专题01三角函数的图象与性质（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮专题训练（新高考地区专用）

专题01 三角函数的图象与性质 1、【2022年全国甲卷】将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若 C关于y轴对称，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则 ， 解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 . 故选：C. 2、【2022年全国甲卷】设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：依题意可得 ，因为 ，所以 ，要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示： 则 ，解得 ，即 ． 故选：C． 3、【2022年全国乙卷】函数 在区间 的最小值、最大值分别为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以 在区间 和 上 ，即 单调递增； 在区间 上 ，即 单调递减， 又 ， ， ， 所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 . 故选：D4、【2022年新高考1卷】记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ， 又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， ， 所以 . 故选：A 5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ） A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2 【答案】C 【解析】由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 . 故选：C． 6、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象， 根据已知得到了函数 的图象，所以 ， 令 ,则 , 所以 ,所以 ； 解法二：由已知的函数 逆向变换， 第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， 即为 的图象，所以 . 故选：B.7、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数 单调递增的区间是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数 的单调递增区间为 ， 对于函数 ，由 ， 解得 ， 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ， 则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件； 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ， 且 ， ，CD选项均不满足条件. 故选：A. 8、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________.【答案】 【解析】由题意可得： ， 当 时， ， 令 可得： ， 据此有： . 故答案为： . 9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则满 足条件 的最小正整数x为________． 【答案】2【解析】由图可知 ，即 ，所以 ； 由五点法可得 ，即 ； 所以 . 因为 ， ； 所以由 可得 或 ； 因为 ，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ， 解得 ，令 ，可得 ， 可得 的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最小正整数为2. 故答案为：2. 10、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数 在 的图 像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 ， 将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点， 所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为 故选：C 题组一、三角函数图像的变换1-1、（2022·四川绵阳·三模）函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 （ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知 ， ，得 ，所以 ， 所以， ，又因为 在函数 的图象上，所以， ， 又因为 ，所以 ，所以 ，将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，得 ，所以， .故选：B 1-2、（2022·重庆三模）已知曲线 ： 的部分图象如图所示，要得到曲线 的图象，可将曲线 的图象（ ）A．先向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 B．先向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先向左平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 D．先向左平移 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】因为 函数过点 ，即 ，又 ，所以 ，即 ，又 函数过点 ，根据五点作图法可知 ，解得 ，所以 ， 由 向右平移 个单位长度得到 ，再将 各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到 ，即 ；故选：A 1-3、（2022·山东莱西·高三期末）要得到 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】C 【解析】：因为函数 ， 所以要得到 的图象，只需将 的图象向右平行移动 个单位长度， 故选：C.  π f xcos 2x   1-4、（2021·山东临沂市·高三二模）（多选题）设函数  3的图象为曲线 E ，则 （ ） π A．将曲线y cos2x向右平移3 个单位长度后与曲线E重合  π 1 y cos x   B．将曲线  3上各点的横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，则与曲线E重合 π f x C．将曲线 向左平移6 后所得图象对应的函数为奇函数 π x  x f x  f x 0 x x D．若 1 2 ，且 1 2 ，则 1 2 的最小值为2 【答案】BD π    2 y cos2 x cos 2x     【解析】选项A：将曲线y cos2x向右平移 3 个单位长度后可得  3  3 . 1 π 1 y   f 0cos  当x 0时， 2 3 2，所以平移后图像与曲线不E重合，故选项A不正确.  π 1 y cos x   选项B：将曲线  3上各点的横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变可得  π y cos 2x  f x    3 π y cos 2x  f x    3 ，故B正确. π    π  2 y cos 2 x  cos 2x 选项C：将曲线 f x向左平移 6 后可得     6   3     3   1 y  0 显然x 0时， 2 ，所以此时不为奇函数，故C不正确.  π π  k  f xcos  2x  0 2x k ,kZ x  ,kZ 选项D：由  3 ，可得 3 2 ，即 2 12 k  k  x  1  ,k Z x  2  ,k Z 由 f x 1  f x 2 0 ，所以 1 2 12 1 ， 2 2 12 2  π x x  k k 所以 1 2 2 1 2 ，由 k 1 ，k 2 Z ，可得 x 1 x 2 的最小值为2 ，故D正确. 故选：BD 题组二、三角函数的解析式及性质 2-1、（2022·江苏海安·高三期末）函数 的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，点 是函数 的图象对称中心，且 在函数 的一个单调增区间 内， 则 ，即 ， ，令函数 周期为 ，由图象知 ，即有 ，而 ，则有 ， 因此， ，解得 ，而 ，则 ， ， ， 由 得函数 图象的对称轴： ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ，即选项A，B，D不满足，选项C满足. 故选：C f x AsinxA0,0,0 2-2、（2021·山东滨州市·高三二模）（多选题）函数 的部 分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） f x 2 A． 的最小正周期为 f x B． 的最大值为2  5    , C． f x 在区间   12 12  上单调递增   f x   D．  6 为偶函数 【答案】BD 11 5 2 T 2(  )  2 【解析】由已知 12 12 ，所以 T ，A错；5 π 2 k,kZ  由五点法得 12 ，又0，所以 6，  f(0) Asin 1 6 ，A2，B正确，  f(x)2sin(2x ) 所以 6 ，  5    2    x  , 2x   , 2x    12 12  时， 6   3 3  ， 6 2 时， f(x) 2，函数 f(x)在区间 min  5    ,    12 12上不单调，C错；       f x 2sin2 (x ) 2sin(2x )2cos2x      6   6 6 2 是偶函数，D正确． 故选：BD．  π f x Acosx1 A0,   2-3、（2021·全国高三专题练习）（多选题）已知函数  2，若函数 y  f x 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）． π f x x A．函数 的图像关于直线 6 对称 5   π,1 B．函数 f x 的图像关于点   6  对称 5 π C．将函数y 2sinx1的图像向左平移6 个单位可得函数 f x 的图像  π   ,0 D．函数 f x 在区间   2  上的值域为   31,3  【答案】BC y  f x f x 【解析】结合函数 的图像易知，函数 的最大值3，最小值为1， f x2cosx1 则A2， ， 1 代入点 0,2 ，则2cos12， cos 2，  π   f x2cos   x   1 因为 2 ，所以 3 ，  3 ，    x kkZ x kkZ f x x kkZ 3 ，即 3 ，函数 关于 3 对称，A错误； π π    x+ 3 = 2 +kπ(k�Z) ，即 x 6 kkZ ，函数 f x 关于点   6 k,1   kZ 对称，B正确； 5 π 函数y 2sinx1的图像向左平移6 个单位，  5      f x2sin x 12sin x  12cos x 1       得出  6   3 2  3 ，C正确；      π    1  当 x    2 ,0  时， x 3     6 , 3  ， cos   x 3      2 ,1   ， f x2,3 ，D错误. 故选：BC. 2-4、（2021·江苏苏州市高三模拟）（多选题）如图是函数 的部分图象，则（ ） A．函数 的最小正周期为 B．直线 是函数 图象的一条对称轴 C．点 是函数 图象的一个对称中心 D．函数 为奇函数 【答案】ACD 【解析】由图得 ， ，所以 ，故A正确； ， ， 由 在图象上，得 得 ， ，所以 ， 故B错误，C正确； 因为 ，所以 ， 而 ， ，故D正确.故选：ACD. 题组三、三角函数的性质 3-1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，且 在 为单调递增函数， 所以 ，即 ， 令 ，可得 ， 当 时， 单调递减，所以 在 单调递增，且 ， 所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 ，即 ，所以 ， 又因为 ，所以 . 故选：D. 3-2、（2022·广东潮州·高三期末）已知函数 ，则（ ） A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数 B．当n=3时，f(x)在[0， ]上的最小值为 C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是 D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线 对称 【答案】BD 【分析】 通过判断 的值，判断A的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B的正误；求出函数的单调增区间判断C的正误；判断 ，判断D的正误． 【详解】 解：对于A，取 ，则 ，从而 ，此时 不是奇函数，则A错误； 对于B，当 时， ， 当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递 增， 所以 的最小值为 ，故B正确； 对于C，当 时， ， 令 ，则 ， 所以 的递增区间为 ，则C错误； 对于D，因为 ，所以 的图象关于直线 对称，则 D正确； 故选：BD. 3-3、（2022·湖南湘潭·三模）若函数 在（0， ）上恰有2个零点，则 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数 ， 因为 ，所以 ，又由 在 上恰有2个零点，所以 ，解得 ， 所以 的取值范围为 .故选：B. 3-4、（多选）（2022·河北邯郸·一模）已知函数 ，则（ ） A． 为周期函数 B． 的图象关于 轴对称 C． 的值域为 D． 在 上单调递增 【答案】ACD 【解析】由题意得： 对于A选项：因为 ，所以 是函数 的一个周期， A正确； 对于B选项：因为 ，则 的图象关于原点对称，B错 误； 对于C选项：当 ， 时， ； 当 ， 时， . 故函数 的值域为 ，C正确； 对于D选项：当 时， ，因为 ，所以 在 上单调递增，D正确.故选：ACD. 3-5、（2022·广东清远·高三期末）（多选题）将函数 图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 ，则（ ） A． 的最小值是 B． 的图象关于直线 对称 C． 的最小正周期是 D． 的单调递增区间是 【答案】ACD 【解析】由题意知， ，则 ， 的最小值 是 ，最小正周期是 ，故A，C正确； 令 ，得 ，若 ，则 ，故B错误； 令 ，得 ，即 的单调递增区间是 ， 故D正确． 故选：ACD. 题组四、三角函数的性质的综合运用 4-1、（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学 上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典 型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.则（ ） A．f(x)的最大值为3 B．π是f(x)的一个周期 C．f(x)的图像关于(π，0)对称 D．f(x)在区间 上单调递增 【答案】C【解析】 取最大值1时， ， ， 取最大值1时， ， 取最大值1时， ，三者不可能同时取得，因此 ，A 错； 与 不可能恒相等， 不可能是周 期，B错； ， 所以 的图象关于点 对称，C正确； 函数图象是连续的， 而 ， ，因此 在 上不可 能递增，D错误． 故选：C． 4-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 ， ， ，若 的最小值为 ，且的图像关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点 最近的对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ， ， 的最小值为 知， ， ， .的图像关于点 对称， . . 的对称轴为 . . 当 时， 是离原点最近的对称轴方程. 故选：B. 4-3、（2022·江苏扬州·高三期末）（多选题）已知函数 (ω>0)，下列说法中正确的 有（ ） A．若ω=1，则f(x)在 上是单调增函数 B．若 ，则正整数ω的最小值为2 C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D．若f(x)在 上有且仅有3个零点，则 【答案】BD 【解析】依题意， ， 对于A， ， ，当 时，有 ，因 在 上不单调， 所以 在 上不单调，A不正确； 对于B，因 ，则 是函数 图象的一条对称轴， ，整理得 ，而 ，即有 ， ，B正确； 对于C， ， ，依题意，函数 ， 这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确； 对于D，当 时， ，依题意， ，解得 ，D正确. 故选：BD 4-4、（2022·天津五十七中模拟预测）（多选）已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得 到函数 的图象，关于函数 ，下列选项不正确的是（ ）． A．最小正周期为 B． C． 是偶函数 D．当 时 取得最大值 【答案】CD 【解析】 正确, 错误 的最小正周期 正确 当 时, ,解得 所以当 时, 取得最大值, 错误故选 ：CD 4-5、（2022·河北保定·高三期末）已知函数 ，则（ ） A． 的最小正周期为 B． C． 的图象关于点 对称D． 【答案】D 【分析】 根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A，C是否正确；当 时， 易得 ，再根据 ，即可判断B是否正确；由函数 的单调性，可知 在 上单调递增，再根据 ，由单调性新即可判断D是否正确. 【详解】 因为函数 ，所以 的最小正周期为 ，故 A错误； 当 时， ，所以 ，所以 ，而 ，所 以 ，故B错误； 若 的图象关于点 对称，则 ， 又 ， 所以 ，故C错误；由于函数 的图象是将函数 在 轴下方的图象翻折到 轴上方，所以可知 在 上单调递增， 令 ， 所以 在区间 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 又 ，所以 ，故D正确. 故选：D. 4-6、（2022·江苏南通·模拟预测）已知 ，试写出一个满足条件①②③的 __________． ① ： ② ： ③ 【答案】 （答案不唯一： ） 【解析】由②③得 ，所以 ， 相减得 ， ， 结合①， 取 ，则 ，只要 为正整数都满足题意． 故答案为： （答案不唯一）．1、（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，其在 上单调递减的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的最小正周期为 ，在 上单调递减，符合题意，故A正确； 不是周期函数，故B错误； 中， ，则 ，故 中在 时不是单调函数，故C错误； ，则 ，故 中在 时不是单调函数，故D错误， 故选：A. 2、（2022·湖南常德·高三期末）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图 所示，则下列四个结论中正确的是（ ） A．若 ，则函数f(x)的值域为 B．点 是函数f（x）图象的一个对称中心 C．函数f（x）在区间 上是增函数D．函数f（x）的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到 【答案】A 【解析】由题图及五点作图法得 ， ， ， 则 ， ，故 . 由 ，得 ， 故 ，函数f(x)在区间 上不是增函数，故A正确，C错误； ∵当 时， ， 所以点 不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误； 由 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，故D错误. 故选：A． 3、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 的部分图象如图所示， 则（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可知， ，所以 ， 又 过点 ，所以 ，且 即 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 . 故选：A. 4、（2022·湖南娄底·高三期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在 上单调递减，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】 求得 ，由 可求得 ，结合函数 的单调性 可得出关于 的不等式，由此可得出 的最大值. 【详解】 将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象. 因为 ，所以 ， 因为 在 上单调递减，所以 ， ，所以 的最大值为 . 故选：B. 5、（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 在 时的值域为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由对称性先求出 的解析式，再由平移得出 的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域. 【详解】 设 为 的图像上一点，则点 关于直线 对称的点为 由题意点 在函数 的图象上，则 所以 ，则当 时， ，则 所以 故选：C 6、（2022·山东青岛·高三期末）已知 ，则下列大小关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 A.构造函数 ，利用其单调性比较大小； B.构造函数 ，利用其单调性比较大小； C.构造函数 及函数 ，利用其单调性比较大小； D.将 转化为 ，判断 的大小关系即可. 【详解】 ，则 ，且 ， A.因为函数 在 上单调递减，故 ，A错误； B.因为函数 在 上单调递减，故 ，B错误； C.因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，，C正确； D. ， 又 ， ，D错误； 故选：C. 7、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）将函数 的图象向右平移 个单 位长度后得到函数 的图象，且 ，则下列说法正确的是（ ） A． 为奇函数 B． C．当 时， 在 上有4个极值点 D．若 在 上单调递增，则 的最大值为5 【答案】BCD 【分析】 利用题目已知条件，求出 ，再结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】 ∵ ∴ ，且 ，∴ ，即 为奇数， ∴ 为偶函数，故A错. 由上得： 为奇数，∴ ，故B对. 由上得，当 时， ， ,由图像可知 在 上有4个极值点,故C 对， ∵ 在 上单调，所以 ,解得： ，又∵ ， ∴ 的最大值为5，故D对 故选：BCD. 8、（2022·湖南郴州·高三期末）（多选题）已知函数 的零点按照由小到大的 顺序依次构成一个公差为 的等差数列，函数 的图像关于原点对称，则（ ） A． 在 在单调递增 B． ， C．把 的图像向右平移 个单位即可得到 的图像D．若 在 上有且仅有两个极值点，则 的取值范围为 【答案】BD 【分析】 由已知条件可求得 ， ，利用正弦函数的单调性可判断A；利用函数 和 的值域可判断B；利用图像平移的规律可判断C；利用极值点的定义可列出关于a的不等式， 解之可判断D. 【详解】 由题意可知，函数两个相邻的零点之差的绝对值为 ， 设函数 的周期为 ，则 ，即 ，即 ， 又 ， ， 又函数 的图像关于原点对称，即 为奇函数， ， ，又 ， ， 对于A， ， ， ，结合正弦函数性质知 在 在不单调， 故A错误； 对于B， ，函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，所以 ，故B正确；对于C， 的图像向右平移 个单位得到 ，故C错误； 对于D， ， ， ，利用正弦函数的性质知，要使函数 在 上有且仅有两个极值点，则需满足 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，故D正确； 故选：BD