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知识点31：应用万有引力定律分析计算多星运动
【知识思维方法技巧】
双星或多星问题解题技巧：
（1）确定系统模型及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统圆周运动的模型以及
运动的轨道半径。
（2）明确向心力：星体的向心力由其他天体对它的万有引力的合力提供。
（3）抓住角速度周期特点：星体的角速度周期相等。
（4）清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正
确计算万有引力和向心力。
考点一：应用万有引力定律分析计算双星运动
【知识思维方法技巧】
双星运动模型的特点：
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r.
1 1 1 2 2 2
（2）两颗星的周期、角速度相同，即T＝T＝2π，ω＝ω.
1 2 1 2
（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r＋r＝L.
1 2
（4）两颗星到圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝，总质量m＋m＝.
1 2 1 2
题型一：双星运动各运动参量的计算
【典例1基础题】月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个
由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可
知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为（ ）
A．1：6400 B．1:80 C． 80:1 D．6400:1
【典例1基础题】【答案】C
【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地
球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和
v r M
周期。因此有 m2r M2R ，所以V R m ，线速度和质量成反比，正确答案C。
【典例1基础题对应练习】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别
围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两
星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，
经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k倍，两星之间的距离变为原来的 n倍，则
此时圆周运动的周期为( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．T B．T C．T D．T
【典例1基础题对应练习】【答案】B
【解析】设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒
星距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：G＝m()2·r，对质量为M的
恒星：G＝M()2(L－r)，得G＝·L，即T2＝；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，
T′＝T，选项B正确．
题型二：双星运动各运动参量的定性分析
【典例2基础题】(多选)如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意
图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其
运动周期为T，则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
【典例2基础题】【答案】BD
【解析】设双星质量分别为m 、m ，轨道半径分别为R 、R ，角速度相等，均为ω，根
A B A B
据万有引力定律可知：G＝m ω2R , G＝m ω2R ，距离关系为：R ＋R ＝L，联立解得：＝，
A A B B A B
因为R >R ，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：
A B
v ＝ωR 、v ＝ωR ，因为角速度相等，轨道半径R >R ，所以A的线速度大于B的线速度，
A A B B A B
故B正确；又因为T＝，联立可得T＝2π，所以L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，
T越大，故C错误，D正确．
【典例2基础题对应练习】(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有
引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某
双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO>OB，则( )
A．星球A的角速度一定大于B的角速度
B．星球A的质量一定小于B的质量
C．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
D．双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
【典例2基础题对应练习】【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】双星系统中两星球的角速度相等，故A错误；根据万有引力提供向心力m ω2r ＝
A A
m ω2r ，因为r ＞r ，所以m ＜m ，即A的质量一定小于B的质量，故B正确；设两星体
B B A B A B
中心间距为L，根据万有引力提供向心力得：G＝m r ＝m r ，解得周期T＝2π，由此可知
A A B B
双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C正确；双星之间的距离
一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，故D错误．
题型三：双星运动质量的计算
【典例3基础题】银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体 S 和S
1 2
构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C做匀速圆周运动．由天
文观察测得其运动周期为T，S 到C点的距离为r ，S 和S 的距离为r，已知引力常量为
1 1 1 2
G.由此可求出S 的质量为( )
2
A. B. C. D.
【典例3基础题】【答案】D
【解析】取S 为研究对象，S 做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：G＝m()2r ，得：m
1 1 1 1 2
＝，故D正确．
【典例3基础题对应练习】科学家麦耶(M.Mayor)和奎洛兹(D.Queloz)对系外行星的研究而
获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在
相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星
之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G。据此可得，行星
的质量为( )
A．R2L B．RL2 C．L2(L－R) D．R2(L－R)
【典例3基础题对应练习】【答案】B
【解析】由题意可知，恒星与行星的周期、角速度相同，对恒星有G＝MR，解得行星的质
量m＝，故B正确，A、C、D错误。
考点二：应用万有引力定律分析计算三星运动
【知识思维方法技巧】
三星运动模型的特点：
（1）行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
（2）每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．注意利用几何知
识求轨道半径．
题型一：质量相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
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学科网（北京）股份有限公司质量相等的三星运动模型的特点：
（1）直线三星系统模型：三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在
同一半径为R的圆形轨道上运行(如图所示)。
（2）等边三角形三星系统模型：三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如
上图所示)。
【典例1基础题】(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星
体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成
形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一
种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图
乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，
引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
【典例1基础题】【答案】BD
【解析】在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力
提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T
＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 T＝4π，B项正确；同理，对三角形三星
系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝ ，C项错误；由2Gcos 30°＝ma
得a＝，D项正确．
【典例1基础题对应练习】(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种
三星系统如图所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.
忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万
有引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
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学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题对应练习】【答案】ABC
【解析】每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma
＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，故A、B、C正
确，D错误．
题型二：质量不相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等三星运动模型的特点：
利用向心力的交点找出三星圆周运动的圆心。
【典例2基础题】某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统
周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的
一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为( )
A. B. C. D.
【典例2基础题】【答案】A
【解析】设恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，则有＝m·，解得T ＝πl，设黑洞
理论
的质量为m′，则＋＝m·，解得T ＝πl，又因为T ＝kT ，联立解得＝，故选A。
观测 理论 观测
考点三：应用万有引力定律分析计算四星运动
题型一：质量相等正方形四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量相等正方形四星运动模型的特点：
（1）如图所示，四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动。
【典例1基础题】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，
通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为
R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星
系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
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学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题】【答案】B
【解析】四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角
线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 a，
故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C
正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m×，解得T＝2πa ，故D正确．
题型二：质量不相等正三角形（菱形）四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等正三角形四星运动的特点：
（1）如图所示，外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
（2）三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心 O
点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
【典例2基础题】某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤
立星系。一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星
做圆周运动。如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F，
则下列说法不正确的是( )
A．每颗小星受到3个万有引力作用
B．每颗小星受到的万有引力为
C．母星的质量是每颗小星质量的3倍
D．小星围绕母星做圆周运动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等
【典例2基础题】【答案】B
【解析】根据万有引力定律可知，任意两颗星之间都存在万有引力作用，故四颗星中任一
颗星都受到另外三颗星的万有引力作用，故A正确；假设每颗小星的质量为m，母星的质
量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为 ;根据万有引力定
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学科网（北京）股份有限公司律，两颗小星间的万有引力为 ,母星与任意一颗小星间的万有引力为
联立得 ;根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星
的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为
故B错误，C正确；三小星围绕母星做圆周运
动，小星的质量相同、半径相同、所受万有引力相同，根据万有引力提供圆周运动的向心
力可知，它们做圆周运动的周期、角速度、线速度大小相等，故D正确。
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