文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块6 万有引力与航天各模块大招
第02 讲 万有引力与重力
及地壳内某深度的物理量求算
（
人
间
）
（解析版）
目录
【内容一】 万有引力与重力的关系模型..........................................................................................................1
【内容二】 重力与纬度的关系模型..................................................................................................................1
【内容三】 地球重力加速度
及变化模型..................................................................................................2
【内容四】 地壳内某深度的物理量求算
模型
..................................................................................................4
技巧总结
万有引力与重力关系
技巧总结
内容一：万有引力与重力的关系
地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这
就需要向心力
方向垂直指向地轴(不一定指向地心)
内容二：重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
①赤道上：重力和向心力在一条直线上
，即
，所
以
。
②地球两极处：向心力为零，所以
。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
③其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小
，重力的方向偏
离地心。
万有引力
的效果有两个，一个是重力
，另一个是物体随地球自转需要
的向心力
，如图所示：重力是万有引力的一个分力.
内容三：地球重力加速度
及变化
⑴地球表面的重力加速度
若不考虑地球自转，在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，
即
mg =G Mm
R2
即
g=G M
R2 ，这是一个常用的“黄金代换式”（
表示天体表面的
重力加速度）．
⑵利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：
mg =G Mm
R2 ，所以
g=G M
R2
在离地面高为
的轨道处重力加速度：
m g
'=G
Mm
( R+h)2
，得
g
'=G
M
( R+h)2
⇒g
'=
gR 2
( R+h)2 ⇒g
'
g =
R2
( R+h)2
注意：①物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，重力约等于万有引力，即
mg =G Mm
R2
。
②在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距
地面高度的增加而减小。
③地球的人造卫星，卫星所受的万有引力等于重力，由于万有引力提供向心力，所有
卫星的向心加速度等于该点的重力加速度，卫星处于完全失重状态。
内容四：地壳内某深度的物理量求算
技巧总结
当物体间的作用力不符合万有引力的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出每
部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这种方法是“分割求和”的思想方法，但
此处的“和”是矢量和。对本来是非对称的物体，通过割补后构成对称物体，然后再
利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法称为“填补法”（或“割补法”）。
这类题目一般采用“填补法”进行等效计算。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
模型演练
模型Ⅰ（挖中心）：如图所示，一个质量均匀分布的
半径为
的球体对球外质点
的万有引力为
。如果
在球体中央挖去半径为的一部分球体，且
，则
原球体剩余部分对质点
的万有引力为？
破解方法：设球心
点与球外质点
的距离为
，没挖去前，球体质量为
，球外质
点质量为
，挖去部分的质量为
，根据
，
可知
则没挖去前，球体对质点
的万有引力
挖去的部分对球外质点
的万有引力
则球体剩余部分对球外质点
的引力
模型Ⅱ（挖任意）：如图所示，地球半径为R，O 为球心，A 为地球表面上的点，B 为
O、A 连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B 为圆心，半径为
的球，忽略地球
自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A 点的重力加速度与挖去
球体前的重力加速度之比为？
破解方法：挖前，质量为m 的物体在A 点受到的重力
挖去后质量为
的球体后在A 点受到的重力
，
联立各式解得
模型Ⅲ：密度均匀的球体半径为
、质量为
，现从球体
中挖去直径为
的球体
，
将球体
放置在距离球体
的球心
为
处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
已知半径为
的球体的体积为
，引力常量为
，则球体
剩余部分对球体
的
万有引力大小为？
破解方法：小球B 的质量为
挖去小球前，A 对B 的万有引力
挖去部分对B 的引力为
则剩余部分对B 的万有引力
例题演练
例1．我国在深海领域有了重大的发展，“蛟龙号”载人潜水器在西南印度洋“龙
旅”热液区完成两次下潜科考任务．若把地球看做质量分布均匀的球体，且质量分布
均匀的球壳对壳内物体的引力为零．已知地球半径为R，“蛟龙号”下潜深度为d，地
球表面重力加速度为g，球体积计算公式是
．则“蛟龙号”所在处的重力
加速度大小是
A．
B．
C．
D．
解：令地球的密度为
,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:
，
结合两个公式可解得：
，故C 正确；ABD 错误；故选C
例2．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A．
B．
C．
D．
解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有
，
由于地球的质量为
，所以重力加速度的表达式可写成：
．根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力
为零，固在深度为d 的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表
面产生的万有引力，故井底的重力加速度
，所以有
，故B 正确；
例3．设想把质量为m 的物体放置地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与
地球间的万有引力是（ ）
A．零
B．无穷大
C．
D．无法确定
解：设想把物体放到地球中心，此时F＝G
已不适用，地球的各部分对物体的吸引
力是对称的，故物体与地球间的万有引力是零，答案为A.
例4．如图所示，将一个半径为
、质量为
的均匀大球，沿直径挖去两个半径均为
的小球，并把其中一个小球放在球外与大球靠在一起。图中大小四个球的球心在
同一直线上，则大球剩余部分与球外小球间的万有引力约为（已知引力常量为
）（
）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
解：大球的质量为M，则小球的质量为
，则根据万有引力定律，则大球剩余部分与
球外小球间的万有引力为
故选B。
例5．在半径为
、质量为
、质量分布均匀的铜球中挖去一个半径为
的球形部
分，留下的空穴与铜球表面相切。在铜球外有一个质量为
、可视为质点的小球，它
位于铜球、空穴球心连线的延长线上，到铜球球心的距离为
。挖去后铜球剩余部分
对小球吸引力的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据
内部挖去一个半径为
的球形空穴，则挖去质量为M′，
在没有挖去前，大球对m 的万有引力为
挖去部分对m 的万有引力
则剩余部分对质点的引力大小
例6．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F。
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r=
，则原球体剩余部分对质点P 的
万有引力大小变为（ ）
A．
B．
C．
D．
F
解：设原球体的质量为M，质点P 的质量为m0，球心与质点P 的距离为L。根据
知，挖去部分的小球的质量
没挖去前，原球体对质点P 的引力
挖去的部分对质点P 的引力
则剩余部分对质点P 的引力
故选C。
例7．如图所示为一质量为M 的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R 处
有一质量为m 的质点。若将球体挖去一个半径为
的小球，两球心和质点在同一直线
上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线外，两球表面相切。已知引力常量为
G，则剩余部分对质点的万有引力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据
由于挖去的球体半径是原球体半径的
，则挖去的球体质量是原球体质量的
，所以
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
挖去的球体质量
，未挖时，原球体对质点的万有引力
挖去部分对质点的万有引力
则剩余部分对质点的万有引力大小
故ABD 错误， C 正确。故选
C。
例8．.如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半
径为
的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质
点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．G
B．0 C．4G
D．G
解：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对
m 的吸引力与挖去小球体对m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与m 重合，对m 的万
有引力为零，则剩余部分对m 的万有引力等于完整大球体对m 的万有引力；以大球体
球心为中心分离出半径为
的球，易知其质量为
M，则剩余均匀球壳对m 的万有引
力为零，故剩余部分对m 的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力
定律F＝G
＝G
故选D．
例9．有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质
量为m 的质点。现从m 中挖去半径为
R 的球体，如图所示，白色部分为挖去后的空
心，则剩余部分对m′的万有引力F 为（ ）
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
解：在小球内部挖去一个半径为
的球体，挖去小球的质量为：
挖去小球前球与质点的万有引力：
被挖部分对质点的引力为：
则剩余部分对
的万有引力：
C 正确。故选C。
例10．如图所示，质量分布均匀的实心球，其质量为M，半径为R．现在将它的左侧
挖去一个半径为
的球体，则挖去后它对离球体表面距离R 处的质量为m 的质点
的引力与挖去前对质点的引力之比为
A．
B．
C．
D．
解：根据
知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的
所以挖去部分的质量
，没挖之前，球体对m 的万有引力
，挖去
部分对m 的万有引力
，则剩余部分对质点的引力大小
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，则
，故B 正确．
例11．如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M 的密度均匀球体的球心，现在其内
以O2为球心挖去一个半径为R 的球，并在O2处放置一个质量为m 的质点。若已知质
量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则O1球剩余部分对m 的万有引力为( )
A．
B．
C．
D．
解：可以将空腔用同密度物质填满，补偿的空腔球对m 引力为零．由于质量分布均匀
的薄球壳对壳内物体的引力为零，m 所受万有引力等效半径为R 的球对处于其表面m
的引力.易知半径为R 的球质量为
,则由万有引力定律知道剩余部分对m 的万有引
力为
；故选A.
例12．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质
量为m 的质点.现从M 中挖去半径为
R 的球体，如图所示，则剩余部分对m 的万有引
力F 为( )
A．
B．
C．
D．
解：挖去小球前球与质点的万有引力
，挖去的球体的质量
；被挖部分对质点的引力为
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则剩余部分对质点m 的万有引力
，A 正确．
例13．如图所示，质量为
、半径为
、密度均匀的球体
表面
处有一质量为
的
质点
，此时
对
的万有引力为
，从
中挖去一半径为
的球体
后，剩下部
分对质点
的万有引力为
，求
的值？
解：质点
与
的球心相距
，万有引力为
，则有
的质量
，
的质量
的球心与质点
相距
，
与质点
间的万有引力为
剩余部分对质点
的万有引力
所以有
例14．如图所示，在一个半径为
、质量为
的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个
半径为
的小球体后，剩余部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距
、质量
为
的质点的引力是多大?
解：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和。完
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
整的均匀球体对球外质量为
的质点的引力为
设挖去小球体后的剩余部分
对质点的引力为
半径为
的小球体对质点的引力为
，则
半径为
的小球体质量
，
所以
例15．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g0，不考虑地球自转的 影响并假设
地球质量分布均匀且密度为
．假若在地球内部距表面深度为
的某区域存在一半径
为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为
（小于
），则由于该煤炭矿区区域的存在，
造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？
解：根据题意把地球看成由两部分组成即半径为的球体和剩余部分，则有：
式中F 为地球剩余部分对m 的作用力；M1为半径为的球体质量，应有：
同理当半径为的球体空间存在密度为
的煤炭时应有：
联立解得：
故本题答案是：
例16．天问一号于2020 年7 月23 日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射
升空，成功进入预定轨道，于2021 年2 月到达火星附近，成功被火星捕获，并于2021
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
年5 月成功在火星着陆，从而拉开了我国火星探测的大幕．将这一发射过程进行如下
简化：天问一号先进入地球表面的停泊轨道，在该轨道上运行的周期为
，被火星捕
获后进入火星表面的停泊轨道，在该轨道上运行的周期为
．已知地球半径为
，火
星半径为
，下列说法中正确的是（ ）
A．地球质量和火星质量之比为
B．地球表面重力加速度和火星表面重力加速度之比为
C．地球的第一宇宙速度和火星第一宇宙速度之比为
D．地球平均密度和火星平均密度之比为
解：A．根据
可得
则地球质量和火星质量之比为
选项A 错误；
B．根据
可得
则地球表面重力加速度和火星表面重力加速度之比为
选项B 正确；
C．根据
地球的第一宇宙速度和火星第一宇宙速度之比为
选项C 错
误；
D．根据
可得地球平均密度和火星平均密度之比为
选项D 错
误。故选B。
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例17．地球上，在赤道上的一物体A 和在台州的一物体B 随地球自转而做匀速圆周运
动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为
则（ ）
A．vA=vB，ωA=ωB，
B．vA<vB，ωA<ωB，
C．vA>vB，ωA>ωB，
D．vA>vB，ωA=ωB，
解：地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，
ωA=ωB；根据
可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所
以，vA>vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重加速度最小，两极重力加速
度最大，所以
。ABC 错误，D 正确。故选D。
例18．搭乘神舟十二号进入天和核心舱的我国航天员相继出舱，胜利完成中国空间站
的第二次舱外任务。已知中国空间站处于距地面高度为h 的近地轨道处，地球半径为
R，地球表面重力加速度为g，则此时宇航员在该轨道处的加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据牛顿第二定律，万有引力提供该轨道处的加速度
地球表面重力加速度为g
解得
故选D。
例19．2021 年2 月，我国“天问一号”火星探测器实现了对火星的环绕。若该探测器
在近火星圆轨道运行的线速度为v，火星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，
不考虑火星的自转，则火星的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解：对探测器由引力作为向心力可得
探测器在火星表面受到的重力等于万有引力
火星的平均密度可表示为
联立解得
故选D。
例20．2021 年11 月5 日，太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭将一颗广目地球科
学卫星成功送入轨道，已知卫星在轨道做匀速圆周运动，引力常量为G，地球半径为
R、卫星质量为m，地球表面重力加速度为g，该卫星离地面高度为h，则该卫星所受
万有引力为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据万有引力定律
地面上的物体
带入化简则
故选D。
例21．一火箭发射，假定它从地球表面开始竖直向上做初速度为0 的匀加速直线运动，
上升到距地球表面高度为地球半径的
处，火箭发动机在此过程的起点、终点提供的
推力差值为F。已知地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球的自转，
下列说法正确的是（ ）
A．该火箭的质量为
B．火箭匀加速直线运动的加速度为
C．若地球的质量为M，则地球的第一宇宙速度为
D．若地球的半径为R，火箭匀加速的加速度为a，则在终点火箭的动能为
解：A．设火箭距地面高为
处重力加速度为
，在地面处火箭推力为
，在离地面
高为
处火箭推力为
，在地面处由牛顿第二定律可得
在距地面高
处
故
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
，
联立解得
A 错误；
B．因为
、
是未知的，所以加速度a 不可求出，B 错误；
C．若地球质量为M，第一宇宙速度为
又
联立解得
C
错误；
D．若地球的半径为R，火箭匀加速的加速度为a，火箭上升高度
时速度满足
在终点处火箭的动能为
D 正确。故选D。
例22．已知火星半径大约是地球的一半，火星质量约为地球的
，火星绕太阳公转
的周期约为地球的2 倍，忽略火星和地球自转，则（ ）
A．火星表面的重力加速度约为地球表面的
B．火星绕太阳的轨道半径约为地球的4
倍
C．火星表面的第一宇宙速度约为地球的
D．火星受到太阳的万有引力约为地球的
解：A．根据
可知
火星表面重力加速度约为地球表面
的
，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
可知，火星公转轨道半径约为地球的
倍，故B 错误；
C．根据
可知
故C 正确；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．根据
可知
故D 错误。故选C。
例23．据报道，科学家们在距离地球20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设
该行星质量约为地球质量的6.4 倍，半径约为地球半径的2 倍。那么，一个在地球表面
能举起56 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速
度g 取10 m/s2) （ ）
A．35kg
B．40 kg
C．45 kg
D．30 kg
解：根据黄金代换式
根据平衡条件
解得
设在这个行星表面能举起的物体的质量m＇
解得
故选A。
对应题型精炼
一、单选题
1．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F，如
果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且
，则球体剩余部分对质点P 的万有
引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设球体质量为
，挖去的中央球体的质量为
，球体的密度为
，质点P
的质量为
，质点P 距球心的距离为
，则根据题意可得
，
可知
两个球体对质点的万有引力分别为
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P 的万有引力大小为
故选D。
2．科幻作品是在尊重基础科学结论的基础上进行合理设想而创作出的文艺作品，在某
科幻小说中，地球中间出现一道竖直裂缝，可简化为如图所示的模型。物体
从
处
由静止释放后，穿过地心
到达
，用时，已知质量分布均匀的球壳对于放于内部的
质点的引力为零；质量为
，劲度系数为
的弹簧振子的周期公式为
，引
力常量为
，可将地球看作质量均匀分布的球体，不计空气阻力。则地球的平均密度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，设地球的密度为
，当物体离地心的距离为
时
物体受到的合力为
可得
类比弹簧振子，则有
可得
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
故选C。
3．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为
的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的
万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】将挖空部分填满，大球体的剩余部分对该质点的万有引力与填入球体对质点
的万有引力的质量和等于，填满的大球体对质点的万有引力。由于质量分布均匀的球
壳对壳内物体的引力为零，则
填满后大球体的有效质量为
得大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为
故选C。
4．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R 的球体，地球内部的a 点距地心的
距离为r，地球外部的b 点距地心的距离为3r，
。已知质量分布均匀的球壳对壳
内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b 两点的重力加速度大小之比为（ ）
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设地球密度为
，根据题意可知
点距地心距离为，且小于
，则只有半径
为的球体对其产生万有引力，则有
，
解得
点距地心的距离为
，则有
，
解得
解得
故选B。
5．2020 年10 月27 日，“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909 米，
刷新中国载人深潜的新纪录；2021 年4 月29 日11 时23 分，长征五号B 遥二运载火箭
搭载空间站“天和”核心舱，在海南文昌航天发射场发射升空。若地球半径为
，把
地球看作质量分布均匀的球体。“奋斗者”号下潜深度为
，“天和”轨道距离地面
高度为
，“奋斗者”号所在处与“天和”所在处的加速度之比为（ ）
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，设地球的密度为
，则在地球表面且不计地球自转的影响，物体
的重力和地球对物体的万有引力大小相等，则有
解得
又有地球的质量为
所以重力加速度的表达式可写成
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为
的地球内部，
受到地球的万有引力为半径等于
的球体在其表面产生的万有引力，故“奋斗
者”号所在处的重力加速度
所以有
根据万有引力提供向心力有
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
“天和”的加速度为
则有
可得
故选C。
6．近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m 大关，我国的北斗导航系统也进
入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地
球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面
的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”
所在处的重力加速度的大小之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有
由于地球的质量
联立上式解得
根据题意，在深度为d 的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为（R－
d）的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度为
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立可得
对卫星，根据万有引力提供向心力有
解得加速度
所以
故选C。
7．影片《流浪地球》中地球脱离太阳系流浪的最终目标是进入离太阳系最近的比邻星
系的合适轨道，成为这颗恒星的行星。现实中欧洲南方天文台曾宣布在离地球最近的
比邻星发现宜居行星“比邻星b”，该行星质量约为地球的1.3 倍，直径约为地球的22
倍，绕比邻星公转周期11.2 天，与比邻星距离约为日地距离的5%，若不考虑星球的自
转效应，则（ ）
A．比邻星的质量大于太阳的质量
B．比邻星的密度小于太阳的密度
C．“比邻星b”的公转线速度大小小于地球的公转线速度大小
D．“比邻星b”表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
【答案】D
【详解】A．设某行星绕中心天体做圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力得
解得
则有
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知比邻星的质量小于太阳质量，故A 错误；
B．依据题中条件无法比较两者的密度关系，故B 错误；
C．根据线速度公式
，则有“比邻星b”的线速度与地球公转线速度之比
“比邻星b”的公转线速度大小大于地球的公转线速度大小，故C 错误；
D．在星球表面，重力与万有引力相等，则有
则有“比邻星b”的重力加速度与地球表面的重力加速度之比
即“比邻星 b”表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 正确。
故选D。
8．已知地球半径为R，A 为距离地心
的一个位置，B 为距离地球表面为R 的一颗人
造地球卫星，则A 位置的重力加速度大小与B 的加速度大小之比为（已知质量分布均
匀的球壳对内部空腔处任意位置的物体的万有引力为0，地球可视为质量分布均匀的
球体，忽略地球自转）（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【详解】对A，有
对B，有
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
故选A。
9．将一质量为m 的物体分别放到地球的南北两极点时，该物体的重力均为
。将该
物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg；假设地球可视为质量均匀分布的球体，
半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（ ）
A．
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为
D．地球的平均密度为
【答案】C
【详解】ABC．设地球质量为
，物体在南北两极点时，此时没有地球自转的向心力，
有
解得
在赤道时，有
所以有
联合解得
故AB 错误，C 正确；
D．根据
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
D 错误。
故选C。
二、多选题
10．如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m 的列车不需要引擎，
从入口的A 点由静止开始穿过隧道到达另一端的B 点，
为隧道的中点，
与地心O
的距离为
，假设地球是半径为R 的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加
速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P 点
到
的距离为x，则（ ）
A．列车在隧道中A 点的合力大小为mg
B．列车在P 点的重力加速度小于g
C．列车在P 点的加速度
D．列车在P 点的加速度
【答案】BD
【详解】A．列车在隧道中A 点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支
持力，如图所示
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则有
，
，
解得
A 错误；
B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P 点有
由于质量均匀分布，则有
解得
B 正确；
CD．令
，根据上述，则有
，
解得
C 错误，D 正确。
故选BD。
11．如图所示，在质量为M 且均匀分布的半径为R 的球内挖去半径为r 的球，在球外
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
两球的圆心连线上距球表面R 的位置放一质量为m 可视为质点的小球A，已知
，
两球心
间距离为
，则下列说法错误的是（ ）
A．剩余部分对小球A 的引力的方向在OA 连线上
B．剩余部分对小球A 的引力大小为
C．若将小球A 放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的
万有引力是相等的
D．被挖去部分的质量为
【答案】BC
【详解】D．在质量为M 且均匀分布的半径为R 的球内挖去半径为
的球，根据
质量与体积的关系可知被挖去部分的质量为
故D 正确；
AB．未挖去的球体对A 的万有引力为
挖去的球体对A 的万有引力为
剩余部分对A 的万有引力为
方向在OA 连线上
故A 正确，B 错误；
C．只有均匀分布的球壳对内部的物体的引力为零，即需要球壳空腔的圆心和O 点重
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
合，因此小球放进空腔内不同点的引力是不同的。
本题选择错误选项；故选BC。
12．如图所示，
是一个半径为
，质量为
的密度均匀球体的球心，现在其内以
为球心挖去一个半径为
的球，并在空心球内某点
放置一个质量为
的质点。若
已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则
球剩余部分对该质点的万有
引力（ ）
A．方向由
点指向
连线上某点
B．方向与
连线平行
C．大小为
D．大小为
【答案】BC
【详解】AB．设球的密度为
，则实心大球质量可表示为
由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故实心大球对P 点的引力
等于以
为半径的实心小球对质点P 的引力。以
为半径的实心小球的质量为
故以
为半径的实心小球对P 点的引力为
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
同理，以
为半径的实心小球的质量为
则以
为半径的实心小球对P 点的引力为
受力情况如图
由几何关系可知
故
A 错误，B 正确；
CD．由上述分析可知
解得
C 正确，D 错误。
故选BC。
13．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球
是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox，如
图所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x 轴上各位置受到
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的重力大小用F 表示，则如图所示的四个F 随x 的变化关系图错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】设地球的密度为ρ，当x≥R 时，物体所受的重力为
当x≤R 时，可将地球“分割”为两部分，一部分是厚度为（R-x）的球壳，一部分是半
径为x 的球体，由题目信息可知，物体所受的重力为
对比可知，A 选项的图正确，不符合题意。
故选BCD。
14．某行星的半径与地球的半径之比为k，密度与地球的密度相同，则行星与地球（
）
A．表面的重力加速度大小的比值为
B．表面的重力加速度大小的比值为k
C．第一宇宙速度的比值为
D．第一宇宙速度的比值为k
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】BD
【详解】AB．根据星球表面
解得
为定值，可知当行星的半径与地球的半径之比为
，密度相同时，表面的重力加
速度大小的比值为
，故A 错误，B 正确；
CD．第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，即
解得
可知当行星的半径与地球的半径之比为
，密度相同时，第一宇宙速度的比值为k，故
C 错误，D 正确。
故选BD。
15．2010 年6 月我国宇航员与俄罗斯宇航员一起进行了“模拟登陆火星”实验，已知
火星半径约是地球半径的
，质量约是地球质量的
，自转周期与地球基本相同。地
球表面重力加速度是g，若宇航员在地面上能竖直向上起跳的最大高度是h，在忽略火
星自转影响的条件下，下列分析正确的是（ ）
A．宇航员在火星表面受到的万有引力是地球表面受到的万有引力的
B．火星表面的重力加速度是
C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的
D．宇航员以相同的初速度在火星上竖直跳起时，跳起的最大高度是
【答案】CD
【详解】A．由万有引力定律得
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
故A 错误；
B．根据万有引力等于重力得
所以
故B 错误；
C．根据
解得第一宇宙速度
火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的
倍，半径是地球半径的
，则第一
宇宙速度是地球第一宇宙速度的
，故C 正确；
D．根据
知，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的
倍，则王跃以相同的初速度在
火星上起跳时，可跳的最大高度是
，故D 正确。
故选CD。
三、解答题
16．万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间
的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M（视为质量分布均匀的球
体），半径为R，引力常量为G。
（1）不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小；
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d 的矿井底部的重力
加速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）不考虑地球的自转，有
可得，在地球表面附近的重力加速度大小为
（2）设地球的平均密度为
，则地球的质量为
在矿井底部有
而
可得，深度为d 的矿井底部的重力加速度大小为
17．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r 处，
质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体对其的引力。如图所示，质量为M、半径
为R、球心为O 的密度均匀的球体表面R 处有一质量为
的质点Q，此时实心球O 对
Q 的万有引力为
（未知），从球O 中挖去一半径为
的球体
后，剩下部分为一
个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：
。求：
（1）质点Q 在距球心
的Q 处时，它受到球壳A 的万有引力大小；
（2）质点Q 在空腔球心
处时，它所受球壳A 的万有引力大小。
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律可得，实心球对Q 的万有引力为
设挖去部分的质量为
，根据
和
可得
则挖去部分对质点Q 的万有引力为
质点Q 在距球心
的Q 处时受到球壳A 的万有引力大小
（2）若将挖去的部分用原材料补回，可知球壳对质点的吸引力等于实心球对质点的吸
引力与挖去部分对质点Q 的吸引力之差；由题可知挖去部分的球心与质点重合，对质
点的引力为零；则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球对质点的万有引力。
根据题意实心球球体内部距离球心r 处的万有引力定律，有
解得
18．我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出了利用
“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
分别将等质量的待发射卫星部件同时释放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫
星并静止下来；另在通道的出口处由静止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道
与待发射的卫星碰撞，只要物体质量相比卫星质量足够大，卫星获得足够速度就会从
对向通道口射出。（以下计算中，已知地球的质量为
，地球半径为
，引力常量
为G，可忽略通道AB 的内径大小和地球自转影响。）
（1）如图甲所示，将一个质量为
的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离
球心O 的距离为r。已知天体内部半径在
之间的“球壳”部分（如甲示阴影部
分）对质点的万有引力为零，求质点所受万有引力的大小
。
（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h 处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB，一个
质量为m。的质点在离通道中心
的距离为x 处，求质点所受万有引力沿弦AB 方向的
分力
；将该质点从A 点静止释放，求质点到达通道中心
处时的速度大小
。
（3）如图丙所示，如果质量为m 的待发射卫星已静止在通道中心
处，由A 处静止
释放另一质量为M 的物体，物体到达
处与卫星发生弹性正碰，设M 远大于m，计算
时可取
。卫星从图丙示通道右侧B 处飞出，为使飞出速度达到地球第一宇宙速
度，h 应为多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当质点处于离球心O 的距离为r 时，内含球体质量
质点所受引力
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
整理有
（2）引力沿AB 方向的分力为
由上述分析可知，该力与x 成正比，由动能定理有
而
解得
（3）上式可知，质量为M 的物体到达
处时，速度大小为
，刚碰撞后，质量为M
的物体速度为V，质量为m 的物体速度为v，若规定速度由A 向B 为正，则
解得
返回过程中由动能定理
得
要使卫星飞出通道达到第一宇宙速度，须有
解得
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
19．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有
不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半
径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧
秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F1，求比值
的表达式，并就
的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值
的表达式。
【答案】（1）
，0.98；（2）
【详解】（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则
在北极上空高出地面h 处测量
则
当
时
（2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体
随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引
力和弹簧秤的作用力，有
得
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
20．近日我国一民用气球随风飘入美国境内，被网友戏称为“流浪气球”。“流浪气
球”最终被美国军方用导弹击中，该事件引发国际关注。据了解，美军出动战机发射
导弹打击“流浪气球”并未一击命中，成为笑谈．在高中知识范围内，有同学对“导
弹打气球”的情景进行一翻模拟分析，并将导弹飞行简化为炮弹飞行，现假设有一悬
浮的气球半径为
，球心离地高度约为
，军机悬停位置比气球球心
高约
，到球心水平距离约为
，取地球表面重力加速度
，地球半径约为
。试根据以上条件解决如下问题：
（1）求
与气球所处位置的重力加速度g 的比值
；（精确到小数点后第三位）
（2）炮弹发射后的轨迹与气球球心在同一竖直面内，历时
恰好从气球球心斜下
方擦着气球飞过，若炮弹发射后的运动可看做平抛运动，炮弹可视为质点，请结合如
下坐标系求出炮弹发出时的初速度。（重力加速度值取
计算）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设气球的质量为
，若气球在地球表面，则有
在离地H 高处有
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立解得
（2）设导弹以速度发射，恰从气球左下方擦过时速度与水平方向夹角为
，经历时
间导弹水平位移为
，竖直位移为
，则有
算得
由几何关系得
由几何关系得
水平方向有
联立解得
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
41
