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大题02 曲线运动与万有引力定律
曲线运动与万有引力定律是高考物理的高频模块，在广东高考卷中占比约10%~15%，2025 年广东
高考对“曲线运动与万有引力定律”的考查将延续“重基础、强应用、拓创新”的风格，突出物理模
型构建与实际问题转化能力。备考需紧扣核心素养，强化天体运动与曲线运动的综合分析，同时关注
航天科技热点与跨学科融合，做到“以模型破万题，以思想驭变化”。
题型1 抛体运动
例1.电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速
灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需
的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速
度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g
＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
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（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能E＝1
2CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电
容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U 应设置为多少？
例2. (2024 广雅中学)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图
所示．P 是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h 的探测屏AB 竖直
放置，离P 点的水平距离为L，上端A 与P 点的高度差也为h，已知重力加速度为g.
(1) 若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间．
(2) 求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法
2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法
（1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
速度：vx＝v0cos θ，
2
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vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－1
2gt2。
（2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
1．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，
设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考
虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O 点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，
求P1点距O 点的距离x1；
(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹
如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距
O 点的高度h3。
题型二 水平面的圆周运动
例3.(2023 广东深圳市一模)图甲为一种大型游乐项目“空中飞椅”，用不计重力
的钢丝绳将座椅挂在水平悬臂边缘。设备工作时，悬臂升到离水平地面24 m 高处，以1 rad/s 的角速度
匀速转动时，座椅到竖直转轴中心线的距离为7.5 m(简化示意图乙)，座椅和乘客(均视为质点)质量共计
80 kg，钢丝绳长为5 m。忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。试计算此时：
3
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甲 乙
(1)钢丝绳的拉力大小；
(2)若游客身上的物品脱落，因惯性水平飞出直接落到地面，求落地点到竖直转轴中心线的距离(结果保
留3 位有效数字)。
2．如图所示，装置BO′O 可绕竖直轴O′O 转动，可视为质点的小球A 与两细线连接
后分别系于B、C 两点，装置静止时细线AB 水平，细线AC 与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质
量m＝1 kg，细线AC 长L＝1 m，B 点到C 点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g 取10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB 上的张力为零而细线AC 与竖直方向夹角仍为37°，求角
速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB 刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
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题型三 竖直面的圆周运动
例4.(2024 广东佛山二模)“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末
端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a 位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b 时迅速
释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b 水平距离s＝16 m 的水面上。已知开始甩竿时鱼竿与竖直方
向成53°角，鱼饵的质量为m＝0.02 kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O 点转动，且O 离水面高
度h＝1.6 m、到鱼竿末端鱼饵的距离L＝1.6 m。鱼饵从b 点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，
重力加速度g 取10 m/s2，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)鱼饵在b 点抛出时的速度大小；
(2)释放鱼线前，鱼饵在b 点受鱼竿作用力的大小和方向；
(3)从a 到b 的甩竿过程，鱼竿对鱼饵做的功W。
解决圆周运动问题的主要步骤
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3．（2024 广东惠州二模）如图所示，水平平台上一轻弹簧左端固定在A 点，原长时
在其右端B 处放置一质量为m=2kg 的小滑块（可视为质点），平台AB 段光滑，BC 段长x=2m，与滑块
间的动摩擦因数μ1=0.25。平台右端与水平传送带相接于C 点，传送带长L=5m，与滑块间的动摩擦因数
μ₂=0.4。传送带右端D 点与一光滑竖直圆形轨道相切，圆形轨道半径R=0.4m，最高点E 处有一弹性挡
板，滑块碰撞挡板前后无机械能损失。现将滑块向左压缩弹簧后突然释放，滑块可在静止的传送带上
滑行至距C 点1.5m 处停下。已知传动带只可顺时针转动，重力加速度。
求:
（1）释放滑块时弹簧的弹性势能Ep；
（2）若在相同位置释放滑块，要使滑块恰好上升到E 点，传送带的速度v 为多少；
（3）若在相同位置释放滑块，要使滑块不脱离圆弧形轨道，且不再返回压缩弹簧，传送带的速度大小
范围。
求解竖直平面内圆周运动问题的思路
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题型四 万有引力定律及其应用
例5.（2024 广东清远模拟预测）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅
次于水星的第二小的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，其半径R = 3400 km。我国发射的火星探测
器“天问一号”在登陆火星之前围绕火星做圆周运动，其环绕速度v 与轨道半径r 之间的关系如图甲所
示。“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面后，“祝融号”火星车出舱进行探测任务，如图乙所
示。某次任务时，火星车以速度v0 = 0.5 m/s 沿水平面匀速行驶，前方有一高度h = 2 m 的断崖，断崖
下方是平坦的地面。求：
(1)火星表面的重力加速度g 火；
(2)火星车在断崖下方地面着陆时的速度v。
天体质量和密度的计算
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注意：（1）天体表面的重力加速度g＝GM
R
2 ，是g 的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝
3 π
GT
2。
人造卫星运动问题的分析要点
4．（2022 广东潮州模拟预测）假设我国宇航员登上某一星球，该星球的半径R=4500
km，在该星球表面有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg 的小物块在力F 的作用下由静止开始沿斜
面向上运动，力F 始终与斜面平行。已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=
，力F 随时间变化的规
律如图所示（取沿斜面向上为正方向），2 s 末小物块的速度恰好为0，引力常量G=6.67×10−11
N·m2/kg2。
（1）求该星球表面的重力加速度。
（2）求该星球的平均密度。
（3）若在该星球表面上水平抛出一个物体，使该物体不再落回该星球表面，则物体至少需要多大的初
速度？
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1.(2023 广东广州市二模)如图所示，运动员起跳补篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板
区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触。已知篮球出
手时球心离地的高度h1＝2.25 m、与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打
板区”方框的上沿线中点离篮圈的高度h3＝0.45 m，篮圈的直径d1＝0.45 m，篮板与篮圈的最小距离
L2＝0.15 m；若篮球的直径d2＝0.24 m、质量m＝0.5 kg，不考虑空气作用力和篮球的转动。重力加速
度g 取10 m/s2，求：
(1)篮球击中篮板时的速度大小；
(2)篮球打板损失机械能的最小值。
2．如图所示可视为质点的小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O 点以速度v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与
斜面夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A 为轨迹上离斜面最远的点，B 为小球在
斜面上的落点，C 是过A 作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O 运动到A 点所用时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C 两点间距离x。
3．(2023 湛江一中)运动员抓住长为L＝1.5 m 的绳子绕高为H＝5.9 m 的固定支柱旋转，支柱直径
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忽略不计，如图所示，已知α＝53°，运动员在旋转过程中的运动可视为匀速圆周运动．取g＝10
m/s2，运动员可视为质点，手臂长度忽略不计，不计空气阻力，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．
(1)求运动员在匀速旋转过程中速度大小v．
(2)某时刻运动员松手，求落地点到转轴下端点的距离．(结果保留两位有效数字)
4．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R 的大圆弧和半径r 的小圆弧，
直道与弯道相切，直道长度L．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的
k 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°和240°的弯道上做匀速圆周运动，且R
＝4r．若赛车不侧滑且绕赛道一圈时间最短，发动机功率足够大，重力加速度为g．求：
(1)赛车行驶的最大速率．
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
5．如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB 段光滑曲面为加速滑道，BCD 段圆弧滑道为半径r＝16 m 的姿
态调整滑道，左侧与AB 段平滑连接，右侧与水平跳台DE 连接，EF 段为倾角30°的速降斜坡。质量为
60 kg 的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C 点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D 点
时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P 恰好在E 点的正上方h＝7.2 m 处，最后
落在斜坡上的Q 点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C 点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE 的长度；
（3）经过P 点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
6．单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U 形滑道由两个半径相
同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17．2°。某次练习过程中，
运动员以vM＝10 m/s 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道边
缘线AD 的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可
视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝
0.30。求：
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（1）运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
（2）M、N 之间的距离L。
7．如图所示，粗糙水平面
与竖直面内的光滑半圆形轨道在B 点平滑相接，一质量
的小滑块（可视为
质点）将弹簧压缩至A 点后由静止释放，经过B 点后恰好能通过最高点
作平抛运动。
已知：导轨半径
，小滑块的质量
，小滑块与轨道
间的动摩擦因数
，
的长度
，重力加速度取
。求：
（1）小滑块对圆轨道最低处B 点的压力大小；
（2）弹簧压缩至A 点时弹簧的弹性势能；
（3）若仅改变
的长度
，其他不变，滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出
的可能值。
8．（2023 广东潮州二模）滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面
与斜
面
和圆弧
平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A 点滑下，同时另一完全相同的滑板乙
从圆弧上的D 点由静止释放．两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙
保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D 点，被站在D 点的工作人员接收．已知斜
面
长
，倾角为
，圆心O 与D 点的连线与竖直方向的夹角
，滑板质量
，滑板爱好者的质量
，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板
均可视为质点，取
。求：
（1）圆弧
的半径；
（2）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C 点压力的大小。
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9．（2023 广东佛山模拟预测）如图所示的离心装置中，轻质弹簧一端固定在杆的O 点，另一端与一质量
为 M 的方形中空物块A 连接，弹簧和物块A 均套在光滑竖直方形轻杆OC 上，长为L 的轻杆OB 一端
通过铰链连在O 点（轻杆可在竖直面内转动），另一端固定质量为 m 的小球B，物块A 与小球B 之间
用长为 L 的轻质细线连接，物块A、小球 B 和弹簧均能随竖直轻杆OC 一起绕过O 点的竖直转轴转动。
装置静止时，轻质细线AB 绷紧，细杆OB 与水平方向的夹角为
，现将装置由静止缓慢加速转动，
当转速稳定时，细杆与水平方向夹角减小到 37°，细杆中的力恰好减小到零，重力加速度为g，取：
求∶
（1）装置静止时， 细线张力 T；
（2）转速稳定时，弹簧长度x 及装置转动的角速度ω；
（3）由静止到稳定转动，物块A 机械能的变化了多少。
10．（2024 广东江门模拟预测）如图所示是一张常见的团圆餐桌。餐桌上放一半径
可绕中心轴转
动的圆盘，近似认为餐桌与圆盘在同一水平面内，忽略两者之间的间隙，如图所示。将质量为
的物体放置在圆盘边缘，该物体与圆盘的动摩擦因数为
，与餐桌的动摩擦因数为
，设物体与圆盘及餐桌间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
。
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（1）由静止开始缓慢增大圆盘的角速度，求物体从圆盘上刚好甩出时圆盘的角速度和物体速度的大
小；
（2）物体从圆盘上刚好甩出时，圆盘对物体的静摩擦力所做的功多大；
（3）为使物体不滑落到地面，餐桌半径R 的最小值。
11．（2023 广东佛山模拟预测）如图所示，半径R=1.25m 的光滑竖直四分之一圆轨道OAB 与光滑水平轨道
BC 相切于B 点，水平轨道BC 右端与一长L=0.5m 的水平传送带CD 相连，传送带以速度v=2m/s 顺时针
匀速转动，两滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4。小滑块1 从四分之一圆轨道的A 点由静止释放，
滑上水平轨道后与静止在水平轨道上的小滑块2 发生弹性正碰，两滑块经过传送带后从传送带末端D
点水平抛出，落在水平地面上。已知两滑块质量分别为
和
，忽略传送带转轮半径，
D 点距水平地面的高度h=0.45m，g 取
。求：
（1）小滑块1 首次经过圆轨道最低点B 时对轨道的压力大小；
（2）两滑块碰后滑块2 的速度大小
；
（3）滑块2 平抛的水平位移。
1．（2023 广东高考真题）如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和
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与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为
，平台高为
。药品盒A、B 依次被轻放在以速度
匀速运动
的传送带上，在与传送带达到共速后，从
点进入滑槽，A 刚好滑到平台最右端
点停下，随后滑下
的B 以
的速度与A 发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B 恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知
A、B 的质量分别为
和
，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的
。
与传送带间的动摩擦
因数为
，重力加速度为g，AB 在滑至N 点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视
为质点。求：
（1）A 在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间；
（2）B 从
点滑至
点的过程中克服阻力做的功
；
（3）圆盘的圆心到平台右端
点的水平距离．
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