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专题06 万有引力及航天
考点内容
要求
考情
行星的运动
a
2023·湖北卷·2、2021·全国甲卷·18
2020·全国卷Ⅰ·15、2023·山东卷·3
2023·辽宁卷·7、2022·河北卷·2
2021·浙江1 月选考·7
2023·海南卷·9、2022·广东卷·2
2020·浙江7 月选考·7、2023·天津卷·3
2019·北京卷·18、2022·浙江6 月选考·6
2023·浙江1 月选考·8、2023·广东卷·7
2018·全国卷Ⅰ·20、2018·全国卷Ⅱ·16
太阳与行星间的引力
a
万有引力定律
c
万有引力理论的成就
c
宇宙航行
c
学
习
目
标
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.
2.掌握计算天体质量和密度的方法.
3.知道卫星轨道的特点，会比较卫星运行的各物理量之间的关系．
4.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小.
5.知道同步卫星的运行规律.
6.会处理人造卫星的变轨和对接问题．
1
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知识点01 开普勒三定律........................................................................................................................................... 2
一、开普勒第一定律(轨道定律)........................................................................................................................2
二、开普勒第二定律(面积定律)........................................................................................................................3
三、开普勒第三定律(周期定律)........................................................................................................................3
知识点02 万有引力定律........................................................................................................................................... 5
一、万有引力定律..............................................................................................................................................5
二、万有引力与重力的关系.............................................................................................................................. 6
三、万有引力定律的应用.................................................................................................................................. 7
四、天体质量及密度的计算.............................................................................................................................. 7
知识点03 人造地球卫星与宇宙航行.......................................................................................................................8
一、卫星轨道......................................................................................................................................................8
二、天体及卫星运动的规律.............................................................................................................................. 8
三、宇宙速度....................................................................................................................................................11
四、特殊卫星....................................................................................................................................................11
五、同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较................................................................................................13
六、卫星的超重和失重....................................................................................................................................14
七、卫星变轨....................................................................................................................................................14
八、卫星追及问题............................................................................................................................................16
九、双星问题....................................................................................................................................................17
十、星球“瓦解”问题及黑洞........................................................................................................................ 18
知识点01 开普勒三定律
一、开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
二、开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
2
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三、开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即
a3
T 2=k
,k 是一个与行
星无关的常量，其值与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用于绕同一中心天
体运动的星体．
【技巧点拨】
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运转,也适用于卫星绕地球的运转
②中学阶段一般把行星的运动看成匀速圆周运动,太阳处在圆心,开普勒第三定律
a3
T 2=k
中的a 可看
成行星的轨道半径R．
③由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳
的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
④当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星
的周期问题时，选用开普勒第三定律．
3
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【实战演练】
(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现
象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的
公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【答案】B
【解析】解：A、根据开普勒第三定律可得r
3
T
2 =k，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，火星
与地球绕太阳运动的周期之比约为3√3：2√2，故A 错误；
B、当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故B 正确；
C、根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故C 错误；
D、根据A选项可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3√3：2√2，已知地球的公转周期为
T 1=1年，则火星的公转周期为：T 2≈1.8年。
设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有：( 2π
T 1
−2π
T 2
)t =2π
解得：t =2.25年
所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D 错误。
【实战演练】
(2021·全国甲卷·18)2021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制
动后，进入运行周期约为1.8×105 s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105
m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”
的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m C．6×107 m D．6×108 m
【答案】C
【解析】忽略火星自转，则在火星表面有＝mg，可知GM＝gR2，设与运行周期为1.8×105 s 的椭圆形
停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知＝mr，设近火点到火星中心的距
离为R1＝R＋d1，设远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2，椭圆轨道半长轴为，由开普勒第三定律可知
＝，由以上分析可得d2≈6×107 m，故选C.
4
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知识点02 万有引力定律
一、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
M 和m 的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比.
2.公式:
F=G Mm
r2
，式中G=6.67×10-11N⋅m2/kg2
称为引力常量,由英国物理学家卡文迪
许测定．
3.适用条件及说明
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质
点．
②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．
③两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
4. 推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F
引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球
体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
5.万有引力定律的成就
①发现未知天体：海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据
天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年9 月23 日，德国的伽勒
在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
②预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76 年．
【实战演练】
(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地
球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【答案】B
【解析】万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝
0.4，选项B 正确．
5
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二、万有引力与重力的关系
1. 地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力 mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,
①在赤道上:
G Mm
R2 =mg+mω2 R
.
②在两极上:
G Mm
R2 =mg
.
③一般位置:
G Mm
R2 =mg+mω2r
.
式中r 为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g 值越大，由于物体随
地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即
G Mm
R2 =mg
.
2. 星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，
G
Mm
(R+h)2=m g
'
，得
g'=
GM
(R+h)2
.
所以
g'
g =
R2
(R+h)2
，
式中g 为地球表面附近重力加速度.
【实战演练】
(2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)
的引力具有相同的性质，且都满足F ∝Mm
r
2 。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表
面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A. 30 π√
r
g
B. 30 π√
g
r
C. 120 π√
r
g
D. 120 π√
g
r
【答案】C
【解析】解：设地球半径为R，在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力：G m地m
R
2
=mg
月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：G m地m月
r
2
=m月
4 π
2
T
2 r
由题意得：r =60 R
联立解得：T =120 π√
r
g
故ABD 错误，C 正确。
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三、万有引力定律的应用
1.基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即F引=F向得：
G Mm
r2 =m v2
r =mω2r=m 4π2
T 2 r=ma
2.应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
四、天体质量及密度的计算
1.天体表面处理方法
①天体质量，由
G Mm
R2 =mg
，得天体质量
M=gR2
G
.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式
V = 4
3 πR3
，得天体密度
ρ=
3g
4 π GR
2.利用环绕天体处理方法
①天体质量，由
G Mm
r2 =m 4π2
T 2 r
，得天体质量
M= 4 π2r3
GT2
.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式
V = 4
3 πR3
，得天体密度
ρ= 3 πr3
GT 2 R3
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ= 3 π
GT 2 ，故只要
测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【实战演练】
(2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕
地球运动的周期为T 1，地球绕太阳运动的周期为T 2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平
均密度之比约为( )
A. k
3( T 1
T 2
)
2
B. k
3( T 2
T 1
)
2
C. 1
k
3 ( T 1
T 2
)
2
D. 1
k
3 ( T 2
T 1
)
2
【答案】D
【解析】解：对于质量为m的卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，设其轨道半径为r，根据万有引力提
供向心力，则有：GMm
r
2
=mr 4 π
2
T
2 ，解得M = 4 π
2r
3
GT
2
根据密度计算公式可得：ρ= M
V ，其中V = 4
3 π R
3 联立解得：ρ R
3= 3 π r
3
GT
2
所以有：
ρ地
ρ太
× R地
3
R太
3 =( r1
r2
)
3×( T 2
T 1
)
2 即：
ρ地
ρ太
×( R地
R月
)
3×( R月
R太
)
3=( r1
r2
)
3×( T 2
T 1
)
2
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知识点03 人造地球卫星与宇宙航行
一、卫星轨道
1.卫星轨道：卫星运动的轨道平面一定通过地心，
一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
二、天体及卫星运动的规律
1.基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其
所需向心力由万有引力提供.即F引=F向得：
G Mm
r2 =m v2
r =mω2r=m 4π2
T 2 r=ma
2．基本公式：
①线速度：
G Mm
r2 =m v2
r ⇒v=√
GM
r
②角速度：
G Mm
r2 =mω2r ⇒ω=√
GM
r3
【实战演练】
(2022·河北卷·2)2008 年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16 米望远镜，发现了一颗绕
恒星HD173416 运动的系外行星HD173416b,2019 年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为
“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2 倍，若将望舒与地球的公转均视为
匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与地球公转速度大小的比值为( )
A．2 B．2 C. D.
【答案】C
【解析】地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有G＝m，解得公转
的线速度大小为v＝，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速
度大小的比值为，故选C.
【实战演练】
(2021·浙江1 月选考·7)嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着
陆器和上升器等多个部分组成．为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动．
已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量m1＝6.0×1024 kg，月球质量m2＝7.3×1022 kg，月
地距离r1＝3.8×105 km，月球半径r2＝1.7×103 km.当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200
km 处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为( )
A．16 m/s B．1.1×102 m/s C．1.6×103 m/s D．1.4×104 m/s
【答案】C
【解析】设轨道器与返回器的组合体质量为m，由牛顿第二定律知G＝，其中h＝200 km，整理得v＝
＝ m/s≈1.6×103 m/s，故选项C 正确．
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③周期：
G Mm
r2 =m 4π2
T 2 r ⇒T =2π√
r3
GM
④向心加速度：
G Mm
r2 =ma ⇒a= GM
r2
结论：飞得越高，飞得越慢（r 越大，v、ω、a 越小，T 越大）．
【技巧点拨】公式中r 指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R 通常指中心天体的半
径，有r＝R＋h.．
【实战演练】
(2023·海南卷·9)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是( )
A. 飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B. 飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C. 飞船在1轨道速度大于2轨道 D. 飞船在1轨道加速度大于2轨道
【答案】ACD
【解析】解：A、飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要点火加速做离心运动才能完成，故A 正确；
BCD、飞船做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
G Mm
r
2 =m v
2
r =m 4 π
2
T
2 r =ma
可得a= GM
r
2 ，v =√
GM
r
，T =2π√
r
3
GM
可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度
大于在轨道2的加速度，故B 错误，CD 正确。
【实战演练】
(2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各
自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88 倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀
速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小
【答案】D
【解析】由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr，可得T＝2π，
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C 错误；根据G＝m，可得v＝，结合C 选项解析，可知火
星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A 错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的
角速度，故B 错误；根据G＝ma，可得a＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D 正确．
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三、宇宙速度
1. 第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
【技巧点拨】第一宇宙速度推导
①方法一：
由
G Mm
r2 =m v2
r ⇒v=√
GM
r =√
6.67×10-11×5.98×1024
6.4×106
≈7.9km /s
，
②方法二：由
mg=m v2
r ⇒v=√gR=√9.8×6.4×106≈7.9km /s
.
【技巧点拨】第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它
的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 078 s≈85 min.
2.第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
3.第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
【技巧点拨】宇宙速度与运动轨迹的关系
①v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
②7.9 km/s<v 发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
③11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动．
④v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
四、特殊卫星
1.近地卫星
轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径
r ＝
R(
地球半径
) ，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9
km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
【实战演练】
(2020·浙江7 月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视
为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(
)
A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3 D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】C
【解析】轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A 错误；根据万有引力提供
向心力有＝m，得v＝，则＝＝，故B 错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，则＝＝，故C
正确；由＝ma，得a＝，则＝＝，故D 错误．
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2.极地卫星
运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
【技巧点拨】近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星
3.地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕
地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度
h=3√
gR2T 2
4π2 −R=3.56×107m
，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同
的线速度，角速度和周期运行着.
【实战演练】
(2023·天津卷·3)2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫是系统
进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动
视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星(同步卫星)，
则该卫星( )
A. 授课期间经过天津正上空
B. 加速度大于空间站的加速度
C. 运行周期大于空间站的运行周期
D. 运行速度大于地球的第一宇宙速度
【答案】C
【解析】解：A、中继卫星是地球同步卫星，只能定点于赤道正上方，所以该卫星不可能经过天津正
上空，故A 错误；
BC、根据万有引力提供向心力，有：G Mm
r
2 =ma=m 4 π
2
T
2 r，解得：a= GM
r
2 ，T =2π√
r
3
GM
，因为
该卫星的轨道半径比空间站的大，所以该卫星的加速度小于空间站的加速度，周期大于空间站的运行
周期，故B 错误，C 正确；
D、第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，则知该卫星的速度小于第一宇宙速度，故D 错误。
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4. 倾斜轨道“同步” 卫星*：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，
则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周
期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，
只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
5. 月球：绕地球的公转周期T＝27.3 天，月球和地球间的平均距离约38 万千米，大约是地球半径的
60 倍．
五、同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
1. 地球同步卫星与赤道物体的区别：属于同轴转动，角速度、周期相同。
2.同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
如图所示，2 为近地卫星，轨道半径为r2；3 为地球同步卫星，轨道半径为r3；4 为高空卫星，轨
道半径为r4；1 为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r1.
分析思路：
【实战演练】
(2019·北京卷·18)2019 年5 月17 日，我国成功发射第45 颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫
星(同步卫星)．该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A 项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运
动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 项错误；同步卫星的发射
速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所
需能量较少，D 正确．
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①比较赤道上物体与同步卫星，用同轴转动的知识分析；
②比较近地卫星、同步卫星、高空卫星，用天体轨道与运动规律分析；
比较项目
近地卫星
(r2、ω2、v2、a2)
同步卫星
(r3、ω3、v3、a3)
高空卫星
(r4、ω4、v4、
a4)
赤道上随地球自转的物体
(r1、ω1、v1、a1)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r4>r3>r2>r1
角速度
ω2>ω1＝ω3>ω4
线速度
V2>v3>v1 ？v4
向心加速度
a2>a3>a1？a4
六、卫星的超重和失重
“超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体
超重相同.
“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），
此时，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用.
七、卫星变轨
1.变轨操作：1→2→3
①在1 轨道Q 点点火加速，万有引力不足以提供航天
飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道
2
②在2 轨道中，从Q 点到P 点飞行过程中，万有引力
做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞
机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2 轨道P 点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆
周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，
【实战演练】
(2022·浙江6 月选考·6)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，
在圆轨道环绕并择机返回地面．则( )
A．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
【答案】C
【解析】根据G＝m，可得v＝，可知圆轨道距地面的高度越高，环绕速度越小，且只要速度大小相等
就可以在同一轨道运行，与返回舱与天和核心舱的质量无关，故A 错误，C 正确；返回舱中的宇航员处
于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B 错误；返回
舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D 错误．
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沿着椭圆轨道2 运行回Q，从P 到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天
飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2 轨道P 点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将
沿着3 轨道运行，完成变轨操作
2.各点参数关系
①线速度大小：v2Q>v1>v3>v2 P
②角速度关系：v2Q>v1Q>v3 P>v2 P
③向心加速度关系：a2Q=a1>v3=v2 P
④周期关系：T 1<T 2<T 3
⑤能量关系：E1<E2<E3
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八、卫星追及问题
1. 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫
星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇
问题。
2. 分类
①最近到最近
【实战演练】
(2023·浙江1 月选考·8)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依
次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( )
A. 发射速度介于7.9km/ s与11.2km/ s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【解析】解：A、天问一号需要脱离地球引力的束缚，第二宇宙速度11.2km/ s为脱离地球的引力的最
小发射速度，在地球发射天问一号的速度要大于第二宇宙速度，故A 错误。
B、地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知，a
3
T
2 =k，天问一号在地火转移轨道的轨道半径
大于地球公转半径，则运行周期大于12个月，从P点转移到Q点的时间大于6个月，故B 错误；
C、同理，环绕火星的停泊轨道半径小于调相轨道半径，则在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相
轨道上小，故C 正确；
D、天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道的速
度，根据万有引力提供向心力可知，GMm
r
2
=m v
2
r ，解得线速度：v =√
GM
r
，地球公转半径小于火星
公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于
地球绕太阳的速度，故D 错误。
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②最近到最远
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九、双星问题
1．模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星
系统．
2．特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
【实战演练】
(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测
器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为
M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A. 周期为2t1−t0
B. 半径为
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
C. 角速度的大小为
π
t1−t0
D. 加速度的大小为
3√
2πGM
t1−t0
【答案】B
【解析】解：AC、根据图(b)可知，Q的亮度变化的周期为：T =t1−t0
则角速度的大小为：ω= 2π
T = 2π
t1−t0
故AC 错误；
B、行星P受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：GMm
r
2
=m× 4 π
2
T
2 r
解得：r =
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
，故B 正确；
D、行星P受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：GMm
r
2
=ma
解得
a= 2π
t −t0
3√
2π
GM (t −t0)
故D 错误；
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G m1m2
L2
=m1ω1
2r1,G m1m2
L2
=m2ω2
2r2
.
②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2 .
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1+r2=L .
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
十、星球“瓦解”问题及黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起
来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝
mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行．
【实战演练】
(2018·全国卷Ⅰ·20)(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们
复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12
圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，
可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12 圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1① ＝m2ω2r2② l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr 得
v1＝ωr1④ v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求
解．故选B、C.
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2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行
的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度
( 逃逸速度为其第一宇宙速度的
倍
) 超过光速时
，该天
体就是黑洞．
【实战演练】
(2018·全国卷Ⅱ·16)2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以
周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3，整理得密度ρ≥＝
kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
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