北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.6 对数与对数函数
考点1 对数运算
1.(2024北京,9,4分,易)已知(x,y),(x,y)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则( )
1 1 2 2
y + y x +x y + y x +x
A.log 1 2< 1 2 B.log 1 2> 1 2
2 2
2 2 2 2
y + y y + y
C.log 1 2<x+x D.log 1 2>x+x
2 1 2 2 1 2
2 2
B
9
log 2 y 1 + y 2 =log 2 2x 1+2x 2≥log 2 2√2x 1 +x 2=x 1 +x 2 .
2 2 2 2
当且仅当2x 1=2x 2,即x
1
=x
2
时“=”成立.
又(x ,y ),(x ,y )是函数y=2x图象上不同的两点,
1 1 2 2
y + y x +x
∴x ≠x ,∴log 1 2> 1 2.故选B.
1 2 2
2 2
2.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录
法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力
的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1√010≈1.259) ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C 解题指导:将L=4.9代入L=5+lg V,结合对数与指数互化,即可求出V的值.
解析 将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=- 1 − 1,
=lg 10 10
10
1
∴V=1 − 1 1 ≈0.8,
0 10= ≈
1√010 1.259
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
1 1 5
3.(2024全国甲理,15,5分,中)已知a>1且 - =- ,则a= .
log a log 4 2
8 a
答案64
15
1 1 5 1 5
解析 ∵ - =- ,∴log8- =- ,
log a log 4 2 a log 4 2
8 a a北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 5
即3log2- =- ,
a 2log 2 2
a
设t=log2,∵a>1,∴t>0,
a
1 5
则3t- =- ,整理得6t2+5t-1=0,即(t+1)(6t-1)=0,
2t 2
1 1 1
∵t>0,∴t= ,即log2= ,∴ =2,∴a=26=64.
6
a
6
a6
5
4.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logb+loga= ,ab=ba,则a= ,b= .
a b
2
答案 4;2
5 1 5 1 1
解析 令logb=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logb+loga= 得,t+ = ,解得t= 或t=2(舍去),即logb= ,∴b=√a,又
a a b a
2 t 2 2 2
a a
ab=ba,∴a√a=(√a)a,即a√a=
a2
,亦即√a=
2
,解得a=4,∴b=2.
1 1
评析 本题考查对数式、指数式的运算,注意logb= ,先求出logb= 是解题的突破口.
a log a a 2
b
考点2 对数函数
1.(2019天津文,5,5分)已知a=log7,b=log8,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( )
2 3
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直
观想象与逻辑推理的核心素养.
显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log3<log8<log9,所以1<b<2.
3 3 3
因为log7>log4=2,所以a>2.
2 2
故c<b<a.选A.
2.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则( )
A.logc<logc B.loga<logb
a b c c
C.ac<bc D.ca>cb
答案 B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,logc>logc,A项错误;
a b
∵0<c<1,∴y=logx在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0,
c
∴loga<logb,B项正确;
c c
∵0<c<1,∴函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;
∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上单调递减,
又∵a>b>0,∴ca<cb,D项错误.故选B.
评析 本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数函数、对数函
数的图象和性质是解题的关键.
3.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log6,b=log10,c=log14,则( )
3 5 7
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
答案 D 由对数运算法则得a=log6=1+log2,b=1+log2,c=1+log2,由对数函数图象得log2>log2>log2,所
3 3 5 7 3 5 7
以a>b>c,故选D.
4.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log2,b=log2,c=log3,则( )
3 5 2
A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
1 1
答案 D ∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log√3<log2<log3,log1<log2<log√5,log3>log2,∴ <a<1,0<b<
3 3 3 5 5 5 2 2
2 2
,c>1,
∴c>a>b.故选D.
1
5.(2012课标文,11,5分)当0<x≤ 时,4x<logx,则a的取值范围是( )
a
2
A.( √2) B.(√2 ) C.(1, ) D.( ,2)
0, ,1 √2 √2
2 2
1 √2 √2
答案 B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=logx的大致图象如图,则只需满足log >2,解得a> ,∴ <a<1,
a a2
2 2
故选B.
评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
