1.10晚-理论精讲-高中基础知识2-马小宁_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_科一科二电子资料合集中小幼（笔记真题知识点汇总等）文件多，按需保存_01西米合集_24上半年系统班

2 0 2 4 年 教 资 科 目 三 - 数 学 高 中 基 础 知 识 2 讲师：马小宁 更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师2024FENBI P72024FENBI P8二、初等函数 （一）指数函数 3.公式 2024FENBI P8二、基本初等函数 （二）对数函数 2024FENBI P82024FENBI P92024FENBI P9P9 2024FENBI2024FENBI P92024FENBI P10和式与差式 𝑎 𝑚 = 𝑀，𝑎 𝑛 = 𝑁， 𝑙𝑜𝑔 𝑀 = 𝑚，𝑙𝑜𝑔 𝑁 = 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚+𝑛 = 𝑀𝑁，𝑙𝑜𝑔 𝑀 𝑁 = 𝑚 + 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑀 + 𝑙𝑜𝑔 𝑁 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚 𝑎 𝑀 𝑀 𝑎 𝑚−𝑛 = = ，𝑙𝑜𝑔 = 𝑚 − 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑀 − 𝑙𝑜𝑔 𝑁 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑁 𝑁 指系 ①𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥，𝑎 𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛，𝑎 𝑛𝑥 = 𝑏 𝑛，𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑛𝑥 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 𝑎 1 ②𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥， 𝑎 𝑚 𝑥 = 𝑏， 𝑎 𝑥 𝑚 = 𝑏，𝑎 𝑥 = 𝑚 𝑏 = 𝑏 𝑚 𝑚 𝑎 1 1 1 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥， 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑥，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑚 𝑚 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚 𝑚 2024FENBI 𝑛 ③𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏。 𝑚 𝑎 𝑎 𝑚换底 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑚，𝑏 = 𝑐 𝑛，𝑎 = 𝑏，𝑙𝑜𝑔 𝑏 = = 𝑐 = 𝑐 = 𝑐 𝑚 𝑎 𝑚 𝑚 𝑙𝑜𝑔 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑚 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑐 𝑐 𝑐 还原 令log 𝑥 = 𝑁，则𝑎 𝑁 = 𝑥，𝑎 log 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑁 = 𝑥；log 𝑎 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 = 𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 倒数 log 𝑏 log 𝑎 1 log 𝑏 log 𝑏 = 𝑐 ，log 𝑎 = 𝑐 ， = 𝑐 = log 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 log 𝑎 log 𝑏 log 𝑎 log 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑐 2024FENBI2024FENBI P102024FENBI P102024FENBI2024FENBI P102024FENBI P112024FENBI P112024FENBI P122024FENBI P122024FENBI P122024FENBI P12-132024FENBI P132024FENBI P132024FENBI P132024FENBI P13已知𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3，请利用定义法判断，当𝑥 > 0时，𝑓 𝑥 的单调性 任取𝑥 > 𝑥 > 0，则𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑥 2 − 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥 𝑥 − 𝑥 + 2 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 2 𝑥 − 𝑥 ， ∵ 𝑥 + 𝑥 + 2 > 0 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 𝑥 − 𝑥 > 0，∴𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 > 0，即𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥 ，故函数𝑓 𝑥 在𝑥 > 0时单调递增。 2 1 2 1 2 1 2024FENBI2024FENBI PP1144（同增异减） 2024FENBI P142024FENBI P142024FENBI P142024FENBI P152024FENBI P152024FENBI P162024FENBI P16补充：复合函数奇偶性（同奇则奇，一偶则偶） 2024FENBI2024FENBI P172024FENBI P172024FENBI P182024FENBI P18公式1 如图，角𝐴的终边与单位圆的交点坐标为𝑃 𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐴 ，角𝐵的终边与单位圆的交点坐标为 𝑄 𝑐𝑜𝑠𝐵, 𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 根 据 向 量 数 量 积 可 知 ， 𝑂𝑃 ∙ 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，因为 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 1，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式1： 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 2024FENBI公式2 因为𝐴 + 𝐵 = 𝐴 − −𝐵 ，所以𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 ，利用公式1可得𝑐𝑜𝑠 𝐴 − −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式2：𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 公式3 𝜋 𝜋 𝜋 由诱导公式可得𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝛼 ，则𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 2 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 − 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵，得到公式 2 2 2 3：𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 2024FENBI公式4 因为𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 ，所以𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + −𝐵 ，利用公式3可得𝑠𝑖𝑛ሾ𝐴 + −𝐵 ሿ = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 ， 再 利 用 诱 导 公 式 可 得 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛 −𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 得 到 公 式 4 ： 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 公式5 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = = ， 分 子 分 母 同 时 除 以 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 得 ， 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式5：𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 公式6 𝑠𝑖𝑛 𝐴−𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = = ， 分 子 分 母 同 时 除 以 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 得 ， 𝑐𝑜𝑠 𝐴−𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴−𝑡𝑎𝑛𝐵 = ，得到公式6：𝑡𝑎𝑛 𝐴 − 𝐵 = 2024FENBI 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵 1+𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵2024FENBI P18𝝅 𝝅 辅助角公式前提：a>0，𝝋𝛜（ − ， ） 𝟐 𝟐 2024FENBI P18𝑎 𝑏 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ； 𝑎2+𝑏2 𝑎2+𝑏2 𝑎 𝑏 令 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 ， = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ， 则 原 式 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎2+𝑏2 𝑎2+𝑏2 𝑎2 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 3 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2 2024FENBI2024FENBI P182024FENBI2024FENBI P192024FENBI P192024FENBI2024FENBI P192024FENBI