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大题02 曲线运动与万有引力定律
曲线运动与万有引力定律是高考物理的高频模块，在全国卷及新高考卷中占比约10%~15%，2025
年高考对“曲线运动与万有引力定律”的考查将延续“重基础、强应用、拓创新”的风格，突出物理
模型构建与实际问题转化能力。备考需紧扣核心素养，强化天体运动与曲线运动的综合分析，同时关
注航天科技热点与跨学科融合，做到“以模型破万题，以思想驭变化”。
题型1 抛体运动
例1.（2024 山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技
巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止
开始正对右墙加速运动，加速到M 点时斜向上跃起，到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P
点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速
度，恰好能跃到左墙壁上的Q 点，P 点与Q 点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝
2.05 m，重力加速度g 取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
1
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（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
例2.(2024 广东二模)如图所示，倾角θ＝30°的足够长斜面固定于水平地面上，
将一小球(可视为质点)从斜面底端O 以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一
段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P 点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α 的正切值tan α；
(2)小球到斜面的最大距离；
(3)小球到水平地面的最大高度。
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法
2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法
（1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－1
2gt2。
（2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
1．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，
设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考
虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O 点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，
2
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求P1点距O 点的距离x1；
(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹
如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距
O 点的高度h3。
题型二 圆周运动
例3．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R 的大圆
弧和半径r 的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向
静摩擦力是赛车重力的k 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°和240°的弯道
上做匀速圆周运动，且R＝4r．若赛车不侧滑且绕赛道一圈时间最短，发动机功率足够大，重力加速度
为g．求：
(1)赛车行驶的最大速率．
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
例4.如图所示，装置BO′O 可绕竖直轴O′O 转动，可视为质点的小球A 与两细线
连接后分别系于B、C 两点，装置静止时细线AB 水平，细线AC 与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球
的质量m＝1 kg，细线AC 长L＝1 m，B 点到C 点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g 取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
3
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(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB 上的张力为零而细线AC 与竖直方向夹角仍为37°，求角
速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB 刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
2．（2024 山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时
犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧
一端固定，另一端与质量为m 的小滑块（含触点a）连接，当触点a、b 接触，电路接通使气门嘴灯发
光，触点b 位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b 距离为L，弹簧劲度系数为mg
L ，
重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b 均可视为质点。
（1）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
（2）若自行车以√2 gR的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
题型三 万有引力定律及其应用
1.解决圆周运动问题的主要步骤
2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
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例4．（2024 江苏南通三模）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为
、
，且
，距行星中心r 处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方
随r 变化的关系如图所示。
行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星A、B 的密度之比
；
（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B 表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度
相同的情况下，求铅球射程的比值
。
天体质量和密度的计算
注意：（1）天体表面的重力加速度g＝GM
R
2 ，是g 的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝
3 π
GT
2。
人造卫星运动问题的分析要点
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3．（2024 四川达州一模）2024 年10 月30 日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成
功。不仅体现了中国航天技术进步，也标志着中国在全球航天领域竞争力提升。下图为神舟十九号载
人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，
变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为
，轨道Ⅲ的半径
为
，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，飞船在地球周围的引力势能
。求：
(1)神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E（不考虑整个
过程中质量的变化，不计一切阻力）；
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B 点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧
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向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为
，飞船瞬间
向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t 飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为
的
粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
1．（2024 山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所
示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，
加速到M 点时斜向上跃起，到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P 点距离地面高h＝0.8
m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁
上的Q 点，P 点与Q 点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g 取
10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
2．电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量
通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图
乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与
水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝
0.8。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
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（2）已知电容器储存的电能E＝1
2CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电
容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U 应设置为多少？
3．如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB 段光滑曲面为加速滑道，BCD 段圆弧滑道为半径r＝16 m 的
姿态调整滑道，左侧与AB 段平滑连接，右侧与水平跳台DE 连接，EF 段为倾角30°的速降斜坡。质量
为60 kg 的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C 点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D
点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P 恰好在E 点的正上方h＝7.2 m 处，最
后落在斜坡上的Q 点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C 点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE 的长度；
（3）经过P 点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
4．单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U 形滑道由两个半径相
同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，
运动员以vM＝10 m/s 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道
边缘线AD 的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员
可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝
0.30。求：
（1）运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
（2）M、N 之间的距离L。
5．（2024 吉林长春模拟预测）我国为了防御小行星撞击地球，计划在2030 年实现一次对小行星的动能撞
击。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m 的小行星距离
地心为r 时，速度的大小
，m 远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。
（1）如图（a），若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球
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做圆周运动；
（2）如图（b），若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为
零，则小行星在距地心为r 处的引力势能
。设想提前发射质量为0.1m 的无人飞行器，在距
离地心为r 处与小行星发生迎面撞击，撞击过程视为完全非弹性对心碰撞且撞击后均未解体。为彻底解
除小行星对地球的威胁（碰撞后运动到距地球无穷远），求飞行器撞击小行星时的最小速度v0。
6．（2024 山西太原一模）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星
做圆周运动，其速率为v。飞船与登陆艇的质量均为m，行星的质量为M，万有引力恒量为G。已知质
量为m 的物体与该行星的万有引力势能
（以无穷远处势能为零，M 为行星质量，r 表示物
体到行星中心的距离）。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期T 和轨道半径R。
（2）在启动返程时，飞船上火箭作一短时间的喷射（喷出气体的质量可忽略），使飞船相对登陆艇以
速度u 分离，且飞船分离时方向与速度v 同向。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
.
ⅰ求飞船相对登陆艇的速度u。
.
ⅱ求飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能
。
7．（2024 重庆九龙坡三模）2024 年4 月25 日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已
走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨
道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射
出去，已知地表重力加速度g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期
，m 为物体的质量，
k 为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
（1）若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，则其运行的线速度大小；
（2）如图甲，设想在地球上距地心h 处挖一条光滑通道AB，从A 点静止释放一个质量为m 的物体，
求物体从A 运动到B 点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的空腔对空腔内
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的物体的万有引力为零）；
（3）如图乙，若通道已经挖好，且
，如果在AB 处同时释放质量分别为M 和m 的物体和飞船，
他们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M 和m 应该满足
什么关系？
8．（2025 云南昭通模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，该装置由弧形光滑轨道
、竖直光滑
圆轨道、水平粗糙直轨道
、倾角为
的粗糙斜轨道
、圆弧形光滑管道
平滑连接而成。现将
一质量为
、可视为质点的小滑块
由弧形轨道
上高处由静止释放（未知），在经历几段
不同的运动后，
在
点与静止在水平台面上质量为
的长木板
发生正碰。已知圆轨道半径
，
；
与轨道
、
间的动摩擦因数均为
，
与水平台面间的动
摩擦因数
，
最右端停放一质量为
、可视为质点的小滑块
，
与
间的动摩擦因数
；水平台面和木板
足够长；
从轨道
上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心
等高的
点时对轨道的压力为
。忽略空气阻力，重力加速度
取
，
、
。
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(1)求的大小。
(2)求
刚到达
点时的速度大小。
(3)若
与
碰撞时间极短，且碰后立即粘在一起，求最终
与
最右端之间的距离。
9．（2024 福建福州二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC 部分为水平
轨道，与曲面AB 平滑连接。CDF 和FMN 是竖直放置的半圆轨道，在最高点F 对接，与BC 在C 点相
切。NP 为一与FMN 相切的水平平台，P 处固定一轻弹簧。点D、N、P 在同一水平线上。水平轨道BC
粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m = 0.02 kg 的带正电的滑块从曲面AB 上某处由静止释
放。已知匀强电场的场强E = 2 N/C，BC 段长度L = 1 m，CDF 的半径R = 0.2 m。FMN 的半径r = 0.1
m。滑块带电量q = 0.1 C，滑块与BC 间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度g = 10 m/s2；求：
(1)滑块通过半圆轨道CDF 最高点F 的最小速度vF；
(2)若滑块恰好能通过F 点，求滑块释放点到水平轨道BC 的高度h0；
(3)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水
平轨道BC 的高度h 需要满足的条件。
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1．（2024 北京高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质
（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一
点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇宙的密度
为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集
中于O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，G 为引
力常量。仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈勃
系数。H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
2．（2023 北京高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R 的球体内，球体外
仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀
速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的
相似性和相关力学知识，求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 随r 的变
化关系图像，如图所示，根据在
范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（
）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定
律，求
内暗物质的质量
。
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3．（2024 江西高考）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图a、b 所示，
传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A 处固定连接一
轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与
雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图a 中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半
径为r1的匀速圆周运动。求AB 与OB 之间夹角α 的正切值。
（2）将圆盘升高，如图b 所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B 与O1B 的夹角为β。求此时圆
盘的角速度ω2。
4．（2022 江苏高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控
货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1 所示，机械臂一端固定在
空间站上的O 点，另一端抓住质量为m 的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O 点做半径为
、角速
度为
的匀速圆周运动，运动到A 点停下，然后在机械臂操控下，货物从A 点由静止开始做匀加速直
线运动，经时间t 到达B 点，A、B 间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小
；
（2）求货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2 所示，它们在同一直线上，货物与空间站
同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的
引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比
。
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5．（2021 福建高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减
速阶段，探测器速度大小由
减小到0，历时
。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为
的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径
的
，火星质量约为地球质量的
，地球表面重力加速度大小取
，探测器在动力减速阶段的运
动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
14
