ｙ２
é ö 的直线 ｌ 与椭圆 Ｃ: 交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ点
答案
ê
２ꎬ ÷
＋ ＝１
ê ９ ４
ë １ø
３
Ｐ 是弦 ＡＢ 的中点ꎬ点 Ｍ( ꎬ )ꎬ且Ｍ→Ｐ(Ｍ→Ｂ
１ ０ －
考法 三 直线与椭圆的位置关系问题
Ｍ→Ａ) ꎬ ＭＰ ꎬ则直线 ＭＰ 的斜率为
＝ ０ ｜ ｜ ＝１
1. 判断直线与椭圆的位置关系 可通过判断直 ( )
ꎬ
线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解个
４ ３
Ａ.２ ２ Ｂ.４ ２ Ｃ.± Ｄ.±
数来确定.一般通过消元得关于 ｘ 或 ｙ 的一
３ ４
( )
解析 设 Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬＰ(ｘ ꎬｙ )ꎬ直
元二次方程 若 Δ 则直线与椭圆相交 若
ꎬ >０ꎬ ꎻ １ １ ２ ２ ０ ０
线 ＡＢ 的斜率为 ｋꎬ不妨令 ｋ ꎬ
Δ 则直线与椭圆相切 若 Δ 则直线与
>０
＝０ꎬ ꎻ <０ꎬ
椭圆相离.
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
则 １ １ ꎬ ２ ２ ꎬ两式相减ꎬ得１(ｘ
2.
＋ ＝１① ＋ ＝１②
１
＋
弦长公式 设 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为直线与椭 ９ ４ ９ ４ ９
: ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)
圆的两个交点 直线 ＡＢ 的斜率存在 设为 ｋ ｘ )(ｘ ｘ ) １ (ｙ ｙ )(ｙ ｙ ) ꎬ所以 １
ꎬ ꎬ ꎬ ２ １ － ２ ＋ １ ＋ ２ １ － ２ ＝ ０ ×
４ ９
则 ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ 或 ＡＢ １ ｙ ｙ ｙ
｜ ｜ ＝ １＋ ｜ １ － ２｜ ｜ ｜ ＝ １＋ｋ２ ｜ １ － ｘ １ ｙ １ － ２ ꎬ所以 ｘ ｙ ｋ ꎬ故 ｋ
２ ０ ＋ ×２ ０ ｘ ｘ ＝０ ４ ０ ＋９ ０ ＝０
ｙ ｋ . ４ １ － ２
２｜( ≠０) ｘ
４ ０.由Ｍ→Ｐ(Ｍ→Ｂ Ｍ→Ａ) ꎬ得 ＭＰ ＡＢꎬ又
3.
ｘ２ ｙ２
＝－ ｙ － ＝ ０ ⊥
设 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为椭圆 ａ ｂ
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２) ａ２ ＋ｂ２ ＝１( > > ９ ０
ｙ ｘ ｙ
上两点 弦 ＡＢ 的中点为 Ｐ ｘ ｙ ｙ ｋ ＭＰ＝ｘ ０ ꎬ所以ｋｋ ＭＰ＝－ ４ ｙ ０ ｘ ０ ＝－１ ꎬ解得
０) ꎬ ( ０ꎬ ０)ꎬ ０≠０ꎬ
０ －１ ９ ０ ０ －１
ｘ ｘ ｙ ｙ
则 ｘ １ ＋ ２ ｙ １ ＋ ２ 可通过根与系数的关 ｘ ９.过点Ｐ 作ＰＨ ｘ 轴于点Ｈꎬ则 ＰＭＨ
０ ＝ ꎬ ０ ＝ ꎬ ０ ＝ ⊥ ｃｏｓ∠
２ ２ ５
系来解决弦中点问题 这其中的解题方法就
ꎬ ４ꎬ所以 ＰＭＨ ３ꎬ即 ｋ ３ꎬ考虑对称
是常说的 设而不求 整体代入 也可以由 ＝ ｔａｎ∠ ＝ ＭＰ＝
“ ꎬ ”ꎻ ５ ４ ４
ì ïｘ２ ｙ２
性可知ꎬ直线 ＭＰ 的斜率为 ３.故选 .
ï ïａ １ ２ ＋ｂ １ ２ ＝１①ꎬ ± ４ Ｄ
í 用 将问题转化为斜率与
年
5 ï
ï
ｘ２ ｙ２ ①－② 答案
Ｄ
２ ２
高
考
î ï ａ２ ＋ｂ２ ＝１②ꎬ
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３０８
