文档内容
知识点31：应用万有引力定律分析计算多星运动
【知识思维方法技巧】
双星或多星问题解题技巧：
（1）确定系统模型及半径：明确双星或多星的特点、规律，确定系统圆周运动的模型以及
运动的轨道半径。
（2）明确向心力：星体的向心力由其他天体对它的万有引力的合力提供。
（3）抓住角速度周期特点：星体的角速度周期相等。
（4）清楚星体的轨道半径不是天体间的距离：要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正
确计算万有引力和向心力。
考点一：应用万有引力定律分析计算双星运动
【知识思维方法技巧】
双星运动模型的特点：
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r.
1 1 1 2 2 2
（2）两颗星的周期、角速度相同，即T＝T＝2π，ω＝ω.
1 2 1 2
（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r＋r＝L.
1 2
（4）两颗星到圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝，总质量m＋m＝.
1 2 1 2
题型一：双星运动各运动参量的计算
【典例1提高题】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围
绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成
的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为 T，恒
星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1
【典例1提高题】【答案】A
【解析】两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小
相等，即Mr ＝3Mr ，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为r ∶r ＝3∶1，故选项B、D
A B A B
错误；设两恒星相距L，则r ＋r ＝L，r ＝L，根据牛顿第二定律有：Mr ＝G，解得L
A B A A
＝， 选项A正确； 由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：双星运动各运动参量的定性分析
【典例2提高题】 (多选)天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，
证实了GW150914是两个黑洞并合的事件。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质
量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距
缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这
两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等
C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小
D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
【典例2提高题】【答案】BC
【解析】由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度 ω相
等，由F ＝mω2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由 v＝ωr知，
n
线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m 和m，轨道半径
1 2
分别为r 和r ，有＝m2r 、＝m2r ，联立可得＝，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的
1 2 1 1 2 2
向心力大小相等，由牛顿第二定律 a＝可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小 a∶a ＝
1 2
29∶36，D错误。
【典例2提高题对应练习】引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发
现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为
理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕 O点做匀速圆周运
动。由于双星间的距离减小，则( )
A．两星的运动周期均逐渐减小 B．两星的运动角速度均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小 D．两星的运动线速度均逐渐减小
【典例2提高题对应练习】【答案】A
【解析】双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力。根据
G＝mrω2＝mrω2，知mr ＝mr ，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离减小，
1 1 2 2 1 1 2 2
则双星的轨道半径都变小，根据万有引力提供向心力，知角速度变大，周期变小，故 A正
确，B错误；根据G＝ma＝ma 知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根
1 1 2 2
据G＝m，解得v＝ ，由于L平方的减小比r 的减小量大，则线速度增大，故D错误。
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学科网（北京）股份有限公司题型三：双星运动质量的计算
【典例3提高题】如图“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上 O点做匀速圆周运动，
彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜
观察这种双星，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，
已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A． B． C． D．
【典例3提高题】【答案】B
【解析】设A、B两天体的轨道半径分别为r 、r ，两者做圆周运动的周期相同，设为T′，
1 2
由于经过时间T两者在此连成一条直线，故T′＝2T
对两天体，由万有引力提供向心力可得G＝m 2r，G＝m 2r
A 1 B 2
其中d＝r＋r，联立解得m ＋m ＝，故B正确。
1 2 A B
【典例3提高题对应练习】（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的
引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s时，它们相距约 400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，
由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(
)
A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度
【典例3提高题对应练习】【答案】BC
【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示，每秒转动 12圈，角速度已知，中子
G(m +m )
星运动时，由万有引力提供向心力得＝mω2r ，＝mω2r ，l＝r ＋r 得 1 2 ＝ω2l，
1 1 2 2 1 2 l2
所以m ＋m ＝，质量之和可以估算。由线速度与角速度的关系v＝ωr得v ＝ωr ，v ＝
1 2 1 1 2
ωr ，得v ＋v ＝ω(r ＋r)＝ωl，速率之和可以估算。质量之积和各自自转的角速度无法求
2 1 2 1 2
解。
考点二：应用万有引力定律分析计算三星运动
【知识思维方法技巧】
三星运动模型的特点：
（1）行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
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学科网（北京）股份有限公司（2）每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．注意利用几何知
识求轨道半径．
题型一：质量相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量相等的三星运动模型的特点：
（1）直线三星系统模型：三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在
同一半径为R的圆形轨道上运行(如图所示)。
（2）等边三角形三星系统模型：三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如
上图所示)。
【典例1提高题】如图所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三角形三
个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不
计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A. 三颗星体的质量可能不相等
B. 某颗星体的质量为
C. 它们的线速度大小均为
D. 它们两两之间的万有引力大小为
【典例1提高题】【答案】D
【解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝ ＝ l。根据题意可知其中任意
两颗星体对第三颗星体的合力指向外接圆的圆心，所以任意两颗星体对第三颗星体的
万有引力等大，由于这两颗星体到第三颗星体的距离相等，故这两颗星体的质量相等，
所以三颗星体的质量一定相等，设为m，则2G cos 30°＝m· · l，解得m＝ ，
它们两两之间的万有引力大小为F＝G ＝G ＝ ，A、B错误，D正确；它们
的线速度大小均为v＝ ＝ · l＝ ，C错误。
【典例1提高题对应练习】(多选)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故
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学科网（北京）股份有限公司事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统(如图)，三星的质量相等、半径
均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为 d(d≫R)，三星绕O点做
周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(
)
A. 匀速圆周运动的半径为 d
B. 每个星球的质量为
C. 每个星球表面的重力加速度大小为
D. 每个星球的第一宇宙速度大小为
【典例1提高题对应练习】【答案】BD
【解析】如图所示，三星均围绕边长为d的等边三角形的中心O做匀速圆周运动，由几何
关系，匀速圆周运动的半径r＝ ＝ d，故A错误；设星球的质量为M，两个星
球间的万有引力F ＝ ，如图所示，星球做匀速圆周运动的向心力F ＝2F cos 30°，
万 n 万
由F ＝M( )2r，可得M＝ ，故B正确；星球表面重力近似等于万有引力，万有引力
n
提供绕星球做匀速圆周运动的向心力，有mg＝ ＝m ，结合M＝ 可得星球表面
的重力加速度g＝ 、星球的第一宇宙速度v＝ ，故D正确，C错误．
题型二：质量不相等的三星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等三星运动模型的特点：
利用向心力的交点找出三星圆周运动的圆心。
【典例2提高题】（多选）如图所示，A、B、C三颗行星组成一个独立的三星系统，在相
互的万有引力作用下，绕一个共同的圆心 O做角速度相等的圆周运动，已知 A、B两星的
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学科网（北京）股份有限公司质量均为m，C星的质量为2m，等边三角形的每边长为L，则( )
A．C星做圆周运动的向心力大小为G
B．A星所受的合力大小为G
C．B星的轨道半径为L
D．三个星体做圆周运动的周期为2π
【典例2提高题】【答案】BC
【解析】C星做圆周运动的向心力大小为F ＝2F cos 30°＝G＝2G，选项A错误；A星所
C AC
受的合力大小为F ＝，其中F ＝，F ＝，解得F ＝G，选项B正确；因A、B所受的合
A BA CA A
力相等，均为F ＝F ＝G，由几何关系可知＝，解得R ＝L，选项C正确；对星球B：G＝
A B B
mR ，解得T＝π，选项D错误。
B
考点三：应用万有引力定律分析计算四星运动
题型一：质量相等正方形四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量相等正方形四星运动模型的特点：
（1）如图所示，四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动。
【典例1提高题】（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四
星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为 m，
半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于
四星系统，下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
【典例1提高题】【答案】ACD
【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，
围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B
错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有
引力定律和向心力公式得＋＝m·，T＝2πa，故D正确．
【典例1提高题对应练习】(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m
的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运
动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A. 星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B. 每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C. 若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的
两倍
D. 若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【典例1提高题对应练习】【答案】BD
【解析】四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的
圆心一定是正方形的中心，故A错误；由 G ＋G ＝( ＋ )G ＝mω2· L，
可知ω＝ ，故B正确；由( ＋ )G ＝ma可知，若边长L和星体质量m
均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的 ，故C错误；由( ＋ )G
＝m 可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和
星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：质量不相等正三角形（菱形）四星运动模型
【知识思维方法技巧】
质量不相等正三角形四星运动的特点：
（1）如图所示，外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
（2）三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心 O
点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
【典例2提高题】（多选）某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星
组成的孤立星系．一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星
围绕母星做圆周运动。如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引
力为9F，则( )
A．每颗小星受到的万有引力为(＋9)F B．每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
C．母星的质量是每颗小星质量的3倍 D．母星的质量是每颗小星质量的3倍
【典例2提高题】【答案】AC
【解析】每颗小星受到的万有引力为2Fcos 30°＋9F＝(＋9)F，选项A正确，选项B错误；
由万有引力定律和题意知G＝9G，解得M＝3m，选项C正确，选项D错误．
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