文档内容
知识点31：应用万有引力定律分析计算多星运动
【知识思维方法技巧】
双星或多星问题解题技巧：
（1）确定系统模型及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统圆周运动的模型以及
运动的轨道半径。
（2）明确向心力：星体的向心力由其他天体对它的万有引力的合力提供。
（3）抓住角速度周期特点：星体的角速度周期相等。
（4）清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正
确计算万有引力和向心力。
考点一：应用万有引力定律分析计算双星运动
【知识思维方法技巧】
双星运动模型的特点：
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r.
1 1 1 2 2 2
（2）两颗星的周期、角速度相同，即T＝T＝2π，ω＝ω.
1 2 1 2
（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r＋r＝L.
1 2
（4）两颗星到圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝，总质量m＋m＝.
1 2 1 2
题型一：双星运动各运动参量的计算
【典例1拔尖题】(多选)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．若图中
双黑洞的质量分别为M 和M ，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据
1 2
所学知识，下列说法中正确的是( )
A．双黑洞的角速度之比ω∶ω＝M∶M
1 2 2 1
B．双黑洞的轨道半径之比r∶r＝M∶M
1 2 2 1
C．双黑洞的线速度大小之比v∶v＝M∶M
1 2 1 2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a∶a＝M∶M
1 2 2 1
【典例1拔尖题】【答案】BD
【解析】双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；
双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的
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学科网（北京）股份有限公司距离为L，由Mω2r ＝Mω2r ，得r∶r ＝M∶M ，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速
1 1 2 2 1 2 2 1
度大小之比为v∶v ＝r∶r ＝M∶M ，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小
1 2 1 2 2 1
之比为a∶a＝r∶r＝M∶M，D正确．
1 2 1 2 2 1
题型二：双星运动各运动参量的定性分析
【典例2拔尖题】(多选) 2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒
星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质
量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星
的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系
统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短
时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．它们的万有引力大小变大
B．它们的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大
D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小
【典例2拔尖题】【答案】AC
【解析】质量较大的M 和质量较小的M 之间的万有引力F＝G，结合数学知识可知M ＝
1 2 1
M 时，MM 有最大值，根据题意，质量较小的黑洞 M 吞噬质量较大的恒星M ，所以万
2 1 2 2 1
有引力变大，A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有 G＝MR ，G＝
1 1
MR ，解得两天体质量的表达式M＝R ，M＝R ，两天体总质量的表达式M＋M＝(R ＋
2 2 2 1 1 2 1 2 1
R )＝，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小
2
质量的黑洞M 质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R 增大，根据v＝可知恒星的线速度
2 1
增大，C正确，D错误．
题型三：双星运动质量的计算
【典例3拔尖题】（多选）中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通
过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太
空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T ，它们的轨道半
1
径分别为R 、R ，且R 1)，科学家推测，
在以两星球球心连线为半径的球体空间中均匀分布着暗物质，设恒星质量为 M，据此推测，
暗物质的质量为( )
A．k2M B．4k2M C．(k2－1)M D．(4k2－1)M
【典例3拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】球体空间中均匀分布着暗物质，设暗物质质量为 m，行星质量为m ，球心距离为
0
R，由万有引力定律，G＝mR，G＝mR，＝k(k>1)，解得m＝(k2－1)M，故C正确，A、
0 0
B、D错误．
考点二：应用万有引力定律分析计算三星运动
【知识思维方法技巧】
三星运动模型的特点：
（1）行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
（2）每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．注意利用几何知
识求轨道半径．
题型一：质量相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
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学科网（北京）股份有限公司质量相等的三星运动模型的特点：
（1）直线三星系统模型：三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在
同一半径为R的圆形轨道上运行(如图所示)。
（2）等边三角形三星系统模型：三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如
上图所示)。
【典例1拔尖题】（多选）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成
的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种
基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆
轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形
的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(
)
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝ R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【典例1拔尖题】【答案】BC
【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系
统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR ，选项B正确；对三角形三星系统根
据万有引力和牛顿第二定律可得2Gcos 30°＝M·，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三
星系统的线速度大小为v＝＝，代入解得v＝··，选项D错误．
【典例1拔尖题对应练习】宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三
星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，
忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万
有引力常量为G。下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
【典例1拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】任意两个星之间的万有引力为F＝G，则其中一颗星所受的合力F ＝2Fcos 30°＝
合
F＝G，根据G＝ma＝m＝mrω2＝mr及r＝L，解得ω＝ ，a＝，T＝2π，v＝，故选项A错
误；加速度与三星的质量有关，故选项B错误；若距离L和每颗星的质量m都变为原来的
2倍，则周期变为原来的2倍，线速度大小不变，故选项C正确、D错误。
题型二：质量不相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等三星运动模型的特点：
利用向心力的交点找出三星圆周运动的圆心。
【典例2拔尖题】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动
形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某
一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星
体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形
的边长为a，万有引力常量G已知，求：
（1）A星体所受合力的大小FA；
（2）B星体所受合力的大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
【典例2拔尖题】【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
,
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学科网（北京）股份有限公司则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
则合力大小为 ， ．
可得
（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由 可得
100U
0
U=
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考点三：应用万有引力定律分析计算四星运动
题型一：质量相等正方形四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量相等正方形四星运动模型的特点：
（1）如图所示，四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动。
【典例1拔尖题】(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图2所
示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们
的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为
G，则( )
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学科网（北京）股份有限公司A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度大小为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关
【典例1拔尖题】【答案】AD
【解析】由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的
轨道半径r＝a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点
做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：G＋2Gcos 45°＝m，解得v＝，角速度
为ω＝＝ ，周期为T＝＝2π，加速度a＝＝，故选项A、D正确，B、C错误．
【典例1拔尖题对应练习】宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般
离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．四星系统通常有两种构成形式
一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)，二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上
运动．若每个星体的质量均为m，引力常量为G.
(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式．
(2)若相邻星球的最小距离为a，求两种构成形式下天体运动的周期之比．
【典例1拔尖题对应练习】【答案】(1)见解析 (2)
【解析】(1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行的星球受到的另三个星球的
万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡
由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中
心星为中心的等边三角形的三个顶点上，如图甲所示．
(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有
2Gcos 30°＋G＝ma；解得T＝；对正方形模式，如图乙所示，四星的轨道半径均为 a，同
理有；2Gcos 45°＋G＝m·a；解得T＝
故＝
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学科网（北京）股份有限公司题型二：质量不相等正三角形（菱形）四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等正三角形四星运动的特点：
（1）如图所示，外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
（2）三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心 O
点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
【典例2拔尖题】据天文学家推测，存在这样的平面四星系统，四颗恒星分别位于菱形的
四个顶点，绕菱形的中心点、在菱形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，位于对角的
两颗恒星质量相等。根据测量可知菱形的一个顶角为2θ，位于该顶角的恒星的质量为m，
1
位于相邻顶角的恒星的质量为m，则＝( )
2
A． B． C． D．
【典例2拔尖题】【答案】A
【解析】设菱形的边长为L，恒星角速度为ω，则m 的运动半径为r＝Lcos θ，m 的运动
1 1 2
半径为r＝Lsin θ。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别对m 和m 有
2 1 2
cos θ＋＝mrω2，sin θ＋＝mrω2，把上面的半径代入，联立这两个方程可解得＝，故选
1 1 2 2
项A正确。
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