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专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １３７
３．６ 函数的图象
§
翻折变换
（４）
保留ｘ轴及ｘ轴上方图象
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ｘ） ．
＝ （ ） 将ｘ轴下方图象翻折上去→⑨ ＝｜ ｜
考点一 函数图象的识辨 保留ｙ轴上及ｙ轴右边图象
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ ） ．
１．利用描点法作函数的图象 ＝ （ ） 作ｙ轴右边图象关于ｙ轴对称的图象→⑩ ＝ ｜ ｜
确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数 ３．函数图象的对称性
（１） ；（２） ；（３）
的性质 奇偶性 单调性 周期性等 列表 尤其注意特殊 若ｙ ｆ ｘ 满足ｆ ａ ｘ ｆ ｂ ｘ 则ｆ ｘ 的图象关于直
（ 、 、 ）；（４） （ （１） ＝ （ ） （ ＋ ）＝ （ － ）， （ ）
点 零点 最大值与最小值 与坐标轴的交点 描点 连 ａ ｂ
， ， ， ）；（５） ；（６） 线 ｘ ＝ ＋ 对称．
线． 用平滑的曲线连点
２
（ ２．图象变换 ） （２） 若ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 满足ｆ （ ｘ ）＝２ ｂ － ｆ （２ ａ － ｘ ）， 则ｆ （ ｘ ） 的图象关于
点 （ａ，ｂ） 中心对称．
平移变换
（１） 函数ｙ ｆ ａ ｘ 与 ｙ ｆ ｂ ｘ 的图象的对称轴为直线
（３） ＝ （ ＋ ） ＝ （ － ）
ｂ ａ
ｘ － ．
＝
２
函数ｙ ｆ ｘ ａ ｂ 与 ｙ ｆ ａ ｘ ｂ 的图象关于点
（４） ＝ （ － ）＋ ＝－ （ － ）＋
（ａ，ｂ） 对称．
对称变换 考点二 函数图象的应用
（２）
关于ｘ轴对称 函数图象是对函数关系的一种直观 形象的表示 是体现数
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ｘ） 、 ，
＝ （ ） →① ＝－ ； 形结合思想的基础 应解决好以下三个方面的问题
关于ｙ轴对称 ， ：
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ） 作图 应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一
＝ （ ） →② ＝ － ； （１） ：
关于直线ｘ ａ对称 部分点 ∙∙
ｙ ｆ ｘ ＝ ｙ ｆ（ ａ ｘ） ；
＝ （ ） →③ ＝ ２ － ； 识图 在观察 分析图象时 要注意到图象的分布及变化
关于原点对称
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ） ． （２） ： 、 ，
＝ （ ） →④ ＝－ － 趋势 具有∙的∙性质 解析式与图象的关系
伸缩变换 、 、 ；
（３） 用图 函数的图象形象地显示了函数的性质 充分利用
（３） ： ，
ω 横坐标 伸长到原来的 １ 倍 图象提供∙的∙信息可以研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性
０＜ ＜１， ⑤ ω 、 、 、 、
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ωｘ） 对称性等问题 利用函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象交点个数判
＝ （ ） →⑦ ＝ ； ， ＝ （ ） ＝ （ ）
ω 横坐标 缩短到原来的 １ 断ｆ ｘ ｇ ｘ 的解的个数及求不等式的解集等．
＞１， ⑥ ω （ ）＝ （ ）
Ａ 纵坐标缩短到原来的Ａ
ｙ ｆ ｘ ０＜ ＜１， ｙ Ａｆ（ｘ） ．
＝ （ ） Ａ 纵坐标伸长到原来的Ａ倍→⑧ ＝
＞１，
考点一 函数图象的识辨
( )ｘ
１．函数ｆ ｘ ｘ与ｇ ｘ １ 在同一直角坐标系下的
（ ）＝１＋ｌｏｇ２ （ ）＝
２
图象大致是
（ ）
答案 Ｂ
答案 Ｃ
２．函数ｆ ｘ ｘ ｘ在 上的图象大致为
（ ）＝（１－ｃｏｓ ）ｓｉｎ ［－π，π］ （ ） { ｘ ｘ
３．已知函数ｆ ｘ ｅ ， ≤ｅ， 则函数ｙ ｆ ｘ 的大致图象是
（ ）＝ ｘ ｘ ＝ （ｅ－ ）
ｌｎ ， ＞ｅ，
（ ）
１３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案
③
考点二 函数图象的应用
{ｘ２ ｘ ｘ
５．已知函数ｆ ｘ ＋２ －１， ≥０，则对任意 ｘ ｘ Ｒ 若
（ ）＝ ｘ２ ｘ ｘ １， ２∈ ， ０＜
－２ －１， ＜０，
ｘ ｘ 下列不等式成立的是
｜ １｜＜｜ ２｜， （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ． （ １）＋（ ２）＜０ Ｂ． （ １）＋（ ２）＞０
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ｃ． （ １）－（ ２）＞０ Ｄ． （ １）－（ ２）＜０
答案 Ｄ
６．偶函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且在ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 则
答案 Ｂ （ ） （ －１）＝ （ ＋１）， ∈［０，１］ ， （ ）＝ ，
( )ｘ [ ]
４．小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段 关于ｘ的方程ｆ ｘ １ 在 １０ 上实根的个数是
， ， （ ）＝ ０， （ ）
时间后 为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的 １０ ３
， ，
图象是 ． 填序号 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
（ ） 答案 Ｃ
{ａ ａ ｂ
７．对ａ ｂ Ｒ 记 ａ ｂ ， ≥ ，函数ｆ ｘ ｘ
， ∈ ， ｍａｘ｛ ， ｝＝ ｂ ａ ｂ （ ）＝ｍａｘ｛｜ ＋１｜，
， ＜ ，
ｘ ｘ Ｒ 的最小值是
｜ －２｜｝（ ∈ ） （ ）
１ ３
Ａ．０ Ｂ． Ｃ． Ｄ．３
２ ２
答案 Ｃ
[ ]
π π 上的图象大致为
－ ， （ ）
２ ２
考点一 函数图象的识辨
１．（２０２０北京怀柔适应性练习，４）函数ｙ ｘ 的大致图象是
＝｜ｌｏｇ２ ｜
（ ） ｘ ｘ
答案 Ｃ 函数的定义域关于原点对称．ｆ ｘ ｃｏｓ
（－ ）＝ － ｘ － ｘ＝
２ ＋２
ｆ ｘ 可知函数ｆ ｘ 为奇函数 所以函数图象关于原点对称．
－（ ）， （ ） ，
当 ｘ π时 ｆ ｘ 故选 ．
０＜ ＜ ， （ ）＞０， Ｃ
２
ｘ
３．（２０２０天津芦台一中一模，５）函数ｆ ｘ １－ 的大致图象为
（ ）＝ｌｎ ｘ
１＋
（ ）
答案 Ｄ 本题考查函数图象的识辨 考查学生分析问题
， 、
解决问题的能力 渗透直观想象的核心素养 试题体现基础性．
， ，
由选项 中的图象是函数ｙ ｘ的大致图象 易得选项 中
Ａ ＝ｌｏｇ２ ， Ｄ
的图象是函数ｙ ｘ 的大致图象 故选
＝｜ｌｏｇ２ ｜ ， Ｄ．
解后反思 弄清函数ｙ ｘ的图象 结合 保留函数ｙ ｘ
＝ｌｏｇ２ ， “ ＝ｌｏｇ２
图象ｘ轴上及ｘ轴上方的部分并将ｘ轴下方的部分以ｘ轴为
对称轴翻折到上方即得ｙ ｘ 的图象 求解．
＝｜ｌｏｇ２ ｜ ”
ｘ ｘ
２．（２０２０ 安徽江南十校质量检测，４）函数 ｆ ｘ ｃｏｓ 在
（ ）＝ ｘ － ｘ
２ ＋２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １３９
ｘ 若 ａ 则对数函数ｙ ｘ在 上单调递减
答案 Ｄ 函数 ｆ ｘ １－ 的定义域为 ｘ ｘ ０＜ ＜１， ＝ｌｏｇａ （０，＋∞） ，
（ ）＝ ｌｎ
１＋
ｘ ｛ ｜ ≠±１｝， 二次函数ｙ
＝（
ａ
－１）
ｘ２
－
ｘ的图象开口向下
，
经过原点
，
对称轴
：
ｘ
( )
ｆ １ 排除 和 ｆ 排除 ．故选 ． １ 可能为 中图象 不可能为 中图象．
＝－ｌｎ３＜０， Ｂ Ｃ；（－２）＝ｌｎ３＞０， Ａ Ｄ ＝ ａ ＜０， Ｃ ， Ｄ
２ ２（ －１）
４．（多选题）（２０２１届东北育才中学９月）对数函数ｙ
＝ｌｏｇａ
ｘ
（
ａ
＞
故选ＢＤ．
且ａ 与二次函数ｙ ａ ｘ２ ｘ在同一坐标系内的图象 ５．已知ｆ ｘ ｘ 则函数ｙ ｆ ｘ 的图象为
０ ≠１） ＝（ －１） － （ ）＝２ ， ＝ （｜ －１｜） （ ）
不可能是
（ ）
答案 Ｄ ｆ ｘ ｜ ｘ －１｜．
（｜ －１｜）＝２
当ｘ 时 ｙ 可排除选项 ．
答案 ＢＤ 若ａ 则对数函数ｙ ｘ在 上单调 ＝０ ， ＝２， Ａ，Ｃ
＞１， ＝ｌｏｇａ （０，＋∞） 当ｘ 时 ｙ 可排除选项
递增 ＝－１ ， ＝４， Ｂ．
， 故选 ．
二次函数ｙ ａ ｘ２ ｘ的图象开口向上 经过原点 对称轴 ｘ Ｄ
＝（ －１） － ， ， ：
１ 可能为 中图象 不可能为 中图象．
＝ ａ ＞０， Ａ ， Ｂ
２（ －１）
ｘ ｘ － ｘ
ｆ ｘ ３ ｆ ｘ ｅ －ｅ
Ａ． （ ）＝ － ｘ Ｂ． （ ）＝ ｘ
３
ｘ
｜ ｜
ｆ ｘ ２ ｘ ｆ ｘ ｅ
考法一 识图与辨图问题的常见类型及解题策略 Ｃ． （ ）＝ ｘ － Ｄ． （ ）＝ ｘ
例１ （１） （２０１９山西太原名校联盟，４）函数ｙ ＝ ｘ２ －２ ｜ ｘ ｜ 解析 （ １ ）显然函数是偶函数，排除 Ｂ ， Ｄ ．取ｘ ＝０ ，则ｙ ＝－１ ．
ｘ Ｒ 的部分图象可能是 排除 ．故选 ．
（ ∈ ） （ ） Ａ Ｃ
（ ）因为ｆ（ ｘ） ｘ２ ｘ ｘ ｘ ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函
２ － ＝－ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝－
( )
数，其图象关于原点对称，故排除 与 ，因为 ｆ π π ·
Ｃ Ｄ ＝
６ １２
( )
π ，所以排除 ，故选 ．
－ ３ ＜０ Ｂ Ａ
６
ｘ ｘ
－
（ ）首先对 个选项进行奇偶性判断，可知ｆ（ｘ） ｅ －ｅ 为
３ ４ ＝ ｘ
偶函数，不符合题意，排除 ；
Ｂ
其次，对剩下的 个选项在（ ， ）上的零点个数进行判
３ ０ ＋∞
ｘ
｜ ｜
断， ｆ（ｘ） ｅ 在（ ， ）上无零点，不符合题意，排除 ；
（２０２１届湖南９月份百校联考，５）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ＝ ｘ ０ ＋∞ Ｄ
（２） （ ）＝ ｓｉｎ －
ｘ ｃｏｓ ｘ在 ［－π，π］ 上的图象大致为 （ ） 最后对剩下的 ２ 个选项进行单调性判断， ｆ（ｘ） ＝ ２ ｘ － ｘ 在
（ ， ）上单调递减，不符合题意，排除 ．故选 ．
０ ＋∞ Ｃ Ａ
答案 （ ）Ｃ （ ）Ａ （ ）Ａ
１ ２ ３
方法总结 识图与辨图问题的常见类型及解题策略
（２０２０普通高等学校招生全国统一模拟考试）已知函 １．由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式
（３） ，
数ｆ ｘ 的图象如图所示 则ｆ ｘ 可以为 利用函数的性质 单调性 奇偶性 过定点等 判断 常用排除法．
（ ） ， （ ） （ ） （ 、 、 ） ，
２．已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数
图象的变换 如平移变换 对称变换等 要注意函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ
（ 、 ）， ＝ （ ） ＝
ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ 等的相互关系．
（－ ）、 ＝－（ ）、 ＝－（－ ）、 ＝ （｜ ｜）、 ＝｜ （ ）｜
３．借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求
出函数解析式后再判断函数的图象 也可采用 以静观动 即将动
； “ ”，
点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征 从而作出选择．
，
１４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ ｘ２ ｘ
例 （２０２０安徽合肥模拟，５）函数ｆ ｘ ｓｉｎ ｃｏｓ 在
（ ）＝ ｘ ＋
２０
上的图象大致为
［－２π，０）∪（０，２π］ （ ）
由图可知，ｘ ｘ ， ｘ ，
１＋ ２＝－２ －２＜ １＜－１
当ｙ 时，由 ｘ ，有ｘ １ ， ；
＝１ ｜ｌｏｇ２ ｜＝１ ＝ ２
２
所以 １ ｘ ｘ ；
＜ ３＜１＜ ４＜２
２
由ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）有 ｘ ｘ ，
３ ＝ ４ ｜ｌｏｇ２ ３｜＝｜ｌｏｇ２ ４｜
即 ｘ ｘ ，
ｌｏｇ２ ３＋ｌｏｇ２ ４＝０
所以ｘ ｘ ，
３ ４＝１
解析 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以 则ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ （ ｘ ） （ｘ ）２ （ ， ）．故
１ ２ ３ ４＝ １ ２＝ １ －２－ １ ＝ － １＋１ ＋１∈ ０ １
及数形结合思想． 选
ＢＣＤ
．
（ ｘ） 答案 ＢＣＤ
函数的定义域关于原点对称， ｆ（ ｘ） ｓｉｎ －
－ ＝ ｘ ＋ 方法总结 利用函数的图象研究函数的性质
－
（ ｘ）２ （ ｘ） ｘ ｘ２ ｘ 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单
－ ｃｏｓ － ｓｉｎ ｃｏｓ ｆ（ｘ），故函数ｆ（ｘ）为偶函数，图 ， （
＝ ｘ ＋ ＝ 调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但
２０ ２０ 、 、 、 （ ）、 ） ，
２ ２ 一定要注意性质与图象特征的对应关系．
象关于ｙ轴对称，排除 ；ｆ（ ） π ，排除 ； ｆ（ ） π
Ｃ π ＝－ ＜０ Ｂ ２π ＝ ＞
２０ ５ 例３ 若关于 ｘ 的不等式 ｘ ｘ ｍ 的解集为
，排除 ．故选Ａ．
{ }
２ ＋１ ＞ ＋
０ Ｄ
ｘ １ ｘ ．求实数ｍ的值．
答案 Ａ － ≤ ＜４
２
例 （２０２０ 江西南昌四校联考，７） 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ 解题导引 作出ｙ ＝ ２ ｘ ＋１＝（２ ｘ ＋１） １ ２ ， ｙ ＝ ｘ ＋ ｍ的图象 ， 根
æ ö 据图象的上下位置求出ｍ的值．
ç ２ ÷ ｘ的图象大致形状是
è ｘ－１øｓｉｎ （ ）
１＋ｅ 解析 作函数ｙ ｘ 及ｙ ｘ ｍ的图象如图所示，
＝ ２ ＋１ ＝ ＋
则原不等式的解集等价于函数ｙ ｘ 的图象在ｙ ｘ ｍ
＝ ２ ＋１ ＝ ＋
的图象上方部分的横坐标ｘ的取值范围．
{ }
解析 易知ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ． 由图可知，要使原不等式的解集为 ｘ １ ｘ ，
－ ≤ ＜４
２
æ ö ｘ 则ｘ 是两图象的交点的横坐标，即方程 ｘ ｘ ｍ
ｆ（ｘ） ＝è ç
１＋
２
ｅ
ｘ－１ø ÷ ｓｉｎ ｘ ＝
１
１
＋
－
ｅ
ｅ ｘｓｉｎ ｘ， 的解． ＝４ ２ ＋１ ＝ ＋
ｘ ｘ ｘ
则ｆ（ － ｘ） ＝ １－ｅ － － ｘ · ｓｉｎ （ － ｘ） ＝ ｅ ｘ －１·（ －ｓｉｎ ｘ） ＝ １－ｅ ｘ · ｓｉｎ ｘ ∴ ｍ ＝ ２×４＋１－４＝－１ ．
１＋ｅ ｅ ＋１ １＋ｅ
ｆ（ｘ），
＝
则ｆ（ｘ）是偶函数，其图象关于ｙ轴对称，排除 ， ，
Ｂ Ｄ
当ｘ 时， ｆ（ ） １－ｅ· ，排除 ，故选 ．
＝１ １ ＝ ｓｉｎ１＜０ Ａ Ｃ
１＋ｅ
答案 Ｃ
方法总结 利用函数的图象研究不等式
考法二 函数图象的应用 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将
，
{ ｘ２ ｘ ｘ 不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题 从而利用数形
例２ （多选题）已知函数ｆ ｘ － －２ ， ≤０，若ｘ ｘ ，
（ ）＝ ｘ ｘ １＜ ２ 结合法求解．
ｘ ｘ 且ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则下
｜ｌｏ
列
ｇ２
结
｜，
论
＞
正
０
确
，
的是 { ｘ ｘ
＜ ３＜ ４， （ １）＝ （ ２）＝ （ ３）＝ （ ４）， 例４ 若函数ｆ ｘ ｌｎ （ ＞０）， 与ｇ ｘ ｘ ａ 的
（ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝ ｜ ＋ ｜＋１
（ ） － － （ ≤０）
ｘ ｘ ｘ ｘ 图象上存在关于ｙ轴对称的点 则实数ａ的取值范围是
Ａ． １＋ ２＝－１ Ｂ． ３ ４＝１ ， （ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ｒ
Ｃ．１＜ ４＜２ Ｄ．０＜ １ ２ ３ ４＜１ Ａ． Ｂ．（－∞，－ｅ］
解析 作出函数ｆ（ｘ）的图象，如图．
Ｃ．［ｅ，＋∞） Ｄ．⌀
解题导引
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １４１
解析 设ｙ ｈ（ｘ）与ｙ ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称，则ｈ（ｘ） [ ]
＝ ＝
{ （ ｘ），ｘ ， 解析 令ｔ ＝ ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｆ（ｘ）） －２ ｆ（ｘ） ＋ ３ ＝０ 等价
ｆ（ ｘ） ｌｎ － ＜０ 作出ｙ ｈ（ｘ）与ｙ ｇ（ｘ）的函数图象，如 ４
＝ － ＝ ｘ，ｘ ， ＝ ＝
－ ≥０ 于ｆ（ｔ） ｔ ３ ，作出函数 ｙ ｆ（ｔ）和 ｙ ｔ ３ 的图象（图
图所示： －２ － ＝０ ＝ ＝２ ＋
２ ２
略）．易知有两个不同的公共点，其横坐标分别为 ，ｔ （ ｔ
０ ０ １＜ ０＜
），再作出ｙ ｆ（ｘ）和ｙ ，ｙ ｔ 的图象（图略），易判断出其交
２ ＝ ＝０ ＝ ０
点个数为 ，故选 ．
４ Ｂ
答案 Ｂ
例 （２０１７ 福建宁德一模，１２） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
{ｋｘ ｘ
＋３， ≥０，
ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象上存在关于ｙ轴对称的点， ( )ｘ 若方程ｆ ｆ ｘ 恰有三个实数根 则实数ｋ
∵ １ ｘ （ （ ））－２＝０ ，
ｙ ｈ（ｘ）与ｙ ｇ（ｘ）的图象有交点， ， ＜０，
∴ ＝ ＝ ２
ａ ，即ａ ．故选 的取值范围是
∴ － ≤－ｅ ≥ｅ Ｃ． （ ）
答案 Ｃ
Ａ．［
(
０，＋∞）
]
Ｂ．［
[
１，３］
]
方法总结 利用函数的图象研究方程根的个数 １ １
Ｃ． －１，－ Ｄ． －１，－
当方程与基本初等函数有关时 可以通过函数图象来研究 ３ ３
， 解析 ｆ（ｆ（ｘ）） ， ｆ（ｆ（ｘ）） ，
方程的根 方程ｆ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 的图象与ｘ轴的交点 ∵ －２＝０ ∴ ＝２
， （ ）＝０ （ ）
的横坐标 方程ｆ ｘ ｇ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的交 ｆ（ｘ） 或ｆ（ｘ） １ （ｋ ）．
， （ ）＝ （ ） （ ） （ ） ∴ ＝－１ ＝－ ｋ ≠０
点的横坐标．
（ ）当ｋ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示：
１ ＝０
例 （２０１８浙江金丽衢十二校第三次联考（５ 月），９）已
{ ｘ ｘ
知函数ｆ ｘ ｜ｌｎ ｜，０＜ ≤１０， 设方程ｆ ｘ ｔ ｔ Ｒ 的四
（ ）＝ ｆ ｘ ｘ （ ）＝ （ ∈ ）
（２０－ ），１０＜ ＜２０，
个不等实根从小到大依次为ｘ ｘ ｘ ｘ 则下列判断中错误的是
１， ２， ３， ４，
（ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ． １＋ ２＋ ３＋ ４＝４０ 由图象可知ｆ（ｘ） 无解， ｋ 不符合题意；
ｘ ｘ ＝－１ ∴ ＝０
Ｂ． １ ２＝１ （ ）当ｋ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示：
２ ＞０
ｘ ｘ
Ｃ． ３ ４＝３６１
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｄ． ３ ４－２０（ ３＋ ４）＋３９９＝０
{ ｘ ， ｘ ，
解析 由题可知，函数ｆ（ｘ） ｜ｌｎ ｜ ０＜ ≤１０ 的图象关
＝ ｆ（ ｘ）， ｘ
２０－ １０＜ ＜２０
{ｘ ｘ ，
于 直 线 ｘ 对 称， 所 以 有 １＋ ４＝２０ 且 满
＝ １０ ｘ ｘ ，
２＋ ３＝２０
{ ｘ ｘ ，
足 －ｌｎ １＝ｌｎ ２
（ ｘ ） （ ｘ ）， 由图象可知ｆ（ｘ） 无解且 ｆ（ｘ） １ 无解，即ｆ（ｆ（ｘ））
－ｌｎ ２０－ ４ ＝ｌｎ ２０－ ３ ＝－１ ＝－ ｋ
{ｘ ｘ ，
从而ｘ ｘ ｘ ｘ ， １ ２＝１ 无解，不符合题意；
１＋ ２＋ ３＋ ４＝４０ （ ｘ ）（ ｘ ） ， －２＝０
２０－ ３ ２０－ ４ ＝１ （ ）当ｋ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示：
{ｘ ｘ ， ３ ＜０
即 １ ２＝１
ｘ ｘ （ｘ ｘ ） ．
３ ４－２０ ３＋ ４ ＋３９９＝０
对照选项可知，选项 错误．故选 ．
Ｃ Ｃ
答案 Ｃ
例 （２０１８ 浙江镇海中学５ 月模拟，９）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝
{ ｘ ｘ [ ]
｜ｌｎ（ －１）｜， ＞１，则方程ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ ３ 的实根个
ｘ －１ ｘ （ （ ））－２ （ ）＋ ＝０
２ ＋１， ≤１， ４
数为 由图象可知ｆ（ｘ） 有 个实根，
（ ） ＝－１ １
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ｆ（ｆ（ｘ）） 有 个实根， ｆ（ｘ） １ 有 个实根，
∵ －２＝０ ３ ∴ ＝－ ｋ ２
１ ，解得 ｋ １ ．
∴１＜－ ｋ ≤３ －１＜ ≤－
３
( ]
综上，ｋ的取值范围是 ， １ ．故选
－１ － Ｃ．
３
１４２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
例 已知函数ｆ
（
ｘ
）（
ｘ
∈
Ｒ
）
满足ｆ
（
ｘ
）＝
ｆ
（２－
ｘ
），
若函数ｙ
＝
例 （２０１６浙江宁波十校联考，８）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－
ｘ
－
｜
ｘ２
－２
ｘ
－３｜
与ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
图象的交点为
（
ｘ
１，
ｙ
１），（
ｘ
２，
ｙ
２），…，（
ｘ
ｍ， ４
ｘ
ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｂｘ ｘ ｂ Ｒ 若ｆ ｘ 图象上存在两
ｍ ｘ （ ＜０）， （ ）＝ ＋ －２（ ＞０）， ∈ ， （ ）
ｙ 则 ｘ －１
ｍ）， ∑ｉ＝ １ ｉ ＝ （ ） 个不同的点Ａ ， Ｂ分别与ｇ （ ｘ ） 图象上Ａ′ ， Ｂ′两点关于ｙ轴对称 ，
ｍ ｍ ｍ 则ｂ的取值范围为
Ａ．０ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．４ （ ）
解析 由题意可知ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ 对称，而ｙ
＝１ ＝ Ａ．（－４ ２－５，＋∞） Ｂ．（４ ２－５，＋∞）
｜
ｘ２
－２
ｘ
－３｜＝｜
（ｘ
－１
）２
－４｜
的图象也关于直线ｘ
＝１
对称，所以两
Ｃ．（－４ ２－５，１） Ｄ．（４ ２－５，１）
个图象的交点关于直线ｘ 对称，且每对关于直线ｘ 对称 解析 设函数ｇ（ｘ）图象上任一点为（ｘ，ｘ２ ｂｘ ），其关于
＝１ ＝１ ＋ －２
的交点的横坐标之和为 ２ ，所以 ∑ｉ＝ ｍ ｘ ｉ＝ ｍ，故选 Ｂ ． ｙ轴 ｘ 的对称点为（ － ｘ，ｘ２ ＋ ｂｘ －２ ），所以方程 ｘ２ ＋ ｂｘ －２＝ ｘ２ ＋ ｘ －
答案 Ｂ
１ －
ｘ
４ ，即（ｂ
－１
）ｘ２
＋
（ｂ
＋１
）ｘ
－２＝０
在（
０
，
＋∞
）上有两个不相等
－ －１
小题巧解 （特值法）取ｘ π， π ２ π ，
ì
ï
Δ
＝
（ｂ
＋１
）２
＋８
（ｂ
－１
）
＞０
，
０＝
４
ｓｉｎ
４
＝
２
＜ｔａｎ
４
＝１ ïï－２
，
得ｐ是真命题． 的实根，因此í
ï
ｂ
－１
＞０ 解得
４ ２－５＜
ｂ
＜１
，即实
例 （２０１８浙江教育绿色评价联盟适应性试卷（１ 月），
î
ïï
－ （
ｂ
ｂ
＋１
）＞０
，
８）已知函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 的部分图象如图所示 则ａ ｂ ２ －１
（ ）＝ｌｎ（ ＋ ＋ ） ， － ＋
ｃ的值是 数ｂ的取值范围是（ ， ），故选 ．
（ ） ４ ２－５ １ Ｄ
答案 Ｄ
例 （２０２０ 全国Ⅰ卷模拟，１０） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
{ ２ ｘ ｘ
ｅ －１， ＞０， 若 ｆ ｘ ｍｘ恒成立 则实数ｍ的取值范
ｘ２ ｘ ｘ ｜ （ ）｜≥ ，
－ －２ －２， ≤０，
围为
（ ）
Ａ．［２－２ ２，２］ Ｂ．［２－２ ２，１］
Ａ．－１ Ｂ．１
Ｃ．［２－２ ２，ｅ］ Ｄ．［２－２ ｅ，ｅ］
Ｃ．－５ Ｄ．５ 解析 作出函数 ｆ（ｘ） 的图象如图所示．
解析 由题图可知， ， 为方程 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的两根，且 ｜ ｜
２ ４ ＋ ＋ ＝０
ì ｂ ì
ï ， ïａ １ ，
ïï ６＝－ ａ ïï ＝
３
ｆ（ ） ，即í ｃ 解得íｂ ，因此ａ ｂ ｃ ，故选 ．
１ ＝０ ï ， ï ＝－２ － ＋ ＝５ Ｄ
８＝ ａ
ïï ïïｃ ８ ，
îａ ｂ ｃ ， î ＝
＋ ＋ ＝１ ３
答案 Ｄ
例 （２０１８浙江杭州二中期中，７）函数ｆ ｘ ｘｍ ｘ ｎ
（ ）＝ （１－ ）
在区间 上的图象如图所示 则ｍ ｎ的值可能是
［０，１］ ， ， （ ）
当ｘ 时，令ｘ２ ｘ ｍｘ，即ｘ２ （ ｍ）ｘ ，令Δ
≤０ ＋２ ＋２＝ ＋ ２－ ＋２＝０ ＝
，即（ ｍ）２ ，解得 ｍ ，结合图象可知，ｍ
０ ２－ －８＝０ ＝２±２ ２ ＝２－
；
２ ２
当ｘ 时，令 ２ ｘ ｍｘ，考虑ｆ（ｘ） ２ ｘ 与ｈ（ｘ） ｍｘ的
ｍ ｎ ｍ ｎ ＞０ ｅ －１＝ ＝ｅ －１ ＝
Ａ．
ｍ
＝１，
ｎ
＝１ Ｂ．
ｍ
＝１，
ｎ
＝２ 图象相切时，设切点为（ｘ
０
，
ｅ
２ ｘ ０－１ ），
Ｃ 解 ． 析 ＝２， 由 ＝ 题 １ 意知 ｆ ′（ｘ） ｍｘｍ Ｄ －１ ． （ ＝２ ｘ ， ）ｎ ＝２ ｎｘｍ（ ｘ）ｎ －１· 则 { ｅ ２ ｘ ０－１＝ ｍｘ ０ ， 解得ｍ ，
（ ） ［ｍ （ ｘ） ｎｘ］ｘｍ －１（ ｘ ＝ ）ｎ －１， １－ ＋ １－ ２ｅ ２ ｘ ０＝ ｍ， ＝２
－１ ＝ １－ － １－ 结合图象可知，实数ｍ的取值范围为［ ， ］．故选
ｍ ２－２ ２ ２ Ａ．
令ｍ（ ｘ） ｎｘ ，解得ｘ ．
１－ － ＝０ ＝ｍ ｎ 答案 Ａ
＋
由图象可知，其极值点小于 １ ，即
ｍ
１ ，即 ｍ ｎ，故
思路分析 作出函数
｜
ｆ（ｘ）
｜
的图象，当ｘ
≤０
时，令ｘ２
＋
２
ｍ
＋
ｎ＜
２
＜
２
ｘ
＋２＝
ｍｘ，得ｘ２
＋
（
２－
ｍ）ｘ
＋２＝０
，再令Δ
＝０
，可求得ｍ的值；当ｘ
选 Ｂ ． ＞０ 时，令 ｅ ２ ｘ －１＝ ｍｘ，考虑ｆ（ｘ） ＝ｅ ２ ｘ －１ 与ｈ（ｘ） ＝ ｍｘ的图象相
答案 Ｂ 切时，可设切点为（ｘ ０ ， ｅ ２ ｘ ０－１ ），由 {
２
ｅ ２
ｅ
ｘ ２ ０ ｘ － ０＝ １＝ ｍ ｍ ， ｘ ０ ， 可解得ｍ ＝２ ，观
察图象可得答案．
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １４３
例 （２０２０北京西城二模，１５）已知函数ｆ ｘ 的定义域为
（ ）
Ｒ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ．有以下
， （ ＋２）＝２（ ）， ∈（０，２］ ， （ ）＝２ －３
三个结论
：
ｆ １
①（－１）＝－ ；
２
( ]
当ａ １ １ 时 方程ｆ ｘ ａ在区间 上有三
② ∈ ， ， （ ）＝ ［－４，４］
４ ２
个不同的实根
； 令ｘ ，则 ｆ（ ） ｆ（ ） ，故ｆ（ ） １ ，故
函数ｆ ｘ 有无穷多个零点 且存在一个零点ｂ Ｚ． ＝－１ ２ －１ ＝ １ ＝２－３＝－１ －１ ＝－
③ （ ） ， ∈ ２
其中 所有正确结论的序号是 ． 中的结论正确；
， ①
解析 本题考查函数图象，考查学生分析问题、解决问题 由图可知 中的结论正确；
②
的能力，渗透直观想象、逻辑推理的核心素养． 由图可知零点有无数个，当ｘ
∈
（
０
，
２
］时，令ｆ（ｘ）
＝ ０
，则ｘ
先画出函数ｆ（ｘ）在ｘ
∈
（
０
，
２
］上的图象，再根据ｆ（ｘ
＋２
）
＝
＝ｌｏｇ２３ ，故在Ｒ上，ｘ ＝２ ｋ ＋ｌｏｇ２３ ，ｋ ∈ Ｚ，所以ｘ取不到整数，故 ③
ｆ（ｘ），即可画出函数ｆ（ｘ）在ｘ （ ， ］上的图象，又由ｆ（ｘ） 中的结论错误．
２ ∈ ２ ４ ＝
综上，正确结论的序号为 ．
１ ｆ（ｘ ），可画出函数ｆ（ｘ）在ｘ （ ， ］上的图象，即可画出 ①②
＋２ ∈ －２ ０ 答案
２ ①②
函数ｆ（ｘ）在ｘ （ ， ］上的图象，如图． 解题方法 由函数图象、方程的根、函数零点之间的关
∈ －４ －２
系即可求解．
答案 Ａ
考法二 函数图象的应用
考法一 识图与辨图问题的常见类型及解题策略 ３．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟）已知函数ｇ ｘ 是Ｒ上
（ ）
１．（２０２０湖南长沙一中月考）函数ｆ ｘ ｘ － ｘ ｘ 的图象 的奇函数 当 ｘ 时 ｇ ｘ ｘ 且 ｆ ｘ
（ ）＝（３ ＋３ ）ｌｎ｜ ｜ ， ＜ ０ ， （ ） ＝ －ｌｎ（１－ ）， （ ） ＝
大致为 { ｘ２ ｘ
（ ） － ， ≤０，若ｆ ｘ２ ｆ ｘ 则实数ｘ的取值范围为
ｇ ｘ ｘ ． （２－ ）＞（ ）， （ ）
（ ）， ＞０
Ａ．（－１，２） Ｂ．（１，２）
Ｃ．（－２，－１） Ｄ．（－２，１）
答案 Ｄ
４．（２０１９河北衡水中学二调，７）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的
（ ）
偶函数 且对任意的ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ
， ∈ ， （ ＋２）＝ （ ）， ０≤ ≤１ ， （ ）
ｘ２．若直线ｙ ｘ ａ与函数ｆ ｘ 的图象在 内恰有两个不
＝ ＝ ＋ （ ） ［０，２］
同的公共点 则实数ａ的值是
， （ ）
或 １
Ａ．０ Ｂ．０ －
２
１ 或 １ 或 １
Ｃ．－ Ｄ．０ －
答案 Ｄ ４ ２ ４
答案 Ｄ
２．（２０２１届湖南衡阳一中第二次月考，４）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝ ５．（２０２１届福建连城一中月考（一），８）已知定义在Ｒ上的奇函数ｙ
ωｘ ω 的图象与直线 ｙ 的相邻交点间的距离为
２ｔａｎ（ ）（ ＞０） ＝２ ｆ ｘ ｘ Ｒ都有ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ
{ａ ａ ｂ ＝ （ ），∀ ∈ （１＋ ）＝ （１－ ）， －１≤ ＜０ ， （ ）＝
若定义 ａ ｂ ， ≥ ，则函数ｈ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 则函数ｇ ｘ ｆ ｘ 在 内所有的零点之和为
π， ｍａｘ｛ ， ｝＝ ｂ ａ ｂ （ ）＝ｍａｘ｛ （ ）， （ ） ｌｏｇ２（－ ）， （ ）＝ （ ）－２ （０，８）
， ＜ ，
( ) （ ）
ｘ 在区间 π ３π 内的图象是
ｃｏｓ ｝ ， （ ） Ａ．６ Ｂ．８
２ ２
Ｃ．１０ Ｄ．１２
答案 Ｄ
６．（２０２１ 届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学９ 月月考）偶函数
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则
（ ） （ －１）＝ （ ＋１）， ∈［０，１］ ， （ ）＝ ，
( )
ｆ ４ 若在区间 内 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｋｘ
＝ ， ［－１，３］ ， （ ）＝ （ ）－ －
３
ｋ有 个零点 则实数ｋ的取值范围是 ．
４ ，
( ]
答案 ２ １
； ０，
３ ４
１４４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１ 所以ｆ ｘ 在 上存在极大值点 又ｆ １
ｅ＜０， （ ） ［０，１］ ， （０）＝ － ∈
２ ２
所以 选项中的图象满足．故选 ．
（－１，０）， Ａ Ａ
考法一 识图与辨图问题的常见类型及解题策略 ４．（２０１７山西临汾三模，１０）已知函数ｆ ｘ ｘ 若ｆ ｍ
（ ）＝ ｜ｌｎ ｜， （ ）＝
ｘ２ ｘ
１．（２０１８浙江金华十校期末调研，８）函数ｙ ｌｎ｜ ｜的图象大致是 ｆ ｎ ｍ ｎ 则 ２ ２
＝ ｘ （ ）（ ＞ ＞０）， ｍ ＋ｎ ＝ （ ）
｜ ｜ ＋１ ＋１
（ ） １
Ａ． Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４
２
答案 Ｃ 函数ｆ ｘ ｘ 的图象如图所示
（ ）＝ ｜ｌｎ ｜ ：
由ｆ ｍ ｆ ｎ ｍ ｎ 可知ｍ ｎ ｍ ｎ 即ｍ
（ ）＝ （ ）， ＞ ＞０， ＞１＞ ＞０，∴ ｌｎ ＝－ｌｎ ， ＝
ｍ ｎ ｍ ｎ
１ ｍｎ 则 ２ ２ ２（ ＋ ）＋４ ２（ ＋ ＋２） ．故选 ．
ｎ ， ＝１， ｍ ＋ｎ ＝ｍｎ ｍ ｎ ＝ ｍ ｎ ＝２ Ｃ
＋１ ＋１ ＋ ＋ ＋１ ＋ ＋２
由题悟法 对一些可通过平移 对称变换能作出其图象的对
、
数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时
， （ ）、 （ ）、 ，
常利用数形结合求解．
{ ｘ ｘ ａ
ｌｎ ，０＜ ≤ ，
５．（２０１９北京海淀期中，１４）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝ ｅ ｘ ａ．
ｘ２ ｘ ｘ ， ＞
答案 Ｄ 首先函数ｆ ｘ ｌｎ｜ ｜为偶函数 故排除
（ ）＝ ｘ ， Ｂ； 若函数ｆ ｘ 的最大值为 则ａ
｜ ｜ （１） （ ） １， ＝ ；
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ 令ｆ′ ｘ 可得极值 ａ
＞０ ， （ ）＝ ｌｎ ； （ ）＝ｌｎ ＋１， （ ）＝０， 若函数ｆ ｘ 的图象与直线ｙ 只有一个公共点 则ａ的
( ) ( ) （２） （ ） ＝ ，
点ｘ １ 所以ｆ ｘ 在 １ 上单调递减 在 １ 上单 ｅ
＝ ， （ ） ０， ， ，＋∞ 取值范围为 ．
ｅ ｅ ｅ
调递增 故排除 ．故选 ． 答案
， Ａ、Ｃ Ｄ （１）ｅ （２）（０，ｅ］
２．（２０１８安徽黄山一模，８）已知图 中的图象对应的函数为ｙ
① ＝ 解析 当 ｘ ａ时 ｆ′ ｘ １ 恒成立 此时ｆ ｘ 单
ｆ ｘ 则图 中的图象对应的函数为 （１） ０＜ ≤ ， （ ）＝ ｘ ＞０ ， （ ）
（ ）， ② （ ）
调递增 所以ｆ ｘ ａ．
， （ ）ｍａｘ＝ｌｎ
当ｘ ａ时 ｆ ′ ｘ ｅ 恒成立 此时ｆ ｘ 单调递减 无最
＞ ， （ ）＝－ｘ２ ＜０ ， （ ） ，
大值．
故ｆ ｘ ｆ ａ ａ ａ ．
Ａ．
ｙ
＝
ｆ
（｜
ｘ
｜） Ｂ．
ｙ
＝
ｆ
（－｜
ｘ
｜）
（ ）ｍａｘ＝ （ ）＝ｌｎ
ｘ
＝１，∴ ＝ｅ
ｘ
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ 设ｇ ｘ ｘ ｇ′ ｘ １ １ ｅ－ ．
Ｃ． ＝｜ （ ）｜ Ｄ． ＝－（｜ ｜） （２） （ ）＝ｌｎ － ，∴ （ ）＝ ｘ － ＝ ｘ
答案 Ｂ 观察函数图象可得 是由 保留ｙ轴左侧图象 ｅ ｅ ｅ
，② ① ， 当 ｘ 时 ｇ′ ｘ 当ｘ 时 ｇ′ ｘ ．
然后将ｙ轴左侧图象翻折到右侧所得 结合函数图象的对称变 ０＜ ＜ｅ ， （ ）＞０， ＞ｅ ， （ ）＜０
， ｘ
换可得函数的解析式为ｙ ｆ ｘ ．选 ． ｇ ｘ ｇ ｇ ｘ ｇ 即 ｘ ．
＝ （－｜ ｜） Ｂ ∴ （ ）ｍａｘ＝ （ｅ）＝０，∴ （ ）≤ （ｅ）＝０， ｌｎ ≤
ｅ
３．（２０２０山东百师联盟自测，７）函数ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｜ ｘ ｜在 ａ
（ ）＝２｜ ｜ｃｏｓ － ｅ 当ａ 时 函数ｆ ｘ 与ｙ 的图象如图所示
２ ① ＝ｅ ， （ ） ＝ ，
[ ] ｅ
３ ３ 上的图象大致为
－ ， （ ）
２ ２
可知此时只有一个公共点．
ａ ａ
答案 Ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｘ ｆ ′ ｘ 当ａ 时 ｅ ａ 作出图象如图所示
∈［０，１］ ， （ ）＝ ２ ｃｏｓ － ｅ ， （ ）＝ ② ＞ｅ ， ＞ ａ ，ｌｎ ＜ ， ，
２ ｅ ｅ
ｘ ｘ ｘ １ ｘ ｆ ′ ３ ｆ ′
２ｃｏｓ －２ ｓｉｎ － ｅ ， （０）＝ ＞０， （１）＝ ２ｃｏｓ １－２ｓｉｎ １－
２ ２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １４５
在 上解的个数．
（－∞，０）
设ｇ ｘ ｘ ｘ２ ｘ 则ｇ′ ｘ ｘ ｘ 因为ｇ′
（ ）＝２ｅ ＋２ ＋４ ＋１， （ ）＝２ｅ ＋４ ＋４， （０）＝６＞
( )
０，
ｇ′
－
６
＝ ２ｅ
－５ ６
－
４
＜０，
所以存在 ｘ
０∈（－２，０）
使得
５ ５
ｇ′ ｘ 亦即 ｘ ｘ 所以函数ｇ ｘ 在 ｘ 上
（ ０）＝０， ２ｅ ０＋４ ０＋４＝０， （ ） （－∞， ０）
此时没有公共点．
单调递减
，（
ｘ
０，０）
上单调递增
，
因为ｇ
（
ｘ
０）＝２ｅ
ｘ
０＋２
ｘ２
０＋４
ｘ
０＋１＝
③
当
０＜
ａ
＜ｅ
时
，
ａ
＜ ａ
ｅ
，ｌｎ
ａ
＜
ａ
，
作出图象如图所示
，
２
ｘ２
０－３＜－
２
３
５
＜０，
且ｇ
（０）＞０，
ｇ
（－２）＞０，
由零点存在性定理和函
ｅ ｅ 数的单调性知 函数ｇ ｘ 在 ｘ ｘ 上各存在一个零
， （ ） （－２， ０），（ ０，０）
点 所以函数ｆ ｘ 的图象上关于坐标原点对称的点共有 对
， （ ） ２ ，
故选 ．
Ｃ
３．（２０１９河南天一大联考阶段性测试（五），１２）已知函数ｆ ｘ
（ ）
{ ｘ ｘ
ｅ ， ＜０，
若方程ｆ ｘ ｋｘ 有 个不同的实根 则
此时只有一个公共点 ＝ ｘ２ ５ ｘ ｘ （ ）＝ ＋１ ３ ，
， － ＋ ， ≥０，
综上 ａ的取值范围为 ． ２
， （０，ｅ］ 实数ｋ的取值范围为
（ ）
( ) ( )
考法二 函数图象的应用 １ １
Ａ．（－∞，０］ Ｂ． ０， Ｃ． ，＋∞ Ｄ．（０，＋∞）
１．（２０１６ 浙江镇海中学模拟（５ 月），８）已知函数 ｆ ｘ ２ ２
（ ）＝ 答案 Ｂ 令ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋｘ ．函数ｙ ｋｘ 的图象过定点
{ｘ２ ｘ ＝ （ ） ＝ ＋１ ＝ ＋１
－２， ＞０， 的图象上恰有三对点关于原点中心对称 则 ．
ｘ ａ ａ ｘ ， （０，１）
－３｜ ＋ ｜＋ ， ＜０ 画出函数ｙ ｆ ｘ 的图象 如图所示．
ａ的取值范围是 ＝ （ ） ，
（ ）
( ) ( ]
１７ １７
Ａ． － ，－２ Ｂ． － ，－２
８ ８
[ ) ( )
１７ １７
Ｃ． １， Ｄ． １，
１６ １６
答案 Ｄ 易求得与函数ｆ ｘ ｘ ａ ａ ｘ 的图象关
（ ）＝－３｜ ＋ ｜＋ （ ＜０）
于原点对称的图象对应的函数解析式是ｇ ｘ ｘ ａ ａ ｘ
（ ）＝３｜ － ｜－ （ ＞
（
０） ｘ
＞
， 则
０）
问 的 题 图 转 象 化 恰 为 有 函 三 数 个公 ｇ （ 共 ｘ ） 点 ＝ ． ３ 作 ｜ ｘ 出 － ａ 函 ｜－ 数 ａ （ ｆ
（
ｘ ＞ ｘ
）
０
＝
） 与 ｘ２
－
ｆ （
２
ｘ
（
） ｘ ＝
＞０
ｘ
）
２ － 的 ２
由
{ｙ ＝ ｋｘ ＋１，
消去ｙ整理得ｘ２
(
ｋ ５
)
ｘ ．
图象 而函数ｇ ｘ 的图象可由ｈ ｘ ｘ 的图象平移得到 且 ｙ ｘ２ ５ ｘ ＋ － ＋１＝０
， （ ） （ ）＝３｜ ｜ ， ＝－ ＋ ２
点 ａ ａ 在直线ｘ ｙ 上运动．现考虑极端情形 当直线ｙ ( ２ )
ｘ （ ， ａ － 与 ） 抛物线ｙ ＋ ｘ２ ＝０ 相切时 方程ｘ２ ｘ ａ ， 有唯一 ＝ 令Δ ＝ ｋ － ５ ２ －４＝０， 解得ｋ ＝ １ 或ｋ ＝ ９ （ 舍去 ） ．
３ －４ ＝ －２ ， －３ ＋４ －２＝０ ２ ２ ２
解 ， 故Δ ＝９－４（４ ａ －２）＝０， 所以ａ ＝ １７．当点 （ ａ ，－ ａ ） 恰在抛物线 又易知曲线ｙ ＝ｅ ｘ 在 （０，１） 处的切线的斜率为 １ ．
ｙ ＝ ｘ２ －２ 上时 ， ａ２ ＋ ａ －２＝０， 解得ａ ＝１ １６ 或ａ ＝－２（ 舍 ） ． 结合图象可得 ： 当 ０＜ ｋ ＜ １ 时 ， ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 和ｙ ＝ ｋｘ ＋１ 的图象有 ３ 个
( ) ２
所以ａ的取值范围是 １７ 故选 ． 不同的交点 所以方程ｆ ｘ ｋｘ 有 个不同的实根
１， ， Ｄ ， （ ）＝ ＋１ ３ ；
１６
当ｋ １ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋｘ 的图象有 个不同的交点 所以
＝ ， ＝ （ ） ＝ ＋１ ２ ，
２
方程ｆ ｘ ｋｘ 有 个不同的实根
（ ）＝ ＋１ ２ ；
当 １ ｋ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋｘ 的图象有 个交点 所以方程
＜ ＜１ ， ＝ （ ） ＝ ＋１ １ ，
２
ｆ ｘ ｋｘ 有 个实根
（ ）＝ ＋１ １ ；
当ｋ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋｘ 的图象没有交点 所以方程ｆ ｘ
≥１ ， ＝ （ ） ＝ ＋１ ， （ ）
ｋｘ 没有实根
＝ ＋１ ；
当ｋ 时 ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋｘ 的图象有 个不同的交点 所以
≤０ ， ＝ （ ） ＝ ＋１ ２ ，
方程ｆ ｘ ｋｘ 有 个不同的实根．
（ ）＝ ＋１ ２
( )
综上 可得所求ｋ的取值范围为 １ ．故选
２．（２０１８浙江稽阳联谊学校高三联考（４ 月），７）函数ｆ ｘ ， ０， Ｂ．
（ ）＝ ２
{ ｘ２ ｘ ｘ ４．（２０１９湘赣十四校联考第二次考试，１５）已知函数 ｆ ｘ
２ ＋４ ＋１， ＜０， （ ）＝
的图象上关于坐标原点对称的点共有 {ａｘ２ ｘ ａ ｘ
２ ｘ （ ） ＋２ ＋ （ ≤０），有且只有 个零点 则实数ａ的取值范围
ｘ， ≥０ ａｘ ｘ １ ，
ｅ －３（ ＞０）
对 对 对 对 是 ．
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 Ｃ 问题直接转化为方程ｆ ｘ ｆ ｘ 的非零解的 答案 ａ 或ａ
（－ ）＝－ （ ） ＝０ ＞１
个数问题． 解析 当ａ 时 函数ｙ ａｘ ｘ 必有一个零点 又因为
＞０ ， ＝ －３（ ＞０） ，
( ) ( )
设ｘ 则方程 ２ ｘ２ ｘ 即转化为 ｘ ｘ２ ｘ １ 故 ａ １ ２ １ ａ 解之可得 ａ 当 ａ
＜０， － ｘ＝－（２ ＋４ ＋１）， ２ｅ ＋２ ＋４ ＋１＝０ － ａ ＜０， － ａ ＋２ － ａ ＋ ＞０， ＞１； ＝０
ｅ
１４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ｘ ｘ 因而可以画出如图所示的ｙ ｆ ｘ 的图象 ｆ ｘ 在 上
时 ｆ ｘ ２ （ ≤０），恰有一个零点 当 ａ 时 若 ｘ 则 ＝ （ ） ， （ ） ［０，＋∞）
， （ ）＝ ｘ ； ＜０ ， ＞０， 单调递减 在 上单调递增 故 中的结论错误 ｙ ｆ ｘ
－３（ ＞０） ， （－∞，０） ， ① ； ＝ （ ）
ｆ ｘ ａｘ 若ｘ 则ｆ ｘ ａｘ２ ｘ ａ恒小于 所以当ａ 图象上的点 到原点的距离最短 为 故 中的结论正
（ ）＝ －３＜０， ≤０， （ ）＝ ＋２ ＋ ０， （０，１） ， １， ②
时 ｆ ｘ 无零点 故答案为ａ 或ａ ． 确 ｆ ｘ 的值域是 故 中的结论错误 ｙ ｆ ｘ 的图
＜０ ， （ ） ， ＝０ ＞１ ； （ ） （－∞，１］， ③ ； ＝ （ ）
ｘ２ 象与直线ｙ ｘ只有一个交点 因而Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ有且只有
５．（２０２０北京房山一模，１５）如果方程 ｙ ｙ 所对应的曲 ＝－ ， （ ）＝ （ ）＋
＋ ｜ ｜＝１ 一个零点 故 中的结论正确．因此正确结论的序号是 ．
４ ， ④ ②④
线与函数ｙ ｆ ｘ 的图象完全重合 那么对于函数ｙ ｆ ｘ 有如
＝ （ ） ， ＝ （ ）
下结论
：
函数ｆ ｘ 在Ｒ上单调递减
① （ ） ；
ｙ ｆ ｘ 图象上的点到坐标原点距离的最小值为
② ＝ （ ） １；
函数ｆ ｘ 的值域为
③ （ ） （－∞，２］；
函数Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ有且只有一个零点．
④ （ ）＝ （ ）＋
其中正确结论的序号是 ． 思路分析 将所给方程去掉绝对值即可知道方程表示的曲
答案 线 画出函数ｙ ｆ ｘ 的图象就可以得到正确结论的序号．
②④ ， ＝ （ ）
解析 本题考查方程与函数的关系 考查学生运用数形结合
，
的思想方法解决问题的能力 渗透直观想象的核心素养．
，
ｘ２ ｘ２ ｘ２
由 ｙ ｙ 得 ｙ２ ｙ 或 ｙ２ ｙ
＋ ｜ ｜＝１， ＋ ＝１（ ≥０） － ＝１（ ＜０），
４ ４ ４
考点一 函数图象的识辨
１．（２０２０浙江，４，４分）函数ｙ ｘ ｘ ｘ在区间 上的
＝ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ［－π，π］
图象可能是
（ ）
答案 Ｄ
ｘ３
４．（２０１９课标Ⅲ，７，５分）函数ｙ ２ 在 的图象大致为
＝ ｘ － ｘ ［－６，６］
２ ＋２
（ ）
答案 Ａ
ｘ
２．（２０２０天津，３，５分）函数ｙ ４ 的图象大致为
＝ｘ２ （ ）
＋１
答案 Ｂ
５．（２０１９ 浙江，６，４ 分）在同一直角坐标系中 函数 ｙ １ ｙ
， ＝ ａｘ， ＝
( )
ｘ １ ａ 且ａ 的图象可能是
ｌｏｇａ ＋ （ ＞０， ≠１） （ ）
２
答案 Ａ
ｘ ｘ
３．（２０１９课标Ⅰ，５，５分）函数ｆ ｘ ｓｉｎ ＋ 在 的图象
（ ）＝ ｘ ｘ２ ［－π，π］
ｃｏｓ ＋
大致为
（ ）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １４７
答案 Ｄ
８．（２０１８浙江，５，４分）函数ｙ ｜ ｘ ｜ ｘ的图象可能是
＝２ ｓｉｎ２ （ ）
答案 Ｄ
ｘ ｘ
－
６．（２０１８课标Ⅱ，３，５分）函数ｆ ｘ ｅ －ｅ 的图象大致为
（ ）＝ ｘ２ （ ）
答案 Ｄ
考点二 函数图象的应用
９．（２０２０北京，６，４分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则不等式ｆ ｘ
（ ）＝２ － －１， （ ）＞
的解集是
０ （ ）
Ａ．（－１，１） Ｂ．（－∞，－１）∪（１，＋∞）
Ｃ．（０，１） Ｄ．（－∞，０）∪（１，＋∞）
答案 Ｄ
{ ｘ ｘ
｜ ｜＋２， ＜１，
１０．（２０１７天津文，８，５分）已知函数ｆ ｘ 设ａ
（ ）＝ ｘ ２ ｘ ． ∈
答案 Ｂ ＋ ｘ ， ≥１
７．（２０１８课标Ⅲ，７，５分）函数ｙ
＝－
ｘ４
＋
ｘ２
＋２
的图象大致为
（ ） Ｒ 若关于ｘ的不等式ｆ ｘ
ｘ
ａ 在Ｒ上恒成立 则ａ的
， （ ）≥ ＋ ，
２
取值范围是
（ ）
Ａ．［－２，２］ Ｂ．［－２ ３，２］
Ｃ．［－２，２ ３］ Ｄ．［－２ ３，２ ３］
答案 Ａ
１１．（２０１６课标Ⅱ，１２，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ Ｒ 满足ｆ ｘ
（ ）（ ∈ ） （－ ）＝
ｘ
ｆ ｘ 若函数ｙ ＋１与ｙ ｆ ｘ 图象的交点为 ｘ ｙ ｘ
２－（ ）， ＝ ｘ ＝ （ ） （ １， １），（ ２，
ｍ
ｙ ｘ ｙ 则 ｘ ｙ
２），…，（ ｍ， ｍ）， ∑ｉ＝ （ ｉ＋ ｉ）＝ （ ）
１
ｍ ｍ ｍ
Ａ．０ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．４
答案 Ｂ
考点一 函数图象的识辨 答案 Ｃ 本题考查函数图象的识辨．
ｘ ｘ
１．（２０１７课标Ⅰ文，８，５分）函数ｙ ｓｉｎ２ 的部分图象大致为 易知ｙ ｓｉｎ２ 为奇函数 图象关于原点对称 故排除 选项
＝ ｘ ＝ ｘ ， ， Ｂ ；
１－ｃｏｓ １－ｃｏｓ
（ ） ° ３ ° １
ｓｉｎ２≈ｓｉｎ１２０ ＝ ，ｃｏｓ１≈ｃｏｓ６０ ＝ ，
２ ２
则ｆ ｓｉｎ２ 故排除 选项
（１）＝ ＝ ３， Ａ ；
１－ｃｏｓ１
ｆ ｓｉｎ２π 故排除 选项 故选 ．
（π）＝ ＝０， Ｄ ， Ｃ
１－ｃｏｓ π
方法总结 已知函数解析式判断函数图象的方法
：
根据函数的定义域判断图象的左右位置 根据函数的值域
（１） ，
判断图象的上下位置
；
根据函数的单调性判断图象的变化趋势
（２） ；
根据函数的奇偶性判断图象的对称性
（３） ；
根据函数的周期性判断图象的循环往复．
（４）
１４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ
２．（２０１７课标Ⅲ文，７，５分）函数ｙ ｘ ｓｉｎ 的部分图象大致为
＝１＋ ＋ ｘ２
（ ）
答案 Ｄ 排除法．由ｙ ｘ２ 为偶函数判断函数图象的对
＝ｓｉｎ
( )
２ ２
称性 排除 当ｘ π时 ｙ π π 排除
， Ａ，Ｃ； ＝ ， ＝ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ≠１， Ｂ，
２ ２ ４
故选 ．
Ｄ
５．（２０１５ 课标Ⅱ，理１０，文１１，５ 分）如图 长方形 ＡＢＣＤ 的边
，
ＡＢ ＢＣ Ｏ 是 ＡＢ 的中点．点 Ｐ 沿着边 ＢＣ ＣＤ 与 ＤＡ 运
＝２， ＝１， ，
动 记 ＢＯＰ ｘ．将动点Ｐ到Ａ Ｂ两点距离之和表示为ｘ的函
， ∠ ＝ ，
数ｆ ｘ 则ｙ ｆ ｘ 的图象大致为
（ ）， ＝ （ ） （ ）
答案 Ｄ 当ｘ 时 ｘ
∈（０，１） ，ｓｉｎ ＞０，
ｘ
ｙ ｘ ｓｉｎ ｘ 排除 ．
∴ ＝１＋ ＋ ｘ２ ＞１＋ ＞１， Ａ、Ｃ
ｘ ｘ
令ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ 则ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ（－ ） ｆ ｘ
（ ）＝ ＋ ｘ２ ， （－ ）＝－ ＋ ｘ ２ ＝－（ ），
（－ ）
ｘ
ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ 是奇函数
∴ （ ）＝ ＋ ｘ２ ，
ｘ
ｙ ｘ ｓｉｎ 的图象关于点 对称 故排除 ．
∴ ＝１＋ ＋ ｘ２ （０，１） ， Ｂ
故选 ．
Ｄ
解后反思 函数图象问题 一般从定义域 特殊点的函数值 答案 Ｂ 当点Ｐ与Ｃ Ｄ重合时 易求得ＰＡ ＰＢ 当
， 、 、 、 ， ＋ ＝１＋ ５；
单调性 奇偶性等方面入手进行分析．选择题通常采用排除法．
、 点Ｐ为ＤＣ的中点时 有ＯＰ ＡＢ 则ｘ π 易求得ＰＡ ＰＢ
３．（２０１６课标Ⅰ，理７，文９，５分）函数ｙ ２ ｜ ｘ ｜在 的图 ， ⊥ ， ＝ ， ＋ ＝
＝２ －ｅ ［－２，２］ ２
象大致为
（ ） ＰＡ ．显然 故当ｘ π时 ｆ ｘ 没有取到最大
２ ＝２ ２ １＋ ５＞２ ２， ＝ ， （ ）
２
[ )
值 则 选项错误．当 ｘ π 时 ｆ ｘ ｘ
， Ｃ、Ｄ ∈ ０， ， （ ） ＝ ｔａｎ ＋
４
２ｘ 不是一次函数 排除 故选 ．
４＋ｔａｎ ， ， Ａ， Ｂ
６．（２０１５安徽文，１０，５分）函数ｆ ｘ ａｘ３ ｂｘ２ ｃｘ ｄ的图象如
（ ）＝ ＋ ＋ ＋
图所示 则下列结论成立的是
， （ ）
答案 Ｄ 当ｘ 时 ｙ ２ 排除 易知函数
＝２ ， ＝８－ｅ ∈（０，１）， Ａ，Ｂ；
ｙ ＝２ ｘ２ －ｅ ｜ ｘ ｜为偶函数 ， 当ｘ ∈［０，２］ 时 ， ｙ ＝２ ｘ２ －ｅ ｘ ， 求导得ｙ′ ＝４ ｘ Ａ． ａ ＞０， ｂ ＜０， ｃ ＞０， ｄ ＞０ Ｂ． ａ ＞０， ｂ ＜０， ｃ ＜０， ｄ ＞０
ｘ 当ｘ 时 ｙ′ 当ｘ 时 ｙ′ 所以存在ｘ 使 ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ
－ｅ ， ＝０ ， ＜０， ＝２ ， ＞０， ０∈（０，２）， Ｃ． ＜０， ＜０， ＞０， ＞０ Ｄ． ＞０， ＞０， ＞０， ＜０
得ｙ′ 故选 ． 答案 Ａ 由ｆ ｘ 的图象易知ｄ 且ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ
＝０， Ｄ （ ） ＞０， （ ）＝ ３ ＋２ ＋
４．（２０１６浙江，３，５分）函数ｙ ｘ２ 的图象是 的图象是开口向上的抛物线 与ｘ轴正半轴有两个不同的交
＝ｓｉｎ （ ） ，
ìａ
ï ＞０， {ａ
ï ｂ ＞０，
点 则í 即 ｂ 故选 ．
， ï－ ａ＞０， ＜０， Ａ
ï ３ ｃ
îｃ ＞０，
＞０，
评析 本题考查导数的应用及运用图象解题的能力．
( )
７．（２０１５浙江，５，５分）函数ｆ ｘ ｘ １ ｘ ｘ 且
（ ）＝ － ｘ ｃｏｓ （－π≤ ≤π
ｘ 的图象可能为
≠０） （ ）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １４９
ｘ
答案 Ｂ 令ｇ ｘ ｘ ｘ 则ｇ′ ｘ １ －
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ， （ ）＝ｘ －１＝ｘ ，
＋１ ＋１
当 ｘ 时 ｇ′ ｘ
∴ －１＜ ＜０ ， （ ）＞０，
当ｘ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ ｇ ．
＞０ ， （ ）＜０，∴ （ ）ｍａｘ＝ （０）＝０
ｆ ｘ 排除 又由定义域可排除 故选 ．
∴ （ ）＜０， Ａ、Ｃ， Ｄ， Ｂ
评析 本题考查了函数的图象，考查了利用导数判断函数单调
性，求值域，考查了数形结合的数学思想．
考点二 函数图象的应用
( ) ( )
答案 Ｄ 因为ｆ ｘ ｘ １ ｘ ｘ １ ｘ
（－ ）＝ － ＋ ｘ ｃｏｓ（－ ）＝－ － ｘ ｃｏｓ ＝ （２０１５安徽文，１４，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若直线ｙ
，
ａ与函数 ｙ ｘ ａ 的图象只有一个交点 则 ａ 的
ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ 为奇函数 排除 ．当 ｘ 时 ｘ １ ＝２ ＝ ｜ － ｜ －１ ，
－ （ ）， （ ） ， Ａ、Ｂ ０＜ ＜１ ， － ｘ ＜ 值为 ．
ｘ 所以ｆ ｘ 排除 故选 ．
０，ｃｏｓ ＞０， （ ）＜０， Ｃ， Ｄ 答案 １
－
８．（２０１２课标理，１０，５ 分）已知函数 ｆ ｘ １ 则 ｙ ２
（ ）＝ ｘ ｘ， ＝ 解析 若直线ｙ ａ与函数ｙ ｘ ａ 的图象只有一个交
ｌｎ（ ＋１）－ ＝２ ＝｜ － ｜－１
ｆ ｘ 的图象大致为 点 则方程 ａ ｘ ａ 只有一解 即方程 ｘ ａ ａ 只有
（ ） （ ） ， ２ ＝｜ － ｜－１ ， ｜ － ｜＝２ ＋１
一解 故 ａ 所以ａ １ ．
， ２ ＋１＝０， ＝－
２
时间： 分钟 分值： 分
３０ ５０
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ３５ ）
１．（２０２１届安徽“江淮十校”第二次质量检测）函数 ｆ ｘ
（ ）＝
ｘ ｘ２
ｃｏｓ ＋ 在 上的图象大致为
ｘ ｘ ［－π，π］ （ ）
ｓｉｎ ＋
答案 Ｂ
３．（２０２０广东揭阳三中第一次月考，１０）函数ｆ ｘ ｘ和
（ ）＝ １＋ｌｏｇ２
ｇ ｘ １＋ ｘ在同一直角坐标系下的图象大致是
（ ）＝２ （ ）
答案 Ａ
２．（２０２０重庆万州二中第一次月考，３）函数ｆ ｘ ２ ｜ ｘ ｜的图
（ ）＝ｅ －ｅ
象可能是
（ ）
１５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ａ
６．（２０２０普通高等学校招生全国统一考试考前演练）某函数的
部分图象如图 则下列函数中可以作为该函数的解析式的是
，
（ ）
ｘ ｘ
ｙ ｓｉｎ２ ｙ ｃｏｓ２
Ａ． ＝ ｓｉｎ２ ｘ Ｂ． ＝ ｃｏｓ２ ｘ
ｅ ｅ
ｘ ｘ
ｙ ｜ｃｏｓ２ ｜ ｙ ｜ｃｏｓ ｜
答案 Ｄ Ｃ． ＝ ｃｏｓ２ ｘ Ｄ． ＝ ｃｏｓ ｘ
ｅ ｅ
４．（２０２０湖北、山东部分重点中学高三联考，５）已知二次函数 答案 Ｃ
ｆ ｘ 的图象如图所示 则函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ 的图象大致为 ７．（２０１９皖中名校联盟高三 １０ 月联考，１１）设函数 ｆ ｘ
（ ） ， （ ）＝ （ ）·ｅ （ ）＝
{ ｘ ＋１ ｘ
（ ） ｜２ －１｜， ≤１，若互不相等的实数ｐ ｑ ｒ满足ｆ ｐ ｆ ｑ
ｘ ｘ ， ， （ ）＝ （ ）＝
４－ ， ＞１，
ｆ ｒ 则 ｐ ｑ ｒ 的取值范围是
（ ）， ２ ＋２ ＋２ （ ）
Ａ．（８，１６） Ｂ．（９，１７）
( )
１７ ３５
Ｃ．（９，１６） Ｄ． ，
２ ２
答案 Ｂ
二、多项选择题 共 分
（ ５ ）
８．（２０２１届福建连城第一中学月考（一））已知函数 ｆ ｘ 满足
（ ）
ｘ
ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ３ －１ 且ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的交点
（２－ ）＋（２＋ ）＝６， （ ）＝ ｘ ， （ ） （ ）
－２
为 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 则集合 ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ
（ １， １），（ ２， ２），…，（ ８， ８）， ｛ １＋ ２＋…＋ ８， １＋ ２＋
ｙ 的元素有
…＋ ８｝ （ ）
Ａ．１６ Ｂ．２４
Ｃ．３２ Ｄ．４８
答案 ＡＢ
三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， １０ ）
９．（２０２０ 重庆万州二中第一次月考，１６）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝
{ ｘ ｘ
答案 Ａ ｜ ＋ ｘ １｜， ｘ ≤０ ． ，若方程ｆ （ ｘ ）＝ ｍ （ ｍ ∈ Ｒ ） 恰有三个不同的实数解
ｌｎ ＋１， ＞０
５．（２０１９河北邯郸一模，１０）如图 在直角坐标 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 则 ａ ｂ ｃ的取值范围是 ．
， ， ， （ ＜ ＜ ）， （ ＋ ）
系ｘＯｙ中 边长为 的正方形ＯＭＮＰ的两个顶 [ )
， １ 答案 ２
点在坐标轴上 点Ａ Ｂ分别在线段ＭＮ ＮＰ上运 －２，－
， ， ， ｅ
动．设ＰＢ ＭＡ ｘ ｆ ｘ →ＯＡ →ＢＡ ｇ ｘ →ＯＡ １０．（２０１９广东汕头达濠华侨中学、东厦中学高三第一次联考，
＝ ＝ ， （ ）＝ · ， （ ）＝ ·
１６）已知函数ｆ ｘ ｍ ｘ ｍ ｘ ｍ ｇ ｘ ｘ 若
Ｏ→Ｂ 则ｆ ｘ 与ｇ ｘ 的图象为 （ ）＝（ ＋３）（ ＋ ＋１）（ ＋ ）， （ ）＝２ －２，
， （ ） （ ） （ ） 对任意ｘ Ｒ 有ｆ ｘ 或ｇ ｘ 成立 则实数ｍ的取值范
∈ ， （ ）＞０ （ ）＞０ ，
围是 ．
答案
（－３，－２）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １５１
１．（２０２０北京八中三月模拟，５）已知函数 ｆ ｘ 的图象与函数
（ ）
ｇ ｘ ｘ 的图象关于ｘ轴对称 则ｆ ｘ
（ ）＝２ ， （ ）＝ （ ）
ｘ ｘ
－
Ａ．－２ Ｂ．２
ｘ ｘ
Ｃ．－ｌｏｇ２ Ｄ．ｌｏｇ２
答案 Ａ 由函数ｆ ｘ 的图象与函数ｇ ｘ ｘ 的图象关于
（ ） （ ）＝２ 由图象可知选
ｘ轴对称 得ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ 故选 Ｄ．
， （ ）＝－ （ ）＝－２ ， Ａ． { ｘ ｘ
２．函数ｆ ｘ 的图象是两条直线的一部分 如图所示 其定义域 ５．（２０１９北京朝阳期中，７）已知函数 ｆ ｘ ２ ， ＜０， 当
（ ） （ ）， （ ）＝ ｆ ｘ ｘ
为 则不等式 ｆ ｘ ｆ ｘ 的解集是 （ －２）， ≥０，
［－１，０）∪（０，１］， （ ）－（－ ）＞－１
１ ｍ ３ 时 方程ｆ ｘ １ ｘ ｍ的根的个数为
（ ） ≤ ＜ ， （ ）＝－ ＋ （ ）
２ ４ ８
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
答案 Ｃ 方程ｆ ｘ １ ｘ ｍ的根的个数 即函数ｙ ｆ ｘ
（ ）＝－ ＋ ， ＝ （ ）
８
与ｙ １ ｘ ｍ的图象的交点个数．当ｍ １ 或ｍ ３ 时 在同
＝－ ＋ ＝ ＝ ，
８ ２ ４
一坐标系下画出两个函数的图象如图所示
，
ｘ ｘ 且ｘ
Ａ．｛ ｜－１≤ ≤１ ≠０｝
ｘ ｘ
Ｂ．｛ ｜－１≤ ＜０｝
{ }
ｘ ｘ 或 １ ｘ
Ｃ． －１≤ ＜０ ＜ ≤１
２
{ }
ｘ ｘ １ 或 ｘ
Ｄ． －１≤ ＜－ ０＜ ≤１
２
答案 Ｄ 由题图可知 ｆ ｘ 为奇函数
， （ ） ，
ｆ ｘ ｆ ｘ 由图可知 当 １ ｍ ３ 时 两个函数的图象总是有 个交点
∴ （－ ）＝－（ ）， ， ≤ ＜ ， ３ ，
２ ４
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ １ ｘ １ 或
∴ （ ）－（－ ）＞－１⇔２ （ ）＞－１⇔ （ ）＞－ ⇔－１≤ ＜－ 即当 １ ｍ ３ 时 方程ｆ ｘ １ ｘ ｍ有 个根 故选 ．
２ ２ ≤ ＜ ， （ ）＝－ ＋ ３ ， Ｃ
０＜ ｘ ≤１ ．故选 Ｄ ． ２ ４ ８ { ｘ ｘ
６．（２０１９安徽合肥二模，９）设函数 ｆ ｘ ｜ｌｎ ｜， ＞０， 若函
（ ）＝ ｘ ｘ ｘ ．
ｅ（ ＋１）， ≤０
数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ有三个零点 则实数ｂ的取值范围是
（ ）＝ （ ）－ ， （ ）
æ ö
ç １ ÷
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．è－ ２，０ø
ｅ
Ｃ．（１，＋∞）∪｛０｝ Ｄ．（０，１］
答案 Ｄ 令ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ有三个
（ ）＝ （ ）－ ＝０， （ ）＝ （ ）－
３．现
·２
有 ｘ． 四 它 个 们 函 的 数 图 ： 象 ①
（
ｙ 部 ＝ 分 ｘ ｓｉ
）
ｎ 如 ｘ ； 下 ②
，
ｙ 但 ＝ 顺 ｘ ｃ 序 ｏｓ 已 ｘ ； 被 ③ 打 ｙ ＝ 乱 ｘ
，
｜ 则 ｃｏ 按 ｓ ｘ 照 ｜； 从 ④ 左 ｙ ＝ 到 ｘ 零 ｆ ′
（
点 ｘ 等
）＝
价
ｅ
ｘ 于
（
ｘ
＋
ｆ （
１
ｘ
）
）
＋
＝
ｅ
ｂ ｘ
＝
有
ｅ
ｘ 三
（
ｘ 个
＋２
根
），
， 由 当 ｆ ｘ ≤ ′
（
０ ｘ
）
时
＜０
， 得 ｆ （ ｘ
ｅ
） ｘ
（
＝ ｘ ｅ
＋
ｘ
２
（
）
ｘ
＜
＋
０
１
，
） 即 ， 则 ｘ
右的顺序将图象对应的函数序号排列正确的一组是 此时ｆ ｘ 为减函数
（ ） 由 ＜－２ ｆ ， ′ ｘ （ 得 ） ｘ ｘ ， 即 ｘ 此时ｆ ｘ 为增函数
（ ）＞０ ｅ（ ＋２）＞０， －２＜ ＜０， （ ） ，
即当ｘ 时 ｆ ｘ 取得极小值ｆ １ ．作出ｆ ｘ 的图象
＝－２ ， （ ） （－２）＝－ ２ （ ）
ｅ
如图 要使ｆ ｘ ｂ有三个根 则 ｂ 故选
， （ ）＝ ， ０＜ ≤１， Ｄ．
Ａ．④①②③ Ｂ．①④③② Ｃ．③④②① Ｄ．①④②③
答案 Ｄ 函数ｙ ｘ ｘ是偶函数 由图象知 函数 对应
＝ ｓｉｎ ， ， ①
第一个图象 函数ｙ ｘ ｘ是奇函数 且当ｘ 时 ｙ
； ＝ ｃｏｓ ， ＝π ， ＝－π＜０，
故函数 对应第三个图象 函数ｙ ｘ ｘ 为奇函数 且当ｘ
② ； ＝ ｜ｃｏｓ ｜ ， ＞
时 ｙ 故函数 与第四个图象对应 函数ｙ ｘ ｘ 为非奇
非
０
偶
，
函
≥
数
０，
与第二个
③
图象对应．综上可知
；
选 ．
＝ ·２ ７．（２０１８浙江名校协作体，５）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
＋
ｘ２
＋
ｘ
＋
ｂ
，
下列
， ， Ｄ 图象一定不能表示ｆ ｘ 的图象的是
４．（２０１８北京海淀一模，７）下列函数中 其图象上任意一点 （ ） （ ）
，
Ｐ ｘ ｙ 的坐标都满足ｙ ｘ 的函数是
（ ， ） ≤｜ ｜ （ ）
ｆ ｘ ｘ３ ｆ ｘ ｘ
Ａ． （ ）＝ Ｂ． （ ）＝
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
Ｃ． （ ）＝ｅ －１ Ｄ． （ ）＝ｌｎ（ ＋１）
答案 Ｄ 在同一直角坐标系中分别作出 选项中
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｘ 的图象 如图所示．
＝ （ ） ＝｜ ｜ ，
１５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｙ ｘ ｍ的图象是由ｙ ｘ的图象向左平移ｍ个单位得到的．
＝ ＋ ＝
当ｍ 时 函数ｙ 与函数ｙ ｘ在 上只有一个交点
＝０ ， ＝１ ＝ ［０，１］ ，
故排除 ．
Ａ
当ｍ 时 在同一坐标系下 作出两个函数的图象如图
∈（１，２］ ， ， ：
由图可知在 上两个函数图象没有公共点．选项 正确．
［０，１］ Ｂ
当ｍ 时 不妨取ｍ ． 在同一坐标系下作出两个函
答案 Ｄ ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｘ ∈（２，３］ ， ＝２ １，
（ ）＝３ ＋２ ＋１， 数的图象如图
当ａ 时 ｆ ′ ｘ ｘ 显然此时ｆ ｘ 存在一个极值． ：
＝０ ， （ ）＝２ ＋１， （ ）
{ａ
当 ＞０， 即ａ １ 时 ｆ ′ ｘ 恒成立 此时ｆ ｘ 在
Δ ａ ≥ ， （ ）≥０ ， （ ）
＝４－１２ ≤０， ３
{ａ
Ｒ上单调递增 所以选项 可能．当 ≠０， 即ａ １ 且ａ
， Ａ Δ ａ ＜
＝４－１２ ＞０， ３
时 ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｘ 有两个解 即存在两个极值 所
≠０ ， （ ）＝３ ＋２ ＋１＝０ ， ，
{ａ
以选项 可能．当 ＜０， 时无解．综上可知 不存在
Ｂ，Ｃ Δ ａ ，
ｆ ′ ｘ 恒成立的情况 ＝ 即 ４－ 不 １２ 存 ≤ 在 ０ ｆ ｘ 在Ｒ上单调递减的情 由图象可知ｍ ＝２ ． １ 时无交点 ， 选项 Ｃ 错误．
（ ）≤０ ， （ ）
况 故选 ． 当ｍ 时 ｍ ２ ｍ ．在同一坐标系下 作出两
， Ｄ ∈（３，＋∞） ，（ －１） ＞ ＋１ ，
８．（２０１９安徽安庆二模，７）若函数ｆ ｘ ｘ ａ 且ａ 的 个函数的图象 如图
（ ）＝ｌｏｇａ （ ＞０ ≠１） ， ：
定义域与值域都是 ｍ ｎ ｍ ｎ 则ａ的取值范围是
［ ， ］（ ＜ ）， （ ）
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（ｅ，＋∞）
１
ｅ
Ｃ．（１，ｅ） Ｄ．（１，ｅ ）
答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ的定义域与值域相同
（ ）＝ｌｏｇａ ，
等价于方程ｆ ｘ ｘ ｘ有两个不等的实数解．
（ ）＝ｌｏｇａ ＝
ｘ ｘ
ｘ ｘ ｌｎ ｘ ａ ｌｎ 有两个不等实数解
∵ ｌｏｇａ ＝ ，∴ ａ＝ ，∴ ｌｎ ＝ ｘ ，
ｌｎ 故由图象得到选项 错误 应该是一个交点．
ｘ Ｄ ，
问题等价于直线ｙ ａ与函数ｙ ｌｎ 的图象有两个交点． 综上所述 选 ．
＝ｌｎ ＝ ｘ ， Ｂ
１０．（２０１７浙江名校协作体，１７）设函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ａ ｘ
ｘ （ ）＝ －２ ＋１５－２ ，
作函数ｙ ｌｎ 的图象 如图所示． 的两个零点分别为ｘ ｘ 且在区间 ｘ ｘ 上恰
＝ ｘ ， ∈（０，＋∞） １， ２， （ １， ２）
好有两个正整数 则实数ａ的取值范围是 ．
，
( ]
答案 ３１ １９
，
１０ ６
ｘ２
解析 令ｆ ｘ 即ｘ２ ａ ｘ 所以 ＋１５ ａ 令
（ ）＝０， ＋１５＝２ （ ＋１）， ｘ ＝２ ，
根据图象可知 ， 当 ０＜ｌｎ ａ ＜ １ ｅ ， 即 １＜ ａ ＜ｅ １ ｅ 时 ， 直线ｙ ＝ｌｎ ａ与函 ｘ ＋１＝ ｔ ， 则ｔ ＞１， ＋１
数ｙ ＝ ｌｎ ｘ ｘ 的图象有两个交点．故选 Ｄ． 问题转化为（ ｔ －１） ｔ ２ ＋１５ ＝２ ａ在 （１，＋∞） 上的两个解ｔ １， ｔ ２ 之间
９．（２０１９北京石景山一模文，８）当ｘ 时 下列关于函数ｙ
恰有两个正整数．
∈［０，１］ ，
ｍｘ ２ 的图象与ｙ ｘ ｍ的图象交点个数说法正确的是 作出函数ｙ ｔ １６ 和ｙ ａ的图象 如图所示 ．
＝（ －１） ＝ ＋ ＝ ＋ ｔ －２ ＝２ （ ）
（ ）
当ｍ 时 有两个交点
Ａ． ∈［０，１］ ，
当ｍ 时 没有交点
Ｂ． ∈（１，２］ ，
当ｍ 时 有且只有一个交点
Ｃ． ∈（２，３］ ，
当ｍ 时 有两个交点
Ｄ． ∈（３，＋∞） ，
( )
２
答案 Ｂ ｙ ｍｘ ２ ｍ２ ｘ １ 的图象是由ｙ ｘ２ 的图
＝（ －１） ＝ －ｍ ＝
象向右平移 １ 个单位 再将函数值放大ｍ２ 倍得到的
ｍ ， ；
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １５３
方程ｆ ｇ ｘ 有且仅有 个根
① （ （ ））＝０ ６ ；
方程ｇ ｆ ｘ 有且仅有 个根
② （ （ ））＝０ ３ ；
方程ｆ ｆ ｘ 有且仅有 个根
③ （ （ ））＝０ ５ ；
方程ｇ ｇ ｘ 有且仅有 个根．
④ （ （ ））＝０ ４
其中正确的命题为 ．
答案∙∙
①③④
解析 由题图知方程ｆ ｔ 有三个根 ｔ ｔ
（ ）＝０ ， １∈（－２，－１）， ２＝
ｔ
０，３∈（１，２），
由题图知方程ｇ ｘ ｔ 有两个不同的根 方程ｇ ｘ ｔ 有
（ ）＝ １ ， （ ）＝ ２＝０
两个不同的根 方程 ｇ ｘ ｔ 有两个不同的根 则方程
， （ ）＝ ３ ，
易知 仅需ｔ ｔ 恰有一个满足条件即可 ｆ ｇ ｘ 有且仅有 个根．故 正确．
， ＝３， ＝５ ， （ （ ））＝０ ６ ①
由题图知方程ｇ ｕ 有两个根ｕ ｕ
而当ｔ 时 ｙ １９ ｔ 时 ｙ ３１． （ ）＝０ １∈（－２，－１）， ２∈（０，１），
＝３ ， ＝ ； ＝５ ， ＝ 由题图知方程ｆ ｘ ｕ 只有 个根 方程ｆ ｘ ｕ 有三个不
３ ５ （ ）＝ １ １ ， （ ）＝ ２
同的根 则方程ｇ ｆ ｘ 有且仅有 个根．故 不正确．
当 ａ ３１ 即ａ ３１时 ｆ ｘ ｘ２ ３１ｘ ３１ ｘ２ ３１ｘ ４４． ， （ （ ））＝０ ４ ②
２ ＝ ， ＝ ， （ ）＝ － ＋１５－ ＝ － ＋ 由题图知方程ｆ ｘ ｔ 只有 个根 方程ｆ ｘ ｔ 有三个
５ １０ ５ ５ ５ ５ （ ）＝ １ １ ， （ ）＝ ２＝０
不同的根 方程ｆ ｘ ｔ 只有 个根 则方程ｆ ｆ ｘ 有且
令ｆ （ ｘ ）＝０， 解得ｘ １＝ １１ ， ｘ ２＝４ ．此时 （ ｘ １， ｘ ２） 内只有 １ 个正整 仅有 个根 ， ．故 （ 正 ） 确 ＝ ． ３ １ ， （ （ ））＝０
５ ５ ③
由图知方程ｇ ｘ ｕ 有两个不同的根 方程ｇ ｘ ｕ 有两
数． ( 故３ ５ １ ＜２ ] ａ ≤ １ ３ ９ ， 所以３ １ １ ０ ＜ ａ ≤ １ ６ ９ ， 因而实数 ａ 的取值范围 个不同的根 ， 则 （ 方 ）＝ 程 １ ｇ （ ｇ （ ｘ ））＝０ 有且仅 ， 有 ４ 个 （ 根 ） ．故 ＝ ④ ２ 正确．
是 ３１ １９ ． 故 正确．
， ①③④
１０ ６ １３．（２０１７ 浙江衢州质量检测（１ 月），２２）已知函数 ｆ ｘ
１１．（２０１７浙江模拟训练冲刺卷五，１７）在直角坐标系中 横坐 （ ）＝
， ｘ２ ａ ｇ ｘ ｘ２ ａｘ ａ Ｒ．
标 纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数ｆ ｘ 的图象恰好 ｜ － ｜， （ ）＝ － ， ∈
、 （ ） 当ａ 时 求ｆ ｘ 在区间 上的最大值
通过ｋ
（
ｋ
∈
Ｎ∗
）
个格点
，
则称函数ｆ
（
ｘ
）
为ｋ阶格点函数
，
给出 （１）
求ｆ
＝
ｘ
１
在区
，
间
（ ）
上的
［
最
－１
大
，１
值
］
Ｍ ａ 的最小
；
值
( )ｘ （２） （ ） ［－１，１］ （ ） ；
下列函数
：①
ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ２
ｘ
；②
ｆ
（
ｘ
）＝
２
１
；③
ｆ
（
ｘ
）＝ ３ ２
ｘ２
－ （３）
若
的
关
取
于
值范
ｘ的
围
方
．
程ｆ
（
ｘ
）＋
ｇ
（
ｘ
）＝０
在
（０，２）
上有两个解
，
求ａ
６ ２ ｘ ＋３ ２ ． （ ＋ 只 １； 填 ④ 序 ｆ （ 号 ｘ ） ） ＝ｓｉｎ ４ｘ ＋ｃｏｓ ４ｘ．其中是一阶格点函数的为 上 解 的 析 最 大 （ 值 １） 为 当 ． ａ ＝１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｜ ｘ２ －１｜， ｆ （ ｘ ） 在区间 ［－１，１］
答案 １
解析 ③ 函 ④ 数ｆ （ ｘ ）＝ｌｏｇ２ ｘ的图象过格点 （２ ｎ ，２ ｎ
(
）， 其
)
中
ｘ
ｎ ∈ （ 虑 ２） ｆ
（
由 ｘ
）
于 在 ｆ 区 （ ｘ 间 ）＝
［０
｜ ｘ
，
２
１
－
］
ａ 上 ｜ 在 的 区 最 间 大 ［ 值 － 即 １， 可 １］ ． 上是偶函数 ， 故只需考
Ｎ 有无数个格点 故不是一阶格点函数 ｆ ｘ １ 的图 若ａ ≤０， 则ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ － ａ ， 它在 ［０，１］ 上是增函数 ， 故 Ｍ （ ａ ）＝
， ， ； （ ）＝
２ ａ．
象过格点 ｎ ｎ 其中ｎ Ｎ 有无数个格点 故不是一阶格 １－
（－ ，２ ）， ∈ ， ， 当 ａ １ 时 Ｍ ａ ａ 当ａ １ 时 Ｍ ａ ａ
点函数 ｆ ｘ ｘ ２ 的图象过格点 且当ｘ ０＜ ＜ ， （ ）＝１－ ， ≥ ， （ ）＝ ，
； （ ）＝３ ２（ －１） ＋１ （１，１）， ≠ ２ ２
ｘ Ｚ时 ｆ ｘ 的值不是整数 故是一阶格点函数 ｆ ｘ
１， ∈ ， （ ） ， ； （ ）＝ 故当ａ １ 时 Ｍ ａ 取得最小值 且最小值为 １ ．
＝ ， （ ） ，
４ｘ ４ｘ ２ｘ ２ｘ ２ ２ｘ ２ｘ １ ２ ｘ ３ ２ ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） －２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１－ ｓｉｎ ２ ＝ ＋ 令ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ａ ｘ２ ａｘ．
２ ４ （３） ＝ （ ）＋ （ ）＝ ｜ － ｜＋ －
１ ｘ 显然ｆ ｘ 的值域为
[
１
]
要使ｆ ｘ 的值是整数
当ａ
＝０
时
，
ｙ
＝２
ｘ２．令ｙ
＝０，
得ｘ
＝０，
不符合题意．
ｃｏｓ４ ， （ ） ，１ ， （ ） ， ａ
４ ２ 当ａ 时 ｙ ｘ２ ａｘ ａ的图象的对称轴为ｘ 故ｙ在
ｋ ＜０ ， ＝２ － － ＝ ＜０，
则ｆ ｘ 此时 ｘ 得ｘ π ｋ Ｚ 当且仅当ｋ 时 ４
（ ）＝１， ｃｏｓ４ ＝１， ＝ ， ∈ ， ＝０ ， 上单调递增 当ｘ 时 ｙ ａ 故方程ｆ ｘ ｇ ｘ
２ （０，２） ， ＝０ ， ＝－ ＞０， （ ）＋ （ ）＝
ｘ取整数 故是一阶格点函数． 在 上不存在解．
， ０ （０，２）
１２．（２０１８浙江镇海中学阶段性测试，１７）已知函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 和ｙ { ｘ２ ａｘ ａ ｘ ａ或ｘ ａ
＝ ｇ （ ｘ ） 在 ［－２，２］ 上的图象如下图所示．给出下列四个命题 ： 当ａ ＞０ 时 ， ｙ ＝ ２ ａｘ － ａ － （ ａ ＜－ ｘ ａ ＞ ），
－ ＋ （－ ≤ ≤ ），
令ｈ ｘ ｘ２ ａｘ ａ．由ｈ ａ 知 方程ｈ ｘ 在
（ ）＝２ － － （０）＝－ ＜０ ， （ ）＝ ０ （０，
只有一解
＋∞） ，
又ｘ 是方程 ａｘ ａ 的解 所以ａ 方程ｈ ｘ 在
＝１ － ＋ ＝０ ， ≥１， （ ）＝ ０
上必有一解．
（１，２）
由ｈ ｈ 得 ａ ａ 所以 ａ ８
（１） （２）＜０， （２－２ ）（８－３ ）＜０， １＜ ＜ ，
３
综上所述 ａ的取值范围为 ａ ８ ．
， １＜ ＜
３
