文档文本内容
专题五 万有引力与航天
基础篇
考点 一 开普勒三定律 且火星的冬季时长约为地球的 ． 倍 火
１ ８８ 。
星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周
１．（ 河北唐山期末， ）如图所示 八大行星
２０２２ ２ ，
运动 下列关于火星 地球公转的说法正确
沿椭圆轨道绕太阳公转 下列说法中正确 。 、
， 的是
的是 （ ）
（ ） 火星公转的线速度比地球的大
Ａ．
火星公转的角速度比地球的大
Ｂ．
火星公转的半径比地球的小
Ｃ．
火星公转的加速度比地球的小
Ｄ．
答案 Ｄ 由题意可知 Ｔ ． Ｔ 结合开
火＝１ ８８ 地，
太阳处在椭圆的中心
普勒第三定律有 ｒ３ 火 ｒ３ 地 整理可得 æ çç ｒ 火 ö ÷÷ ３
Ａ． Ｔ２
火
＝Ｔ２
地
， èｒ
地
ø ＝
火星绕太阳运行过程中 速率不变
Ｂ． ， æＴ ö ２ ＧＭｍ
çç 火÷÷ 可见 ｒ ｒ 故 错误 由 ｍ
Ｃ． 土星比地球的公转周期大 èＴ 地 ø ， 火＞ 地， Ｃ ； ｒ２ ＝
地球和土星分别与太阳的连线在相同时
Ｄ． ｖ２ ＧＭ
得 ｖ 可见 ｖ ｖ 故 错误 由 ω
间内扫过的面积相等 ｒ ， ＝ ｒ ， 火＜ 地， Ａ ；
答案 Ｃ 根据开普勒第一定律可知 太阳
， ＧＭｍ
２π 可知 ω ω 故 错误 由 ｍａ
处在椭圆的一个焦点上 故 错误 根据开 ＝ Ｔ ， 火＜ 地， Ｂ ； ｒ２ ＝ ，
， Ａ ；
普勒第二定律可知 火星绕太阳运行过程
ＧＭ
， 得 ａ 可见 ａ ａ 故 正确
中 在离太阳较近的位置运行速率较大 在 ＝ ｒ２ ， 火＜ 地， Ｄ 。
， ，
离太阳较远的位置运行速率较小 故 错 ３．（ 江苏模拟预测， ） 年 月 我国
， Ｂ ２０２２ ５ ２０２０ ７ ，
误 由图可知土星轨道的半长轴比地球轨道 用长征运载火箭将 天问一号 探测器发射
； “ ”
ａ３ 升空 探测器在星箭分离后 进入地火转移
的半长轴长 根据开普勒第三定律 ｋ 可 ， ，
， Ｔ２ ＝
轨道 如图所示 年 月在火星乌托邦
， ，２０２１ ５
知土星的公转周期比地球的公转周期大 故
平原着陆 则探测器
，
。 （ ）
正确 根据开普勒第二定律可知 同一颗行
Ｃ ； ，
星与太阳连线在相等的时间内扫过的面积
相等 而地球和土星不是同一颗行星 二者
， ，
分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面 专
题
五
积不等 故 错误 故选
， Ｄ 。 Ｃ。
万
２．（ 广东， ， 分） 祝融号 火星车需要 与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度 有
２０２２ ２ ４ “ ” Ａ． 引
力
休眠 以度过火星寒冷的冬季 假设火星 每次经过 Ｐ 点时的速度相等
与
“ ” 。 Ｂ．
航
和地球的冬季是各自公转周期的四分之一 绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大 天
， Ｃ．
６９
绕火星运行时在不同轨道上与火星的连 行速度大于从春分到夏至地球的运行速度
Ｄ． ，
线每秒扫过的面积相等 可知从冬至到春分的运行时间小于从春分
答案 Ｃ 与火箭分离时脱离地球束缚 速 到夏至的运行时间 故从冬至到春分的运行
， ，
度大于第一宇宙速度 故 错误 由图可知
， Ａ ； ， 时间小于公转周期的１ 错误 根据开普勒
，Ｂ ；
探测器做近心运动 故每次经过 Ｐ 点的速度
４
，
越来越小 故 错误 由图可得 绕火星运行 ａ３
第三定律可知 ｋ 其中 ｋ 与中心天体的质
， Ｂ ； ，
Ｔ２ ＝ ，
时在捕获轨道上的轨道半长轴最长 则由开
，
量有关 地球和火星都是绕太阳转动 故地
普勒第三定律知在捕获轨道上的周期最大 ， ，
，
球和火星对应的 ｋ 值相同 错误 根据开普
故 正确 由开普勒第二定律可知 绕火星 ，Ｃ ；
Ｃ ； ，
勒第一定律可知 所有行星绕太阳运动的轨
运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫 ，
道都是椭圆 太阳处于椭圆的一个焦点上
过的面积相等 故 错误 ， ，
， Ｄ 。
故太阳既在地球公转轨道的焦点上 也在火
４．（ 浙江宁波期末， ）北京冬奥会开幕式 ，
２０２２ ３
星公转轨道的焦点上 正确
二十四节气倒计时惊艳全球 如图是地球沿 ，Ｄ 。
，
椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的
考点 二 万有引力定律
节气 下列说法正确的是
， （ ） １．（ 全国乙， ， 分） 年 月 中国航
２０２２ １４ ６ ２０２２ ３ ，
天员翟志刚 王亚平 叶光富在离地球表面
、 、
约 的 天宫二号 空间站上通过天地
４００ ｋｍ “ ”
连线 为同学们上了一堂精彩的科学课 通
， 。
过直播画面可以看到 在近地圆轨道上飞行
，
的 天宫二号 中 航天员可以自由地漂浮
“ ” ， ，
夏至时地球的运行速度最大
这表明他们
Ａ．
（ ）
所受地球引力的大小近似为零
从冬至到春分的运行时间为公转周期的１
Ａ．
Ｂ．
４ 所受地球引力与飞船对其作用力两者的
若用 ａ 代表椭圆轨道的半长轴 Ｔ 代表公 Ｂ．
Ｃ． ， 合力近似为零
ａ３
转周期 则 ｋ 地球和火星对应的 ｋ 值 所受地球引力的大小与其随飞船运动所
， Ｔ２ ＝ ， Ｃ．
需向心力的大小近似相等
是不同的
在地球表面上所受引力的大小小于其随
太阳既在地球公转轨道的焦点上 也在火 Ｄ．
Ｄ． ，
飞船运动所需向心力的大小
星公转轨道的焦点上
Ｍｍ
答案 Ｄ 根据开普勒第二定律可知 地球 答案 Ｃ 万有引力 Ｆ Ｇ 航天员受万
， ＝ ｒ２ ，
5 与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积
年 有引力 且万有引力提供向心力 航天员所
高 ， ，
考 相等 根据 Ｓ １ｒ ｖ ｔ 可知地球在近日点的 受合力不为零 地表处 ｒ 较小 航天员在地表
3 ， ＝ · Δ ， ，
年 ２ 处所受万有引力大于在飞船上所受的万有
模 运行速度最大 在远日点的运行速度最小
拟 ， ，
引力 航天员在飞船上所受地球引力 约等
A 故夏至时地球的运行速度最小 错误 根 ， ，
，Ａ ；
版 于随飞船运动所需的向心力 所以 错
据对称性可知 从冬至到夏至的运行时间为 ， Ａ、Ｂ、Ｄ
，
高 误 正确
考 ，Ｃ 。
物 公转周期的１ 由于从冬至到春分地球的运
理 ， ２．（ 山东， ， 分）从 玉兔 登月到 祝
２ ２０２１ ５ ３ “ ” “
７０
融 探火 我国星际探测事业实现了由地月 公转轨道近似为圆 两轨道平面近似重合
” ， ， ，
系到行星际的跨越 已知火星质量约为月 且火星与地球公转方向相同 火星与地球
。 。
球的 倍 半径约为月球的 倍 祝融 火星 每隔约 个月相距最近 地球公转周期为
９ ， ２ ，“ ” ２６ ，
车的质量约为 玉兔 月球车的 倍 在着 个月 由以上条件可以近似得出
“ ” ２ 。 １２ 。 （ ）
陆前 祝融 和 玉兔 都会经历一个由着陆 地球与火星的动能之比
，“ ” “ ” Ａ．
平台支撑的悬停过程 悬停时 祝融 与 地球与火星的自转周期之比
。 ，“ ” Ｂ．
玉兔 所受着陆平台的作用力大小之比为 地球表面与火星表面重力加速度大小之比
“ ” Ｃ．
地球与火星绕太阳运动的向心加速度大
（ ） Ｄ．
小之比
答案 Ｄ 研究火星和地球绕太阳 质量为
（
Ｍ′ 做圆周运动 火星和地球作为环绕天体
） ， ，
无法求得火星和地球的质量之比 故而无法
，
Ａ．９ ∶ １ Ｂ．９ ∶ ２ Ｃ．３６ ∶ １ Ｄ．７２ ∶ １ 确定地球与火星的动能之比 错误 题目
答案 Ｂ 悬停 为平衡态 祝融 质量 ，Ａ ；
“ ” ，“ ”（ 信息不涉及地球和火星自转信息 所以无法
为 ｍ 和 玉兔 质量为 ｍ 受到平台的作 ，
１） “ ”（ ２） 确定地球与火星的自转周期之比 错误 根
用力大小等于此时各自受到的万有引力大 ，Ｂ ；
Ｍｍ Ｍ
Ｍｍ Ｆ 据Ｇ ｍｇ 可得 ｇ Ｇ 由题目信息无法
小 Ｆ 和 Ｆ 据万有引力定律 Ｆ Ｇ 得 １ Ｒ２ ＝ ， ＝ Ｒ２ ，
１ ２； ＝ Ｒ２ ， Ｆ
２ 确定火星和地球的半径 则二者表面的重力
，
Ｍ ｍ Ｒ２
火 １ 月 而 Ｍ Ｍ Ｒ Ｒ ｍ 加速度之比无法确定 错误 设地球的公转
＝Ｍ
月
·ｍ ·Ｒ２
火
， 火≈９ 月、 火≈２ 月、 １ ，Ｃ ；
２ 周期为 Ｔ 火星的公转周期为 Ｔ 根据
ｍ 所以 Ｆ Ｆ 故选 １， ２，
≈２ ２， １ ∶ ２≈９ ∶ ２， Ｂ。 æ ö
思路点拨 ç２π ２π÷ ｔ 解得 Ｔ ． 月 根据
èＴ －Ｔ ø ＝ ２π， ２≈ ２２ ３ ，
利用万有引力定律解决卫星（行星）运动问 １ ２
Ｍ′Ｍ ＧＭ′ ｒ３ ｒ３ ａ ｒ２
题的技巧 Ｇ Ｍａ 解得 ａ 且 １ ２ 得 １ ２
ｒ２ ＝ ， ＝ ｒ２ ， Ｔ２ ＝Ｔ２ ， ａ ＝ｒ２
（ ）一个模型 １ ２ ２ １
１
３ Ｔ４
天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀 ２ 将 Ｔ 和 Ｔ 代入即可求得 故
＝ Ｔ４ ， １ ２ ， Ｄ
速圆周运动模型。
１
正确
（ ）两组公式 。
２
４．（ 湖南一模， ） 年 月 日凌晨
Ｍｍ ｖ２ ２ ２０２２ ７ ２０２１ １０ １６ ，
Ｇ ｍ ｍω２ｒ ｍ４π ｒ ｍａ
ｒ２ ＝ ｒ ＝ ＝ Ｔ２ ＝ 神舟十三号 乘组从酒泉卫星发射中心出
“ ”
ＧＭｍ 发 在中国空间站在轨驻留了 个月 蛟
ｍｇ （ｇ 为天体表面处的重力加速度） ， ６ 。 “
＝ Ｒ２ 龙号 载人深潜器是我国首台自主设计 自
” 、
（ ）ａ、ｖ、ω、Ｔ 均与环绕天体的质量无关，由 主集成研制的作业型深海载人潜水器 对于
３ ，
轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参 我国开发利用深海的资源有着重要的意义 专
题
。
五
量的比较，最终归结到半径的比较。 若地球半径为 Ｒ 把地球看成质量分布均匀
， 万
３．（ 湖北， ， 分） 年 月 天问一 的球体 不计地球自转的影响 已知质量分 有
２０２１ ７ ４ ２０２１ ５ ，“ ， ， 引
力
号 探测器软着陆火星取得成功 迈出了我 布均匀的球壳对壳内物体的引力为零 则
与
” ， ，
航
国星际探测征程的重要一步 火星与地球 蛟龙号 下潜深度为 ｄ 时的重力加速度大 天
。 “ ”
７１
小与 神舟十三号 距地面高 ｈ 时的加速度 答案 Ｄ 由题意可得 挖去的小球的半径
“ ” ，
大小之比为 Ｒ Ｍ
（ ） 为 质量为 挖出小球前 完整大球对球
Ｒ ｄ æＲ ｄö ２ ２ 、 ８ ， ，
－ ç － ÷
Ａ．Ｒ ｈ Ｂ．èＲ ｈø 外小球的万有引力为
＋ ＋
Ｒ ｄ Ｒ ｈ ２ Ｒ ｄ Ｒ ｈ Ｍ
（ － ）（ ＋ ） （ － ）（ ＋ ） Ｍ
Ｃ． Ｒ３ Ｄ． Ｒ２ · ＧＭ２
Ｆ Ｇ ８
答案 Ｃ 设地球的密度为ρ 在地球表面有 ＝ æ Ｒö ２ ＝ Ｒ２
çＲ ÷ １８
，
è ＋ ø
ＧＭ ２
ｇ 而地球的质量为 Ｍ ４ Ｒ３ρ 因此地
左侧原位置挖去的小球对球外小球的万有
＝ Ｒ２ ， ＝ π ，
３
引力为
Ｇ ４ Ｒ３ρ
× π Ｍ Ｍ
表的重力加速度为 ｇ ３ ４ ＧρＲ
＝ Ｒ２ ＝ π ， × ＧＭ２
３ Ｆ Ｇ ８ ８
因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力 １ ＝ Ｒ ２ ＝ Ｒ２
（２ ） ２５６
右侧原位置挖去的小球对球外小球的万有
为零 故在深度为 ｄ 处 受到地球的万有引
， ，
引力为
力为半径等于 Ｒ ｄ 的球体在其表面产生的
－
Ｍ Ｍ
万有引力 故 蛟龙号 的重力加速度 ｇ′ ４
， “ ” ＝ × ＧＭ２
Ｆ Ｇ ８ ８
３
２ ＝ Ｒ２ ＝ Ｒ２
ｇ′ Ｒ ｄ ６４
Ｇρ Ｒ ｄ 故有 － 由万有引力提供
π （ － ）， ｇ ＝ Ｒ ； 则大球中剩余部分对球外小球的万有引
力为
Ｍｍ
向心力 有 Ｇ ｍａ 神舟十三号 所
， Ｒ ｈ ２ ＝ ，“ ” ＧＭ２
（ ＋ ） Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ ． 故 项正确
ＧＭ ａ Ｒ２ ３ ＝ － １ － ２≈０ ０４ Ｒ２ ， Ｄ 。
在处的加速度 ａ 所以
＝ Ｒ ｈ ２ ， ｇ ＝ Ｒ ｈ ２ ， 方法技巧
（ ＋ ） （ ＋ ）
ｇ′ Ｒ ｄ Ｒ ｈ ２ 先把挖去的部分“补”上，得到半径为 Ｒ 的完
则 （ － ）（ ＋ ） 故 项正确
ａ ＝ Ｒ３ ， Ｃ 。 整球体，再根据万有引力公式，分别计算补
５．（ 山东模拟预测， ）如图所示 将一半径
Ｒ
２０２２ ６ ， 回的左、右两个半径为 的球体和半径为 Ｒ
为 Ｒ 质量为 Ｍ 的均匀大球 沿直径挖去两
、 ， ２
个半径分别为大球半径一半的小球 并把其 的完整球体对球外小球的万有引力 Ｆ 、Ｆ 、
， １ ２
中一个放在球外与大球靠在一起 挖去小球 Ｆ，再利用力的合成与分解规律求得结果。
，
的球心 球外小球的球心 大球的球心都在 ６．（ 福建， ， 分）一火星探测器着陆火
、 、 ２０２１ １３ １２
一条直线上 则大球中剩余部分与球外小球 星之前 需经历动力减速 悬停避障两个阶
， ， 、
间的万有引力大小约为 段 在动力减速阶段 探测器速度大小由
5 （ ） 。 ，
年
减小到 历时 在悬停避障阶
高
９６ ｍ／ｓ ０， ８０ ｓ。
考
段 探测器启用最大推力为 的变推
3
， ７ ５００ Ｎ
年
模 力发动机 在距火星表面约百米高度处悬
拟 ，
A ＧＭ２ ＧＭ２ 停 寻找着陆点 已知火星半径约为地球半
． ． ， 。
版 Ａ．０ ０１ Ｒ２ Ｂ．０ ０２ Ｒ２
径的１ 火星质量约为地球质量的１ 地球表
高
， ，
考 ＧＭ２ ＧＭ２
２ １０
物 ． ．
理 Ｃ．０ ０５ Ｒ２ Ｄ．０ ０４ Ｒ２ 面重力加速度大小取 ２ 探测器在动
１０ ｍ／ｓ ，
７２
力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速 设行星与恒星的距离为 ｒ 请根据开普勒
（２） ，
运动 求 ｒ３
。 ： 第三定律 ｋ 及向心力相关知识 证明恒
在动力减速阶段 探测器的加速度大小
（Ｔ２ ＝ ） ，
（１） ，
和下降距离 星对行星的作用力 Ｆ 与 ｒ 的平方成反比
； 。
在悬停避障阶段 能借助该变推力发动 宇宙中某恒星质量是太阳质量的 倍
（２） ， （３） ２ ，
机实现悬停的探测器的最大质量 单位时间内向外辐射的能量是太阳的 倍
。 １６ 。
答案 （１）１ ． ２ ｍ／ｓ ２ ３ ８４０ ｍ （２）１ ８７５ ｋｇ 设想地球 “ 流浪 ” 后绕此恒星公转 ， 且在新公
解析 设探测器在动力减速阶段所用时 转轨道上的温度与 流浪 前一样 地球绕
“ ” 。
（１）
间为ｔ 初速度大小为ｖ 末速度大小为ｖ 加 太阳公转的周期为 Ｔ 绕此恒星公转的周期
， １， ２，
１，
速度大小为 ａ 由匀变速直线运动速度 时间 Ｔ
， － 为 Ｔ 求 ２
公式有 ｖ ｖ ａｔ
２， Ｔ 。
２ ＝ １ － ① １
代入题给数据得 ａ
＝１
．
２ ｍ／ｓ
２
②
答案
（１）
１ｍｖ２
２ －
１ｍｖ２
１ （２）
见解析
设探测器下降的距离为 ｓ 由匀变速直线运 ２ ２
，
（３）４ ２
动位移 时间公式有 ｓ ｖ ｔ １ａｔ２
－ ＝ １ － ２ ③ 解析 根据动能定理有 Ｗ １ｍｖ２ １ｍｖ２
（１） ＝ ２ － １
联立 式并代入题给数据得 ｓ ２ ２
②③ ＝３ ８４０ ｍ
设行星绕恒星做匀速圆周运动 行星的
（２） ，
④
质量为 ｍ 运动半径为 ｒ 运动速度大小为 ｖ
设火星的质量 半径和表面重力加速度 ， ， 。
（２） 、
恒星对行星的作用力 Ｆ 提供向心力 则 Ｆ
大小分别为 Ｍ ｒ ｇ 地球的质量 半径和 ， ＝
火、 火、 火， 、
ｖ２
表面重力加速度大小分别为 Ｍ ｒ ｇ 由 ｍ
地、 地、 地。
ｒ
牛顿第二定律和万有引力定律 对星球表面
， ｒ
质量为 ｍ 的物体有 运动周期 Ｔ ２π
＝ ｖ
ＧＭ ｍ
火
ｍｇ
ｒ３
ｒ２ 火 ＝ 火 ⑤ 根据开普勒第三定律 Ｔ２ ＝ ｋ ， ｋ 为常量 ，
ＧＭ ｍ
ｒ２ 地 地 ＝ ｍｇ 地 ⑥ 得 Ｆ ＝ ４π ｒ ２ ２ ｋｍ
式中 Ｇ 为引力常量 设变推力发动机的最 即恒星对行星的作用力 Ｆ 与 ｒ 的平方成
。
大推力为 Ｆ 能够悬停的火星探测器最大质 反比
， 。
量为 ｍ 由力的平衡条件有 Ｆ ｍ ｇ 假定恒星的能量辐射各向均匀 恒星单
ｍａｘ， ＝ ｍａｘ 火 ⑦ （３） ，
联立 式并代入题给数据得 ｍ 位时间内向外辐射的能量为 Ｐ 以恒星为
⑤⑥⑦ ｍａｘ ＝ １ ０。
球心 以 ｒ 为半径的球面上 单位面积单位时
８７５ ｋｇ ⑧ ， ，
７．（ 北京， ， 分）利用物理模型对问题 Ｐ
２０２２ １９ １０ 间接收到的辐射能量 Ｐ ０
进行分析 是重要的科学思维方法 ＝ ｒ２ 。 专
， 。 ４π 题
五
某质量为 ｍ 的行星绕太阳运动的轨迹为 设地球绕太阳公转半径为 ｒ 在新轨道上公
（１） １， 万
椭圆 在近日点速度为 ｖ 在远日点速度为 转半径为ｒ 地球在新公转轨道上的温度与 有
， １， ２。 引
力
ｖ 求从近日点到远日点过程中太阳对行星 流浪 前一样 必须满足Ｐ 不变 由于恒星
２。 “ ” ， 地 ， 与
航
所做的功 Ｗ 单位时间内向外辐射的能量是太阳的 倍 天
。 １６ ，
７３
得 ｒ ｒ 月 日 我国在酒泉卫星发射中心用 快舟
２ ＝４ １ ２７ ， “
设恒星质量为 Ｍ 地球在轨道上运行周期 一号 甲运载火箭 成功将 吉林一号 高分
， ” ， “ ”
为 Ｔ 卫星送入预定轨道 卫星入轨后 将在
。 ０２Ｆ 。 ，
ＧＭｍ′ ２ｒ 自然资源调查 生态环境监测 城市综合治
万有引力提供向心力 ｍ′４π 、 、
ｒ２ ＝ Ｔ２ 理以及防灾减灾等领域广泛应用 推动社会
，
２ｒ３ 发展和进步 该卫星绕地球做匀速圆周运
得 Ｔ ４π ！
＝ ＧＭ
动 运行的周期为 Ｔ 运行轨道离地球表面的
， ，
Ｔ
高度为ｈ 地球的半径为Ｒ 引力常量为Ｇ 则
由于恒星质量是太阳质量的 倍 得 ２ ， ， ，
２ ， Ｔ ＝４ ２
地球的质量可表示为
１
（ ）
ＧＴ２ ２ Ｒ ｈ ３
考点 三 天体质量和密度的计算 ４π （ ＋ ）
Ａ． ２ Ｒ ｈ Ｂ． ＧＴ２
４π （ ＋ ）
１．（ 广东， ， 分） 年 月 我国自主
２０２１ ２ ４ ２０２１ ４ ，
ＧＴ２ Ｔ２
研发的空间站 天和 核心舱成功发射并入 Ｃ． ２Ｒ３ Ｄ． ２Ｇ Ｒ ｈ ３
“ ” ４π ４π （ ＋ ）
轨运行 若核心舱绕地球的运行可视为匀 Ｍｍ ２
。 答案 Ｂ 根据 Ｇ ｍ ４π Ｒ ｈ
速圆周运动 已知引力常量 由下列物理量 Ｒ ｈ ２ ＝ Ｔ２ （ ＋ ）。
， ， （ ＋ ）
能计算出地球质量的是 ２ Ｒ ｈ ３
（ ） 解得地球的质量 Ｍ ４π （ ＋ ） 故 项
核心舱的质量和绕地半径 ＝ ＧＴ２ ， Ｂ
Ａ．
核心舱的质量和绕地周期 正确
Ｂ． 。
核心舱的绕地角速度和绕地周期 ３．（ 课标 ， ， 分） 年 月 我国
Ｃ． ２０１８ Ⅱ １６ ６ ２０１８ ２ ，
核心舱的绕地线速度和绕地半径 口径射电望远镜 天眼 发现毫秒脉冲
Ｄ． ５００ ｍ （ ）
答案 Ｄ 核心舱绕地球做匀速圆周运动 星 其自转周期 Ｔ ．
， “Ｊ０３１８＋０２５３”， ＝ ５ １９ ｍｓ。
ＧＭｍ ｍｖ２ æ ö ２ 假设星体为质量均匀分布的球体 已知引力
有 ｍω２ｒ ｍç２π÷ ｒ 核心舱的质 ，
ｒ２ ＝ ｒ ＝ ＝ è Ｔ ø ， 常量为 ． －１１ ２ ２ 以周期 Ｔ 稳
６ ６７×１０ Ｎ·ｍ ／ｋｇ 。
量在求地球质量时会被约掉 已知核心舱绕
定自转的星体的密度最小值约为
，
（ ）
地线速度和半径或者绕地角速度和半径或
９ ３ １２ ３
Ａ．５×１０ ｋｇ／ｍ Ｂ．５×１０ ｋｇ／ｍ
者绕地周期和半径即可求出地球质量 则
， Ｄ １５ ３ １８ ３
Ｃ．５×１０ ｋｇ／ｍ Ｄ．５×１０ ｋｇ／ｍ
正确
答案 Ｃ 当星体的密度最小时 其表面物
。
，
知识解读
ＧＭｍ
体受到的万有引力提供向心力 即 ｍ
在环绕问题中，求中心天体质量需知卫星的 ， Ｒ２ ＝
环绕半径以及卫星的 ｖ、ω、Ｔ、ｆ、ｎ 其中之一， ２ Ｍ
４π Ｒ 星体的密度 ρ 得其密度 ρ
5
此处所说的环绕半径可以是直接给出的数 Ｔ２ ， ＝
４ Ｒ３
， ＝
年 π
高 据，也可以根据两个物理量间接求得。 例如 ３
考
年 模 3 已知ｖ 和Ｔ，即可根据ｖ ＝ ２ Ｔ π ｒ 求得ｒ，但本题 Ｃ Ｇ ３ Ｔ π ２ ＝５×１０ １５ ｋｇ／ｍ ３ ， 故选 Ｃ。
拟
４．（ 江苏昆山中学模拟， ）中国新闻网宣
A 选项已知 ω 和 Ｔ，根据 ω ２π无法求 ｒ，故 ２０２２ ３
版 ＝ Ｔ 布 在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星
： 。
高 错误。 某同学想根据平时收集的部分火星资料 如
考
（
物
理 ２．（ 安徽阜阳三中阶段练习， ） 年 图所示 计算出火星的密度 再与这颗陨石
２０２２ ６ ２０２１ １０ ） ，
７４
的密度进行比较 下列计算火星密度的公 为椭圆的一个焦点 椭圆偏心率 离心率 约
。 ， （ ）
式错误的是 引力常量 Ｇ 已知 忽略火星自 为 ． Ｐ Ｑ 分别为轨道的远银心点和近
（ ， ０ ８７。 、
转的影响 银心点 Ｑ 与 Ｏ 的距离约为 太阳到
） （ ） ， １２０ ＡＵ（
地球的距离为 的运行周期约为
１ ＡＵ），Ｓ２ １６
年 假设 的运动轨迹主要受银河系中心
。 Ｓ２
致密天体的万有引力影响 根据上述数据及
，
日常的天文知识 可以推出
， （ ）
与银河系中心致密天体的质量之比
ｇ ｇ Ｔ２ Ａ．Ｓ２
ρ ３ ０ ρ ０ 银河系中心致密天体与太阳的质量之比
Ａ． ＝ Ｇｄ Ｂ． ＝ ｄ Ｂ．
２π ３π
在 Ｐ 点与 Ｑ 点的速度大小之比
Ｍ Ｃ．Ｓ２
ρ ３π ρ ６
Ｃ． ＝ＧＴ２ Ｄ． ＝ ｄ３
Ｄ．Ｓ２
在 Ｐ 点与 Ｑ 点的加速度大小之比
π
答案 Ｂ 设近火卫星的质量为 ｍ 火星的 答案 ＢＣＤ 设椭圆的长轴为 ａ 两焦点的
２ ，
，
质量为 Ｍ 对近火卫星 火星的万有引力提 ｃ ｃ
， ， 距离为 ｃ 则偏心率 ． ２ 且由题知
２ ， ０ ８７＝ ａ＝ ａ，
ＧＭｍ ２
供其做匀速圆周运动的向心力 则有
， æｄö
２
＝ Ｑ 与 Ｏ 的距离约为
１２０ ＡＵ，
即 ａ
－
ｃ
＝１２０ ＡＵ，
ç ÷
è ø 由此可得出 ａ 与 ｃ 由于 围绕致密天体运
２ ， Ｓ２
ｍ ２ ｄ ２ｄ３ 动 根据万有引力定律 可知无法求出两者
·４π 可得 Ｍ π 火星的密度为 ρ ， ，
Ｔ２ · ， ＝ ＧＴ２ ， 的质量之比 故 错误 由开普勒第三定律
２ ２
， Ａ ；
Ｍ Ｍ
６ ３π 故 正确 又火 得
ａ３
ｋ 式中 ｋ 与中心天体的质量 Ｍ 有关
＝
４
æ
ç
ｄö
÷
３ ＝
π
ｄ３ ＝ＧＴ２ ， Ｃ、Ｄ 。 Ｔ２ ＝ ， ，
πè ø
３ ２ ａ３
且与 Ｍ 成正比 围绕致密天体运动有
星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫
，Ｓ２ Ｔ２
Ｓ２
Ｍｍ ｇ ｄ２
星的重力 则有 ｍｇ Ｇ 解得 Ｍ ０ ｒ３ 地
， ０ ＝ æ ç ｄö ÷ ２ ， ＝ ４ Ｇ ， ＝ ｋ 致∝ Ｍ 致， 地球围绕太阳运动有 Ｔ２ ＝ ｋ 太∝
地
è ø
２
Ｍ ａ３Ｔ２
ｇ ｄ２ Ｍ 两式相比 可得 致 地 因 的半
Ｍ
０
Ｇ
太， ， Ｍ
太
＝ｒ３
地
Ｔ２ ， Ｓ２
Ｓ２
因此火星的密度为 ρ ４
＝
４
æ
ç
ｄö
÷
３ ＝
１ ｄ３
＝
长轴ａ
、
周期Ｔ
Ｓ２、
日地之间的距离ｒ
地、
地球围
πè ø π 绕太阳运动的周期 Ｔ 都已知 故由上式 可
３ ２ ６ 地 ， ，
ｇ 以求出银河系中心致密天体与太阳的质量
３ ０ 正确 项公式对应单位不是
Ｇｄ，Ａ 。 Ｂ ｋｇ／ 之比 故 正确 在 Ｐ Ｑ 处极短时间内
２π ， Ｂ ； 、 ，Ｓ２
３ 故选 扫过的面积可近似看作三角形的面积 根据
ｍ ， Ｂ。 ，
５．（ 福建， ， 分）（多选）两位 ｖ ａ ｃ
２０２１ ８ ６ 题意有１ｖ ａ ｃ １ｖ ａ ｃ 解得 Ｐ －
科学家因为在银河系中心发现 Ｐ（ ＋ ）＝ Ｑ（ － ）， ｖ ＝ａ ｃ，
２ ２ Ｑ ＋
专
了一个超大质量的致密天体而 因 ａ ｃ 已求出 故可以求出 在 Ｐ 点与 Ｑ 题
、 ， Ｓ２ 五
获得了 年诺贝尔物理学 点的速度大小之比 故 正确 不管是在
２０２０ ， Ｃ ；Ｓ２ 万
有
奖 他们对一颗靠近银河系中 Ｐ 点 还是在 Ｑ 点 都只受致密天体的万有
引
。 ， ，
力
心的恒星 的位置变化进行了持续观测 Ｍｍ 与
Ｓ２ ， 引力作用 根据牛顿第二定律有 Ｇ ｍａ 航
记录到的 的椭圆轨道如图所示 图中 Ｏ ， ｒ２ ＝ ， 天
Ｓ２ 。
７５
ＧＭ
解得ａ 因 Ｐ 点到 Ｏ 点的距离为 ａ ｃ Ｑ
＝ ｒ２ ， ＋ ，
ａ Ｐ ａ ｃ ２
点到 Ｏ 点的距离为 ａ ｃ 解得 （ － ） 因
－ ， ａ Ｑ ＝ （ ａ ＋ ｃ ） ２ ，
ａ ｃ 已求出 故可以求出 在 Ｐ 点与 Ｑ 点的
、 ， Ｓ２
加速度大小之比 故 正确
， Ｄ 。
考点 四 人造卫星 宇宙速度 æｇＲ２Ｔ２ ö
１
æｇＲ２Ｔ２ ö
１
çç ÷÷３ Ｒ çç ÷÷３
Ａ．è ｎ２ ２ø － Ｂ．è ｎ２ ２ø
１．（ 河北， ， 分） 年 我国天文学家 ２ π ２ π
２０２２ ２ ４ ２００８ ， æｇＲ２Ｔ２ ö
１
æｇＲ２Ｔ２ ö
１
利用国家天文台兴隆观测基地的 ． 米望远 çç ÷÷３ Ｒ çç ÷÷３
２１６ Ｃ．è ｎ２ ２ø － Ｄ．è ｎ２ ２ø
４ π ４ π
镜 发现了一颗绕恒星 运动的系外
， ＨＤ１７３４１６ 答案 Ｃ 根据题意 卫星绕地球的周期 ｔ
， ＝
行星 年 该恒星和行星被
ＨＤ１７３４１６ｂ。 ２０１９ ， Ｔ
设地球质量为 Ｍ 地心与卫星中心距离为
国际天文学联合会分别命名为 羲和 和 望
ｎ， ，
“ ” “
舒 天文观测得到恒星羲和的质量是太阳
ｒ 卫星绕地球做匀速圆周运动 根据万有引
”。
， ，
质量的 倍 若将望舒与地球的公转均视为
２ ， ＧＭｍ æ ö ２
力提供向心力可知 ｍｒç２π÷ 则 ＧＭ
匀速圆周运动 且公转的轨道半径相等 则望 ｒ２ ＝ è ｔ ø ， ＝
， ，
舒与地球公转速度大小的比值为 æ ｎ ö ２
（ ） ｒ３ ç２ π÷ 且 ＧＭ ｇＲ２ ｈ ｒ Ｒ 代入化简得 ｈ
è Ｔ ø ， ＝ ， ＝ － ，
２
Ａ．２ ２ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ｇＲ２Ｔ２
２ Ｒ 故选
答案 Ｃ 望舒与地球都是所受万有引力提 ＝ ２ｎ２ － ， Ｃ。
４π
Ｍｍ ３．（ 浙江 月选考， ， 分）神舟十三号飞
供向心力而做匀速圆周运动 有 Ｇ ｍ ２０２２ ６ ６ ３
， ｒ２ ＝ 船采用 快速返回技术 在近地轨道上 返
“ ”， ，
ｖ２ ＧＭ 回舱脱离天和核心舱 在圆轨道环绕并择机
可得 ｖ 天文观测得到恒星羲和的 ，
ｒ ， ＝ ｒ ，
返回地面 则
。 （ ）
质量是太阳质量的 倍 且望舒与地球的公
．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越
２ ，
Ａ
转的轨道半径相等 则公转速度大小的比值
高 环绕速度越大
，
，
为 正确 ．返回舱中的宇航员处于失重状态 不受地
２，Ｃ 。 Ｂ ，
２．（ 山东， ， 分） 羲和号 是我国首颗太 球的引力
２０２２ ６ ３ “ ”
阳探测科学技术试验卫星 如图所示 该卫 ．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在
。 ， Ｃ
星围绕地球的运动视为匀速圆周运动 轨道 同一轨道运行
，
平面与赤道平面接近垂直 卫星每天在相 ．返回舱穿越大气层返回地面过程中 机械
5
。 Ｄ ，
年
高 同时刻 沿相同方向经过地球表面 Ａ 点正上 能守恒
考 、
3 方 恰好绕地球运行 ｎ 圈 已知地球半径为 ＧＭｍ
年 ， 。 答案 Ｃ 根据万有引力提供向心力有
模 Ｒ 自转周期为 Ｔ 地球表面重力加速度为 ｇ ｒ２
拟 ， ， ，
A
则 羲和号 卫星轨道距地面高度为 ｖ２ ＧＭ
“ ” （ ） ｍ 可知ｖ 离地面越高 轨道半径
版 ＝ ｒ ， ＝ ｒ ， ，
高
越大 环绕速度越小 选项 错误 返回舱中
考
， ， Ａ ；
物
理 的宇航员处于失重状态 但受地球的引力
， ，
７６
同步卫星做匀速圆周运动 空间站天和核心
ＧＭ
选项 错误 根据ｖ 可知 卫星在同一 ，
Ｂ ； ＝ ｒ ， 舱绕地球做匀速圆周运动的周期约为
个轨道上运行的速度与卫星的质量无关 选 下列说法中正确的是
， ９０ ｍｉｎ， （ ）
项 正确 返回舱穿越大气层返回地面过程 火星上发射卫星的第一宇宙速度大于地
Ｃ ； Ａ．
中 返回舱与空气剧烈摩擦 机械能减少 选 球上发射卫星的第一宇宙速度
， ， ，
项 错误 火星表面附近的重力加速度大于地球表
Ｄ 。 Ｂ．
４．（ 湖北， ， 分） 年 月 我国成功 面附近的重力加速度
２０２２ ２ ４ ２０２２ ５ ，
同步卫星所在处的重力加速度大于天和
完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接
Ｃ．
，
核心舱所在处的重力加速度
形成的组合体在地球引力作用下绕地球做
同步卫星运动的角速度小于天和核心舱
圆周运动 周期约 分钟 下列说法正确的
Ｄ．
， ９０ 。
运动的角速度
是
（ ）
答案 Ｄ 对于近地卫星 根据万有引力提
组合体中的货物处于超重状态
，
Ａ．
组合体的速度大小略大于第一宇宙速度 供向心力得
ＧＭｍ ｍｖ２
解得地球的第一宇宙
Ｂ． Ｒ２ ＝ Ｒ ，
组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
Ｃ．
ＧＭ
组合体的加速度大小比地球同步卫星 速度表达式为 ｖ 同理火星的第一宇
Ｄ． ＝ Ｒ ；
的小
Ｍ
答案 Ｃ 组合体在地球引力作用下绕地球 Ｇ
ＧＭ′ ＧＭ ＧＭ
做圆周运动 组合体中的货物处于完全失重 宙速度为 ｖ′ １０
＝ Ｒ′ ＝ Ｒ ＝ Ｒ ＜ Ｒ
，
５
状态 错误 第一宇宙速度是最大的环绕
，Ａ ； ２
速度 组合体的速度大小小于第一宇宙速 ｖ 项错误 地球表面附近的重力加速度 ｇ
， ＝ ，Ａ ；
度 错误 组合体的环绕周期约 分钟 而 ＧＭ
，Ｂ ； ９０ ， 火星表面附近的重力加速度 ｇ′
地球同步卫星的运行周期为 小时 由 ω ＝ Ｒ２ ， ＝
２４ ， ＝
Ｍ
ＧＭ Ｇ
２π可知 ω 故组合体的角速度大小比 ＧＭ′
Ｔ ＝ ｒ３ ， １０ ２ｇ 项错误 由万有引力提供
Ｒ′２ ＝æＲö ２ ＝ ，Ｂ ；
ç ÷ ５
Ｍｍ
地球同步卫星的大
，Ｃ
正确
；
由 Ｇ
ｒ２ ＝
ｍω２ｒ è
２
ø
ＧＭｍ′ ２ ｒ３
知组合体的轨道半径小于地球同步卫星的 向心力 ｍ′４π ｒ Ｔ 空间站
ｒ２ ＝ Ｔ２ ， ＝２π ＧＭ，
Ｍｍ
轨道半径 由万有引力提供向心力即Ｇ 天和核心舱绕地球做匀速圆周运动的周期
， ｒ２ ＝
约为 可知它的轨道半径小于同步卫
ｍａ 可知组合体的加速度大小比地球同步卫 ９０ ｍｉｎ，
ＧＭ
星的大 错误 星的轨道半径 由 ｇ″ 知同步卫星所在处
，Ｄ 。 ， ＝ ｒ２
５．（ 山东济南历城二中开学考， ）火星探
的重力加速度小于天和核心舱所在处的重
２０２２ ３
专
测器 天问一号 成功着陆火星 北斗卫星导
题
“ ” 、 力加速度 项错误 由 ω ２π可知 同步卫 五
航系统覆盖全球 建造空间站天和核心舱 ，Ｃ ； ＝ Ｔ ，
、 万
等 中国航天人取得了辉煌的成就 已知地 星运动的角速度小于天和核心舱运动的角 有
， 。 引
球的半径约为火星半径的 倍 地球质量约 速度 项正确 力
２ ， ，Ｄ 。 与
航
为火星质量的 倍 北斗导航系统中的地球 ６．（ 河北邢台一中阶段测试， ）如图所示 天
１０ ， ２０２２ ６ ，
７７
Ａ 是静止在赤道上的物体 随地球自转而做 答案 Ｂ 地球赤道上的物体与同步卫星具
，
匀速圆周运动 Ｂ Ｃ 是同一平面内两颗人造 有相同的角速度 所以 ω ω 根据 ｖ ｒω 可
； 、 ， Ａ＝ Ｃ， ＝
卫星 Ｂ 位于离地高度等于地球半径的圆形 知 Ｃ 的线速度大于 Ａ 的线速度 对人造卫星
， ， ，
轨道上 Ｃ 是地球同步卫星 已知第一宇宙 Ｍｍ ｖ２
， 。 由万有引力提供向心力 Ｇ ｍ 解得 ｖ
速度为 ｖ 物体 Ａ 和卫星 Ｂ Ｃ 的线速度大小 ｒ２ ＝ ｒ ，
０， 、
分别为 ｖ ｖ ｖ 周期大小分别为 Ｔ Ｔ Ｔ ＧＭ
Ａ、 Ｂ、 Ｃ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ， 可知 Ｂ 的线速度大于 Ｃ 的线速度
＝ ｒ ， ，
则下列关系正确的是
（ ）
但均小于第一宇宙速度 即 ｖ ｖ ｖ ｖ 故
， Ａ＜ Ｃ＜ Ｂ＜ ０，
项错误 项正确 卫星 Ｃ 为同步卫星 所
Ａ ，Ｂ ； ，
以 Ｔ Ｔ 对人造卫星由万有引力提供向心
Ａ＝ Ｃ，
Ｍｍ ２ ｒ３
力 Ｇ ｍ ４π ｒ 解得 Ｔ 可知 Ｃ
Ａ． ｖ Ａ＝ ｖ Ｃ＝ ｖ ０ Ｂ． ｖ Ａ＜ ｖ Ｃ＜ ｖ Ｂ＜ ｖ ０ ｒ２ ＝ Ｔ２ ， ＝２π ＧＭ，
Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ
Ｃ． Ａ＞ Ｃ＞ Ｂ Ｄ． Ａ＞ Ｂ＞ Ｃ 的周期大于 Ｂ 的周期 故 错误
， Ｃ、Ｄ 。
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
７８
综合篇
拓展 一 卫星的变轨问题 机械能减少
卫星从 Ａ 点到 Ｂ 点的过程中 动能的增加
１．（ 贵州遵义开学考， ） 年 月 Ｄ． ，
２０２２ ６ ２０１９ １２ ２７
量等于势能的减少量
日 长征五号遥三运载火箭在中国文昌航天
， 答案 Ｄ 若过 Ａ 点作绕地球运动的圆轨
发射场点火升空
，２ ０００
ＧＭ
多秒后 与实践二十号 道 根据 ｖ 可知 在此圆轨道上 Ａ 点的
， ， ＝ ｒ ，
卫星成功分离 将卫星
， 速度小于在 轨道上的环绕速度 而在 Ａ
送 入 近 地 点 高 度 ＧＥＯ ，
点由 轨道进入过 Ａ 点的圆轨道要加
远地点高度 的超同步转移 ＳＳＴＯ
１９３ ｋｍ、 ６８ ０００ ｋｍ
速 即在 轨道上的 Ａ 点时的速度小于
轨道 年 月 日 实践二十号卫 ， ＳＳＴＯ
（ＳＳＴＯ）；２０２０ １ ５ ，
在 轨道上的环绕速度 项错误 在 Ｂ
星在离地 的地球同步轨道 ＧＥＯ ，Ａ ；
３５ ７８６ ｋｍ （ＧＥＯ）
点时卫星受到的万有引力等于在 环绕
成功定点 这标志着东方红五号卫星公用平 ＧＥＯ
，
轨道上所受的万有引力 且在 环绕轨道
台首飞成功 如不考虑轨道倾角改变 单纯 ， ＧＥＯ
。 ，
上万有引力等于向心力 则在 Ｂ 点时的加速
就速度大小而言 卫星从 进入 需
，
， ＳＳＴＯ ＧＥＯ
度与在 环绕的向心加速度相等 项错
要两次动力变轨 如图所示 一次在 远
ＧＥＯ ，Ｂ
， ， ＳＳＴＯ
误 卫星从 Ａ 点到 Ｂ 点无动力飞行的过程中
地点Ａ加速 提高近地点高度到 高度 第
；
， ＧＥＯ ，
只有万有引力做功 则机械能不变 动能的 二次在新的近地点 Ｂ 减速 使远地点高度下
， ， ，
增加量等于势能的减少量 项错误 项
降到 高度 卫星从 Ａ 点无动力飞行到 Ｂ
，Ｃ ，Ｄ
ＧＥＯ ，
正确
点 下列说法中正确的是
。
， （ ）
在 Ａ 点时的速度大于在 的环绕速度 ２．（ 湖南， ， 分）（多选） 年 月
Ａ． ＧＥＯ ２０２１ ７ ５ ２０２１ ４ ２９
在 Ｂ 点时的加速度大于卫星在 环绕 日 中国空间站天和核心舱发射升空 准确
Ｂ． ＧＥＯ ， ，
的向心加速度 进入预定轨道 根据任务安排 后续将发射
。 ，
卫星从 Ａ 点到 Ｂ 点无动力飞行的过程中 问天实验舱和梦天实验舱 计划 年完成
Ｃ． ， ２０２２
空间站在轨建造 核心舱绕地球飞行的轨 在轨道 运行周期比在 时短
。 Ｂ． Ⅰ Ⅱ
道可视为圆轨道 轨道离地面的高度约为地 从轨道 进入 在 Ｐ 处要加速
， Ｃ． Ⅰ Ⅱ
沿轨道 向 Ｐ 飞近时速度增大
球半径的 １ 下列说法正确的是 Ｄ． Ⅰ
。 （ ）
答案 Ｄ 曲线运动是变速运动 物体所受
１６
，
核心舱进入轨道后所受地球的万有引力
合力必不为零 故 错误 根据开普勒第三
Ａ．
， Ａ 。
æ ö
大小约为它在地面时的ç１６÷ ２ 倍 定律可知 围绕同一中心天体运行的物体
è ø ， ，
１７ 轨道半长轴大的周期长 故 错误 探测器
核心舱在轨道上飞行的速度大于 ． ， Ｂ 。
Ｂ． ７ ９ ｋｍ／ｓ 从轨道 进入 半长轴减小 做近心运动
核心舱在轨道上飞行的周期小于 Ⅰ Ⅱ， ， ，
Ｃ． ２４ ｈ 需减速 探测器在 Ｐ 点所受万有引力 不变
后续加挂实验舱后 空间站由于质量增 ， （ ）
Ｄ． ， 大于其所需向心力 引力将探测器拉向半长
大 轨道半径将变小 ，
，
轴较小的轨道 故 错误 根据开普勒第二
答案 ＡＣ 核心舱在地面上所受万有引力 ， Ｃ 。
定律 探测器从远火点飞向近火点 速度增
Ｍｍ ， ，
Ｆ Ｇ 入轨后 所受万有引力 Ｆ Ｇ
大 故 正确
０ ＝ Ｒ２ ， ， ＝ ， Ｄ 。
Ｍｍ æ ö ２ ４．（ 河南焦作一模， ）（多选）我国 天问
ç１６÷ Ｆ 选项 正确 核心舱绕地 ２０２２ １８ “
æ ö ２ ＝è ø ０， Ａ ； 一号 携带的 祝融号 火星车成功着陆火
ç１７Ｒ÷ １７ ” “ ”
è ø
１６ 星 如图所示 天问一号 首先在 轨道上
。 ，“ ” Ⅰ
球运行的速度小于最大环绕速度 ．
７ ９ ｋｍ／ｓ， 绕火星做匀速圆周运动 在 Ｂ 点实施变轨进
，
选项 错误 核心舱轨道半径小于地球同步
Ｂ ； 入轨道 随后在近火点 Ａ 实施降轨进入轨
Ⅱ，
卫星的轨道半径 其周期小于 选项
， ２４ ｈ， Ｃ 道 轨道半径约等于火星半径 Ｒ 随后软
Ⅲ（ ），
Ｍｍ ｍｖ２ ＧＭ
正确 根据 Ｇ 可知ｒ 空间站的 着陆在火星表面 已知 天问一号 在 轨
； ｒ２ ＝ ｒ ＝ ｖ２ ， 。 “ ” Ⅱ
道上的周期为 Ｔ 轨道半长轴为 ａ 引力常
轨道半径与其速度 ｖ 有关 与其质量无关 选 ，Ⅱ ，
， ， 量为 Ｇ 则
项 错误 ， （ ）
Ｄ 。
３．（ 天津， ， 分） 年 月 日 天问
２０２１ ５ ５ ２０２１ ５ １５ ，
一号探测器着陆火星取得成功 迈出了我国
，
星际探测征程的重要一步 在火星上首次留
，
下中国人的印迹 天问一号探测器成功发
。
射后 顺利被火星捕获 成为我国第一颗人 ａ３
， ， 天问一号 在 轨道上的周期 Ｔ′ Ｔ
造火星卫星 经过轨道调整 探测器先沿椭 Ａ．“ ” Ⅲ ＝ Ｒ３
。 ，
圆轨道 运行 之后进入称为火星停泊轨道 天问一号 在 轨道上的线速度 ｖ
Ⅰ ， Ｂ．“ ” Ⅲ ＝
的椭圆轨道 运行 如图所示 两轨道相切 ａ ａ
Ⅱ ， ， ４π
于近火点 Ｐ 则天问一号探测器 Ｔ Ｒ
， （ ）
２ａ３
火星的质量 Ｍ ４π 专
Ｃ． ＝ ＧＴ２ 题
五
火星表面重力加速度 ｇ ４π
２ａ３
万
Ｄ． 火＝ Ｒ２Ｔ２ 有
引
力
ａ３ 与
答案 ＣＤ 由开普勒第三定律可知 航
在轨道 上处于受力平衡状态 Ｔ２ ＝ 天
Ａ． Ⅱ
７９
答案 ＡＣ 假设卫星在半径为 ｒ 的圆轨道
Ｒ３
天问一号 在 轨道上的周期 Ｔ′
Ｒ３
２
Ｔ′２ ，“ ” Ⅲ ＝ ａ３ 上运行时速度为 ｖ 由 高轨低速大周期
２， “ ”
Ｔ 项错误 由圆周运动公式可知 天问一 知 卫星在半径为 ｒ 的圆轨道上运行时速度
，Ａ ； ，“ ， ２
Ｒ Ｒ 比卫星在半径为 ｒ 的圆轨道上运行时速度
号 在 轨道上的线速度 ｖ ２π ２π １
” Ⅲ ＝ Ｔ′ ＝ Ｒ３ ＝ 小 即 ｖ ｖ 卫星要从椭圆轨道变轨到半径
Ｔ ， ２＜ １，
ａ３ 为 ｒ 的圆轨道 在 Ｂ 点必须加速 则 ｖ ｖ
２ ， ， Ｂ＜ ２，
ａ ａ Ｍｍ ２ ＧＭｍ
２π 项错误 由 Ｇ ｍ ４π Ｒ 解得 所以有ｖ ｖ 故 正确 由 ｍａ 可知轨
Ｔ Ｒ ，Ｂ ； Ｒ２ ＝ Ｔ′２ ， Ｂ＜ １， Ａ ； ｒ２ ＝
火星的质量 Ｍ ４π
２ａ３
项正确 由 Ｇ
Ｍｍ′ 道半径越大
，
加速度越小
，
则 ａ
Ａ＞
ａ
Ｂ，
故
Ｂ
错
＝ ＧＴ２ ，Ｃ ； Ｒ２ ＝ 误 卫星加速后从 Ａ 运动到 Ｂ 的过程中 由
； ，
２ａ３ æ ＧＭｍö
ｍ′ｇ
火
解得火星表面重力加速度 ｇ
火＝
４
Ｒ
π
２Ｔ２ ，
机械能守恒定律得１ ｍｖ２
Ａ＋è
ç
－ ｒ ø
÷
＝
１ｍｖ２
Ｂ＋
２ １ ２
正确 æ ＧＭｍö æ ö
Ｄ 。 ç ÷ 得 ｖ ＧＭç１ １÷ ｖ２ 故 正
５．（ 山西大同模拟， ）（多选）卫星在半径 è－ ｒ ø， Ａ ＝ ２ èｒ －ｒ ø＋ Ｂ， Ｃ
２０２２ ８ ２ １ ２
为 ｒ 的圆轨道上运行速度为 ｖ 当其运动经 确 设卫星在半径为 ｒ 的圆轨道上运行时周
１ １， ； １
过 Ａ 点时点火加速 使卫星进入椭圆轨道运 期为 Ｔ 在椭圆轨道上运行周期为 Ｔ 根据
， １， ２，
行 椭圆轨道的远地点 Ｂ 与地心的距离为 æｒ ｒ ö ３
， çç １ ＋ ２ ÷÷
ｒ 卫星经过 Ｂ 点的速度为 ｖ 若规定无穷远
ｒ３ è ø
２， Ｂ， 开普勒第三定律有
Ｔ
１
２ ＝
２
Ｔ２ ，
又因为 Ｔ
１ ＝
处引力势能为 则引力势能的表达式 Ｅ
１ ２
０， ｐ ＝
ｒ
ＧＭｍ ２π １ 则卫星从Ａ 点运动至Ｂ 点的时间为ｔ
其中 Ｇ 为引力常量 Ｍ 为中心天体质 ｖ ， ＝
－ ｒ ， ，
１
量 ｍ 为卫星的质量 ｒ 为两者重心间距 若 Ｔ ｒ ｒ ３
， ， ， ２ 联立解得 ｔ π （ １ ＋ ２） 故 错误
卫星运动过程中仅受万有引力作用 则下列 ， ＝ ｖ ｒ ， Ｄ 。
， ２ ２ １ ２ １
说法正确的是
（ ） 拓展 二 天体运动中的几何问题
１．（ 北京西城三模， ）（多选）我国的 天
２０２２ ８ “
链一号 是地球同步轨道
”
卫星 可为载人航天器及
，
中低轨道卫星提供数据
ｖ ｖ
Ａ． Ｂ＜ １ 通信 天链一号 ａ 赤
卫星在椭圆轨道上 Ａ 点的加速度小于 Ｂ 。 “ ” 、
Ｂ．
道平面内的低轨道卫星
5 点的加速度
年 ｂ 地球的位置关系示意图如图 Ｏ 为地心 地
高 卫 星 在 Ａ 点 加 速 后 的 速 度 为 、 ， ，
考 Ｃ． 球相对卫星ａ ｂ 的张角分别为θ 和θ θ 图
3 æ ö 、 １ ２（ ２
年 ｖ ＧＭç１ １÷ ｖ２ 中未标出 卫星 ａ 的轨道半径是 ｂ 的 倍
模 Ａ＝ ２ èｒ －ｒ ø＋ Ｂ ）， ４ 。
拟
１ ２ 已知卫星 ａ ｂ 绕地球同向运行 卫星 ａ 的周
A 卫星从 Ａ 点运动至 Ｂ 点的最短时间为 ｔ 、 ，
Ｄ． ＝
版 期为 Ｔ 在运行过程中由于地球的遮挡 卫星
高 １ （ ｒ １ ＋ ｒ ２） ３ ｂ 会进入 ， 与卫星 ａ 通讯的盲区 卫星间 ， 的通
考
ｖ ｒ 。
物
理 １ ２ １ 信信号视为沿直线传播 信号传输时间可忽
，
８０
略 下列分析正确的是
。 （ ）
张角 θ 和 θ 满足 θ θ
Ａ． １ ２ ｓｉｎ ２ ＝４ ｓｉｎ １
Ｔ
卫星 ｂ 的周期为
Ｂ．
８
θ θ
卫星 ｂ 每次在盲区运行的时间为 １ ＋ ２Ｔ
Ｃ．
１４π
θ θ 探测器在轨道 运行时的机械能大于在轨
卫星 ｂ 每次在盲区运行的时间为 １ ＋ ２Ｔ Ａ． ２
Ｄ． 道 运行时的机械能
１６π １
答案 ＢＣ 设地球半径 探测器在轨道 运行时的线速度 ｖ 大小
Ｂ． ２ ２
θ 满足 ｖ ｖ ｖ
为 ｒ 由题意可知 １ １＜ ２＜ ３
０， ｓｉｎ ＝
探测器在轨道 上运行时的周期为
２
Ｃ． ３
ｒ θ ｒ
０ ２ ０ ｒ ｒ 解 Ｔ ３ θ
ｒ ，ｓｉｎ ＝ ｒ ， ａ ＝ ４ ｂ， １ ｓｉｎ
ａ ２ ｂ 探测器在轨道 上运行和在圆轨道 上运
θ θ ｒ３ ｒ３ Ｄ． ２ １
ａ ｂ
得 ２ １ 项错误 由 Ｔ 行 加速度大小相等的位置有两个
ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ，Ａ ； Ｔ２ ＝Ｔ３ ， ａ ＝ ，
２ ２ ａ ｂ
答案 Ｃ 探测器从圆轨道 上的 Ａ 点减速
Ｔ １
Ｔ ｒ ｒ 可知 Ｔ 项正确 由题意可
， ａ＝４ ｂ， ｂ ＝ ，Ｂ ； 后变轨到椭圆轨道 探测器在轨道 运行
２， ２
８
时的机械能小于在轨道 运行时的机械能
知 图中Ａ Ｂ 两点为盲区的两临界点 ＣａＯ
１ ，
， 、 ，∠
错误 探测器在轨道 运行时经过 Ｂ 点相
θ θ
Ａ ； ２
１ ＣＢＯ ２ 由几何关系可得 ＡＯＢ
＝ 、∠ ＝ ， ∠ ＝ 对于轨道 的 Ｂ 点做离心运动 所以探测器
２ ２ ３ ，
æ ｔ ｔ ö 在轨道 运行时经过 Ｂ 点的线速度大于在
ＢＯａ θ θ 因而 ç ÷ θ θ ２
２π－２∠ ＝ １ ＋ ２， ２πèＴ －Ｔ ø ＝ １ ＋ ２， 轨道 上运行速度 ｖ 错误 据几何关系可
ｂ ａ
３ ３，Ｂ ；
解得 ｔ
θ
１ ＋
θ
２Ｔ 项正确 项错误 得
ｒ
３ θ 根据开普勒第三定律可得
ｒ３
１
＝
１４π
，Ｃ ，Ｄ 。 ｒ ＝ｓｉｎ ， Ｔ２ ＝
１ １
２．（ 安徽定远中学一模， ）我国航天技术
２０２２ ５
ｒ３
３ 解得 Ｔ Ｔ ３ θ 正确 据牛顿第二
走在世界的前列 探月工程 绕 落 回 三步 Ｔ２ ， ３ ＝ １ ｓｉｎ ，Ｃ ；
， “ 、 、 ”
３
走的最后一步已经完成 月球探测器已实现 ＧＭｍ
， 定律可得 ｍａ 所以探测器在轨道 上
采样返回 如图所示 探测器从圆轨道 上 ｒ２ ＝ ， ２
。 ， １
的 Ａ 点减速后变轨到椭圆轨道 之后又在 运行和在圆轨道 上运行 加速度大小相等
２， １ ，
轨道 上的 Ｂ 点变轨到近月圆轨道 已知 的位置只有 Ａ 位置一个 错误 故选
２ ３。 ，Ｄ 。 Ｃ。
探测器在轨道 上的运行周期为 Ｔ 运行速 ３．（ 东北三校一模， ）（多选）宇宙飞船以
１ １， ２０２２ ８
度为 ｖ 在轨道 上运行速度为 ｖ Ｏ 为月球 周期 Ｔ 绕地球做圆周运动时 由于地球遮挡
１， ３ ３， ，
球心 Ｃ 为轨道 上的一点 ＡＣ 与轨道 相 阳光 会经历 日全食 过程 如图所示 已
， ３ ， ３ ， “ ” ， 。
切 ＡＣ 与 ＡＯ 之间的夹角为 θ 下列说法正确 知地球的半径为 Ｒ 地球的质量为 Ｍ 引力常
， ， ， ， 专
的是 量为 Ｇ 地球的自转周期为 Ｔ 太阳光可视 题
（ ） ， ０， 五
为平行光 航天员在 Ａ 点测出的张角为 α 则 万
， ，
有
引
（ ） 力
与
航
天
８１
速圆周运动 地球的轨道半径为 Ｒ 运转周
。 ，
期为 Ｔ 地球和太阳中心的连线与地球和行
。
星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角
简称视角 已知该行星的最大视角为 θ
（ ）。 ，
Ｒ
飞船绕地球运动的线速度为 ２π 行星处于最大视角处时是地球上天文爱好
Ａ． α
Ｔ 者观察该行星的最佳时期 若某时刻该行
ｓｉｎ 。
２
星正好处于最佳观察期 问该行星下一次处
Ｔ ，
一天内飞船经历 日全食 的次数为
于最佳观察期至少需经历多长时间
Ｂ． “ ” Ｔ
？
０
αＴ
飞船每次经历 日全食 过程的时间为 ０
Ｃ． “ ”
２π
Ｒ Ｒ
飞船的运行周期 Ｔ ２π
Ｄ． ＝ α α
ＧＭ
ｓｉｎ ｓｉｎ
２ ２
答案 ＡＤ 飞船绕地球做匀速圆周运动
， θ ３ θ
答 案 ｔ （π－２ ） ｓｉｎ Ｔ 或 ｔ
线速度为 ｖ ２π ｒ 又由几何关系知 α １ ＝ ３ θ · ２ ＝
＝ Ｔ ， ｓｉｎ ＝ ２π（１－ ｓｉｎ ）
２ θ ３ θ
Ｒ Ｒ Ｒ （π＋２ ） ｓｉｎ Ｔ
ｒ ， 得 ｒ ＝ α， 则 ｖ ＝ ２π α， 故 Ａ 正确 ； 地 ２π（１－ ｓｉｎ ３ θ ） ·
Ｔ
解析 由题意可得行星的轨道半径 ｒ Ｒ
ｓｉｎ ｓｉｎ
＝ ｓｉｎ
２ ２
θ 设行星绕太阳的运行周期为 Ｔ′ 由开普勒
球的自转周期为 Ｔ 飞船绕地球运动的周期
， ，
０，
为 Ｔ ， 飞船环绕地球一圈会有一次 “ 日全 第三定律有 Ｒ Ｔ２ ３ ＝Ｔ ｒ ′ ３ ２ ， 得 Ｔ′ ＝ Ｔ ｓｉｎ ３ θ ， 绕向相
食 所以每过时间 Ｔ 就有一次 日全食 一
”， “ ”，
Ｔ 同 行星的角速度比地球的大 ω ２π ２π
天内飞船经历 日全食 的次数为 ０ 故 错 ， ，Δ ＝ Ｔ′ － Ｔ
“ ” Ｔ， Ｂ
３ θ
误 由几何关系 飞船在地球的阴影里为 日 ２π（１－ ｓｉｎ ） 某时刻该行星正好处于最
； ， “ ＝ Ｔ ３ θ ；
全食 所以飞船每次经历 日全食 过程的 ｓｉｎ
”， “ ” 佳观察期 有两种情况 一是刚看到 二是马
时间与飞船圆周运动周期有关 与地球自转 ， ： ；
， 上看不到 如图所示 到下一次处于最佳观
， 。
α α Ｔ
周期无关 ｔ π－ （π－ ） 故 错误 根 θ
， ＝ ω ＝ ， Ｃ ； 察期至少需经历时间分别为 ｔ ｔ ｔ π－２
２π １、 ２， １ ＝ ω
Δ
ｍＭ
据万有引力提供向心力 有 Ｇ ｍ θ ３ θ θ
， ｒ２ ＝ （π－２ ） ｓｉｎ Ｔ ｔ π＋２
＝ ３ θ · ， ２ ＝ Δ ω ＝
5 æ ö ２ ｒ３ Ｒ ２π（１－ ｓｉｎ ）
年 高 è ç２ Ｔ π ø ÷ ｒ ， 得 Ｔ ＝ ２π ＧＭ， 则 Ｔ ＝ ２π α （π＋２ θ ） ｓｉｎ ３ θ Ｔ
考 · 。
3 ｓｉｎ ２ ２π（１－ ｓｉｎ ３ θ ）
年
模 Ｒ
拟 正确
α ，Ｄ 。
A ＧＭ
版 ｓｉｎ
２
高 ４．（ 山西怀仁中学四模， ）如图 地球和
考 ２０２２ １３ ，
物
理 某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀
８２
应用篇
模型 一 双星和多星模型 ２Ｌ２ ２Ｌ３
量的表达式Ｍ Ｍ ４π Ｒ Ｒ ４π
１ ＋ ２ ＝ ＧＴ２ （ １ ＋ ２）＝ ＧＴ２ ，
１．（ 东北三校联考， ）（多选） 年人类
２０２２ ８ ２０１９ 两天体的总质量不变 又由题意知天体之间
天文史上首张黑洞图片正 ，
的距离 Ｌ 不变 所以两天体运动的周期 Ｔ 不
式公布 在宇宙中当一颗 ，
。 ２Ｌ２
恒星靠近黑洞时 黑洞和 变 由 Ｍ ４π Ｒ 可知 质量较小的黑洞质
， ， ２ ＝ ＧＴ２ １ ，
恒星可以相互绕行 从而
， 量增大 所以恒星做圆周运动的半径 Ｒ 增
， １
组成双星系统 在相互绕行的过程中 质量
Ｒ
。 ，
大 根据 ｖ ２π １可知恒星的线速度增大
较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量 ， ＝ Ｔ ，Ｃ
较小的黑洞中 从而被吞噬掉 黑洞吞噬恒 正确 错误
， ， ，Ｄ 。
星的过程也被称为 潮汐瓦解事件 天鹅 ２．（ 广西桂林期末， ）（多选） 年 人
“ ”。
２０２２ ８ ２０１７ ，
座 就是一个由黑洞和恒星组成的双星
类第一次直接探测到来自双中子星合并的
Ｘ－１
系统 它们以两者连线上的某一点为圆心做
引力波 根据科学家们复原的过程 在两颗
，
。 ，
匀速圆周运动 如图所示 在刚开始吞噬的
中子星合并前约 时 它们相距约
， 。
１００ ｓ ，
较短时间内 恒星和黑洞的距离不变 则在
绕二者连线上的某点每秒转动
， ，
４００ ｋｍ， １２
这段时间内 下列说法正确的是
圈 将两颗中子星都看作是质量均匀分布的
， （ ）
，
它们的万有引力大小变大
球体 由这些数据 引力常量并利用牛顿力
Ａ．
， 、
它们的万有引力大小不变
学知识 可以估算出这一时刻两颗中子星
Ｂ．
，
恒星做圆周运动的轨道半径将变大 线速
Ｃ． ，
（ ）
度也变大 质量之积
Ａ．
恒星做圆周运动的轨道半径将变小 线速 质量之和
Ｄ． ， Ｂ．
度也变小 速率之和
Ｃ．
答案 ＡＣ 设质量较大的恒星质量为 Ｍ 各自的自转角速度
１， Ｄ．
质量较小的黑洞质量为 Ｍ 它们之间的万有 答案 ＢＣ 双中子星做匀速圆周运动的频
２，
Ｍ Ｍ æ ö
引力 Ｆ Ｇ １ ２ 结合数学知识可知 Ｍ Ｍ 率 ｆ ç周期 Ｔ １ ÷ 由万有引力等于
＝ Ｌ２ ， １ ＝ ２ ＝１２ Ｈｚè ＝ ｓø，
１２
时 Ｆ 有最大值 根据题意知 质量较小的黑 ｍ ｍ ｍ ｍ
， ， ， 向心力 可得 Ｇ １ ２ ｍ ｒ ｆ ２ Ｇ １ ２
洞吞噬质量较大的恒星 所以刚开始时万有 ， ｒ２ ＝ １ １（２π ） ， ｒ２ ＝
，
引力变大 正确 错误 对于两天体 万有 ｍ ｒ ｆ ２ ｒ ｒ ｒ 联立解得 ｍ
，Ａ ，Ｂ ； ， ２ ２（２π ） ， １ ＋ ２ ＝ ＝４００ ｋｍ， １ ＋
Ｍ Ｍ ｆ ２ ｒ３
２ ｍ （２π ） · 项正确 错误 由 ｖ
引力提供向心力 ， 有 Ｇ Ｌ １ ２ ２ ＝ Ｍ １ ４ Ｔ π ２ Ｒ １， ２ ＝ Ｇ ，Ｂ ，Ａ ； １ ＝ 专 题
五
ωｒ ｆｒ ｖ ωｒ ｆｒ 联立解得 ｖ ｖ
Ｍ Ｍ ２ １ ＝２π １， ２ ＝ ２ ＝２π ２， １ ＋ ２ ＝ 万
Ｇ １ ２ Ｍ ４π Ｒ 解得两天体质量的表达
Ｌ２ ＝ ２ Ｔ２ ２， ２π ｆｒ ，Ｃ 项正确 ； 不能得出各自自转的角速 有 引
度 项错误 力
２Ｌ２ ２Ｌ２ ，Ｄ 。 与
式 Ｍ ４π Ｒ Ｍ ４π Ｒ 两天体总质 航
２ ＝ ＧＴ２ １， １ ＝ ＧＴ２ ２， 天
８３
规律总结 动 称为顺行 有时观测到火星由东向西运
， ；
在计算双星的万有引力时，注意万有引力表 动 称为逆行 当火星 地球 太阳三者在同
， 。 、 、
Ｍｍ ｖ２ 一直线上 且太阳和火星位于地球两侧时
达式 Ｆ Ｇ 的 ｒ 为双星的距离，而 ｍ 中 ， ，
＝ ｒ２ ｒ 称为火星冲日 忽略地球自转 只考虑太阳
。 ，
的 ｒ 则为做圆周运动的半径。 对行星的引力 下列说法正确的是
， （ ）
３．（ 河北五校联考， ）双星系统由两颗恒
２０２１ ７
星组成 两恒星在相互引力的作用下 分别
， ，
围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速
圆周运动 研究发现 双星系统演化过程
。 ，
中 两星的总质量 距离和周期均可能发生
， 、
变化 若某双星系统中两星做圆周运动的
。
周期为 Ｔ 经过一段时间演化后 两星总质量
， ，
变为原来的 ｋ 倍 两星之间的距离变为原来
，
火星的公转周期大约是地球的 ８ 倍
的 ｎ 倍 则此时圆周运动的周期为 Ａ．
， （ ） ２７
在冲日处 地球上的观测者观测到火星的
ｎ３ ｎ３
Ｂ． ，
Ｔ Ｔ
Ａ． ｋ２ Ｂ． ｋ 运动为顺行
在冲日处 地球上的观测者观测到火星的
ｎ２ ｎ Ｃ． ，
Ｔ Ｔ
Ｃ． ｋ Ｄ． ｋ 运动为逆行
答案 Ｂ 设原来双星间的距离为Ｌ 质量分 在冲日处 火星相对于地球的速度最小
， Ｄ． ，
别为Ｍ ｍ 圆周运动的圆心与质量为ｍ 的恒 Ｒ３ 地 Ｒ３ 火
、 ， 答案 ＣＤ 由开普勒第三定律有
星距离为 ｒ 双星间的万有引力提供向心
Ｔ２
地
＝Ｔ２
火
，
。
力 对 质 量 为 ｍ 的 恒 星 有 Ｇ Ｍｍ 得 Ｔ 火 æ çç Ｒ 火 ö ÷÷ ３ ２７ 错误 由 ＧＭｍ ｍ
， Ｌ２ ＝ Ｔ
地
＝ èＲ
地
ø ＝
８
，Ａ ； ｒ２ ＝
Ｍｍ ｖ２ ＧＭ
ｍ ２π ２ ｒ 对质量为 Ｍ 的恒星有 Ｇ Ｍ 得 ｖ 故 ｖ ｖ 故在火星冲日处
（ Ｔ ） · ， Ｌ２ ＝ ｒ ， ＝ ｒ ， 火＜ 地， ，
Ｍ ｍ ２ 地球上观测者观测到火星相对于恒星背景
２π ２ Ｌ ｒ 联立得Ｇ ＋ ４π Ｌ 即 Ｔ２
（ Ｔ ） （ － ）， Ｌ２ ＝ Ｔ２ · ， 向西运动 为逆行 错误 正确 在火星冲
， ，Ｂ 、Ｃ ；
２Ｌ３ 日处 ｖ ｖ 同向 矢量差最小 故相对速度
４π 则当总质量为ｋ Ｍ ｍ 间距为 火、 地 ， ，
＝Ｇ Ｍ ｍ ； （ ＋ ）、
最小 正确
（ ＋ ）
，Ｄ 。
ｎ３ ２．（ 广东河源一模， ）火星探测器的发射
ｎＬ 时 Ｔ′ Ｔ 选项 正确 ２０２１ ５
， ＝ ｋ ， Ｂ 。
时间要求很苛刻 必须在每次地球和火星相
5
，
年
距最近之前几个月内发射 设地球环绕太
高
模型 二 卫星的追及模型 。
考
3 阳的运动周期为 Ｔ 轨道半径为 ｒ 火星环绕
年 １．（ 湖南， ， 分）（多选）如图 火星与地
， １；
模 ２０２２ ８ ５ ， 太阳的轨道半径为 ｒ ｒ ｒ 火星的半径为
拟 ２（ ２＞ １），
球近似在同一平面内 绕太阳沿同一方向做 Ｒ 引力常量为 Ｇ 下列结论正确的是
A ， ， 。
版 匀速圆周运动 火星的轨道半径大约是地球
， （ ）
高
考
的 ． 倍 地球上的观测者在大多数的时间 ｒ３
物 １ ５ 。 太阳质量为４π １
理 内观测到火星相对于恒星背景由西向东运 Ａ． ＧＴ２
８４
æｒ ö ３
２
火星的公转周期为çç ２ ÷÷ Ｔ
Ｂ． èｒ ø
１
２ｒ３
火星表面的重力加速度为４π １
Ｃ． Ｒ２Ｔ２
从火星与地球相距最近开始计时到火星
Ｄ．
与 地 球 第 一 次 相 距 最 远 的 时 间
ｒ３ ２Ｔ
Ａ．３６０
天
Ｂ．５４０
天
Ｃ．６８０
天
Ｄ．７８０
天
为 １
答案 Ｄ 设行星质量为 ｍ 太阳质量为 Ｍ
ｒ３
２
ｒ３
２ ， ，
２（ ２ － １）
行星与太阳的距离为 ｒ 火星的周期为 Ｔ 地
答案 Ｂ 设太阳质量为 Ｍ 根据万有引力 ， １，
，
球的周期为 Ｔ 行星绕太阳做近似匀速圆
提供向心力可得 Ｇ
Ｍｍ
ｍ ４π
２
ｒ 解得 Ｍ
２。
ｒ２ ＝ Ｔ２ １， ＝
周运动 万有引力提供向心力有Ｇ
Ｍｍ
ｍ
１ ， ｒ２ ＝
２ｒ３
４π １ 项错误 设火星公转周期为 Ｔ 根据
ＧＴ２ ，Ａ ； １， ２ ２ｒ３
４π ｒ 则得 Ｔ ４π 已知火星绕太阳运动
Ｔ２ ， ＝ ＧＭ ，
３
ｒ３ ｒ３ æｒ ö ２
开普勒第三定律得 ２ １ 解得 Ｔ çç ２ ÷÷ Ｔ 的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径
Ｔ２ ＝Ｔ２ ， １ ＝èｒ ø ，
１ １ 的 ． 倍 地球的周期为Ｔ 年 则火星的
项正确 根据题意无法求出火星的质量 所 １ ５２ ， ２ ＝１ ，
Ｂ ； ， 周期为 Ｔ ． 年 设经时间 ｔ 两星又一次
以无法求出火星表面的重力加速度 错误 １ ＝１ ８７４ ，
，Ｃ ； 运动到 发射窗口期 根据 θ ωｔ 则两星转
“ ”， ＝ ，
地球绕太阳运转角速度 ω ２π 火星绕太阳 æ ö
＝ Ｔ ， 过的角度之差 θ ç２π ２π÷ｔ 得 ｔ ．
Δ ＝èＴ －Ｔ ø ＝２π， ＝２
２ １
运转的角速度 ω′ ２π 设地球和火星相距最
年 天 故 正确
＝ Ｔ ，
１４４ ≈７８０ ， Ｄ 。
１
４．（ 湖南益阳模拟， ） 年 月 我国
近到第一次相距最远时间为 ｔ 则 ωｔ ω′ｔ
２０２１ ７ ２０２０ ３ ，
， － ＝
ｒ３ ２Ｔ 天文学家通过
“
中国天眼
”
的
５００
米口径球
解得 ｔ ２ 项错误
π， ＝ ｒ３
２
ｒ３
２
，Ｄ 。 面射电望远镜
（ＦＡＳＴ）
的观测
，
在武仙座球
２（ ２ － １）
状星团 中发现一个脉冲双星系统
３．（ 重庆模拟， ） 年 月 日 我国
（Ｍ１３） 。
２０２２ ７ ２０２０ ７ ２３ ，
如图所示 假设在太空中有恒星 Ａ Ｂ 组成的
自主研制的第一颗火星探测器 天问一号 ， 、
“ ”
双星系统绕点 Ｏ 做顺时针匀速圆周运动 运
在海南文昌航天发射场发射升空 之所以选 ，
，
动周期为Ｔ 它们的轨道半径分别为Ｒ Ｒ
择这天 是因为地球与火星必须处于特定位 １， Ａ、 Ｂ，
，
Ｒ Ｒ Ｃ 为 Ｂ 的卫星 绕 Ｂ 做逆时针匀速圆
置 如图所示 才能发射 此时间被称为 发 Ａ＜ Ｂ， ，
（ ） 。 “
周运动 周期为 Ｔ 忽略 Ａ 与 Ｃ 之间的引力
射窗口期 设定火星与地球绕太阳运动的 ， ２， ，
”。
引力常量为 Ｇ 则以下说法正确的是
轨道在同一平面内 且均可视为匀速圆周运 ， （ ）
，
动 已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球
，
绕太阳运动的轨道半径的 ． 倍 则相邻两
１ ５２ ， 专
题
次 发射窗口期 的时间间隔约为 ． ３ 五
“ ” （ １ ５２ ＝
． 万
１ ８７４） （ ） 若知道 Ｃ 的轨道半径 则可求出 Ｃ 的质量 有
Ａ． ， 引
力
若 Ａ 也有一颗运动周期为 Ｔ 的卫星 则其
与
Ｂ． ２ ， 航
轨道半径大于 Ｃ 的轨道半径 天
８５
２ Ｒ Ｒ ２ Ａ 的卫星的轨道半径大于 Ｃ 的轨道半径
恒星 Ｂ 的质量为４π （ Ａ＋ Ｂ） ，Ｂ
Ｃ． ＧＴ２ 项正确 因为 Ａ Ｂ 为双星系统 所以相互之
１ ； 、 ，
设 Ａ Ｂ Ｃ 三星由图示位置到再次共线的 间的 引 力 提 供 运 动 所 需 的 向 心 力 即
Ｄ． 、 、 ，
Ｔ Ｔ ＧＭ Ｍ æ ö
时间为 ｔ 则 ｔ １ ２ Ａ Ｂ Ｍ ç２π÷ ２ Ｒ 可 得 Ｍ
， ＝Ｔ １ ＋ Ｔ ２ （ Ｒ Ａ＋ Ｒ Ｂ） ２ ＝ Ａ èＴ １ ø Ａ， Ｂ ＝
答案 Ｂ Ｃ 绕 Ｂ 做匀速圆周运动 满足
， ４π ２Ｒ Ａ（ Ｒ Ａ＋ Ｒ Ｂ） ２ 项错误 Ａ Ｂ Ｃ 三星由图
ＧＭ Ｂ ｍ Ｃ æ ö ２ ＧＴ２ ，Ｃ ； 、 、
ｍ ç２π÷ Ｒ 故无法求出 Ｃ 的质量 １
Ｒ２
Ｃ
＝ ＣèＴ ø Ｃ， ，
ｔ ｔ
２ 示位置到再次共线应满足 １ 解得 ｔ
项错误 因为 Ａ Ｂ 为双星系统 满足 Ｍ Ｔ ＋Ｔ ＝ ，
Ａ ； 、 ， Ａ １ ２ ２
æ ö æ ö Ｔ Ｔ
２ ２
ç２π÷ Ｒ Ｍ ç２π÷ Ｒ 即 Ｍ Ｒ Ｍ Ｒ 又因 １ ２ 项错误
èＴ ø Ａ＝ ＢèＴ ø Ｂ， Ａ Ａ＝ Ｂ Ｂ， ＝ Ｔ Ｔ ，Ｄ 。
１ １ ２（ １ ＋ ２）
为 Ｒ Ｒ 所以 Ｍ Ｍ 设 Ａ 的卫星的质量
Ａ＜ Ｂ， Ａ＞ Ｂ，
ＧＭｍ æ ö ２ ３ ＧＭＴ２
为 ｍ 根据 ｍç２π÷ Ｒ得 Ｒ 则
， Ｒ２ ＝ è Ｔ ø ＝ ２ ，
４π
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
８６
