文档内容
押第 8 题
万有引力与宇宙航行
万有引力与航天，辽宁卷必考模块，公式虽多，但其是圆周运动的延申应用，公式均可推导。考题较
大概率从我国航空航天领域取得的巨大成就引入，主要考点如下：
考点 细分
求天体重力加速度
万有引力及应用 求天体质量密度
开普勒三大定律
宇宙速度
航空航天 （同步）卫星运行参量比较、计算
卫星变轨、对接
1. （2023年·辽宁卷）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若
月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太
阳的平均密度之比约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
；可得 ； 其中 ；；联立可得
故选D。
2．（2022年·辽宁卷）（多选）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得
地球—水星连线与地球—太阳连线夹角 ，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角 ，两角最大值分
别为 、 。则（ ）
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为
D．水星与金星的公转线速度之比为
【答案】BC
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有 ；可得 ； ；因为
水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故
A错误，B正确；
C．设水星的公转半径为 ，地球的公转半径为 ，当α角最大时有 ；同理可知有
；所以水星与金星的公转半径之比为 ；故C正确；
D．根据 ；可得 ；结合前面的分析可得 ；故D错误；；
故选BC。
3．（2021年·辽宁卷）（多选）2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若
已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的（
）
A．半径比 B．质量比C．自转角速度比 D．公转轨道半径比
【答案】AB
【详解】A．探测器在近火星轨道和近地轨道做圆周运动，根据 ；可知 ；若已知探测器
在近火星轨道和近地轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近火星
轨道和近地轨道运行，轨道半径近似等于火星和地球的半径比，故A正确；
B．根据万有引力提供向心力有 ；可得 ；结合A选项分析可知可以求得火星和地
球的质量之比，故B正确；
C．由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度
之比；故C错误；
D．由于题目中我们只能求出火星和地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星和地
球的公转半径之比，故D错误。
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 。
向
设地球质量为M，地表物体质量为m，地球半径为R：
(1)在赤道上： 。
(2)在两极上： 。
(3)在一般位置：万有引力 等于重力mg与向心力F 的矢量和。
向
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重
力: 。即 。该式为黄金代换式。
所以，不同天体地表重力加速的之比为： 。
2.求天体质量和密度
该类问题根据已知条件的不同，需要选用的公式较多，不可死记硬背，可根据万有引力的作用进行推
导。
（1）利用地表处引力近似等于重力（即黄金代换式）推导。
（2）利用引力为绕行天体提供向心力推导（ ）
（3）如果是近地环绕，(1)、（2）联立推导。
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
r、T G＝mr m ＝ 只能得到
中
质
利用运 r、v G＝m m ＝ 中心天体
中
量
行天体 的质量
的 v、T G＝m，G＝mr m ＝
中
计
利用天体表面重
算 g、R mg＝ m ＝ —
中
力加速度
利用近地
密 ρ＝
利用运 G＝mr 卫星只需
度 r、T、R 当r＝R时，
行天体 m ＝ρ·πR3 测出其运
中
的 ρ＝
行周期
计
算
利用天体表面重 mg＝，
g、R ρ＝ —
力加速度 m ＝ρ·πR3
中
3.宇宙速度
3.1 第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
1
方法二：由mg＝m得
v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
1
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，
T ＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min
min
3.2 宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。(2)7.9 km/sr＝r
2 1 3
角速度 ω>ω＝ω
1 2 3
线速度 v>v>v
1 2 3
向心加速度 a>a>a
1 2 3
5.卫星变轨
5.1 变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心
力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
5.2 变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别
1 3
为v 、v .在A点加速，则v >v，在B点加速，则v>v ，又因v>v，故有v >v>v>v 。
A B A 1 3 B 1 3 A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长
轴)、r3，由开普勒第三定律 可知T1
