北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版
专题五 万有引力与航天
专题检测题组
1.(2023届山西10月联考,7)如图所示,地球可看作质量分布均匀、半径为R的
球体,地球内部的a点距地心的距离为r。地球外部的b点距地心的距离为
2r,2r>R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,忽略地球的自转,则
a、b两点的重力加速度大小之比为 ( )
A.r3 B.8r3 C.4r3 D. R3
R3 R3 R3 8r3
GMm
答案 C 设地球的密度为ρ,质量为m的物体放在b点,受到万有引力为 ,可
(2r) 2
GM GM'm
得b处的重力加速度g = ;质量为m的物体放在a点,受到万有引力为 ,
b (2r) 2 r2
GM' 4
ρ πr3
可得a处的重力加速度g =GM';所以g = r2 = 3 ·4r2=4r3,C正确。
a a
r2 g
b
GM
ρ
4
πR3
r2 R3
(2r) 2 3
2.(2023届四川巴中零诊,5)2021年5月15日7时18分,我国首次火星探测任务
“天问一号”探测器稳稳降落在火星北半球的乌托邦平原。“天问一号”登陆
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火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G,则下列说法正确的是 (
)
A.探测器在轨道上运动时,运行的周期T =T >T
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
B.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C.探测器在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ,需要在P点朝速度反方向喷气
D.若轨道Ⅰ贴近火星表面,已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度,可以推知火星的
密度
答案 D 由开普勒第三定律可知,运行轨道半长轴越大,公转周期越大,所以
T >T >T ,A错误。探测器在P点朝速度方向喷气减速,从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ,
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
所以探测器在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能,B、C错误。若轨道
M
GMm 3ω2
Ⅰ贴近火星表面,由 =mRω2和ρ=4 可推出ρ= ,D正确。
R2 πR3 4πG
3
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3.(2022新疆一模,6)已知“04星”绕地球做匀速圆周运动,地球相对“04星”
的张角为θ,如图,地球的密度为ρ,引力常量为G,则“04星”绕地球做匀速圆周运
动的周期为 ( )
1 √ 3π
A. B. 1 √ 3π
θ θ
sin Gρsin sinθ Gρsinθ
2 2
1 √ 3π ρ
C. D. 1 √ 3πG
θ θ
sin Gsin sinθ ρsinθ
2 2
R
4
答案 A 由几何关系得r = θ①,地球的质量M=ρ· πR3②;对“04星”由万
星 sin 3
2
有引力提供向心力可得GMm=mr 4π2 ③,联立①②③可得T= 1 √ 3π
星
θ θ
r 2 T2 sin Gρsin
星 2 2
,A正确。
4.(2023届内蒙古赤峰二中月考,11)(多选)2021年5月,基于俗称“中国天眼”
的500米口径球面射电望远镜(FAST)的观测,国家天文台李菂、朱炜玮研究团组
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姚菊枚博士首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年
3月,我国天文学家通过FAST,在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统。
如图所示,假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动,运
动周期为T ,它们的轨道半径分别为R 、R ,R <R ,C为B的卫星,绕B做逆时针匀
1 A B A B
速圆周运动,周期为T ,忽略A与C之间的引力,引力常量为G,则以下说法正确的
2
是 ( )
A.若知道C的轨道半径,则可求出C的质量
4π2 (R +R ) 3
B.恒星A、B的质量和为 A B
GT2
1
C.若A也有一颗运动周期为T 的卫星,则其轨道半径大于C的轨道半径
2
D.设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t,则t= T T
1 2
2(T +T )
1 2
GM m
答案 BCD 已知卫星C的周期T 2 ,若再已知卫星C的轨道半径,由 B =mr C
r 2
C
4π2
可推出中心天体B的质量,A错误。恒星A做圆周运动,可得
GM
A
M
B =M A R A
T 2 (R +R ) 2
2 A B
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4π2
;恒星B做圆周运动,可得
GM
A
M
B
=M
B
R
B
4π2
;联立解得M
A
R
A
=M
B
R
B
,M
A
+M
B
=
T 2 (R +R ) 2 T 2
1 A B 1
4π2 (R A +R B ) 3 ,B正确。卫星绕各自的恒星做圆周运动,可得GMm=mr4π2 ,由于
GT 2 r2 T 2
1 2
R <R ,可得M >M ,所以A的卫星的轨道半径r 大于C的轨道半径r ,C正确。设
A B A B A C
2π 2π
A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t,由几何关系得 t+ t=π,解得
T T
1 2
t= T T ,D正确。
1 2
2(T +T )
1 2
5.(2022新疆乌鲁木齐八中检测,5)为了加快建设海洋强国,根据《国家民用空间
基础设施中长期发展规划(2015-2025年)》和《海洋卫星业务发展“十三五”规
划》,我国将研制和发射海洋卫星共十余颗。如图所示,海洋卫星a、b、c是在地
球赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星,已知海洋卫星a的周期为12 h,
海洋卫星b、c是地球同步卫星,此时海洋卫星a、b恰好相距最近,地球自转的自
转周期为24 h,则下列说法正确的是 ( )
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A.海洋卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
B.海洋卫星b的机械能一定等于海洋卫星c的机械能
C.海洋卫星a在降低轨道的过程中质量保持不变,海洋卫星a的机械能将增加
D.海洋卫星a和海洋卫星b下一次相距最近经过时间可能为8 h
答案 D 第一宇宙速度v 为轨道半径为R的近地卫星的运行速度,由万有引力
1
Mm v2 √GM
提供向心力可得G =m ,所以v= ,当r>R时v<v ,A错误。b、c的质量不
r2 r r 1
确定,故无法确定它们的机械能大小关系,B错误。a在原轨道必须减速后才会做
近心运动,从而降低轨道,故机械能会减小,C错误。当a、b同向运行时ω t-
a
2π 2π
ω t=2π,所以t=2π 2π =24 h;当a、b反向运行时ω t+ω t=2π,所以t=2π 2π =8
b - a b +
T T T T
a b a b
h,D正确。
易错警示
本题中并不清楚海洋卫星a、b的运行方向是否相同,所以有相同和相反两种情
况,必须两种情况都加以分析,不能默认运行方向相同。
6.(2023届扬州高邮调研,3)北京时间2022年9月27日上午,人类历史上首次小行
星预防演练取得成功——演练中用一颗人造卫星“飞镖”撞击小行星“迪莫弗
斯”来改变其轨道,从而避免行星撞击地球带来的灾难。假设本次被撞小行星绕
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其中心天体做运行轨道为椭圆的运动,且简化为如图所示,实线1、虚线2分别是
小行星被撞前、后的轨道,则该小行星 ( )
A.在轨道1上A点处的速度比在轨道1上B点处的小
B.在轨道1上的运行周期比在轨道2上的运行周期大
C.在轨道2上由A点运动到C点的过程中受到的万有引力越来越大
D.小行星在A点被撞时速度变大,实现由轨道1变换到轨道2
答案 D 在椭圆轨道1上,A点是距中心天体最近的点,B点是距中心天体最远
的点,根据开普勒第二定律可知,在A点处的速度大于在B点处的速度,故A错误;
由图可知,轨道1的半长轴小于轨道2的半长轴,根据开普勒第三定律可知,在轨道
1上的运行周期比在轨道2上的运行周期小,故B错误;在轨道2上由A点运动到
C点的过程中,小行星离中心天体的距离越来越远,则受到的万有引力越来越小,故
C错误;小行星在A点被撞时速度变大,万有引力不足以提供向心力,小行星做离心
运动从而实现由轨道1变换到轨道2,故D正确。
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7.(2022南京三校联考,5)如图所示,a为放在赤道上相对地球静止的物体,随地球自
转做匀速圆周运动,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约
等于地球半径),c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是 (
)
A.b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a >a >a
a b c
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为T =T <T
a c b
D.在b、c中,b的线速度大
答案 D b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,根据万有引力定律
Mm v2 √GM GMm
有G =m ,解得v= ,又 =mg,可得v=√gR,b卫星的线速度与第一宇
R2 R R R2
宙速度大小相同,即v=7.9 km/s,故A错误;地球赤道上的物体与同步卫星具有相同
的角速度,所以ω =ω ,根据a=rω2知,c的向心加速度大于a的向心加速度,根据
a c
GMm GM
=ma,a= 得b的向心加速度大于c的向心加速度,即a >a >a ,故B错误;卫
r2 r2 b c a
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星c为地球同步卫星,所以T =T ,根据GMm=m4π2r,T=2π√ r3 得c的周期大于b
a c
r2 T2 GM
GMm mv2 √GM
的周期,即T =T >T ,故C错误;在b、c中,根据 = ,v= ,可知b的线速
a c b r2 r r
度比c的线速度大,故D正确。
8.(2023届南通通州湾中学质量检测,8)若已知引力常量G,则利用下列四组数据可
以算出地球质量的是 ( )
A.一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的运行速率和周期
B.一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的质量和地球的第一宇宙速度
C.月球绕地球公转的轨道半径和地球自转的周期
D.地球绕太阳公转的周期和轨道半径
答案 A 已知一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的运行速度v和周期T,根
Mm v2 2πr v3T
据G =m 和v= ,联立可以求出地球质量M= ,选项A正确;根据B、C
r2 r T 2πG
选项提供的条件无法求出地球质量,选项B、C错误;已知地球绕太阳公转的周期
和轨道半径可以求出太阳质量,不能求地球质量,选项D错误。
9.(2022徐州一中阶段检测,7)2019年,人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在
宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时,黑洞和恒星可以相互绕行,从而组成双星系统。在
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相互绕行的过程中,质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中,
从而被吞噬掉,黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X-1
就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀
速圆周运动,如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内,恒星和黑洞的距离不变,则
在这段时间内,下列说法正确的是 ( )
A.它们的万有引力大小变小
B.它们的万有引力大小不变
C.恒星做圆周运动的轨道半径将变大,线速度也变大
D.恒星做圆周运动的轨道半径将变小,线速度也变小
答案 C 设质量较大的恒星质量为M ,质量较小的黑洞质量为M ,间距为L,则
1 2
它们之间的万有引力F=GM M ,结合数学知识可知M =M 时,M M 有最大值,根
1 2 1 2 1 2
L2
据题意,质量较小的黑洞吞噬质量较大的恒星,在较短时间内,它们之间的万有引
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力变大,A、B错误;对于两天体,万有引力提供向心力,有GM M =M 4π2R ,G
1 2 1 1
L2 T2
M M =M 4π2R ,解得两天体的质量M =4π2L2R ,M =4π2L2R ,两天体总质量
1 2 2 2 2 1 1 2
L2 T2 GT2 GT2
M +M =4π2L2(R +R )=4π2L3,两天体的总质量不变,天体之间的距离L不变,所以
1 2 1 2
GT2 GT2
天体运动的周期T不变,较小质量的黑洞质量增大,所以恒星做圆周运动的半径R
1
2πR
增大,根据v= 1可知恒星的线速度增大,C正确,D错误。
T
10.(2022长沙市一中月考五,6)1772年,法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三
体问题》中指出:两个质量相差很大的天体(如太阳和地球)所在同一平面上有5
个特殊点,如图中的L 、L 、L 、L 、L 所示,人们称为拉格朗日点。若飞行器位
1 2 3 4 5
于这些点上,会在太阳与
地球共同引力作用下,可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。
北京时间2011年8月25日23时27分,“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球
轨道出发,受控准确进入距离地球约150万千米远的拉格朗日L 点的环绕轨道。
2
若发射一颗卫星定位于拉格朗日L 点进行深空探测,下列说法正确的是 (
2
)
A.该卫星绕太阳运动的加速度大于地球绕太阳运动的加速度
B.该卫星绕太阳运动的周期比地球的公转周期大
C.该卫星所受地球引力可以忽略
D.该卫星受到地球和太阳的引力的大小相等
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答案 A 据题意知,卫星与地球同步绕太阳做圆周运动,则卫星绕太阳运动的周
期和地球的公转周期相等,公转半径大于地球的公转半径,根据向心加速度a=
4π2r,可知该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速
T2
度,A正确,B错误;由题可知,卫星和地球的周期与角速度是相等的,所以地球对
卫星的万有引力不能忽略,C错误;该卫星所受的合力为地球和太阳对它引力的
合力,合力提供向心力,地球和太阳对卫星的引力的大小不相等,D错误。
11.(2022邵阳市一模,7)(多选)2021年6月17日9时22分,神舟十二号载人飞
船发射成功,10月16日神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会
对接。航天员翟志刚、王亚平、叶光富太空三人组进驻天和核心舱,标志着中国
人首次长期进驻空间站时代来临。以下说法正确的是 ( )
A.神舟十二号载人飞船的发射速度大于地球第一宇宙速度
B.航天员可以在空间站中用弹簧拉力器锻炼身体,也可以用弹簧测力计测量物体
重力
C.只需知道空间站的公转周期就可以计算出地球的质量
D.载人飞船在较低轨道上加速后可追上核心舱实施对接
答案 AD 神舟十二号载人飞船的发射速度大于地球第一宇宙速度,小于第二宇
宙速度,故A正确;航天员在空间站中处于完全失重状态,可以在空间站中用弹簧
GMm
拉力器锻炼身体,但不可以用弹簧测力计测量物体重力,故B错误;根据 =m
R2
4π2R,可得M=4π2R3,则要计算出地球的质量,需要知道空间站的周期和轨道半
T2 GT2
径,故C错误;载人飞船在较低轨道上加速,做离心运动,进入核心舱轨道,追上核
心舱实施对接,故D正确。
12.(2022雅礼中学月考七,8)(多选)假设地球可视为质量分布均匀的球体。已
知地球表面两极处的重力加速度大小为g ,地球的半径为R,地球的自转周期为
0
T,引力常量为G,由此可知 ( )
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g R
A.地球的质量为 0
G
B.地球表面赤道处的重力加速度大小为g -4π2R
0
T2
C.近地卫星在轨道运行的加速度大小为4π2R
T2
D.地球同步卫星在轨道上运行的加速度大小为√16g R2π4
3 0
T4
答案 BD 在两极,万有引力等于重力,则有GMm=mg ,解得M=g R2,A错误;在
0 0
R2
G
赤道上,则有GMm=mg+ma,又GMm=mg ,a=4π2R,联立解得地球表面赤道处的重
0
R2 R2 T2
力加速度为g=g -4π2R,B正确;近地卫星围绕地球做匀速圆周运动,则有GMm
0
T2 R2
Mm
=ma ,又G =mg ,联立解得a =g ,C错误;同步卫星所受万有引力等于向心力G
0 R2 0 0 0
Mm =m (2π) 2 =ma',结合A选项解得a'=√16g R2π4 ,D正确。
(R+h) 3 0
(R+h) 2 T T4
13.(2022湖南师大附中、长沙市一中等六校2月联考,3)“嫦娥四号”携带“玉
兔二号”月球车运动到地月转移轨道P点后做近月运动成功进入圆轨道Ⅰ,再次
经过P点时调整速度进入到椭圆轨道Ⅱ,在Ⅱ轨道经过Q点后再做一系列辅助动
作,成功驶抵月球背面实现着陆,截至2021年9月29日,在祖国华诞来临之际,
嫦娥四号探测器与玉兔二号月球车工作突破1000天,若以月球为参考系,且忽略
其他星体的影响,则有关“嫦娥四号”的下列说法中正确的是 ( )
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A.沿地月转移轨道经过P点时,需加速才能进入轨道Ⅰ
B.沿轨道Ⅰ运行经过P点时的机械能等于沿轨道Ⅱ运行经过Q点时的机械能
C.沿轨道Ⅰ绕月运行的周期一定小于沿轨道Ⅱ绕月运行的周期
D.在沿轨道Ⅰ运行时,已知引力常量、其绕月线速度和绕月半径能计算出月球质
量
答案 D 沿地月转移轨道经过P点时,需减速运动才能被月球捕获进入轨道
Ⅰ,A错误;从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在P点减速,而在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时
均满足机械能守恒,因此沿轨道Ⅰ运行经过P点时的机械能大于沿轨道Ⅱ运行经
r3 r3
过Q点时的机械能,B错误;根据 1= 2,沿轨道Ⅰ绕月运行的周期一定大于沿轨
T2 T2
1 2
GMm v2 rv2
道Ⅱ绕月运行的周期,C错误;根据 =m ,可得M= ,已知引力常量、其绕
r2 r G
月线速度和绕月半径能计算出月球质量,D正确。
14.(2022株洲一模,7)(多选)中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银
河系的MAXI J1820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,距离地球约10
000光年。根据观测,黑洞的质量大约是太阳的8倍,恒星的质量只有太阳的一半,
据此推断,该黑洞与恒星的 ( )
A.向心力大小之比为16∶1 B.角速度大小之比为1∶1
C.线速度大小之比约为1∶16 D.加速度大小之比约为16∶1
答案 BC 黑洞和恒星组成双星系统,根据双星系统的特点可知,黑洞与恒星的
向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力,且角速度相等,A错误,B正确;设黑洞
的质量为M,轨道半径为r ,恒星的质量为m,轨道半径为r ,则Mω2r =mω2r ,则
1 2 1 2
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黑洞与恒星的半径之比为r =m= 1 ,根据公式v=ωr,可知黑洞与恒星的线速度
1
r M 16
2
大小之比约为v =r = 1 ,C正确;根据公式a=vω,可知黑洞与恒星的加速度大小
1 1
v r 16
2 2
之比约为a =v = 1 ,D错误。
1 1
a v 16
2 2
15.(2022湖南师大附中一模,7)(多选)天问一号火星探测器的发射标志着我国
的航天事业迈进了新时代,设地球绕太阳的公转周期为T,地球环绕太阳公转的
轨道半径为r ,火星环绕太阳公转的轨道半径为r ,火星的半径为R,引力常量为
1 2
G,下列说法正确的是( )
A.太阳的质量为4π2r 3
2
GT2
B.火星绕太阳公转的角速度大小为2π( r
1
) 3
2
T r
2
C.火星表面的重力加速度大小为4π2r 3
1
R2T2
3
r 2T
D.从火星与地球相距最远到火星与地球相距最近的最短时间为 2
( 3 3)
2 r2-r2
2 1
答案 BD 设太阳质量为M,地球质量为m,由牛顿第二定律和万有引力定律得G
Mm=m4π2r ,解得M=4π2r3 ,A错误;设火星周期为T',由开普勒第三定律得r3
=
1 1 1
r2 T2 GT2 T2
1
r3 ,解得T'=( r ) 3 T,火星绕太阳公转的角速度大小为ω'=2π=2π( r ) 3 ,B正确;
2 2 2 1 2
T'2 r T' T r
1 2
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火星表面万有引力等于重力GM m'=m'g ,解得g =GM ,因无法求得M ,所
火 火 火 火 火
R2 R2
2π
以无法表示g ,C错误;地球绕太阳运转角速度ω= ,火星绕太阳运转角速度
火
T
2π
ω'= ,设从地球和火星相距最远到第一次相距最近所用的时间为t,则ωt-
T'
3
r2T
ω't=π,联立解得t= 2 ,D正确。
( 3 3)
2 r2-r2
2 1
16.(2023届广州执信中学月考,5)如图是行星绕太阳运行的示意图,下列说法正确的是
( )
A.行星速率最大时在B点
B.行星速率最小时在C点
C.行星从A点运动到B点做减速运动
D.行星从A点运动到B点做加速运动
答案 C 由开普勒第二定律可知,行星在近日点的速度大于在远日点的速度,行星由近
日点向远日点运动过程中,速度减小,故选C。
17.(2023届深圳光明一模,3)已知月球绕地球运行的周期为T,月球中心到地球中心的
距离为r,引力常量为G,下列物理量可求的是( )
A.地球质量 B.月球质量
C.地球密度 D.月球密度
答案 A 根据万有引力提供向心力,有GMm 4π2r,解得M=4π2r3,所以可以求出
=m
r2 T2 GT2
地球的质量,不能求出月球的质量,也就无法求出月球的密度,A正确,B、D错误;由于不
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知道地球表面的重力加速度,也不知道近地卫星的线速度或者周期,无法求出地球的半
径,所以无法求出地球密度,C错误。故选A。
18.(2022韶关一模,2)在“嫦娥五号”任务中,有一个重要环节,轨道器和返回器的组合
体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接,以便将月壤样品从上
升器转移到返回器中,再由返回器带回地球。对接之前,甲、乙分别在各自的轨道上做
匀速圆周运动,且甲的轨道半径比乙小,如图所示,为了实现对接,处在低轨的甲要抬高
轨道。下列说法正确的是 ( )
A.在甲抬高轨道之前,甲的线速度小于乙
B.甲可以通过减小速度来抬高轨道
C.在甲抬高轨道的过程中,月球对甲的万有引力逐渐增大
D.返回地球后,月壤样品的重量比在月球表面时大
答案 D 在甲抬高轨道之前,两天体均绕月球做匀速圆周运动,利用GMm v2,得
=m
r2 r
√GM
v= ,r <r ,则v >v ,A错误;甲抬高轨道,需要做离心运动,则需向后喷气增大速
甲 乙 甲 乙
r
Mm
度,B错误;在甲抬高轨道的过程中,r增大,由F=G 可知月球对甲的万有引力逐渐减
r2
小,C错误;因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大,则由G=mg可知,月壤
样品的重量在地表比在月表要大,D正确。故选D。
规律总结
结合离心运动的知识,同轨道上两个天体要实现对接,必须要由低轨道的天体先加速来
实现。
19.(2023届广州8月阶段考,6)2022年6月22日我国在酒泉卫星发射中心发射了“天
行一号”试验卫星,该卫星主要用于开展空间环境探测等试验。该卫星沿椭圆轨道绕地
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球运动,a、b两点分别为卫星的近地点和远地点,近地点a到地心的距离为r,远地点b
到地心的距离为R,地球质量为M,引力常量为G,则 ( )
√GM
A.v<v B.v>
a b a
R
√GM √GM
C.v> D.vb>
b
r R
答案 B 由开普勒第二定律知,近地点速度大于远地点速度,则v>v,A错误;若卫星绕
a b
地球做匀速圆周运动,轨道半径为r时有GMm
mv2
,解得v=√GM,同理轨道半径为
= 1 1
r2 r r
√GM
R时有v= ,将卫星从半径为r的圆轨道变轨到椭圆轨道应在近地点a加速做离心
2
R
√GM √GM √GM √GM
运动,故v> ,又因为R>r,故 > ,即v> ,B正确;将卫星从椭圆轨
a a
r r R R
√GM
道变轨到轨道半径为R的圆轨道,需要在远地点b加速,即v< ,又因为
b
R
√GM √GM √GM
> ,故v< ,C、D错误。故选B。
b
r R r
20.(2022深圳二模,6)由于潮汐等因素影响,月球正以每年约3至5厘米的速度远离地
球。地球和月球可以看作双星系统,它们绕O点做匀速圆周运动。多年以后,地球 (
)
A.与月球之间的万有引力变大
B.绕O点做圆周运动的周期不变
C.绕O点做圆周运动的角速度变小
D.绕O点做圆周运动的轨道半径变小
Mm
答案 C 地球和月球的质量不变,间距变大,由F=G 可知,地球与月球之间的万有引
r2
力变小,A错误;地球和月球绕O点做匀速圆周运动的ω相等,T相等,设地球与月球的质
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量分别为M和M,做圆周运动的半径分别为r和r,地球和月球间距离为L,则有
1 2 1 2
L=r+r,由于GM M 2π 2r=Mω2r,GM M =M(2π)2r=Mω2r,联立可得
1 2 1 2=M ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2
L2 1 T L2 T
G(M +M ) 4π2L=ω2L,r= M L ,地球与月球的质量不变,距离增大,则地球绕O
1 2 = 1 2
L2 T2 M +M
1 2
点做圆周运动的周期T变大,地球绕O点做圆周运动的角速度变小,地球绕O点做圆周运
动的轨道半径变大,B、D错误,C正确。故选C。
21.(2022深圳中学月考,5)如图,轨道在同一平面内的两颗卫星a和b某时刻运动到地
球的同一侧,且三者在同一条直线上,经t时间两颗卫星与地心的连线转过的角度分别
为θ和θ。下列说法正确的是 ( )
1 2
A.a卫星的动能大于b卫星的动能
B.a卫星的角速度与b卫星的角速度之比为θ∶θ
2 1
θ 1
C.a卫星的线速度与b卫星的线速度之比为(
1
)
3
θ
2
πt
D.a、b卫星到下次相距最近,还需经过的时间为
θ -θ
1 2
答案 C 两卫星的质量未知,不能比较a卫星的动能与b卫星的动能的大小关系,故A
θ 2π 2πt
错误;根据ω= = ,可知ω∶ω=θ∶θ,B错误;由上述分析可知T= ,可知a
1 2 1 2
t T θ
卫星的周期与b卫星的周期之比为θ∶θ,根据GMm=mω2r,可知r=√GM2,
2 1 3
r2 ω2
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r √ θ 2 ,根据v=√GM,可知 v √r ( θ ) 1 ,C正确;a、b卫星到下次相距最近,则
a=3
(
2
)
a= b= 1 3
r θ r v r θ
b 1 b a 2
θ θ 2πt
有ωt'-ωt'=2π,即 1t'- 2t'=2π,解得t'= ,D错误。故选C。
a b t t θ -θ
1 2
22.(2023届云南师范大学附属中学月考,24)天体运动中,将两颗彼此相距较近的
行星称为双星,它们在万有引力作用下间距始终保持不变,并绕连线上的某点做匀
速圆周运动。设双星间距为L,质量都为M,引力常量为G。
(1)求双星运动的周期;
(2)此双星系统的其中一个拉格朗日点位于双星连线的中垂线上,处在该点的质量
为m(m≪M)的卫星在双星的共同作用下,可与双星一起以相同的周期做圆周运动。
求此卫星与双星的距离。
答案 (1)√2π2L3 (2)L
GM
解析 (1)设两行星分别做半径为r 、r 的圆周运动,由万有引力提供向心力可得
1 2
GMM=Mr 4π2 、GMM=Mr 4π2 ;联立解得r =r =L,T=√2π2L3。
1 2 1 2
L2 T2 L2 T2 2 GM
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(2)设卫星与双星间的距离为x,由万有引力提供向心力可得2GMm·
√
x2-
(L) 2
=m
2
x2
x
4π2√
x2-
(L) 2,解得x=L。
T2 2
23.(2022盐城中学期中,14)某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面,他将一
个物体以v =10 m/s的速度从h=10 m的高度水平抛出,测得落地时速度方向与水
0
平地面的夹角为θ=60°。已知该星球半径是地球半径的2倍,地球表面重力加速
度g=10 m/s2。则:
(1)该星球表面的重力加速度g'是多少?
(2)该星球的质量是地球的几倍?
答案 (1)15 m/s2 (2)6
解析 (1)该星球表面做平抛运动的物体,水平方向做匀速直线运动:v =v =10 m/s
x 0
竖直方向做匀加速直线运动:v =√2g'h
y
因为 tan θ=v = tan 60°=
y
√3
v
x
解得:g'=15 m/s2
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(2)对地球表面质量为m的物体,其所受重力的大小等于所受万有引力的大小:
M m
mg=G
地
R2
地
对该星球表面质量为m的物体,其所受重力的大小等于所受万有引力的大小:
M m
mg'=G
星
R2
星
解得 M =6,所以该星球质量是地球质量的6倍。
星
M 1
地
24.(2023届南通通州湾中学质量检测,13)“中国火星探测计划”于2016年正式立
项,将实现“绕、落、巡”工程目标,对火星进行着陆、巡视、探测工作。假设火
星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动,如图所示,探测器距火星表面的高度为h,
运行周期为T。已知火星半径为R,引力常量为G。
(1)求火星的质量M;
(2)求火星表面的重力加速度大小g;
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(3)假设你是宇航员,登陆火星后,要测量火星表面的重力加速度,请简要写出一种
测量方案。
答案 (1)4π2 (R+h) 3 (2)4π2 (R+h) 3 (3)见解析
GT2 T2R2
解析 (1)设探测器的质量为m,根据牛顿第二定律有
G Mm =m4π2(R+h)
(R+h) 2 T2
解得M=4π2 (R+h) 3
GT2
(2)设火星表面上一个物体的质量为m',则
Mm'
G =m'g
R2
解得g=4π2 (R+h) 3
T2R2
(3)【方案一】用弹簧测力计测出一个质量为m的钩码的重力G,则火星表面的重
G
力加速度g= 。
m
【方案二】在距火星表面高h处,由静止释放一个小钢球,测出其运动时间t,则火
2h
星表面的重力加速度g= 。
t2
(其他方案合理也可)
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