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模板06 万有引力与航天（四大题型）
题型01 天体质量和密度的估算
1、问题涉及情景新颖，常与最新的航天科技结合出题，出题角度不难但易错。
2、公式的选用灵活多变，学生要谨记其本质为万有引力提供向心力，掌握各个公式是解题的关键。
一、必备基础知识
1、开普勒三大定律
定律
内容
图示
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线
在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它
的公转周期的二次方的比值都相等。即
，k 是一个与行星无关的常量。
2、万有引力定律
内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1
和m2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
表达式：F＝G，其中G 叫做引力常量，
。牛顿得出了万有引力与物体质
本节导航：
题型01 天体质量和密度的估算 题型02 卫星及其变轨问题
题型03 天体表面重力加速度的相关问题 题型04 双星和多星问题
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量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G 的
值。
适用条件：①适用于质点间的相互作用；②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与
球外一个质点，r 是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；③两个物体间的距离远远大于物体本身的
大小，r 为两物体质心间的距离。
3、天体(卫星)运动问题的两点思路
①天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝man＝m＝mω2r＝m。
②在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g 表示天体表面的重力加速度)。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
区分中心天体的半径和环绕天体的轨道半径，只有近地环绕天体的轨道半径才等于中心天体的半径。
该类型的题目是求解中心天体的质量和密度，是不能求解环绕天体的质量和密度。
3、解题方法
①利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
②通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r。
由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇
宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某
一点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇宙的密度为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
2
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（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集中于
O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，G 为引力常量。
仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈勃系数。
H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
（2024·广东·模拟预测）2021 年2 月10 日19 时52 分，我国首次火星探测任务“天问一号”探
测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。设想某一天一位宇航员
到达火星后进行如下实验：如图所示，将支架水平固定在火星表面上，摆轴末端用细绳连接一质量为m 的
小球。拉直细绳并给小球一个垂直细绳的初速度，让它在竖直平面内做完整的圆周运动。在最低点a 和最
高点b，细绳拉力大小分别为Ta、Tb，阻力不计。已知火星的半径为R，万有引力常量为G。求：
(1)火星表面重力加速度的大小g；
(2)火星的质量M。
题型02 卫星及其变轨问题
1、该题型常与较新的卫星结合出题，题目一般较长，一般介绍的内容可以忽略，本质就是圆周运动
规律的应用。
2、题型难度不大，考查公式较多，需要学生具备一定的综合分析能力。
3
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一、必备基础知识
1、卫星轨道
卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
2、运行规律
卫星做匀速圆周运动。万有引力提供向心力：即由G＝m＝mrω2＝mr＝man 可推导出：①线速度：
G Mm
r2 =m v2
r ⇒v=√
GM
r
；②角速度：
G Mm
r2 =mω2r ⇒ω=√
GM
r3
；③周期：
G Mm
r2 =m 4π2
T 2 r ⇒T =2π√
r3
GM ；④向心加速度：
G Mm
r2 =ma ⇒a= GM
r2
。
3、三种卫星
①近地卫星：在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于
地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
②地球同步卫星：地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道
上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期。
③极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
4、三大宇宙速度
宇宙速度
数值
(km/s)
意义
第一宇宙速度
(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星
绕地球做圆周运动的最大运行速度。
第二宇宙速度
(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度
(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
发射速度为v，第一宇宙速度为v1，第二宇宙速度为v2，第三宇宙速度为v3，发射物体的运动情况跟
宇宙速度息息相关，它们的关系如下表所示：
v＜v1
发射物体无法进入外太空，最终仍将落回地面；
v1≤v＜v2
发射物体进入外太空，环绕地球运动；
v2≤v＜v3
发射物体脱离地球引力束缚，环绕太阳运动；
4
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v≥v3
发射物体脱离太阳系的引力束缚，逃离太阳系中。
5、两类变轨的比较
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G＜m
G＞m[来源:学科网ZXXK]
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨
道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨
道上运动
应用
卫星的发射和回收
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
地球同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。
轨道平面一定（只能位于赤道上空，轨道平面和赤道平面重合）；
周期一定（与地球自转周期相同，大小为T=24h＝8.64×104s。）；
角速度一定（与地球自转的角速度相同）；
高度一定（根据
得
）=3.6×107m）；
线速度一定（根据线速度的定义，可得
=3.08km/s，小于第一宇宙速度）；
向心加速度一定（根据=man，可得an＝＝gh＝0.23 m/s2）；
绕行方向一定（与地球自转的方向一致）。
卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变
化由v＝ 判断；卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大；卫星经过不同轨道相
交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
3、解题方法
卫星变轨的判断及处理思路方法：①要增大卫星的轨道半径，必须加速；②当轨道半径增大时，卫星
的机械能随之增大。
卫星向心加速度的不同表述形式：G＝man；an＝＝rω2＝r。
解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律：卫星的
an、v、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化；an、v、ω、T 均与卫星的
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质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定。
卫星变轨解题方法：
轨道渐变问题：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
当卫星的速度逐渐增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变
大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小。
当卫星的速度逐渐减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径
变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大。
离心运动：
当v 增大时，所需向心力增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝ 知其运行速度要减小，此
时重力势能、机械能均增加。同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能
越大。
卫星向心运动：当v 减小时，所需向心力减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝知其
运行速度将增大，此时重力势能、机械能均减少。情景分析，如下图所示：
先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P 点处点火加速，短
时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v3，此时
进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
注意：卫星在不同轨道相交的同一点处加速度相等，但是外轨道的速度大于内轨道的速度。中心天体
相同，但是轨道不同（不同圆轨道或椭圆轨道），其周期均满足开普勒第三定律。
变轨过程物体的分析如下：
速度
根据以上分析可得：v4> v3>v2>v1
加速度
在P 点，卫星只受到万有引力作用，所以卫星当从轨道Ⅰ或者轨道Ⅱ上经
过P 点时，卫星的加速度是一样的；同理在Q 点也一样。
周期
根据开普勒第三定律＝k 可得T1<T2<T3。
机械能
卫星在一个确定的轨道上（圆或者椭圆）运动时机械能是守恒的，若卫星
在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。
说明：根据以上分析可得当增大卫星的轨道半径时必须加速。
（2024·江苏苏州·三模）人造卫星发射场一般选择靠近赤道的地方，这样可以利用地球自转减
小发射需要的能量，中国文昌航天发射场是世界上为数不多的低纬度发射场之一、已知地球质量为M，半
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径为R，地球自转角速度为
，万有引力常量为
。若在赤道上发射一近地卫星，求：
（1）发射前卫星在赤道上随地球自转的速度大小
；
（2）卫星相对地面的最小发射速度。
（2024·陕西安康·一模）从1970 年中国成功发射第一颗人造地球卫星东方红一号起，至2024
年，中国在轨运行的卫星数量已超过600 颗，这标志着中国航天技术实现了从跟跑到并跑，乃至领跑的跨
越式发展。现有一颗在赤道上空运行的人造卫星，它到地球表面的距离等于地球的半径，转动的方向与地
球的自转方向相同。若地球的半径为R，自转的角速度为
，地球表面附近的重力加速度大小为g。求：
(1)该人造卫星绕地球转动的线速度大小v；
(2)该人造卫星连续两次经过赤道上同一处的时间间隔t。
题型03 天体表面重力加速度的相关问题
重力加速度往往是万有引力和运动学联系的桥梁，通过它可以将天体运动和自由落体运动、抛体运动
相结合进行考查。
一、必备基础知识
1、地球自转对地表物体重力的影响
如下图所示，在纬度为ϕ 的地表处，物体所受的万有引力为F=
GmM
R2
。
物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F 向=mRcosϕ ·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体
所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除
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了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。
地球表面处物体所受到的重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。通过分析地球上
物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力，大小等于地面对物体的支持力FN＝mg，
方向跟支持力方向相反，垂直该处的水平面竖直向下。引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的
向心力F 向＝mωr（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力）如图所示。从合力
与分力的关系来看，重力mg 和向心力F 向是万有引力的两个效果力，即分力。 若从力产生的原因（力的
性质）来分析地面上物体的受力情况，则物体只受到万有引力和地面的支持力，不能同时再分析重力。但
由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
2、不忽略地球自转的影响
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如
下图所示。
①在赤道上：G＝mg1＋mω
2 R 。
②在两极上：G＝mg2。
③在一般位置：万有引力G 可分解为两个分力：重力mg 与向心力F 向。
越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
即＝mg。
3、忽略地球自转影响
在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G。可得：
①地球表面重力加速度g＝，距地面高h 处重力加速度g′＝
GM
( R+r )2
。有＝
( R+r )2
R2
，即g 与到地心
距离的平方成反比。
②地球质量M＝；
③恒等式：GM＝gR2。
以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用。
4、处于地球上空不随地球自转的物体
在地球表面上，mg＝，在h 高度处mg′＝，所以g′＝2g，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，
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这个因素不能忽略。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，
其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已。
3、解题方法
星体表面上的重力加速度问题，计算重力加速度的方法：
①在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝；
②在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，mg′＝，所以＝
( R+r )2
R2
，随高度的增加，重
力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略；
③地球表面的物体运动规律的迁移应用，在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、
竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的
分析，只是当地重力加速度取值不同而已。
（2024·广东清远·模拟预测）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅次于水星的第二
小的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，其半径R = 3400 km。我国发射的火星探测器“天问一号”在
登陆火星之前围绕火星做圆周运动，其环绕速度v 与轨道半径r 之间的关系如图甲所示。“天问一号”火
星探测器成功登陆火星表面后，“祝融号”火星车出舱进行探测任务，如图乙所示。某次任务时，火星车
以速度v0 = 0.5 m/s 沿水平面匀速行驶，前方有一高度h = 2 m 的断崖，断崖下方是平坦的地面。求：
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(1)火星表面的重力加速度g 火；
(2)火星车在断崖下方地面着陆时的速度v。
（2024·全国·模拟预测）为实现嫦娥六号探测器在月球背面与地面顺利进行通信，中国又发射
了“鹊桥二号”中继卫星，作为嫦娥六号探测器与地面联系的桥梁，“鹊桥二号”中继卫星在环绕月球的
大椭圆轨道上运行，其运行周期为
。已知嫦娥六号探测器环绕月球表面飞行的周期为
，月球半径为
，
引力常量为
，求：
(1)“鹊桥二号”中继卫星的轨道半长轴与月球半径之比；
(2)月球表面的重力加速度；
(3)月球的密度。
题型04 双星和多星问题
这类题目考查学生应用万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动规律解决天体运动问题的能力，对建
模能力、几何作图能力和分析推理能力要求较高。
一、必备基础知识
1、双星
定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公
共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中
往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。
2、双星模型的条件
①两颗星彼此相距较近。
②两颗星利用相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
③两颗星绕同一圆心做圆周运动。
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3、双星的特点
①“向心力等大反向”——各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动
的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作
用力和反作用力。所以有＝m1ωr1，＝m2ωr2。
②“周期、角速度相同”——两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③“距离不变”——两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，r1＋r2＝L。
④“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星
的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比。
⑤若在双星模型中，图中L、m1、m2、G 为已知量，双星的运动周期T＝2π。
⑥若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G 已知，双星的总质量m1＋m2＝，即双星系统
的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。
4、多星
多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。
5、三星模型
①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。
这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋
＝ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行
星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。×2×cos 30°＝ma 其中L＝2rcos 30°。三
颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
6、四星模型
①如下图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动，×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
②如下图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O 点，
三颗行星以O 点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。
外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。（其中一种是四颗质量相等的恒星
位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种是三颗恒星始终位于正
三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动。）
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二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动
的角速度必相等，因此周期也必然相同。
由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得
r ∝1
m ，可得
r1=
m2
m1+m2
L,r2=
m1
m1+m2
L
，即固定点离质量大的星较近。
列式时须注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中
的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。
当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略
不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心
星球的球心。可以认为它是固定不动的。
多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行
星对该行星的万有引力的合力提供。
每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。
注意利用几何知识求半径。
3、解题方法
①双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
②星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
③星体的角速度相等。
④星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和
向心力。
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（2024·广东·模拟预测）某双星系统中A、B 两星球的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连
线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值
，且
，于是有学者猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C 的影响，并认为星球C 位于星球A、B
的连线正中间，相对星球A、B 静止。引力常量为G。求：
（1）A、B 两星球组成的双星系统周期理论值
的表达式；
（2）星球C 的质量（用k，m 表示）。
（2024·广东·阶段练习）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运
动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心
在三角形所在的平面内做角速度相等的圆周运动，如图所示。已知星体A 的质量为
，星体B、C 的质量
均为m，三角形边长为d。求：
（1）星体A 所受的合力大小
；
（2）星体A、B、C 的向心加速度大小之比
。
1．（2024·北京海淀·一模）1610 年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他
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将其中一颗卫星P 的运动视为一个振幅为A、周期为T 的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是
卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P 运动的示意图，在xOy 平面内，质
量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。
（1）若认为木星位于坐标原点O， 根据伽利略的观察和推测结果：
①写出卫星P 做圆周运动的向心力大小F 的表达式。
②求木星的质量M0
③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。 请据此证明：卫星P 绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投
影是简谐运动。
（2）若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量
为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M0 与M'的大小关系。
2．（2024·江苏南通·模拟预测）嫦娥六号探测器将于2024 年6 月登月。已知探测器在近月圆轨道运行速度
大小为v，月球半径为R，万有引力常量为G，不考虑月球的自转。求：
（1）月球质量
（2）月球表面重力加速度大小
。
3．（2024·广东·阶段练习）若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同
一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地，若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面。
已知引力常量为G，月球的半径为R。（
，不考虑月球自转的影响）求：
（1）月球表面的自由落体加速度大小
；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度；
（4）月球的平均密度
。
4．（2024·江苏南通·三模）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为
、
，且
，距行星中心r
处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方
随r 变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀
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的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星A、B 的密度之比
；
（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B 表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同
的情况下，求铅球射程的比值
。
5．（2024·北京延庆·一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北斗导航
系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周
期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。
（1）求地球的质量M；
（2）求该卫星的轨道距离地面的高度h；
（3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v 与第一宇宙速度v1的大小关系。
6．（2024·全国·模拟预测）一超低空卫星在大气层的热层中做匀速圆周运动。热层中的空气密度极小，但
对高速运行的卫星影响还是比较大的，长时间作用易使得卫星轨道降低。为维持该卫星在轨飞行，需要由
卫星轨道调节器提供与卫星速度方向一致的推力平衡空气与卫星的作用力。若稀薄空气可看成是由彼此不
发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与
卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。已知地球的半径为
，地球表
面的重力加速度为
，该卫星距离地球表面的高度为，卫星垂直于其运动方向的平面面积为，卫星所
处轨道气体密度恒为
。求：
（1）卫星在轨运行的线速度；
（2）调节器对卫星的推力对卫星做功的功率。
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7．（2024·辽宁·模拟预测）已知地球的半径为R，地球卫星A 的圆轨道半径为2R，卫星B 的圆轨道半径为
R，两卫星均在地球赤道的正上方运行，两卫星运行方向与地球自转方向相同。已知地球表面的重力加速
度大小为g，求：
（1）两卫星做圆周运动的周期
和
；
（2）卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔。（信号传输时间可忽略）
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