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模型17 万有引力定律相关计算及与重力的关系
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1.特殊情况的万有引力定律应用：
(1)用万有引力定律的两个推论计算万有引力
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合
力为零，即∑F＝0。
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有
引力等于球体内半径为r 的同心球体(M′)对它的引力，即
。
(2)填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主
要体现了等效思想。
2.万有引力与重力的关系
(1) 地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,
①在赤道上: G Mm
R2 =mg+mω2 R
.
②在两极上: G Mm
R2 =mg
.
③一般位置: G Mm
R2 =mg+mω2r
.
式中r 为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g 值越大，由于物体随地球
自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G Mm
R2 =mg
.
(2) 星球上空的重力加速度g′
01 模型概述
1
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星球上空距离星体中心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，G
Mm
(R+h)2=m g
'
，得g'=
GM
(R+h)2 .
所以
g'
g =
R2
(R+h)2 ，式中g 为地球表面附近重力加速度.
1.特殊情况的万有引力定律应用
【典型题1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图1 所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O 相距
2R 的P 处有一质量为m 的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为
的小
球体（球心在OP 连线上，右端位于O 点），如图2 所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（
）
A．
B．
C．
D．
2. 万有引力与重力的关系
【典型题2】（2024·山西·一模）2023 年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可
上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为
，空间站离
地面的高度为
。假设地球质量分布均匀，半径为
，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳
对壳内物体的引力为零，则深度为
处和高度为
处的重力加速度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 典题攻破
2
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一、单选题(本题共7 小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、
多选、错选均不得分)
1．（2022·新疆·一模）上世纪70 年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模
的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d 时，井底一个质量为m 的小球与地球之间的万有引力为
F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万
有引力常量为G，则F 大小等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏·模拟预测）帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。如
果把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说法中正确的是（ ）
A．帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心 B．帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心
C．帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力 D．帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力
3．（2024·贵州贵阳·三模）亚地球行星GJ367b 是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径
的72%，质量为地球质量的55%。若取
，则该行星的表面重力加速度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·贵州·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均
匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x 表示某位置到该星
03 针对训练
3
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球球心的距离，用g 表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g 与x 的关系图像可能
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M 的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心
之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，
剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）中国将全面推进探月工程四期，计划2026 年前后发射嫦娥七号。嫦娥七
号准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。嫦娥七号探测器
在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为
；当探测器停在月球的南极
时，测得重力加速度的大小为
。已知月球自转的周期为
，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力
加速度为（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
7．（2023·浙江·模拟预测）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为
的地方有一
质量为m 的质点。现从球体中挖去半径为
的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分
对m 的万有引力为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本题共3 小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部
选对的得全分,选对但不全的得一半分,有选错的得0 分)
8．（2023·北京海淀·模拟预测）某科研小组在某深为d 的矿井处测得一单摆的周期为T，先将这同一单摆
移到地面测得其周期为T0；再将这一单摆移到某高山顶上测得其周期也是T，假定地球的密度均匀。
已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常数为G。则根据题给已知条件可以求出的
物理量正确的是（ ）
A．地球的半径R
B．地球的质量M
C．地球表面的重力加速g
D．高山的海拔高度h
9．（2020·山东济南·模拟预测）地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已
知地球质量
，地球半径R，引力常量G，以下说法正确的是（ ）
A．若地球自转角速度为
，地球赤道处重力加速度的大小为
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B．若地球自转角速度为
，地球两极处重力加速度的大小为
C．若忽略地球的自转，以地球表面A 点正下方h 处的B 点为球心，
为半径挖一个球形的防空洞，
则A 处重力加速度变化量的大小为
D．若忽略地球的自转，以地球表面A 点正下方h 处的B 点为球心、
为半径挖一个球形的防空洞，
则A 处重力加速度变化量的大小为
10．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车
及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设
火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b 倍，地球表
面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（ ）
A．火星表面重力加速度为
B．火星表面重力加速度为
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径
处的重力加速度为
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径
处的重力加速度为
三、计算题（本题共2 小题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出
最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
11．（2023·贵州铜仁·二模）我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出了
利用“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处分别将等质量
的待发射卫星部件同时释放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来；另在通道的出口
处由静止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞，只要物体质量相比卫星质量
足够大，卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。（以下计算中，已知地球的质量为
，地球半径
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为
，引力常量为G，可忽略通道AB 的内径大小和地球自转影响。）
（1）如图甲所示，将一个质量为
的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离球心O 的距离为
r。已知天体内部半径在
之间的“球壳”部分（如甲示阴影部分）对质点的万有引力为零，求质点
所受万有引力的大小
。
（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h 处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB，一个质量为m。的质点
在离通道中心
的距离为x 处，求质点所受万有引力沿弦AB 方向的分力
；将该质点从A 点静止释放，
求质点到达通道中心
处时的速度大小
。
（3）如图丙所示，如果质量为m 的待发射卫星已静止在通道中心
处，由A 处静止释放另一质量为M
的物体，物体到达
处与卫星发生弹性正碰，设M 远大于m，计算时可取
。卫星从图丙示通道
右侧B 处飞出，为使飞出速度达到地球第一宇宙速度，h 应为多大？
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