文档文本内容
专题五 万有引力与航天
课标解读
考情分析 备考指导
考点 内容
．通过史实 了解万有引力定律的发现 本专题考查的学科素养主要是物理观
１ ，
过程 念 科学思维 具体内容 ．开普勒行 ．本专题是万有引力定律在天体运行
。 ， 。 ：１ １
万有引力定律 ．知道万有引力定律 星运动定律 ．万有引力定律 ．引力常 中的应用 注意同步卫星是与地球相
２ 。 ；２ ；３ ，
及其应用 ．认识发现万有引力定律的重要意义 量 ．利用万有引力定律研究天体运 对静止的卫星 而双星或多星模型有
３ 。 ；４ ；
．认识科学定律对人类探索未知世界 动 ．天体质量和密度的计算 可能没有中心天体
４ ；５ 。 。
的作用 命题趋势 万有引力定律在航空航天领 ．学好本专题有助于学生加深对万有
。 ： ２
域的应用 月球的探测 嫦娥系列 多 引力定律的灵活应用 加深对力和运
、 、 。 ，
以选择题形式出现 几乎每年必考 通 动关系的理解
， 。 。
过航空航天科学技术让考生认识科学 ．需要用到的知识 牛顿第二定律 万
人造卫星、宇宙 ．会计算人造地球卫星的环绕速度 ３ ： 、
１ 。 本质 形成良好的科学态度及社会责 有引力定律 圆周运动规律等
航行 ．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 ， 、 。
２ 。 任感
。
命题立意 解题指导 拓展延伸
本题以 嫦娥四号 探测器围绕月球运行 解答此题的难点在于引力常量Ｇ并不是 万有引力定律的应用一直是高考的重点
“ ” ，
为背景 考查万有引力定律 黄金代换公 已知量 因此应先用已知量表示出引力常 也是高频考点 黄金代换公式 天体表面
， 、 ， ， 、
式 意在考查学生的分析 推理能力 体 量 这就用到了高中物理的一个特殊公 的第一宇宙速度都是近几年高考经常出
， 、 。 ，
现了物理学科核心素养中物质观念 运动 式 黄金代换公式 再根据月球对 嫦 现的题目 本题还可以延伸到关于距离天
、 ——— ； “ ，
与相互作用观念 科学推理等要素 娥四号 的万有引力提供其做圆周运动的 体不同高度处重力加速度的求解 关于不
、 。 ” ，
向心力 列出式子即可求得 嫦娥四号 做 同卫星绕地球运行的轨道参量的比较等
， “ ” 。
圆周运动的速率 答案解析见
。 Ｐ２９２
专题五 万有引力与航天 ２９３０ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理
Ｍｍ Ｍ
为重力和万有引力近似相等 即Ｇ ｍｇ 常用ｇ Ｇ 来计算
， Ｒ２ ＝ ， ＝ Ｒ２
星球表面的重力加速度
。
考点一 万有引力定律及其应用
１．开普勒行星运动定律
开普勒第一定律 轨道定律 所有的行星围绕太阳运
（１） （ ）：
行的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦点上
， 。
开普勒第二定律 面积定律 对于每一个行星而言 太
（２） （ ）： ，
阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
。
开普勒第三定律 周期定律 所有行星的轨道的半长
（３） （ ）：
在地球同一纬度处 重力加速度随物体离地面高度的增加
ａ３ ，
轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 即 ｋ
， Ｔ２ ＝ 。 而减小 ， 因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减
２．万有引力定律
小 即 ｇ′ Ｇ
Ｍ
万有引力定律
， ＝
（
Ｒ
＋
ｈ
）
２。
（１） ３．天体质量和密度的计算
自然界中任何两个物体都相互吸引 引力的方向在它们
，
内容 的连线上 引力的大小与物体的质量ｍ 和ｍ 的乘积成 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
， １ ２
正比 与它们之间距离ｒ的平方成反比 Ｍｍ ２ ２ｒ３
， ｒ Ｔ Ｇ ｍｒ４π Ｍ ４π
、 ｒ２ ＝ Ｔ２ ＝ ＧＴ２
ｍ ｍ
公式 Ｆ ＝ Ｇ １ ｒ２ ２ ， 引力常量Ｇ ＝６ ． ６７×１０ －１１ Ｎ·ｍ ２ ／ｋｇ ２
利用运行
ｒ
、
ｖ Ｇ Ｍ
ｒ２
ｍ
＝
ｍ ｖ
ｒ
２ Ｍ
＝
ｒ
Ｇ
ｖ２ 只能得到
质 中心天体
①
两质点间的作用
量
天体
Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
的质量
适用条件
②
可视为质点的物体间的作用 的
计 ｖ Ｔ
ｒ２ ＝ ｒ
Ｍ
ｖ３Ｔ
③ 质量分布均匀的球体间的作用 算 、 Ｇ Ｍｍ ｍｒ４π ２ ＝ ２π Ｇ
引力常量
ｒ２ ＝ Ｔ２
（２） 利用天体
数值 ． －１１ ２ ２ 表面重力 ｇ Ｒ ｍｇ ＧＭｍ Ｍ ｇＲ２
６６７×１０ Ｎ·ｍ ／ｋｇ 、 ＝ Ｒ２ ＝ Ｇ —
测定人 英国物理学家卡文迪什 加速度
物 意 理 义 数 引 值 力 上等于两个质量都是 １ ｋｇ 的物体相距 １ ｍ 时的相互 利用运 Ｇ Ｍ ｒ２ ｍ ＝ ｍｒ４ Ｔ π ２ ２ ρ ＝Ｇ ３ Ｔ π ２ ｒ Ｒ ３ ３ 利 卫 用 星 近 只 地 需
ｒ Ｔ Ｒ 当ｒ Ｒ时
密 行天体 、 、 ＝ 测出其运
测定 ① 有力地证明了万有引力的存在 度 Ｍ ＝ ρ · ４ π Ｒ３ ρ ３π 行周期
意义 使定量计算得以实现 的 ３ ＝ＧＴ２
② 计
算 利用天体 ｍｇ ＧＭｍ
＝ Ｒ２ ｇ
实 表面重力 ｇ Ｒ ρ ３
、 ＝ ＧＲ —
验 加速度 Ｍ ρ ４ Ｒ３ ４π
装 ＝ · π
置 ３
Ｐ 石英丝 Ｍ 平面镜 Ｏ 光源 Ｎ 刻度尺 Ｑ 倒立 形架
： ： ： ： ： Ｔ 考点二 人造卫星、宇宙航行
主要思想 放大
实 ： 一、三个宇宙速度
验 利用四个球间引力
①
思 利用 形架的转动即利用力矩增大引力的可观察效果
想 ② Ｔ
利用小平面镜对光的反射来增大可测量的扭转角度
③
引力与重力的关系
（３）
重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的
；
万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力
。
如图所示 Ｆ 产生两个效果 一是提供物体随地球自转所
， 引 ：
需的向心力
；
二是产生物体的重力
。
由于 Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
，
随纬度的
增大而减小 所以物体的重力随纬度的增大而增大 即重力加速
， ，
度从赤道到两极逐渐增大 但Ｆ 一般很小 在一般情况下可认
。 向 ，
哥白尼 波兰的天文学家，哥白尼上中学时就对天文学很感兴趣。 他相信研究天文学只有两件法宝：数
学和观测。 他不辞劳苦，克服困难，每天坚持观测天象， 年如一日，终于取得了可靠的数据，提出了“日心说”，并在
３０
临终前终于出版了他的不朽名著《天球运行论》。 哥白尼的“日心说”沉重地打击了教会的宇宙观，这是唯物主义和
唯心主义斗争的伟大胜利。 哥白尼是欧洲文艺复兴时期的一位巨人。
专题五 万有引力与航天 ３１
二、同步卫星的六个“一定”
第谷 丹麦天文学家。 年 月 日生于丹麦斯科（今属瑞典），卒于 年 月 日。 自幼过
１５４６ １２ １４ １６０１ １０ ２４
继给伯父约尔根·布拉赫为子，受到良好的教育，曾先后在哥本哈根大学、莱比锡大学、罗斯托克大学、巴塞尔大学等
多所大学求学。 第谷是一位杰出的观测家，但他的宇宙观却是错误的。 第谷本人不接受任何地动的思想。 他认为所
有行星都绕太阳运动，而太阳率领众行星绕地球运动。 他的体系是属于地心说的。
续表
ＧＭ
角速度ω ω 即ω １
＝ ｒ３ ， ∝ ｒ３
拓展一 对重力的理解、重力与万有引力的区别
周期Ｔ Ｔ ４π
２ｒ３
即Ｔ ｒ３
１．地球表面物体的重力与万有引力 ＝ ＧＭ ， ∝
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果 其中一个 ２．人造地球卫星的轨道
，
分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力 另一个分力等于 由于万有引力提供向心力 因此所有人造地球卫星的轨道
， ，
重力 在两极 向心力等于零 重力等于万有引力 除两 圆心都在地心上
。 （１） ， ， ；（２） 。
极外 物体的重力都比万有引力小 在赤道处 物体的万有引 赤道轨道 卫星的轨道在赤道平面内 同步卫星轨道就
， ；（３） ， （１） ： ，
力分解为两个分力 Ｆ 和 ｍｇ 两分力在一条直线上 有 Ｆ 是其中的一种
（ 向 ）， ， ＝ 。
ＧＭｍ 极地轨道 卫星的轨道过南北两极 即在垂直于赤道的
Ｆ
向＋
ｍｇ
，
所以ｍｇ
＝
Ｆ
－
Ｆ
向＝ Ｒ２ －
ｍＲω２
。 平面
（
内
２）
如极地气象
：
卫星轨道
，
， 。
２．黄金代换公式 其他轨道 除以上两种轨道外的卫星轨道 轨道平面一
（３） ： ，
物体在地球表面附近 脱离地面 绕地球转时 物体所受的 定通过地球的球心
（ ） ， 。
ＧＭｍ
重力等于万有引力 即ｍｇ Ｒ为地球半径 ｇ为地球表面
， ＝ Ｒ２ ， ， 拓展三 宇宙速度的理解与计算
附近的重力加速度 上式变形得黄金代换公式ＧＭ ｇＲ２ １．第一宇宙速度的推导
， ＝ 。
３．距地面一定高度处物体的重力与万有引力
Ｍｍ ｖ２ ＧＭ
ＧＭｍ 方法一 由Ｇ ｍ 得ｖ ． ３
物体在距地面一定高度 ｈ 处绕地球转时 ｍｇ′ Ｒ ： Ｒ２ ＝ Ｒ １＝ Ｒ ＝７９×１０ ｍ／ｓ。
， ＝
（
Ｒ
＋
ｈ
）
２，
ｖ２
为地球半径 ， ｇ′为该高度处的重力加速度 ， 可得ＧＭ ＝ ｇ′ （ Ｒ ＋ ｈ ） ２ 。 方法二 ： 由ｍｇ ＝ ｍ Ｒ 得ｖ １＝ ｇＲ ＝７ ． ９×１０ ３ ｍ／ｓ。
４．在匀质球体 质量为 Ｍ 内部距离球心 ｒ
（ ） 第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度 也是地球
处的质点 质量为ｍ 受到的万有引力等于球体 ，
（ ） 人造卫星的最大环绕速度
内半径为ｒ的同心球体 质量为Ｍ′ 对其的万有 。
（ ） ２．宇宙速度与运动轨迹的关系
引力 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为
（ ｖ ． 时 卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动
Ｍ′ｍ Ｍ′ Ｍ （１） 发＝７９ｋｍ／ｓ ， 。
即Ｆ Ｇ 而 而该处物体的重力 ． ｖ ． 时 飞行器绕地球运动的轨迹
０）， ＝ ｒ２ ， ｒ３ ＝Ｒ３， （２）７９ ｋｍ／ｓ＜ 发＜１１ ２ ｋｍ／ｓ ，
为椭圆
ＧＭｒ３ｍ ＧＭｍ 。
在数值上等于该处的万有引力 则有 ｍｇ′ 得 ｒ ． ｖ ． 时 飞行器绕太阳做椭圆运动
， Ｒ３ｒ２ ＝ ， Ｒ３ ＝ （３）１１２ｋｍ／ｓ≤ 发＜１６７ｋｍ／ｓ ， 。
ｖ ． 时 卫星将挣脱太阳引力的束缚 飞到太
ｍｇ′ 因此球体内距球心ｒ处的重力随着ｒ的增大成正比增加 （４） 发≥１６７ ｋｍ／ｓ ， ，
。 。 阳系以外的空间
。
拓展二 人造卫星的轨道参量 例１ 多选 美国国家科学基金会宣布 天文学家发现一
（ ） ，
１．卫星的轨道参量随轨道半径变化的规律 颗迄今为止与地球最类似的行星 该行星绕太阳系外的红矮星
，
做匀速圆周运动 这颗行星距离地球约 光年 公转
Ｍｍ ｖ２ Ｇｌｉｅｓｅ５８１ 。 ２０ ，
动力学特征 Ｇ ｒ２ ＝ ｍａ ｎ＝ ｍ ｒ ＝ ｍω２ｒ ＝ ｍ （ ２ Ｔ π ） ２ｒ 周期约为 ３７ 天 ， 它的半径大约是地球的 １ ． ９ 倍 ， 表面重力加速度
Ｍ 与地球相近 下列说法正确的是
向心加速度ａ ａ Ｇ 即ａ １ 。 （ ）
ｎ ｎ＝ ｒ２， ｎ∝ｒ２ 该行星的公转角速度比地球大
Ａ．
ＧＭ 该行星的质量约为地球质量的 ． 倍
线速度ｖ ｖ 即ｖ １ Ｂ． ３６
＝ ｒ ， ∝ ｒ 该行星第一宇宙速度为 ．
Ｃ． ７９ ｋｍ／ｓ
３２ ５年高考３年模拟 Ａ版 高考物理
要在地球上发射航天器到达该星球 发射速度只需达到 在Ｂ点 远地点 再次点火加速进入圆形轨道
Ｄ． ， （３） （ ） Ⅲ。
地球的第二宇宙速度即可 ２．一些物理量的定性分析
解析 该行星的公转周期约为 天，而地球的公转周期 速度 设卫星在圆轨道 和 上运行时的速率分别为ｖ
３７ （１） ： Ⅰ Ⅲ １、
ｖ 在轨道 上过Ａ点和Ｂ点时速率分别为ｖ ｖ 因在Ａ点加速
为 天，根据ω ２π可知该行星的公转角速度比地球大，选项 ３， Ⅱ Ａ、 Ｂ。 ，
３６５ ＝ Ｔ 则ｖ Ａ＞ ｖ １， 因在Ｂ点加速 ， 则ｖ ３＞ ｖ Ｂ， 又因ｖ １＞ ｖ ３， 故有ｖ Ａ＞ ｖ １＞ ｖ ３＞ ｖ Ｂ。
Ｍｍ 加速度 因为在Ａ点 卫星只受到万有引力作用 故无论
正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力有Ｇ （２） ： ， ，
Ａ Ｒ２ ＝ 从轨道
Ⅰ
还是轨道
Ⅱ
上经过Ａ点
，
卫星的加速度都相同
，
同理
，
ＧＭ
从轨道 和轨道 上经过Ｂ点时加速度也相同
ｍｇ，解得ｇ ，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径 Ⅱ Ⅲ 。
＝Ｒ２
（３）
周期
：
设卫星在
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
轨道上运行周期分别为Ｔ
１、
Ｔ
２、
大约是地球的 ． 倍，所以它的质量约为地球的 ． 倍，故 正 ａ３
１９ ３ ６ Ｂ Ｔ 轨道半径分别为ｒ ｒ 半长轴 ｒ 由开普勒第三定律 ｋ
确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙 ３， １、 ２（ ）、 ３， Ｔ２ ＝
可知Ｔ Ｔ Ｔ
速度，第一宇宙速度ｖ ＧＭ ，Ｒ为星球半径，Ｍ为星球质量，所 １＜
机
２
械
＜
能
３。
在一个确定的圆 椭圆 轨道上机械能守恒 若卫
＝ Ｒ （４） ： （ ） 。
星在 轨道的机械能分别为Ｅ Ｅ Ｅ 则Ｅ Ｅ Ｅ
以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的 ． 倍，而地球的第 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ １、 ２、 ３， １＜ ２＜ ３。
１９ 例２ 多选 如图所示 发射地球同步卫
一宇宙速度为 ． ，故该星球的第一宇宙速度约为 （ ） ，
７ ９ ｋｍ／ｓ
． ，故 错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的 星时 先将卫星发射至近地圆轨道 然后经点
１０９ ｋｍ／ｓ Ｃ ， １，
发射速度至少要达到第三宇宙速度，故 错误。 火将卫星送入椭圆轨道 然后再次点火 将卫
Ｄ ２， ，
星送入同步轨道 轨道 相切于 Ｑ 点
答案 ＡＢ ３。 １、２ ，２、３
相切于Ｐ点 则当卫星分别在 轨道上正常
， １、２、３
拓展四 卫星的变轨问题 运行时 下列说法中正确的是
， （ ）
卫星在轨道 上的速率小于在轨道 上的速率
人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨 如图所示 我们 Ａ． ３ １
， ， 卫星在轨道 上的角速度大于在轨道 上的角速度
从以下几个方面讨论 Ｂ． ３ １
。 卫星在轨道 上经过Ｑ点时的加速度大于它在轨道 上
Ｃ． １ ２
经过Ｑ点时的加速度
卫星在轨道 上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道 上
Ｄ． ２ ３
经过Ｐ点时的加速度
ＧＭ
解析 由万有引力提供向心力得ｖ ，则半径大的速
１．变轨原理及过程 ＝ ｒ
为了节省能量 在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到 ＧＭ
（１） ， 率小， 正确；由万有引力提供向心力得ω ，则半径大的
圆轨道 上 Ａ ＝ ｒ３
Ⅰ 。
在Ａ点点火加速 由于速度变大 万有引力不足以提供在 角速度小， 错误；在同一点卫星所受的地球引力相等，则加速
（２） ， ， Ｂ
轨道上做圆周运动的向心力 卫星做离心运动进入椭圆轨道 度相等，故 错误， 正确。
Ⅰ ， Ⅱ。 Ｃ Ｄ
答案 ＡＤ
科学家开普勒 开普勒（ — ），德国天文学家。 他利用第谷多年积累的天文观测资料，提出行星
１５７１ １６３０
运动三定律，并编制成《鲁道夫星表》，直到十八世纪中叶，《鲁道夫星表》仍然被天文学家和航海家们视为珍宝。 开
普勒主要著作有《宇宙的神秘》《光学》《宇宙和谐论》《天文学概要》《彗星论》和《稀奇的 年天象》等。 此外，开
１６３１
普勒还发现了大气折射的近似定律。 为了纪念开普勒的功绩，国际天文学联合会决定将 号小行星命名为开普
１１３４
勒小行星。 （图为开普勒）
Ｔ Ｔ ω ω
１＝ ２， １＝ ２
两颗星的运动轨道半径与它们之间的距离关系为
③
ｒ ｒ Ｌ
应用一 探究天体运动中双星及多星问题的处理方法 １＋ 两 ２ 颗 ＝ 星到轨道圆心的距离ｒ ｒ 与星体质量成反比
④ １、 ２
１．双星模型 ｍ ｒ
１ ２
定义 绕公共圆心转动的两个星体组 ｍ ＝ ｒ
（１） ： ２ １
成的系统 我们称之为双星系统 如图所示
， 。 。 Ｌ３
特点 双星的运动周期Ｔ
（２） ： ⑤ ＝２π Ｇ ｍ ｍ
各自需要的向心力由彼此间的万有引 （ １＋ ２）
① ２Ｌ３
力提供 即 双星的总质量ｍ ｍ ４π
， ⑥ １＋ ２＝ ＧＴ２
Ｇｍ ｍ Ｇｍ ｍ
１ ２ ｍ ω２ｒ １ ２ ｍ ω２ｒ
２．多星模型
Ｌ２ ＝ １ １ １， Ｌ２ ＝ ２ ２ ２ 定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的
两颗星的周期及角速度都相同 即 （１） ：
② ， 向心力 除中央星体外 各星体的角速度和周期相同
， ， 。
专题五 万有引力与航天 ３３
三星模型 球绕太阳公转的轨道均可视为圆 每过Ｎ年 该行星会运行到日
（２） ， ，
三颗星位于同一直线上 两颗环绕星围绕中央星在同一 地连线的延长线上 相距最近 如图所示 该行星与地球的公转
① ， （ ）， ，
半径为Ｒ的圆轨道上运行 如图甲 半径之比为ａ 公转周期之比为ｂ 则
， 。 ， ， （ ）
三颗质量均为ｍ的星体位于等边三角形的三个顶点上 Ｎ Ｎ
② ， ａ ＋１ ｂ
如图乙 Ａ． ＝ Ｎ Ｂ． ＝Ｎ
。 －１
ｂ (Ｎ ＋１ ) ２ ３ ａ ( Ｎ ) ２ ３
Ｃ． ＝ Ｎ Ｄ． ＝ Ｎ
－１
解析 地球公转周期为Ｔ 年，每
地＝１
过Ｎ年该行星会运行到日地连线的延长线上，即地球比该行星
多运动 圈，有
１
Ｎ Ｎ Ｎ
，得Ｔ Ｔ
Ｔ －Ｔ ＝１ 行＝Ｎ 地
地 行 －１
由题意 Ｔ 行 Ｎ ｂ，故 正确， 错误。
（３） 四星模型 Ｔ 地 ＝Ｎ －１ ＝ Ｂ Ｃ
①
四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上
，
沿着外
根据开普勒第三定律有
ｒ３行 ｒ３地
，即ａ３
( Ｎ ) ２
接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动
，
如图丙
。
Ｔ２行 ＝Ｔ２地 ＝ Ｎ
－１
Ｏ 外 ② 围 三 三 颗 颗 恒 星 星 绕 位 Ｏ 于 点 正 做 三 匀 角 速 形 圆 的 周 三 运 个 动 顶 如 点 图 上 丁 ， 另一颗位于中心 得ａ ( Ｎ ) ２ ３ ，故 正确， 错误。
， ， 。 ＝ Ｎ Ｄ Ａ
－１
例１ 年 月 日 美国科学家宣布探测到引力波
２０１６ ２ １１ ， 。 答案 ＢＤ
双星的运动是产生引力波的来源之一 假设宇宙中有一双星系
，
统由ａ ｂ两颗星体组成 这两颗星绕它们连线的某一点在万有 应用三 “填补法”在万有引力定律中的应用
、 ，
引力作用下做匀速圆周运动 测得ａ星的周期为Ｔ ａ ｂ两颗星
计算一些不完整球形物体间的万有引力 常采用 填补法
， ， 、
的距离为ｌ ａ ｂ两颗星的轨道半径之差为 ｒ ａ星的轨道半径大 ， “ ”。
运用 填补法 解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件 先
， 、 Δ （
于ｂ星的 则 “ ” ，
填补 后运算 运用 填补法 解题的过程主要体现了等效的
）， （ ）
， 。 “ ”
ｌ ｒ
ｂ星的周期为 －Δ Ｔ 思想
Ａ． ｌ ｒ 。
＋Δ 例３ 如图所示 在半径为Ｒ的铅球
ｌ ｒ ，
ａ星的线速度大小为π（ ＋Δ ） 中挖出一个球形空穴 空穴直径为Ｒ且与
Ｂ． Ｔ ，
铅球相切 并通过铅球的球心 在未挖出
ｌ ， 。
ａ ｂ两颗星的半径之比为 空穴前铅球质量为 Ｍ 引力常量为 Ｇ 求
Ｃ． 、 ｌ ｒ ， 。
－Δ 挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为ｄ 质量为ｍ的小球 可
ｌ ｒ 、 （
ａ ｂ两颗星的质量之比为 ＋Δ 视为质点 间的万有引力大小
Ｄ． 、 ｌ ｒ ） 。
－Δ
思路分析 由于题目中没有告知距离ｄ与球的半径Ｒ之
解析 由双星系统的运动规律可知，两星的周期相等，均
间的关系 因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点 故不能
， ，
为Ｔ，则 错。 由ｒ ｒ ｌ，ｒ ｒ ｒ，得ｒ １ （ｌ ｒ），ｒ １ （ｌ 直接利用万有引力定律来计算引力的大小 但是 可以用填补
Ａ ａ＋ ｂ＝ ａ－ ｂ＝Δ ａ＝ ＋Δ ｂ＝ － 。 ，
２ ２ 法求解 即先把挖去的部分 补 上 使其成为半径为Ｒ的完整球
ｒ），则ａ星的线速度大小 ｖ ２π ｒ ａ π （ｌ ＋Δ ｒ） ， 正确。 ｒ ａ 体 再根 ， 据万有引力定律 分 “ 别计 ” 算 ， 出半径为Ｒ的球体和补上的
Δ ａ＝ Ｔ ＝ Ｔ Ｂ ｒ ＝ ， ，
ｂ 球体对小球的万有引力 最后两引力相减即可得到答案
ｌ ｒ ｍ ｒ ｌ ｒ ， 。
＋Δ ，则 错。 双星运动中满足 ａ ｂ －Δ ，则 错。 解析 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为Ｆ ，挖出
ｌ
－Δ
ｒ Ｃ ｍ
ｂ
＝ ｒ
ａ
＝ｌ
＋Δ
ｒ Ｄ
Ｍ
１
答案 Ｂ 的球形实体（由球体的体积公式易知质量为 ，这里不再具体计
８
算）与小球间的万有引力为Ｆ ，铅球剩余部分与小球间的万有引
应用二 探究天体的追及、相遇问题
２
力为Ｆ，则有Ｆ Ｆ Ｆ
１．相距最近 １＝ ＋ ２
Ｍｍ Ｍｍ
两天体的运转方向相同 ， 与中心的连线在同一直线上 ， 且在 根据万有引力定律可得Ｆ １＝ Ｇ ｄ２ ，Ｆ ２＝ Ｇ ( Ｒ ) ２
同侧时 两天体相距最近 从运动关系上 两天体运动关系应满 ｄ
， 。 ， ８ －
足 （ ω Ａ－ ω Ｂ） ｔ ＝２ ｎ π（ ｎ ＝１，２，３，…）。 故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为 ２
２．相距最远
Ｍｍ Ｍｍ ＧＭｍ（ ｄ２ ｄＲ Ｒ２）
两天体的运转方向相同 ， 与中心的连线在同一直线 ， 且在两 Ｆ ＝ Ｆ １－ Ｆ ２＝ Ｇ ｄ２ － Ｇ ( Ｒ ) ２ ＝ ｄ ７ ２（ － ｄ ８ Ｒ） ＋ ２ ２ 。
侧时 两天体相距最远 从运动关系上 两天体运动关系应满 ８ ｄ － ２ ２ －
， 。 ， ２
足 （ ω Ａ－ ω Ｂ） ｔ′ ＝（２ ｎ －１）π（ ｎ ＝１，２，３…）。 答案 ＧＭｍ（ ７ ｄ２ －８ ｄＲ ＋２ Ｒ２）
例２ （２０１９湖北五校摸底，７，４分） 多选 某行星和地 ｄ２（ ｄ Ｒ）２
（ ） ２ ２ －
墨子号量子卫星 量子卫星是中国科学院空间科学先导专项首批科学实验卫星之一，其主要
科学目标一是借助卫星平台，进行星地高速量子密钥分发实验，并在此基础上进行广域量子密钥网络实
验，以期在空间量子通信实用化方面取得重大突破；二是在空间尺度进行量子纠缠分发和量子隐形传态实
验，开展空间尺度量子力学完备性检验的实验研究。
