北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1.2 常用逻辑用语
考点1 充分条件与必要条件
1.(2023新课标Ⅰ,7,5分)记S 为数列{a }的前n项和,设甲:{a }为等差数列;乙:{S }
n n n n
n
为等差数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
n(n−1)d S
答案 C 若{a }为等差数列,设公差为d,则a =a +(n-1)d,∴S =na + ,∴ n
n n 1 n 1
2 n
n−1
=a + d,
1
2
S n−2
当n≥2时, n−1=a + d,
n−1 1 2
S S n−1 n−2 1
∴ n- n−1=a + d-a - d= d,
n n−1 1 2 1 2 2
∴{S }是以S 为首项,d为公差的等差数列.
n 1
n 2
若{S }为等差数列,设公差为d',则S =S +(n-1)d'=a +(n-1)d',
n n 1 1
n n
∴S =na +n(n-1)d',
n 1
当n≥2时,S =(n-1)a +(n-1)(n-2)d',
n-1 1
两式作差得,a =a +2(n-1)d',
n 1
又n=1时也满足上式,
∴a =a +2(n-1)d',n∈N*,
n 1
当n≥2时,a =a +2(n-2)d',
n-1 1
∴a -a =a +2(n-1)d'-a -2(n-2)d'=2d',
n n-1 1 1
∴{a }是以a 为首项,2d'为公差的等差数列.
n 1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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综上,甲是乙的充要条件,故选C.
y x
2.(2023北京,8,4分,易)若xy≠0,则“x+y=0”是“ + =-2”的( )
x y
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
y x −x x
答案 C 充分性: + = + =-2,即充分性成立;
x y x −x
y x y2+x2
必要性:由 + = =-2,得x2+y2+2xy=(x+y)2=0,即有x+y=0,故必要性成立,故选C.
x y xy
3.（(2023全国甲理,7,5分)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B ∵sin2α+sin2β=1,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sin α=±cos β,即sin α+cos
β=0或sin α-cos β=0,所以充分性不成立;
当sin α+cos β=0时,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.
4.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 B 由a2=b2得|a|=|b|;
由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b.
a=b |a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b.
∴“ ⇒a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 根据sin x=1解得x=π+2kπ,k∈Z,此时cos x=cos(π ) π=0.根据cos x=0解得x=
+2kπ =cos
2 2 2
π+kπ,k∈Z,此时sin x=sin(π )=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.
+kπ
2 2
6.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则
a·c=b·c”的真假性即可.
解析 若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;
若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“ a=b”的必要不充分条件.故选B.
方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:
①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;
②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论
证.
7.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在
[0,1]上的最大值为f(1)”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为
f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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8.(2022北京,6,4分)设{a}是公差不为0的无穷等差数列,则“{a}为递增数列”是“存在正整数N,当
n n 0
n>N 时,a>0”的( )
0 n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 设等差数列{a}的公差为d(d≠0),则a=a+(n-1)d.
n n 1
若{a}为递增数列,则d>0,
n
d−a
由a=a+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a-d,令f(x)=0,得x= 1,
n 1 1
d
若a>d,则x<0,取N=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;
1 0
[d−a ] [d−a ] d−a
若a<d,则x>0,取N= 1 +1 1 表示不超过 1的最大正整数 ,此时n>N,必有
1 0 0
d d d
f(n)>f(N 0 )=f ([d−a 1 ] +1 ) >f (d−a 1 )=0.
d d
综上,存在正整数N,当n>N 时,a>0,∴充分性成立.
0 0 n
易知a 是关于n的一次函数,若存在正整数N,当n>N 时,a>0,则一次函数为增函数,∴d>0,
n 0 0 n
∴必要性成立.故选C.
9.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B |x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.
当0<x<2时,必有0<x<5;
反之,不成立.
所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
一题多解 因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
10.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“| 1|<1”是“x3<1”的( )
x−
2 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
由| 1|<1得-1<x-1<1,解得0<x<1.
x−
2 2 2 2 2
由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“| 1|<1”是
x−
2 2
“x3<1”的充分而不必要条件.
方法总结 (1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条
件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,
然后验证得到的必要条件是否满足充分性.
11.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由
m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
12.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“| π |< π ”是“sin θ<1”的( )
θ−
12 12 2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.
∵| π |< π ⇔- π <θ- π < π ⇔0<θ<π,
θ−
12 12 12 12 12 6北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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sin θ<1⇔θ∈( 7π π),k∈Z,
2kπ− ,2kπ+
2 6 6
( π)⫋( 7π π),k∈Z,
0, 2kπ− ,2kπ+
6 6 6
∴“| π |< π ”是“sin θ<1”的充分而不必要条件.
θ−
12 12 2
13.(2016天津理,5,5分)设{a}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数
n
n,a +a <0”的( )
2n-1 2n
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
a
答案 C 若对任意的正整数n,a
2n-1
+a
2n
<0,则a
1
+a
2
<0,又a
1
>0,所以a
2
<0,所以q= 2<0.若q<0,可取q=-1,a
1
=1,
a
1
则a+a=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a +a <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a +a <0”的必要
1 2 2n-1 2n 2n-1 2n
而不充分条件.故选C.
评析 本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.
g
14.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo 1(x+2)<0”的( )
2
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
g
答案 B 当x>1时,x+2>3>1,又y=lo 1x是减函数,
2
g g g g g
∴lo 1(x+2)<lo 11=0,则x>1⇒lo 1(x+2)<0;当lo 1(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo 1(x+2)<0⇒ /x>1.故
2 2 2 2 2
g
“x>1”是“lo 1(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.
2
15.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必
要条件,故选A.
16.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,
∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,
∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.
综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.
17.(2015陕西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.
由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.
18.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x 处导数存在.若p:f '(x)=0;q:x=x 是f(x)的极值点,则( )
0 0 0
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 C ∵f(x)在x=x 处可导,∴若x=x 是f(x)的极值点,则f '(x)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以
0 0 0
f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ /q,故p不是q的充分条件.故选C.
19.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A.充分不必要条件
