文档文本内容
３０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
５．４ 解三角形及其综合应用
§
在锐角三角形ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ａ Ｂ π
（４） ，ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ⇔ ＋ ＞ ；
２
在斜 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
（５） △ ，ｔａｎ ＋ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ ·ｔａｎ ·ｔａｎ ；
考点一 正弦定理和余弦定理 有关三角形内角的常用三角恒等式 Ａ Ｂ Ｃ
（６） ：ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ；
１．正弦定理和余弦定理 ( ) Ａ Ｂ
Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ π ＋
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ －ｃｏｓ ；ｔａｎ（ ＋ ）＝ －ｔａｎ ＋ ≠ ；ｓｉｎ ＝
正弦定理 余弦定理 ２ ２
Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
ａ ｂ ｃ
Ｒ
ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
－２
ｂｃ
·ｃｏｓ
Ａ
ｃｏｓ ；ｃｏｓ
＋
＝ｓｉｎ
．
内容
ｓｉｎ
Ａ＝
ｓｉｎ
Ｂ＝
ｓｉｎ
Ｃ＝２ ｂ２
＝
ｃ２
＋
ａ２
－２
ｃａ
·ｃｏｓ
Ｂ ２
三角
２
形中的射
２
影定理．
（
Ｒ为
△
ＡＢＣ外接圆半径
）
ｃ２
＝①
ａ２
＋
ｂ２
－２
ａｂ·
ｃｏｓ
Ｃ （
ａ
７）
ｂ Ｃ ｃ Ｂ
＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ，
ａ Ｒ Ａ ｂ Ｒ Ｂ ｃ
（１） ＝２ ｓｉｎ ， ＝２ ｓｉｎ ， ＝ ｂ ａ Ｃ ｃ Ａ
Ｒ Ｃ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ，
２ ｓｉｎ ； ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ．
ａ ｂ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
Ａ Ｂ Ｃ
（２）ｓｉｎ ＝ ２ Ｒ，ｓｉｎ ＝ ２ Ｒ，ｓｉｎ Ａ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ° ６－ ２ ° ６＋ ２ ° ．
ｃ ｃｏｓ ＝ ｂｃ ； （８）ｓｉｎ１５ ＝ ，ｃｏｓ１５ ＝ ，ｔａｎ１５ ＝２－ ３
２ ４ ４
变 形 形 式 ＝ ２ Ｒ ａ ； ｂ ｃ Ａ Ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃ２ ＋ ａ ｃ ２ ａ － ｂ２ ； 考点二 解三角形及其综合应用
（３） ∶ ∶ ＝② ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ２
Ｃ ａ２ ｂ２ ｃ２ １．有关概念
∶ ｓｉｎ ； Ｃ ＋ －
ａ ｂ ｃ ｃｏｓ ＝ ａｂ 仰角和俯角
＋ ＋ ２ （１）
（４） Ａ Ｂ Ｃ
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰
ａ ，
Ｒ 角 在水平线下方的角叫俯角 如图 ．
＝③ Ａ ＝④ ２ ， （ ａ）
ｓｉｎ
已知两角和任意一边 求
（１） ， 已知三边 求各角
解决的 另一角和其他两条边 （１） ， ；
； 已知两边和它们的夹
问题 已知两边和其中一边的对 （２）
（２） 角 求第三边和其他两个角
角 求另一边和其他两角 ，
，
２．解三角形
方位角
利用余弦定理求边长 实质是解一元二次方程 解出后 （２）
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角 如
（１） ， ，
可根据已知条件对方程的根进行取舍． ，
Ｂ点的方位角为α 如图 ．
在 ＡＢＣ中 已知ａ ｂ和Ａ 利用正弦定理解三角形时 （ ｂ）
（２） △ ， ， ， ， 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 ．
会出现解不确定的情况 一般可根据三角形中 大边对大角和三 （３） ： （ ｃ）
， “ 北偏东α° 指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
角形内角和定理 来取舍．在 ＡＢＣ中 已知ａ ｂ和Ａ时 具体解 ａ． ：
” △ ， ， ， 东北方向 指北偏东 °方向．
的情况如下表 ｂ． ： ４５
：
Ａ为锐角 Ａ为钝角或直角
图形
坡角 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角 如图 角
关系式 ａ ｂ Ａ ｂ Ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ （４） ： （ ｄ，
＝ ｓｉｎ ｓｉｎ ＜ ＜ ≥ ＞ θ为坡角 ．
）
解的 坡度 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度 或坡比
一解 两解 一解 一解 ： （ ）
个数 如图 ｉ为坡比 ．
（ ｄ， ）
上表中 若Ａ为锐角 则当ａ ｂ Ａ时无解 若Ａ为钝角或 ２．三角形的面积公式
， ， ＜ ｓｉｎ ；
直角 则当ａ ｂ时无解．
， ≤ 已知三角形一边及该边上的高 利用Ｓ １ ａｈ ｈ表示边
３．三角形中常用的结论 （１） ， ＝ （
２
在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 常见的结论有 ａ上的高
△ ， ， ， ， ，， ： ）；
Ａ Ｂ Ｃ (
（１） ＋ ＋ ＝π； 已知三角形的两边及其夹角 利用 Ｓ １ ａｂ Ｃ Ｓ
在 ＡＢＣ中 大角对大边 大边对大角 如 ａ ｂ Ａ Ｂ （２） ， ＝ ｓｉｎ ＝
（２） △ ， ， ， ： ＞ ⇔ ＞ ⇔ ２
Ａ Ｂ )
ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ； １ ａｃ Ｂ Ｓ １ ｂｃ Ａ ．
任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ
（３） ， ； ２ ２
专题五 三角函数与解三角形 ３０５
知识拓展 已 知 三 角 形 的 三 边 利 用 Ｓ ｒ为三角形的内切圆半径 ．
（１） ， ＝ （ ）
ｐ （ ｐ － ａ ）（ ｐ － ｂ ）（ ｐ － ｃ ） ( 其中ｐ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ) ． （３） Ｓ ＝ ａｂ Ｒ ｃ ＝２ Ｒ２ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ （ Ｒ为 △ ＡＢＣ外接圆的半径 ） ．
４
２
已知三角形的三边及内切圆半径 利用Ｓ １ ａ ｂ ｃ ｒ
（２） ， ＝ （ ＋ ＋ ）
２
答案 Ｄ
６．已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 若ｂ ａ Ｃ
△ ， ， ， ， ， ＋ ｃｏｓ
ｂｃ
Ａ Ａ Ｃ 则
考点一 正弦定理和余弦定理 ＝０，ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ（ ＋ ）， ａ２ ＝ （ ）
１．在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若 Ａ Ｂ ｃ
△ ， ， ， ， ， ， ｓｉｎ ＝３ｓｉｎ ， ． ７ ７ ５
Ａ ７ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
且 Ｃ ５ 则ａ ２ ４ ４
＝ ５， ｃｏｓ ＝ ， ＝ （ ） 答案 Ｃ
６
７．设锐角 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 且ｃ
Ａ．２ ２ Ｂ．３ Ｃ．３ ２ Ｄ．４ △ ， ， ， ， ， ＝
答案 Ｂ Ａ Ｃ 则 ＡＢＣ周长的取值范围为
１， ＝２ ， △ （ ）
２．若 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 已知ｂ Ａ
△ ， ， ， ， ， ｓｉｎ ２ ＝ Ａ．（０，２＋ ２） Ｂ．（０，３＋ ３）
ａ
ａ Ｂ 且ｃ ｂ 则 等于
ｓｉｎ ， ＝２ ， ｂ （ ） Ｃ．（２＋ ２，３＋ ３） Ｄ．（２＋ ２，３＋ ３］
答案 Ｃ
３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ． ３
考点二 解三角形及其综合应用
２ ３
答案 Ｄ
８．在 ＡＢＣ中 三边长分别为 ａ ａ ａ 最小角的余弦值为
３．在 ＡＢＣ中 ａ ｃ Ａ ° 则Ｃ △ ， ， ＋２， ＋４，
△ ， ＝２ ３， ＝２ ２， ＝６０ ， ＝ （ ） １３ 则这个三角形的面积为
． ° ° ， （ ）
Ａ３０ Ｂ．４５ １４
°或 ° °
Ｃ．４５ １３５ Ｄ．６０
答案 Ｂ １５ ３ １５ ２１ ３ ３５ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．（多选题）已知ａ ， ｂ ， ｃ分别是 △ ＡＢＣ三个内角Ａ ， Ｂ ， Ｃ的对边 ， 答 ４ 案 Ａ ４ ４ ４
下列四个命题中正确的是
（ ）
９．如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到Ａ处时测
Ａ ．若 ｔａｎ Ａ ＋ｔａｎ Ｂ ＋ｔａｎ Ｃ ＞０， 则 △ ＡＢＣ是锐角三角形 得公路 ， 北侧一山顶Ｄ在西偏北 °的方向上 行驶 ， 后到
Ｂ． 若ａ ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｂ ， 则 △ ＡＢＣ是等腰三角形 达Ｂ处 测得此山顶在西偏北 ３０ °的方向上 ， 仰角为 ６００ ° ｍ 则此
Ｃ． 若ｂ ｃｏｓ Ｃ ＋ ｃ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｂ ， 则 △ ＡＢＣ是等腰三角形 山的高度 ， ＣＤ ． ７５ ， ３０ ，
＝ ｍ
ａ ｂ ｃ
若 则 ＡＢＣ是等边三角形
Ｄ． Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ， △
ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ
答案 ＡＣＤ
５．已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 且ａ ｂ ｃ
△ ， ， ， ， ， ∶ ∶
Ａ Ｂ
则２ｓｉｎ －ｓｉｎ
＝４ ∶ ３ ∶ ２， Ｃ ＝ （ ）
ｓｉｎ２
． ３ ５ ９ １０ 答案
Ａ Ｂ． Ｃ． Ｄ． １００ ６
７ ７ ７ ７
ＢＣ ＡＣ ＡＣ Ａ
定理得 得ＢＣ ·ｓｉｎ 所以ＡＣ边上的高为ＢＣ
Ａ＝ Ｂ， ＝ Ｂ ，
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
考点一 正弦定理和余弦定理 ５ １
ＡＣ Ａ Ｃ （ １５－２）× ×
Ｃ ·ｓｉｎ ·ｓｉｎ ３ ２ 故选 ．
·ｓｉｎ ＝ Ｂ ＝ ＝ ５， Ｃ
１．（２０２０吉林长春二模，８）在 ＡＢＣ中 Ｃ ° Ａ ２ ＡＣ ｓｉｎ １５－２
△ ， ＝３０ ，ｃｏｓ ＝－ ，
３ ６
则ＡＣ边上的高为 ２．（２０１９安徽安庆二模，１０）已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的
＝ １５－２， （ ） △ ， ，
ａ
５ １５ 边分别为ａ ｂ ｃ 若ｂ Ａ ａ Ｂ 且ｃ ｂ 则 等于
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ． ， ， ， ｓｉｎ２ ＝ ｓｉｎ ， ＝２ ， ｂ
２ ２
（ ）
答案 Ｃ 依题意得 Ａ ２Ａ ５ 则 Ｂ Ａ
ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ３ ４
３ Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ． ３
２ ３
Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ ５ ３ ２ １ １５－２．由正弦 答案 Ｄ 由正弦定理及ｂ Ａ ａ Ｂ 得 Ｂ Ａ
＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ × － × ＝ ｓｉｎ ２ ＝ ｓｉｎ ， ２ｓｉｎ ｓｉｎ ·
３ ２ ３ ２ ６
３０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ａ Ａ Ｂ 又 Ａ Ｂ 则 Ａ １ ．又ｃ ｂ 的边分别为ａ ｂ ｃ．已知 Ｃ ３ ．
ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ， ｓｉｎ ≠０，ｓｉｎ ≠０， ｃｏｓ ＝ ＝２ ， ， ， ｃｏｓ２ ＝－
２ ４
求 Ｃ
所以由余弦定理得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ｂ２ ｂ２ ｂ２ １ ｂ２ （１） ｓｉｎ ；
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝ ＋４ －４ × ２ ＝３ ， （２） 当ｃ ＝２ ａ ， 且ｂ ＝３ ２ 时 ， 求ａ．
ａ
得 ｂ ＝ ３ ．故选 Ｄ ． 解析 （１） 因为 ｃｏｓ２ Ｃ ＝－ ３ ， 所以 １－２ｓｉｎ ２Ｃ ＝－ ３ ．
４ ４
３．（２０２０陕西安康二模，１５）在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边
△ ， ， ，
因为 Ｃ π 所以 Ｃ １４．
分别为ａ ｂ ｃ 若ａ Ｂ π Ｃ 则ｂ ． ０＜ ＜ ， ｓｉｎ ＝
， ， ， ＝２， ＝ ，ｔａｎ ＝７， ＝ ２ ４
４
由 可知 Ｃ １４
答案 ５ ２ （２） （１） ｓｉｎ ＝ ，
４
４
因为 ＡＢＣ是锐角三角形 所以 Ｃ ２Ｃ ２．
解析 由 Ｃ 且Ｃ 可求得 Ｃ ７ ２ Ｃ △ ， ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝
ｔａｎ ＝７ ∈（０，π） ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ４
１０ ａ ｃ
( ) 因为ｃ ａ
＝２ ， Ａ＝ Ｃ，
２．故 Ａ Ｂ Ｃ π Ｃ ２ Ｃ Ｃ ２ ｓｉｎ ｓｉｎ
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋ ＝ （ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ）＝ ×
１０ ４ ２ ２
所以 Ａ １ Ｃ １４ 所以 Ａ ５ ２．所以 Ｂ
æ ö ａ ｂ ｂ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ［π
ç ２ ７ ２÷ ４ ．由 ２ ｂ ５ ２． ２ ８ ８
è ＋ ø＝ Ａ＝ Ｂ⇒ ＝ ⇒ ＝
１０ １０ ５ ｓｉｎ ｓｉｎ ４ π ４
ｓｉｎ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ ３ ７．
５ ４ －（ ＋ ）］＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝
４．（２０２０河南开封二模，１７） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别 ８
△ ， ， ａ ｂ
因为 ｂ 所以ａ ．
为ａ ｂ ｃ 已知 Ｂ １ ． ＡＢＣ的面积是否存在 Ａ＝ Ｂ， ＝３ ２， ＝２
， ， ， ｃｏｓ ＝－ ， △ ｓｉｎ ｓｉｎ
２
最大值 若存在 求对应三角形的三边 若不存在 说明理由． 考点二 解三角形及其综合应用
？ ， ； ，
从 ａ ｃ ｂ ａ这两个条件中任选一个 补充在上面问 １．（２０１８广西柳铁一中２月月考，６）在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ
① ＋ ＝２，② ＝ ３ ， △ ，“ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ”
题中并作答． 是 ＡＢＣ为锐角三角形 的
“△ ” （ ）
如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分． 充分不必要条件 必要不充分条件
， Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
解析 若选 由题意得 Ｂ ３ Ｓ １ ａｃ Ｂ ３ａｃ Ｃ． Ｄ．
①， ｓｉｎ ＝ ， ＝ ｓｉｎ ＝ ≤ ( ) ( )
２ ２ ４ 答案 Ｂ 若Ｂ π Ａ π 则 Ａ Ｂ
(ａ ｃ)
２
∈
２
，π ， ∈ ０，
２
， ｓｉｎ ＞０，ｃｏｓ ＜
３ ＋ ＝ ３ ， 当且仅当ａ ＝ ｃ ＝１ 时等号成立 ， 则面积的最大 则 Ａ Ｂ 而此时 ＡＢＣ 为钝角三角形 Ａ
４ ２ ４ ０， ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ， △ ，∴ “ｓｉｎ ＞
Ｂ 不是 ＡＢＣ为锐角三角形 的充分条件．
ｃｏｓ ” “△ ”
值为 ３ 由余弦定理得ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ 则ｂ ． ( )
， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝３， ＝ ３ 若 ＡＢＣ为锐角三角形 则Ａ Ｂ π 且π Ａ Ｂ π
４ △ ， ， ∈ ０， ＜ ＋ ＜π，∴
Ｂ ｂ ２ ２ ２
若选 由题意得Ｂ ２π 则 Ｂ ３ 因为ｓｉｎ 所 ( )
②， ＝ ， ｓｉｎ ＝ ， Ａ＝ ａ ＝ ３， Ａ π Ｂ Ａ π Ｂ Ｂ Ａ Ｂ 是
３ ２ ｓｉｎ ＞ ＞ － ＞０，∴ ｓｉｎ ＞ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ ，∴ “ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ”
２ ２
以
ｓｉｎ
Ａ
＝
１
，
Ａ
＝
π
，
Ｃ
＝
π
，
所以ａ
＝
ｃ
，
Ｓ
＝
１ ａｃ
ｓｉｎ
Ｂ
＝
３ａ２
，
ａ
“△
ＡＢＣ为锐角三角形
”
的必要条件．
２ ６ ６ ２ ４ 综上 Ａ Ｂ 是 ＡＢＣ为锐角三角形 的必要不充分
可以取任意正数 所以 ＡＢＣ的面积不存在最大值． ，“ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ” “△ ”
， △ 条件．
５．（２０２０九师联盟３月联考，１７）已知在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所
△ ， ， ， ２．（２０１８云南昭通一模，１０） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
ａ ｂ ｃ Ｂ △ ， ，
对的边分别为ａ ｂ ｃ 且 － ＋ ｓｉｎ ．
， ， ， ｃ ＝ Ａ Ｂ Ｃ 为ａ ｂ ｃ 若 Ｃ ２ ２ ｂ Ａ ａ Ｂ 则 ＡＢＣ的外接圆
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －ｓｉｎ ， ， ， ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝２， △
求角Ａ的大小 ３
（１） ； 的面积为
若 ＡＢＣ的外接圆半径为 求 ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值． （ ）
（２） △ ２， △
ａ ｂ ｃ ｂ Ａ．４π Ｂ．８π Ｃ．９π Ｄ．３６π
解析 由正弦定理及题意得 － ＋ 化简得ｂ２ ｃ２ 答案 Ｃ 已知 ｂ Ａ ａ Ｂ 由正弦定理可得
（１） ｃ ＝ａ ｂ ｃ， ＋ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ ２，
＋ － Ｒ Ｂ Ａ Ｒ Ａ Ｂ Ｒ为 ＡＢＣ的外接圆半径 ．利
ｂ２ ｃ２ ａ２ ｂｃ ２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２（ △ ）
ａ２ ｂｃ 由余弦定理的推论得 Ａ ＋ － １ 又因 用两角和的正弦公式得 Ｒ Ａ Ｂ 则 Ｒ Ｃ 因为
－ ＝ ， ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ ｂｃ＝ ， ２ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ２， ２ ｓｉｎ ＝２，
２ ２ ２
为 Ａ 所以Ａ π． Ｃ ２ ２ 所以 Ｃ １ 所以Ｒ ．故 ＡＢＣ的外接圆面积
０＜ ＜π， ＝ ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＝ ， ＝３ △
３ ３ ３
ａ
为 ．故选
由正弦定理得 Ｒ 则ａ Ｒ Ａ π ９π Ｃ．
（２） Ａ＝２ ， ＝２ ｓｉｎ ＝４ｓｉｎ ＝２ ３， ３．（２０１９北京朝阳一模文，４，５分）已知 ＡＢＣ中 Ａ ° ａ
ｓｉｎ ３ △ ，∠ ＝１２０ ，
由余弦定理得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ｂｃ ｂｃ ｂｃ ＡＢＣ的面积为 ．若ｂ ｃ 则ｃ ｂ
＝１２＝ ＋ －２ ｃｏｓ ≥２ － ＝ ， ＝ ２１，△ ３ ＜ ， － ＝ （ ）
即ｂｃ 当且仅当ｂ ｃ时取等号
≤１２（ ＝ ）， Ａ． １７ Ｂ．３ Ｃ．－３ Ｄ．－ １７
故Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ３ 当且仅当ｂ ｃ时取等号 ． 答案 Ｂ Ｓ １ ｂｃ Ａ ３ｂｃ ｂｃ ．
＝ ２ ｓｉｎ ≤ ２ ×１２× ２ ＝３ ３（ ＝ ） ∵ △ ＡＢＣ＝ ２ ｓｉｎ ＝ ４ ＝ ３，∴ ＝４
即 ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值为 ． ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ｂ２ ｃ２ ｂｃ ｂ２ ｃ２
△ ３ ３ ∵ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋４＝２１，
６．（２０１９北京丰台一模文，１６）在锐角 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对 ｂ２ ｃ２ ｂ ｃ ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ
△ ， ， ， ∴ ＋ ＝１７，∴ （ ＋ ） ＝ ＋ ＋２ ＝２５，
专题五 三角函数与解三角形 ３０７
ｂ ｃ 结合ｂ ｃ ｂｃ 解得ｃ ｂ ｃ ｂ 故选 ． ＡＯＣ周长的最大值．
∴ ＋ ＝５， ＜ ， ＝４， ＝４， ＝１，∴ － ＝３， Ｂ （２）△
４．（２０１９北京海淀一模，１０）在
△
ＡＢＣ中
，
ａ
＝４，
ｂ
＝５，ｃｏｓ
Ｃ
＝
１
，
解析
（１）∵
Ｓ
＝
３
（
ａ２
＋
ｃ２
－
ｂ２
），
８ ４
则ｃ Ｓ ．
＝ ， △ ＡＢＣ＝ １ ａｃ Ｂ ３ ａ２ ｃ２ ｂ２
∴ ｓｉｎ ＝ （ ＋ － ），
答案 １５ ７ ２ ４
６；
４
故 １ ａｃ Ｂ ３ ａｃ Ｂ Ｂ
解析 由已知及余弦定理得ｃ２ ＝４ ２ ＋５ ２ －２×４×５× １ ＝３６， ２ ( ｓｉｎ ＝ ) ４ ·２ ｃｏｓ ⇒ｔａｎ ＝ ３，
８
( ) Ｂ π Ｂ π．
ｃ Ｃ １ Ｃ π ∵ ∈ ０， ，∴ ＝
∴ ＝６，∵ ｃｏｓ ＝ ，∴ ∈ ０， ， ２ ３
８ ２ 设 ＡＯＣ周长为ｌ ＯＡＣ α
（２） △ ，∠ ＝ ，
Ｃ ２Ｃ ３ ７ ＡＢＣ为锐角三角形 Ｂ π
∴ ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ ， ∵ △ ， ＝ ，
８ ３
( ) ( ) ( )
Ｓ １ ａｂ Ｃ １ ３ ７ １５ ７． Ａ Ｃ ２π Ｃ π Ａ π π
∴ △ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝ ×４×５× ＝ ∴ ＋ ∈ ０， ， ∈ ０， ，∴ ∈ ， ，
２ ２ ８ ４ ３ ２ ６ ２
( )
５．（２０１９北京西城二模，１１）在 △ ＡＢＣ中 ， 若ａ ＝ ２ ｂ ， ｂ ＝ ２ ｃ ， 则 则α π π
三个内角中最大角的余弦值为 ． ∈ １２ ， ４ ，
ＯＡ ＯＣ分别是 Ａ Ｃ的平分线 Ｂ π
答案 ２ ∵ ， ∠ ，∠ ， ＝ ，
－ ３
４
解析 因为ａ ｂ ｂ ｃ 所以ａ ｃ 从而ａ ｂ ｃ 故最大 ＡＯＣ ２π
＝ ２ ， ＝ ２ ， ＝２ ， ＞ ＞ ， ∴ ∠ ＝ ，
３
角是Ａ
，
由ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
－２
ｂｃ
ｃｏｓ
Ａ
，
得
４
ｃ２
＝２
ｃ２
＋
ｃ２
－２ ２·
ｃ２
ｃｏｓ
Ａ
， ＯＡ ＯＣ
由正弦定理 ２ ３ ．
， ( ) ＝ α＝ ＝４
得 Ａ ２． π α ｓｉｎ ２π
ｃｏｓ ＝－ ｓｉｎ － ｓｉｎ
４ ３ ３
误区警示 根据三角形中 大边对大角 判断出哪个角最大 ( ) ( )
“ ” ， ＡＯＣ周长 ｌ α π α α π
然后用余弦定理求解． ∴ △ ＝４ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ － ＋２ ３ ＝４ｓｉｎ ＋ ＋
３ ３
６．（２０１９ 贵州凯里中学４ 月月考，１７）已知锐角 ＡＢＣ面积为 ．
△ ２ ３
Ｓ Ａ Ｂ Ｃ所对边分别是ａ ｂ ｃ Ａ Ｃ的平分线相交 ( ) ( )
，∠ ，∠ ，∠ ， ， ，∠ ，∠ α π π α π ５π ７π
∵ ∈ ， ，∴ ＋ ∈ ， ，
于点Ｏ ｂ 且Ｓ ３ ａ２ ｃ２ ｂ２ 求 １２ ４ ３ １２ １２
， ＝２ ３ ＝ （ ＋ － ）， ：
４ 当α π时 ＡＯＣ周长取得最大值 最大值为 ．
Ｂ的大小 ∴ ＝ ，△ ， ４＋２ ３
（１）∠ ； ６
若 ＢＣＤ ２π 求ＢＣ的长．
（２） ∠ ＝ ，
３
解析 （ ）因为 ＡＢＤ的面积Ｓ １ ＡＤ·ＡＢ ＤＡＢ １
考法一 利用正弦、余弦定理解三角形 １ △ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ ×
２ ２
例１ 在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 若ａ
△ ， ， ， ， ， ， ＤＡＢ ３ ３，所以 ＤＡＢ ３．
ｃ Ｂ ° 则 Ｃ ． ２×３ｓｉｎ∠ ＝ ｓｉｎ∠ ＝
＝１， ＝４ ２， ＝４５ ， ｓｉｎ ＝ ２ ２
解析 由已知条件ａ ，ｃ ，Ｂ °及余弦定理可得，ｂ２ 又 ＤＡＢ π，所以 ＤＡＢ π，
＝１ ＝４ ２ ＝４５ ０＜∠ ＜ ∠ ＝
２ ３
＝
ａ２
＋
ｃ２
－２
ａｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝１＋３２－２×１×４ ２×
２
＝２５
，即ｂ
＝５
．所以由正弦 由余弦定理得ＢＤ
＝
ＡＤ２
＋
ＡＢ２
－２
ＡＤ·ＡＢ
ｃｏｓ∠
ＤＡＢ
＝ ７
，
２
ＡＤ ＤＡＢ
由正弦定理得 ＡＢＤ ｓｉｎ∠ ２１．
ｃ· Ｂ ４ ２× ２ ｓｉｎ∠ ＝ ＢＤ ＝
定理得 Ｃ ｓｉｎ ２ ４ ． ７
ｓｉｎ ＝ ｂ ＝ ＝
５ ５ （ ）解法一：因为ＡＢ ＢＣ，所以 ＡＢＣ π，所以 ＤＢＣ
２ ⊥ ∠ ＝ ｓｉｎ∠
答案 ４ ２
( )
５ π ＡＢＤ ＡＢＤ ２ ＡＢＤ ２ ７．
＝ｓｉｎ －∠ ＝ｃｏｓ∠ ＝ １－ｓｉｎ ∠ ＝
例２ 如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＤＡＢ π ＡＤ ２ ７
， ，０＜∠ ＜ ， ＝
２ 在 ＢＣＤ中，由正弦定理得 ＣＤ ＢＤ ，可得ＣＤ
△ ＤＢＣ＝ ＤＣＢ ＝
ＡＢ ＡＢＤ的面积为３ ３ ＡＢ ＢＣ． ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
２， ＝３，△ ， ⊥
２ ＢＤ ＤＢＣ
求 ＡＢＤ的值 ｓｉｎ∠
ＤＣＢ ＝
４ ３．
（１） ｓｉｎ∠ ；
ｓｉｎ∠ ３
由余弦定理得 ＤＣ２ ＢＣ２ ＤＣ·ＢＣ ＤＣＢ ＢＤ２，可得
＋ －２ ｃｏｓ∠ ＝
３０８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＢＣ２ ＢＣ ，
３ ＋４ ３ －５＝０ π π或π ３π π或３π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解得ＢＣ ３或ＢＣ ５ ３（舍去）．故ＢＣ的长为 ３． ４ ４ ２ ４ ４ ４
＝ ＝－
３ ３ ３ 解析 由正弦定理得 ＡＢ ＡＣ ，即 １ ２ ，
解法二：因为 ＡＢ ＢＣ，所以 ＡＢＣ π，所以 ＤＢＣ ｓｉｎ Ｃ＝ ｓｉｎ Ｂ π ＝ ｓｉｎ Ｂ
⊥ ∠ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ ｓｉｎ
２ ６
( )
π ＡＢＤ ＡＢＤ ２ ＡＢＤ ２ ７． Ｂ ２． Ｂ （ ， ），ＡＣ ＡＢ， Ｂ Ｃ． Ｂ
ｓｉｎ －∠ ＝ｃｏｓ∠ ＝ １－ｓｉｎ ∠ ＝ ∴ ｓｉｎ ＝ ∵ ∠ ∈ ０ π ＞ ∴ ∠ ＞∠ ∴ ∠ ∈
２ ７ ２
( ) ( )
ＤＢＣ π ＡＢＤ ＡＢＤ ２１． π，５π ． Ｂ π或３π．故选 ．
ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ －∠ ＝ｓｉｎ∠ ＝ ∴ ∠ ＝ Ｄ
２ ７ ６ ６ ４ ４
( ) 答案 Ｄ
则 ＢＤＣ （ ＢＣＤ ＤＢＣ） π ＤＢＣ
ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ π－∠ －∠ ＝ｓｉｎ －∠ ＝
３
易错警示 由 Ｂ ２仅得出Ｂ π，而错选 ．
３ ＤＢＣ １ ＤＢＣ ７． ｓｉｎ ＝ ＝ Ａ
ｃｏｓ∠ － ｓｉｎ∠ ＝ ２ ４
２ ２ １４
ＢＣ ＢＤ
在 ＢＣＤ中，由正弦定理得 ，
△ ＢＤＣ＝ ＢＣＤ 考法二 三角形形状的判断
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
例３ （２０１９豫北名校１月联考，８）在 ＡＢＣ中 ａ
７ （１） △ ， ，
ＢＤ ＢＤＣ ７×
可得ＢＣ ｓｉｎ∠ １４ ３． ｂ ｃ分别表示三个内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 如果 ａ２ ｂ２ Ａ Ｂ
＝ ＢＣＤ ＝ ＝ ， ， ， ， （ ＋ ）ｓｉｎ（ － ）＝
ｓｉｎ∠ ３ ３ （ ａ２ － ｂ２ ）ｓｉｎ（ Ａ ＋ Ｂ ）， 则 △ ＡＢＣ的形状为 （ ）
等腰三角形 直角三角形
２
Ａ． Ｂ．
方法总结 １．已知两角 Ａ Ｂ 与一边 ａ 由 Ａ Ｂ Ｃ 及 等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形
、 ， ＋ ＋ ＝π Ｃ． Ｄ．
ａ ｂ ｃ 已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 下列
可先求出角Ｃ 再求出ｂ ｃ． （２） △ ， ， ， ， ，
Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ， ， 、 条件中可以得到 ＡＢＣ为直角三角形的是
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ △ （ ）
２．已知两边ｂ ｃ及其夹角Ａ 由ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ 先求出 Ｂ Ｂ
、 ， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ．ｓｉｎ ｃｏｓ ｂ２ Ａ ａ２ Ｂ
ａ 再由正弦定理求出角Ｂ Ｃ． Ａ Ｃ＝ Ｃ Ｂ． ｔａｎ ＝ ｔａｎ
， 、 ｓｉｎ ｃｏｓ
３．已知三边ａ ｂ ｃ 由余弦定理可求出角Ａ Ｂ Ｃ． Ｂ ａ ｃ
、 、 ， 、 、 ２ ＋ ｃ ａ Ｂ ａ ｂ Ａ
ａ ｂ Ｃ．ｃｏｓ ＝ ｃ Ｄ． － ｃｏｓ ＝（２ － ）ｃｏｓ
４．已知两边ａ ｂ及其中一边ａ的对角Ａ 由 可求 ２ ２
、 ， Ａ＝ Ｂ 解析 （ ）解法一：已知等式可化为ａ２［ （Ａ Ｂ） （Ａ
ｓｉｎ ｓｉｎ １ ｓｉｎ － －ｓｉｎ ＋
出另一边ｂ 的对角 Ｂ 由 Ｃ Ａ Ｂ 可求出 Ｃ 再由
ａ Ｂ）］
＝
ｂ２［
－ｓｉｎ
（Ａ
＋
Ｂ）
－ｓｉｎ
（Ａ
－
Ｂ）］，
， ＝π－（ ＋ ） ，
ｓｉｎ
Ａ＝
∴２
ａ２
ｃｏｓ
Ａ
ｓｉｎ
Ｂ
＝２
ｂ２
ｃｏｓ
Ｂ
ｓｉｎ
Ａ．
ｃ 可求出ｃ 而通过 ａ ｂ 求Ｂ时 可能有一解 两解或 由正弦定理，得 ｓｉｎ ２Ａ ｃｏｓ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ｓｉｎ ２Ｂ ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ａ，
Ｃ ， Ａ＝ Ｂ ， 、
无 ｓｉｎ 解． ｓｉｎ ｓｉｎ ∴ ｓ
Ａ
ｉ
，
ｎ
Ｂ
Ａ
均
ｓｉｎ
为
Ｂ（ ｓ
Ａ
ｉｎ
ＢＣ
Ａ ｃ
的
ｏｓ
内
Ａ －
角
ｓｉ
，
ｎ Ｂ ｃｏｓ
Ａ
Ｂ） ＝
，
０ ，
Ｂ ，
∵ △ ∴ ｓｉｎ ≠０ ｓｉｎ ≠０
Ａ Ｂ ，即 Ａ Ｂ．
∴ ｓｉｎ２ －ｓｉｎ２ ＝０ ｓｉｎ２ ＝ｓｉｎ２
例 （２０１８河南开封模拟，８）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对 由Ａ，Ｂ （ ， ）得 Ａ ， Ｂ ，得 Ａ Ｂ或 Ａ
△ ， ， ， ∈ ０ π ０＜２ ＜２π ０＜２ ＜２π ２ ＝２ ２ ＋
边分别为ａ ｂ ｃ．若Ａ π ３ｓｉｎ
２Ｃ
Ａ Ｂ 且ｂ 则ｃ Ｂ ，即Ａ Ｂ或Ａ Ｂ π．
， ， ＝ ， Ｃ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ， ＝６， ＝ ２ ＝π ＝ ＋ ＝
３ ｃｏｓ ２
ＡＢＣ为等腰三角形或直角三角形，故选 ．
（ ） ∴ △ Ｄ
解法二：（同解法一）可得 ａ２ Ａ Ｂ ｂ２ Ｂ Ａ．
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ ２ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝２ ｃｏｓ ｓｉｎ
ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２
解析 在
△
ＡＢＣ中，Ａ
＝
π，ｂ
＝６
， 由正弦、余弦定理，可得ａ２· ＋
ｂｃ
－ ·ｂ
＝
ｂ２· ＋
ａｃ
－ ·
３ ２ ２
ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ，
ａ．
∴
ａ２（ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２）
＝
ｂ２（ａ２
＋
ｃ２
－
ｂ２），即（ａ２
－
ｂ２）（ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２）
＝０
．
∴
ａ
∴
即ａ２
＝ ＋
ｃ
－
２
２
ｃ
ｃｏｓ
， ＝
ｂ或ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２，
∴ △
ＡＢＣ为等腰三角形或直角三角形．故选
Ｄ
．
＝３６＋ －６ ① Ｂ Ｂ
２Ｃ ｃ２ （ ）对于 ，因为ｓｉｎ ｃｏｓ ，所以 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ
又３ｓｉｎ Ａ Ｂ， ３ ａｂ， ２ Ａ Ｃ＝ Ｃ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝
Ｃ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ∴ Ｃ＝２ ｓｉｎ ｃｏｓ
ｃｏｓ ｃｏｓ ，即 （Ｂ Ｃ） ，所以Ｂ Ｃ，所以 ＡＢＣ一定是等腰三角形；
ｃ２ ａ２ ｂ２ ｃ２ ０ ｓｉｎ － ＝０ ＝ △
即 Ｃ ３ ＋ － ， 对于 ，由ｂ２ Ａ ａ２ Ｂ、正弦定理及同角三角函数基本关系
ｃｏｓ ＝ ａｂ＝ ａｂ Ｂ ｔａｎ ＝ ｔａｎ
２ ２ ２Ｂ Ａ ２Ａ Ｂ
∴
ａ２
＋３６＝４
ｃ２
②
， 可得ｓｉｎ ｓｉ
Ａ
ｎ
＝
ｓｉｎ ｓｉ
Ｂ
ｎ ，即
ｓｉｎ ２
Ａ
＝ｓｉｎ ２
Ｂ，故
２
Ａ
＝２
Ｂ或
２
Ａ
＋
由 解得ｃ 或ｃ （不合题意，舍去）． ｃｏｓ ｃｏｓ
①② ＝４ ＝－６
∴ ｃ ＝４ ．故选 Ｃ． ２ Ｂ ＝π ，即Ａ ＝ Ｂ或Ａ ＋ Ｂ ＝ π，所以 △ ＡＢＣ是等腰三角形或直角三
２
答案 Ｃ Ｂ ａ ｃ Ｂ
角形；对于 ，因为 ２ ＋ ，所以由正弦定理得，１＋ｃｏｓ
例 （２０１８北京朝阳二模，２）在 ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣ Ｃ ｃｏｓ ＝ ｃ ＝
△ ， ＝１， ＝ ２ ２ ２
Ａ Ｃ
Ｃ π 则 Ｂ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ，整理得 Ｂ Ｃ Ａ，即 Ｂ Ｃ （Ｂ Ｃ），
２，∠ ＝ ， ∠ ＝ （ ） Ｃ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋
６ ２ｓｉｎ
所以 Ｂ Ｃ ，Ｃ π，则 ＡＢＣ 是直角三角形；对于 ，把
ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０ ＝ △ Ｄ
２
专题五 三角函数与解三角形 ３０９
ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２
ｃｏｓ
Ａ
＝
＋
ｂｃ
－ ，
ｃｏｓ
Ｂ
＝
＋
ａｃ
－ 代入 ｃ
－
ａ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
（
２
ａ
－
ｂ）
ｃｏｓ
Ａ
２
ａｃ
ｃｏｓ
Ｂ，可得
１＝
ａ２
＋３－２×
ａ
× ３×
３，
２ ２ ２
中，得 ｃ２ － ａ２
ｃ
＋ ｂ２
＝ ２
ａ · ｂ２ ＋ ｃ
ｂ
２
ｃ
－ ａ２
－
ｂ２ ＋ ｃ２
ｃ
－ ａ２ ， 即 ｃ２ － ａ
ａ
２
ｃ
＋ ｂ２
＝
整理可得 ａ２ －３ ａ ＋２＝０ ，解得 ａ ＝１ 或 ａ ＝２ ．故当 ａ ＝１ 时，
２ ２ ２
ｃ２ ａ２ ｂ２ ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｃ Ｂ １ １ ３；当 ａ 时，
－ ＋ ，解得ａ ｂ或ｃ２ ａ２ ｂ２ ，则 ＡＢＣ为等腰三角形或直 △ ＝ ｓｉｎ ＝ ×１× ３× ＝ ＝２
ｂｃ ＝ － ＋ ＝０ △ ２ ２ ２ ４
角三角形．故选 ． ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｃ Ｂ １ １ ３．故选 ．
ＢＣＤ △ ＝ ｓｉｎ ＝ ×２× ３× ＝ Ｃ
答案 （ ）Ｄ （ ）ＢＣＤ ２ ２ ２ ２
１ ２ ( )
方法总结 要判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关 （ ） Ａ Ａ Ａ π ，
， ２ ①∵ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ ＝２
６
系进行思考 主要看其是不是等边三角形 等腰三角形 直角三
， 、 、 Ａ π π，即Ａ π．
角形 钝角三角形 等腰直角三角形或锐角三角形 要特别注意 ∴ ＋ ＝ ＝
、 、 ， ６ ２ ３
等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别．依据 ａ ｂ ｃ
“ ” “ ” 解法一：由正弦定理得 ８ ，
已知条件中的边角关系判断时 主要有以下两条途径 ② Ａ＝ ３＝ Ｂ＝ Ｃ
， ： ｓｉｎ ３ ｓｉｎ ｓｉｎ
通过正弦定理 余弦定理化边为角 利用三角恒等变换
（１） 、 ， ｂ ｃ ８ （ Ｂ Ｃ）．
得出三角形内角之间的关系进行判断 ∴ ＋ ＝ ３ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ
； ３
利用正弦定理 余弦定理化角为边 通过代数恒等变换 ( )
（２） 、 ， ， Ｂ Ｃ Ｂ ２ Ｂ ３ Ｂ ３ Ｂ
求出三条边之间的关系进行判断． ∵ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ π－ ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝
３ ２ ２
( )
Ｂ π ，
３ｓｉｎ ＋
例 （２０１９ 河南济源第一次质检，６）若在 ＡＢＣ 中 ６
△ ，ｓｉｎ ( ) ( ) ( ]
Ａ Ｂ Ａ Ｂ ２Ｃ 则此三角形的形状为 又 Ｂ ，２π ， Ｂ π １ ， ， ｂ ｃ （ ， ］．
（ ＋ ）·ｓｉｎ（ － ）＝ｓｉｎ ， （ ） ∵ ∈ ０ ∴ ｓｉｎ ＋ ∈ １ ∴ ＋ ∈ ４ ８
等腰三角形 直角三角形 ３ ６ ２
Ａ． Ｂ．
等边三角形 等腰直角三角形 解法二：在 ＡＢＣ中，由于ａ ，Ａ π，
Ｃ． Ｄ． △ ＝４ ＝
解析
∵ ｓｉｎ
（Ａ
＋
Ｂ）
ｓｉｎ
（Ａ
－
Ｂ）
＝ｓｉｎ
２Ｃ，
由余弦定理ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ得
３
，
∴ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ
（Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ） ２（Ａ Ｂ），
∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ＋ （ｂ ｃ）２ ｂｃ ｂｃ π，
（Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ） ２（Ａ Ｂ） ， １６＝ ＋ －２ －２ ｃｏｓ
∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － －ｓｉｎ ＋ ＝０ ３
（Ａ Ｂ）［ （Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ）］ ， （ｂ ｃ）２ ｂｃ ，
∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － －ｓｉｎ ＋ ＝０ ∴ ＋ －３ ＝１６
即 （Ａ Ｂ） Ａ Ｂ ． （ｂ ｃ）２
ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝０ 又 ｂｃ ＋ （ｂ ，ｃ ），
又 （Ａ Ｂ） ， Ｂ ， Ａ ． ∵ ≤ ＞０ ＞０
∵ ｓｉｎ ＋ ≠０ ｓｉｎ ≠０ ∴ ｃｏｓ ＝０ ４
（ｂ ｃ）２
Ａ π．根据题意推不出ＡＢ ＡＣ， （ｂ ｃ）２ ｂｃ ３ ＋ ，当且仅当ｂ ｃ时取“ ”，
∴ ＝ ＝ ∴ ＋ －１６＝３ ≤ ＝ ＝
２ ４
ＡＢＣ是直角三角形．故选 ． （ｂ ｃ）２ ，即ｂ ｃ ，
∴ △ Ｂ ∴ ＋ ≤６４ ＋ ≤８
答案 Ｂ 又ｂ ｃ ａ ，因此 ｂ ｃ ， ｂ ｃ （ ， ］．
＋ ＞ ＝４ ４＜ ＋ ≤８ ∴ ＋ ∈ ４ ８
答案 （ ）Ｃ
１
方法总结 １．与三角形面积有关的问题主要有两种 一是
：
考法三 与三角形的面积、范围有关的问题 求三角形面积 二是给出三角形的面积 求其他量．解题时主要应
； ，
例４ 已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别
（１） △ ， ， 用三角形面积公式Ｓ １ ａｂ Ｃ １ ａｃ Ｂ １ ｂｃ Ａ 此公式
＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ，
为ａ ｂ ｃ 若ｂ ｃ 且 Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ 则 ２ ２ ２
， ， ， ＝１， ＝ ３， ２ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＝１－２ｃｏｓ ｓｉｎ ， 既与边长的乘积有关 又与角的三角函数值有关 由此可以与正
ＡＢＣ的面积是 ， ，
△ （ ） 弦定理 余弦定理综合起来求解．
、
３ １ ３或 ３ １ 或 １ ２．解与三角形中边角有关的量的取值范围时 主要是利用
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ，
４ ２ ４ ２ ４ ２ 已知条件和有关定理 将所求的量用三角形的某个内角或某条
（２０２０浙江名校新高考研究联盟（ ２０名校联盟）第一 ，
（２） Ｚ 边表示出来 结合三角形边角取值范围等求解即可．
次联考，１８）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ 且 ，
△ ， ， ， ， ， ，
Ａ Ａ ａ ．
３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝２， ＝４
求角Ａ的值 例 （２０１９ 四川成都石室中学 ４ 月月考，１６）四边形
① ；
求ｂ ｃ的取值范围． ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＢＣ ＡＣＤ ° ＣＤＡ ° 则ＢＤ的最
② ＋ ， ＝１， ＝３，∠ ＝９０ ，∠ ＝６０ ，
解析 （ ）因为 （Ｂ Ｃ） Ｃ Ａ Ｃ， 大值为 ．
１ ２ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝１－２ｃｏｓ ｓｉｎ
所以 ２ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｃ ＝１－２ｃｏｓ Ａ ｓｉｎ Ｃ， 解析 设 ∠ ＡＢＣ ＝ α， ∠ ＡＣＢ ＝ β，则在 △ ＡＢＣ 中，由余弦定
所以 Ａ Ｃ Ａ Ｃ ， 理，ＡＣ２ α．
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ｓｉｎ ＝１ ＝１０－６ｃｏｓ
所以 （Ａ Ｃ） ，所以 Ｂ ， ＡＢ ＡＣ α
２ｓｉｎ ＋ ＝１ ２ｓｉｎ ＝１ 由正弦定理， ，即 β ｓｉｎ ，
β＝ α ｓｉｎ ＝ ＡＣ
所以 Ｂ １ ． ｓｉｎ ｓｉｎ
ｓｉｎ ＝
２ ＡＣＤ °， ＣＤＡ °， ＣＤ ３ＡＣ，
因为ｂ ｃ，所以Ｂ Ｃ，所以角Ｂ为锐角， ∵ ∠ ＝９０ ∠ ＝６０ ∴ ＝
＜ ＜ ３
所以 Ｂ ２Ｂ ３，所以由余弦定理 ｂ２ ａ２ ｃ２
ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ＝ ＋ －
２
３１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
在 ＢＣＤ 中，由余弦定理，ＢＤ２ ＢＣ２ ＣＤ２ ＢＣ·ＣＤ· ｂ２ ｃ２
△ ＝ ＋ －２ ＋ ．
（ ° β）， ∴ ａ２ ＝４
ｃｏｓ ９０ ＋
α （ ） ａ ，由（ ）知ｂ２ ｃ２ ａ２ ，
即ＢＤ２ １ （ α） ３ＡＣ ｓｉｎ ３７ α ２ ∵ ＝２ １ ＋ ＝４ ＝１６
＝９＋ １０－６ｃｏｓ ＋２×３× × ＡＣ ＝ －２ｃｏｓ ｂ２ ｃ２ ａ２
３ ３ ３ 由余弦定理， Ａ ＋ － ６ ，
( ) ∴ ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ｂｃ
α ３７ α π ． 当α ２π时，ＢＤ２ 最大，最大值 ２
＋２ ３ｓｉｎ ＝ ＋４ｓｉｎ － ∴ ＝ 根据基本不等式有ｂ２ ｃ２ ｂｃ，
３ ６ ３ ＋ ≥２
即 ｂｃ，当且仅当ｂ ｃ时“ ”成立．
为３７ ４９，则ＢＤ的最大值为７ ３． ８≥ ＝ ＝
＋４＝ ( )
３ ３ ３ Ａ ６ ３ ，Ａ ，π ．
∴ ｃｏｓ ≥ ＝ ∈ ０
答案 ７ ３ ８ ４ ２
３ 由 Ａ ６ ，得ｂｃ ６ ，
例 （２０１９四川绵阳一诊，１９） ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别是角 ｃｏｓ ＝ｂｃ ＝ ｃｏｓ Ａ
△ ， ， ，
Ａ Ｂ Ｃ所对的边 且 ｃ Ｂ ａ Ａ． ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ６ Ａ Ａ．
， ， ， ２ ｓｉｎ ＝３ ｔａｎ ∴ △ ＝ ｓｉｎ ＝ × Ａ×ｓｉｎ ＝３ｔａｎ
ｂ２ ｃ２ ２ ２ ｃｏｓ
求 ＋ 的值
（１） ａ２ ； ２Ａ ｓｉｎ
２Ａ
ｃｏｓ
２Ａ
＋ｃｏｓ
２Ａ
１ ，
若ａ 求 ＡＢＣ面积的最大值．
∵１＋ｔａｎ ＝１＋
ｃｏｓ
２Ａ＝
ｃｏｓ
２Ａ ＝
ｃｏｓ
２Ａ
（２） ＝２， △
解析 （ ） ｃ Ｂ ａ Ａ， Ａ １ １６ ７．
１ ∵２ ｓｉｎ ＝３ ｔａｎ ∴ ｔａｎ ＝ ２Ａ－１≤ －１＝
ｃ Ｂ Ａ ａ Ａ． ｃｏｓ ９ ３
∴２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝３ ｓｉｎ
Ｓ Ａ ．
由正弦定理得 ｃｂ Ａ ａ２， ∴ ＝３ｔａｎ ≤ ７
２ ｃｏｓ ＝３
ＡＢＣ的面积的最大值为 ．
由余弦定理得 ｃｂ·
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
ａ２，化简得ｂ２ ｃ２ ａ２， ∴ △ ７
２ ｂｃ ＝３ ＋ ＝４
２
直角三角形 等腰直角三角形
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ
６．（２０２０山东青岛三模，７）在 ＡＢＣ中 如果 Ｂ Ｃ Ｃ
△ ， ｃｏｓ（２ ＋ ）＋ｃｏｓ
考法一 利用正弦、余弦定理解三角形 那么 ＡＢＣ的形状为
＞０， △ （ ）
１．（２０１９湖南四校调研联考，１０） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ．钝角三角形 直角三角形
△ ， ， Ａ Ｂ．
Ａ ｂ 锐角三角形 等腰三角形
分别为ａ ｂ ｃ 且 ｓｉｎ 则Ｃ Ｃ． Ｄ．
， ， ， Ｂ Ｃ＋ａ ｃ＝１， ＝ （ ） 答案 Ａ
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋
７．（多选题）（２０２０山东烟台５月模拟，１１）在 ＡＢＣ中 Ｄ在线
π π ２π ５π △ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ３ ６ 段ＡＢ上 且ＡＤ ＢＤ 若ＣＢ ＣＤ ＣＤＢ ５ 则
答案 Ｂ ， ＝５， ＝３， ＝２ ，ｃｏｓ∠ ＝－ ，
５
２．（２０２０浙江名校联盟考，１３）在锐角 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所
△ ， ， ， （ ）
对的边分别是ａ ｂ ｃ ｃ Ａ π 则ａ Ｃ ａ ｂ的 ． ＣＤＢ ３ ＡＢＣ的面积为
， ， ， ＝２， ＝ ， ｓｉｎ ＝ ， ＋ Ａｓｉｎ∠ ＝ Ｂ．△ ８
３ １０
取值范围是 ． ＡＢＣ的周长为 ＡＢＣ为钝角三角形
Ｃ．△ ８＋４ ５ Ｄ．△
答案 答案 ＢＣＤ
３；（１＋ ３，４＋２ ３）
３．（２０２１届广东湛江二十一中月考，１７） ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所
△ ， ， ， 考法三 与三角形的面积、范围有关的问题
对的边分别为ａ ｂ ｃ 已知ａ２ ｂｃ ｂ ｃ ２．
， ， ， ＋ ＝（ ＋ ） ８．（２０２０湖南师范大学附属中学月考（六），１０）设锐角 ＡＢＣ
求角Ａ
△
（１） ； 的三个内角Ａ Ｂ Ｃ所对边的边长分别为ａ ｂ ｃ 且ａ Ｂ
若ｂ ｃ Ｄ为ＢＣ的中点 求中线ＡＤ的长． ， ， ， ， ， ＝２， ＝
（２） ＝１， ＝３， ， Ａ 则ｂ的取值范围为
４．（２０２０山东泰安５ 月模拟，１９）在 ａ Ｃ ｃ Ｂ Ｃ ２ ， （ ）
① ｓｉｎ － ３ ｃｏｓ ｃｏｓ ＝
ｂ ２Ｃ ｃ Ｂ ｂ ａ ｂ ａ Ｃ ｃ Ａ这三个条 Ａ．（２ ２，２ ３） Ｂ．（２ ２，４）
３ ｃｏｓ ；②５ ｃｏｓ ＋４ ＝５ ；③（２ － ）ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ
件中任选一个 补充在下面问题中 然后解答补充完整的题目． Ｃ．（２，２ ３） Ｄ．（０，４）
， ， 答案 Ａ
在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 且满足 ．
△ ， ， ， ， ，， ９．（２０２０河北正定中学第三次质量检测，１６）如图 在平面四边
求 Ｃ ，
（１） ｓｉｎ ； 形ＡＢＣＤ中 ＡＤ ＢＤ ＡＢ ＡＣ ＡＣ ＡＢ 则ＣＤ的最小
， ＝１， ＝ ５， ⊥ ， ＝２ ，
已知ａ ｂ ＡＢＣ的外接圆半径为４ ３ 求 ＡＢＣ 的边 值为 ．
（２） ＋ ＝５，△ ， △
３
ＡＢ上的高ｈ．
考法二 三角形形状的判断
５．（２０２０ 山东济宁二中１０ 月月考，８）在 ＡＢＣ 中 若 Ａ
△ ， ｓｉｎ ＝
Ｂ Ｃ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ 则 ＡＢＣ的形状是
２ｓｉｎ ｃｏｓ ， ＝ ＋ － ， △ （ ）
等边三角形 等腰三角形
Ａ． Ｂ．
专题五 三角函数与解三角形 ３１１
答案 ｃ Ａ ｂ ｂ ａ ｃ Ａ ａ ｂ ｃ．
５ ①２ ｃｏｓ ＝ ；②２ － ＝２ ｃｏｓ ；③ ＋ ＝２
１０．（２０２０浙江绍兴嵊州期末，１５）在锐角 ＡＢＣ中 Ｄ是边ＢＣ 请在以上 个条件中选择一个 求 ＡＢＣ面积的最大值．
△ ， ３ ， △
注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分．
上一点 且 ＡＢ ＢＣ ＡＣ ＡＤ 若 ＣＡＤ ３ 则 ： ，
， ＝２ ２， ＝３， ＝ ， ｃｏｓ∠ ＝ ， １２．（２０２０湖北襄阳四中３月月考，１７）在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ
５ △ ， ， ，
Ｃ ＡＢＣ的面积是 ． ( )
ｓｉｎ ＝ ；△ 的对边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ Ｂ ｂ Ａ π ．
， ， ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ －
３
答案 ２ ５ 求Ａ
；３ （１） ；
５
１１．（２０２１ 届江苏苏州八校联盟第一次适应性检测，１８）在 （２） Ｄ是线段ＢＣ上的点 ， 若ＡＤ ＝ ＢＤ ＝２， ＣＤ ＝３， 求 △ ＡＤＣ的
ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为 ａ ｂ ｃ ｃ ．有以下 个
面积．
△ ， ， ， ， ， ， ＝２ ３
条件
：
４．（２０１９河南郑州第二次质检，１５）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对
△ ， ， ，
( )
的边分别为ａ ｂ ｃ 且 Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ π ａ
， ， ， ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， ∈ ０， ，
２
考法一 利用正弦、余弦定理解三角形
Ｂ １ 则ｂ ．
１．（２０１８湖南衡阳２月调研，６）在 ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别为内角 ＝ ６，ｃｏｓ ＝ ， ＝
△ ， 、 、 ３
Ａ Ｂ Ｃ所对的边 若 Ｃ Ａ Ｂ Ｃ ３ 且Ｓ 答案 １２
、 、 ， ２ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ，ｃｏｓ ＝ ５ △ ＡＢＣ＝４， ５
则ｃ
＝ （ ） 解析 由正弦定理及题意可得ｃ ｃ １ ａ
＋２ × ＝ ，
３
４ ６ ２ ６
Ａ． Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．５
３ ３ 即ａ ５ ｃ 又ａ 所以ｃ ３ ６
答案 Ａ 因为 Ｃ Ａ Ｂ 所以由正弦定理可得 ｃ ａ ＝ ， ＝ ６， ＝ ，
２ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ， ２ ＝ ３ ５
＋ ｂ ①， 由 ｃｏｓ Ｃ ＝ ３可得ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ －２ ａｂ ｃｏｓ Ｃ ＝（ ａ ＋ ｂ ） ２ － １６ａｂ ②， 又 由余弦定理得ｂ２ ＝６＋ ５４ － １２ ＝ １４４ ，
５ ５ ２５ ５ ２５
由 ｃｏｓ Ｃ ＝ ３ ， 得 ｓｉｎ Ｃ ＝ ４ ， 所以Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ａｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ ａｂ ＝４，∴ ａｂ ＝ 所以ｂ ＝ １ ５ ２．
５ ５ ２ ５
．
１０③ 考法二 三角形形状的判断
由 解得ｃ ４ ６ 故选 ． Ａ ａ２
①②③ ＝ ， Ａ １．（２０１９云南师大附中１月月考，９）在 ＡＢＣ中 若ｔａｎ
３ △ ， Ｂ＝ｂ２，
２．（２０１９宁夏石嘴山一模，８）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边 ｔａｎ
△ ， ， ， 则 ＡＢＣ的形状是
分别为ａ ｂ ｃ Ｓ表示 ＡＢＣ的面积 若ｃ Ｂ ｂ Ｃ ａ Ａ △ （ ）
， ， ， △ ， ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ， 直角三角形 等腰或直角三角形
Ａ． Ｂ．
Ｓ ３ ｂ２ ａ２ ｃ２ 则Ｂ 等腰三角形 不能确定
＝ （ ＋ － ）， ＝ （ ） Ｃ． Ｄ．
４ Ａ Ｂ ２Ａ
° ° ° ° 答案 Ｂ 由已知并结合正弦定理得 ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ
Ａ．９０ Ｂ．６０ Ｃ．４５ Ｄ．３０ ， Ａ· Ｂ＝ ２Ｂ，
答案 Ｄ 由正弦定理及ｃ Ｂ ｂ Ｃ ａ Ａ ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ
ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ， Ｂ Ａ
得
ｓｉｎ
Ｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＋ｓｉｎ
Ｂ
ｃｏｓ
Ｃ
＝ｓｉｎ
２Ａ
，
即ｃｏｓ
Ａ＝
ｓｉｎ
Ｂ，∴ ｓｉｎ
Ａ
ｃｏｓ
Ａ
＝ｓｉｎ
Ｂ
ｃｏｓ
Ｂ
，
即
ｓｉｎ ２
Ａ
＝ｓｉｎ ２
Ｂ
，
又
所以
ｓｉｎ（
Ｃ
＋
Ｂ
）＝ｓｉｎ
２Ａ
⇒ｓｉｎ
Ａ
＝１， Ａ
ｃ
Ｂ
ｏｓ
为 Ａ
ｓｉ
Ｂ
ｎ
Ｃ的内角 Ａ Ｂ或 Ａ Ｂ 即Ａ Ｂ或Ａ Ｂ
因为 ° Ａ ° 所以Ａ °． 、 △ ，∴２ ＝２ ２ ＋２ ＝π， ＝ ＋
０ ＜ ＜１８０ ， ＝９０
π ＡＢＣ的形状为等腰三角形或直角三角形．故选 ．
＝ ，∴ △ Ｂ
由余弦定理 三角形面积公式及Ｓ ３ ｂ２ ａ２ ｃ２ ２
、 ＝ （ ＋ － ）， ２．（２０１７陕西渭南二模）已知 ＡＢＣ的三边长为ａ ｂ ｃ 满足直
４ △ ， ， ，
线ａｘ ｂｙ ｃ 与圆ｘ２ ｙ２ 相离 则 ＡＢＣ是
得 １ ａｂ Ｃ ３ ａｂ Ｃ ＋ ＋２ ＝０ ＋ ＝４ ， △ （ ）
ｓｉｎ ＝ ·２ ｃｏｓ ， 直角三角形 锐角三角形
２ ４ Ａ． Ｂ．
整理得 Ｃ 又 ° Ｃ ° 所以 Ｃ ° 故 Ｂ °．故 钝角三角形 以上情况都有可能
ｔａｎ ＝ ３， ０ ＜ ＜９０ ， ＝６０ ， ＝３０ Ｃ． Ｄ．
选 ． ｃ
Ｄ 答案 Ｃ 易知圆心到直线的距离ｄ ｜２ ｜ 故ｃ２ ａ２
３．（２０１９ 广西桂林、梧州、贵港、玉林、崇左、北海联考，１５） ＝ ａ２ ｂ２ ＞２， ＞ ＋
＋
ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｃ ａ２ ｂ２ ｃ２
△ ， ， ， ， ＝４， ＝９，ｓｉｎ ｂ２ 在 ＡＢＣ 中 Ｃ ＋ － 所以 Ｃ 为钝角 所以
Ａ Ｃ ２Ｂ 则 Ｂ ． ， △ ，ｃｏｓ ＝ ａｂ ＜０， ∠ ，
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， ｃｏｓ ＝ ２
ＡＢＣ为钝角三角形．选
答案 ６１ △ Ｃ．
３．（２０１９四川蓉城名校联盟第二次联考，６） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ
７２ △ ， ，
解析 Ａ Ｃ ２Ｂ ｂ２ ａｃ
∵ ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ，∴ ＝ ＝３６， Ｃ的对边分别是ａ ｂ ｃ 若Ａ π ａ２ ｂｃ 则 ＡＢＣ的形状是
ａ２ ｃ２ ｂ２ ， ， ， ＝ ， ＝ ， △
Ｂ ＋ － ６１． ３
∴ ｃｏｓ ＝ ａｃ ＝
２ ７２ （ ）
３１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
等腰三角形 直角三角形
．
Ａ． Ｂ． ＝ ３
等边三角形 等腰直角三角形
Ｃ． Ｄ． 解法二 由已知可得ＣＤ １ ａ 由 知 ＡＢ ＡＣ
答案 Ｃ 由余弦定理 ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ｂ２ ｃ２ ｂｃ． ： ＝ ＝１， （１） ， ＝ ，
， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝ ＋ － ３
ａ２ ｂｃ ｂｃ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ｂ Ｃ 又 ＤＡＣ ＡＤＢ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
∵ ＝ ，∴ ＝ ＋ － ， ∴ ∠ ＝∠ ， ∵ ∠ ＝∠ －∠ ＝２∠ －∠ ＝∠
即 ｂ ｃ ２ ｂ ｃ． Ｂ
（ － ） ＝０，∴ ＝ ＝∠ ，
ＣＢ ＣＡ ｂ
又Ａ π ＡＢＣ是等边三角形． ＣＡＢ ＣＤＡ 即 ３ ｂ ．
＝ ，∴ △ ∴ △ ∽△ ，∴ ＣＡ＝ＣＤ， ｂ ＝ ，∴ ＝ ３
３ １
４．（２０１９湘东六校３月联考，５）若 ＡＢＣ的三个内角满足 Ａ
△ ６ｓｉｎ 考法三 与三角形面积、范围有关的问题
Ｂ Ｃ 则 ＡＢＣ是
＝４ｓｉｎ ＝３ｓｉｎ ， △ （ ）
锐角三角形 直角三角形 １．（２０１８吉林长春二中期中，９）已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ
Ａ． 钝角三角形 Ｂ． 以上都有可能 ( Ａ △ ) ， ，
Ｃ． Ｄ． 的对边分别为ａ ， ｂ ， ｃ ， 若 ２ｓｉｎ － π ＝１， 且ａ ＝２， 则 △ ＡＢＣ的
答案 Ｃ 由已知利用正弦定理可得 ａ ｂ ｃ 则可设ａ ２ ６
６ ＝４ ＝３ ， ＝ 面积的最大值为
ｋ２ ｋ２ ｋ２ （ ）
ｋ ｂ ｋ ｃ ｋ ｋ 则 Ｃ ４ ＋９ －１６ 所以角Ｃ是
２ ， ＝３ ， ＝４ ， ＞０， ｃｏｓ ＝ ｋ ｋ ＜０，
２×２ ×３ ３ ３
钝角 所以 ＡＢＣ是钝角三角形 故选 ． Ａ． ３ Ｂ． Ｃ． Ｄ．２ ３
５．（２０１ ， ９ 河 △ 南洛阳一模，１１）在 ， △ ＡＢＣ Ｃ 中 ， 已知 ２ ａ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃ ， 答案 Ｂ ∵ Ａ ∈ ３ （０，π），∴ Ａ － ２ π ∈ ( － π ， π ) ，
Ｃ ２ ６ ６ ３
Ａ Ｂ Ｃ ２ １ 则 ＡＢＣ为 ( Ａ )
ｓｉｎ ｓｉｎ （２－ｃｏｓ ）＝ｓｉｎ ＋ ， △ （ ） π
２ ２ ∵２ｓｉｎ － ＝１，
等边三角形 等腰直角三角形 ２ ６
Ａ． Ｂ． Ａ
锐角非等边三角形 钝角三角形 π π Ａ ２π．
Ｃ． Ｄ． ∴ － ＝ ，∴ ＝
答案 Ｂ 由 ａ Ｂ ｃ及正弦定理得 Ａ Ｂ Ｃ ２ ６ ６ ３
２ ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， 又ａ ｂ２ ｃ２ ｂｃ ｂｃ ｂｃ ｂｃ
Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ＝２，∴４＝ ＋ ＋ ≥２ ＋ ＝３ ，
∵ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ，
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 当且仅当ｂ ｃ时等号成立 ｂｃ ４ ．
∴２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， ＝ ，∴ ≤
即 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ３
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ － ）＝０，
Ａ与Ｂ都为 ＡＢＣ的内角 ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ４ ３ ３
∵ △ ， △ ＝ ｓｉｎ ≤ × × ＝ ，
Ａ Ｂ ° 即Ａ Ｂ． ２ ２ ３ ２ ３
∴ － ＝０ ， ＝
Ｃ ＡＢＣ的面积的最大值为 ３．故选 ．
Ａ Ｂ Ｃ ２ １ ∴ △ Ｂ
∵ ｓｉｎ ｓｉｎ （２－ｃｏｓ ）＝ｓｉｎ ＋ ， ３
２ ２ ２．（２０１８海南二模）在锐角三角形ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别为内角Ａ
， ， ， ，
Ａ Ｂ Ｃ １ Ｃ １ １ Ｃ Ａ Ｂ
∴ ｓｉｎ ｓｉｎ （２－ｃｏｓ ）＝ （１－ｃｏｓ ）＋ ＝１－ ｃｏｓ ， Ｂ Ｃ的对边 已知ａ ｂ２ ｃ２ Ａ ｂｃ ２ ＋
２ ２ ２ ， ， ＝ ３，（ ＋ －３）ｔａｎ ＝ ３ ，２ｃｏｓ ＝
２
１ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ １ Ｃ Ｃ 则 ＡＢＣ的面积为
∴ － ［ｃｏｓ（ ＋ ）－ｃｏｓ（ － ）］（２－ｃｏｓ ）＝１－ ｃｏｓ ， （ ２－１）ｃｏｓ ， △ （ ）
２ ２
１ Ｃ Ｃ １ Ｃ 即 Ｃ ３＋ ３ ３ ２＋ ６
∴ － （－ｃｏｓ －１）（２－ｃｏｓ ）＝１－ ｃｏｓ ， （ｃｏｓ ＋１）（２－ｃｏｓ Ａ． Ｂ．
２ ２ ４ ４
Ｃ Ｃ
）＝２－ｃｏｓ ， ３ ２－ ６ ３－ ３
整理得
ｃｏｓ
２Ｃ
－２ｃｏｓ
Ｃ
＝０，
即
ｃｏｓ
Ｃ
（ｃｏｓ
Ｃ
－２）＝０，∴ ｃｏｓ
Ｃ
＝０
或 Ｃ．
４
Ｄ．
２
Ｃ 舍去 Ｃ ° 则 ＡＢＣ 为等腰直角三角形．故 答案 Ａ ａ ｂ２ ｃ２ Ａ ｂｃ
ｃｏｓ ＝２（ ），∴ ＝９０ ， △ ∵ ＝ ３，（ ＋ －３）ｔａｎ ＝ ３ ，
选 ｂ２ ｃ２ ａ２
Ｂ． ＋ － Ａ ３
６．（２０１９广东佛山顺德第二次质检，１７）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ ∴ ｂｃ ｔａｎ ＝ ，
△ ， ， ， ２ ２
所对的边分别为ａ ｂ ｃ ｂ Ｃ Ａ ａ Ａ ｃ Ｂ．
， ， ，２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝２ ｓｉｎ 即 Ａ Ａ ３
证明 ＡＢＣ为等腰三角形 ｃｏｓ ｔａｎ ＝ ，
（１） ：△ ； ２
若Ｄ为ＢＣ边上的点 ＢＤ ＤＣ 且 ＡＤＢ ＡＣＤ ａ
（２） ， ＝２ ， ∠ ＝２∠ ， ＝３， 亦即 Ａ ３
求ｂ的值． ｓｉｎ ＝ ，
２
解析 证明 ｂ Ｃ Ａ ａ Ａ ｃ Ｂ ( )
（１） ：∵２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝２ ｓｉｎ ， 又Ａ π Ａ π
由正弦定理得 ｂｃ Ａ ａ２ ｃｂ ∈ ０， ，∴ ＝ ，
∴ ２ ｃｏｓ ＋ ＝２ ， ２ ３
由余弦定理得
２
ｂｃ
·
ｂ２ ＋ ｃ
ｂ
２
ｃ
－ ａ２
＋
ａ２
＝２
ｂｃ
， ∵２ｃｏｓ
２ Ａ ＋ Ｂ
＝（ ２－１）ｃｏｓ
Ｃ
，
２ ２
化简得ｂ２ ｃ２ ｂｃ ｂ ｃ ２ 即ｂ ｃ． Ａ Ｂ Ｃ
＋ ＝２ ，∴ （ － ） ＝０， ＝ ∴１＋ｃｏｓ（ ＋ ）＝（ ２－１）ｃｏｓ ，
故 ＡＢＣ为等腰三角形． Ｃ Ｃ
△ ∴１－ｃｏｓ ＝（ ２－１）ｃｏｓ ，
解法一 由已知得 ＢＤ ＤＣ ＡＤＢ ＡＣＤ ( )
（２） ： ＝２， ＝１，∵ ∠ ＝ ２∠ ＝
Ｃ ２ Ｃ π
ＡＣＤ ＤＡＣ ＡＣＤ ＤＡＣ ＡＤ ＣＤ ． ∴ ｃｏｓ ＝ ， ∈ ０， ，
∠ ＋∠ ，∴ ∠ ＝∠ ，∴ ＝ ＝１ ２ ２
又 ＡＤＢ ＡＤＣ
∵ ｃｏｓ∠ ＝－ｃｏｓ∠ ， Ｃ π
ＡＤ２ ＢＤ２ ＡＢ２ ＡＤ２ ＣＤ２ ＡＣ２ ∴ ＝ ，
＋ － ＋ － ４
∴ ＡＤ ＢＤ ＝－ ＡＤ ＣＤ ， ａ ｃ
２ · ２ · 由正弦定理可得 解得ｃ
２ ２ ｃ２ ２ ２ ｂ２ ＝ ， ＝ ２，
即１ ＋２ － １ ＋１ － 得 ｂ２ ｃ２ 由 可知 ｂ ｃ 得 ｂ π π
＝－ ， ２ ＋ ＝９， （１） ＝ ， ｓｉｎ ｓｉｎ
２×１×２ ２×１×１ ３ ４
专题五 三角函数与解三角形 ３１３
∴
Ｓ
△ ＡＢＣ＝
１ ａｃ
ｓｉｎ
Ｂ
＝
１
× ３× ２×
６＋ ２
＝
３＋ ３． ２ ２
，
由
２≤
１ ｃ２
＋
３ ａｃ
≤１８，
得
２≤
１ ａ２
＋
３ ａ２
≤１８，
解得
１≤
ａ
２ ２ ４ ４ ３ ２ ２ ２ ２
故选 ． ｃ ２ ａ ２
Ａ 令 ｍ ４（ ＋１） ４（ ＋１）
３．（２０１８四川泸州一模，１６）已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ的 ≤ ３， ＝ Ｓ ａ ＝ ＝
△ ， ， ９ ２ ＋１６ １ ｂｃ Ａ ａ
Ａ ｃ ｂ ９ ２× ｓｉｎ ＋１６
对边分别为 ａ ｂ ｃ 外接圆半径为 且满足ｔａｎ ２ － 则 ２
， ， ， １， Ｂ＝ ｂ ， ａ ２ ａ ２ ａ ２
ｔａｎ ４（ ＋１） ４（ ＋１） （ ＋１） 令 ｔ ａ ｔ
ＡＢＣ的面积的最大值为 ． ａ ＝ ａ２ ａ ＝ ａ２ ａ ， ＝ ＋１， ∈
△ １ ２ ａ ２ ２ ａ ４ ＋１６ ＋４
９ ２× × × × ＋１６
答案 ３
４
３ ２
则
３
１
[ ３
１ １
]
且 ｍ
ｔ２ ｔ２
解析 设
△
ＡＢＣ外接圆的半径为ｒ
，
［２，４］， ｔ ∈
４
，
２
， ＝
（
ｔ
－１）
２
＋４（
ｔ
－１）
＝ ｔ２
＋２
ｔ
－３
＝
则ｒ ＝１，∴ ｃ ＝ Ａ ２ ｒ ｓｉｎ Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｂ Ｃ ， ｂ ＝２ ｒ ｓｉｎ Ｂ ＝２ｓｉｎ Ｂ ， １ １ ( １ ) ２ ＝ ( １ １ １ ) ２ ４ ≥ １ ４ ＝ ４ ３ ， 当且仅当ｔ ＝
∵ ｔａｎ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ，ｔａｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂ， １＋２· ｔ －３ ｔ －３ ｔ － ３ ＋ ３ ３
ｃｏｓ ｃｏｓ
∴ ｔａｎ Ｂ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ Ａ ｃｏｓ Ｂ Ｂ＝ ４ｓｉｎ Ｃ －２ Ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｃ － Ｂ ｓｉｎ Ｂ ， ３， 即ａ ＝２ 时等号成立．所以所求最小值为 ３ ．
４
ｔａｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ｓｉｎ ｓｉｎ
∴ 即 ｓｉｎ Ａ Ａ ｃｏｓ Ｂ Ｂ ＝ｃｏｓ Ａ Ａ （２ｓｉ Ｂ ｎ Ｃ －ｓｉｎ Ａ Ｂ Ｂ ）＝２ｓｉｎ Ｃ Ｃ ｃｏｓ Ａ －ｓ Ｃ ｉｎ Ｂ ｃ Ａ ｏｓ Ａ ， 解法二 ： 由解法一得ｍ ＝ （ ａ ａ ２ ＋ ＋ １ ４ ） ａ ２ ＝ ａ２ ａ ＋ ２ ＋ ２ ａ ４ ＋ ａ １ ＝１－ａ ２ ２ ａ ＋ － ４ １ ａ， 令ｔ ＝２ ａ
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ，
ｔ ｔ
又 ∵ ｓｉｎ Ｃ ≠０，∴ ｃｏｓ Ａ ＝ ２ １ ， 又Ａ为三角形的内角 ，∴ Ａ ＝ π ３ ， －１， 则ｔ ∈［１，５］， 则 ｍ ＝１－(ｔ ＋１ ) ２ ＋４× ｔ ＋１ ＝１－ｔ２ ＋１ ４ ０ ｔ ＋９ ＝１－
ｂ２ ｃ２ ａ２ ２ ２
Ａ ＋ － １
∴ ∴ 当 ｃ ｂ ｂ ｏ ｃ ｓ ＝ ｃ ｂ２ 时 ＝ ＋ ｃ２ 等 － ２ ａ ｂ 号 ２ ｃ ＝ 成 ｂ２ 立 ＝ ＋ ｃ ２ ２ － ， （２ ｒ ｓｉｎ Ａ ） ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ －３≥２ ｂｃ －３（ 当且仅 ｔ ＋ ９ ｔ ４ ＋１０ ≥１－ ２ ｔ × ４ ９ ｔ ＋１０ ＝ ４ ３ ， 当且仅当ｔ ＝３， 即ａ ＝２ 时等号
＝ ， ），
∴ ｂｃ ≤３， 成立．所以所求最小值为 ３ ．
４
ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ３ ３ ３ 当且仅当ｂ ５．（２０１８陕西榆林二模，１７）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分
∴ △ ＝ ｓｉｎ ≤ ×３× ＝ （ ＝ △ ， ， ，
２ ２ ２ ４
ｃ时
，
等号成立
）， 别为ａ ， ｂ ， ｃ ， 已知－
ｂ
＋ Ｂ ２
ｃ
＝
ａ
Ａ ．
ｃｏｓ ｃｏｓ
ＡＢＣ的面积的最大值为３ ３． 求角Ａ的大小
∴ △ （１） ；
４ 若ａ 求 ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值．
４．（２０２０浙江省重点高中统练，１６）已知 ＡＢＣ的面积为Ｓ 内 （２） ＝２， △
△ ，
ｂ ｃ ａ Ｂ Ｃ Ａ
角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 且 Ｃ Ｂ Ａ成 解析 － ＋ ２ －ｓｉｎ ＋ ２ｓｉｎ ｓｉｎ 即
， ， ， ， ， ２ｓｉｎ ， ｓｉｎ ，ｃｏｓ （１）∵ Ｂ ＝ Ａ，∴ Ｂ ＝ Ａ， ２
ｃ ２ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ
等比数列 ｂ ２ ａ １ ｃ２ ３ ａｃ 则 ４（ ＋１） 的最小值 Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ． Ｃ Ｃ
， ＝ ，２≤ ＋ ≤１８， Ｓ ａ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ∵０＜ ＜π，∴ ｓｉｎ ≠０，
３ ２ ２ ９ ２ ＋１６
为 ． Ａ 即 Ａ ２ Ａ Ａ π．
∴ ２ｃｏｓ ＝１， ｃｏｓ ＝ ，∵０＜ ＜π，∴ ＝
２ ４
答案 ３
ａ Ａ π ｂ２ ｃ２ ｂｃ．
４ （２）∵ ＝２， ＝ ，∴ ＋ ＝４＋ ２
解析 解法一 由 Ｃ Ｂ Ａ 成等比数列 可得 ４
： ２ｓｉｎ ， ｓｉｎ ，ｃｏｓ ， ｂｃ ｂｃ 当且仅当ｂ ｃ时取等号 ｂｃ ．
Ｃ Ａ Ｂ 即 Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ ∴４＋ ２ ≥２ ， ＝ ，∴ ≤２（２＋ ２）
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋
Ａ Ｃ 所以 Ｃ Ａ Ｃ Ａ 即 Ｃ Ａ Ｃ Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ２ ．
ｃｏｓ ｓｉｎ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ｓｉｎ ， ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ · ∴ ＝ ｓｉｎ ≤ ×２（２＋ ２）× ＝ ２＋１
Ａ Ｃ Ａ 所以Ｃ Ａ 从而ｃ ａ 则 Ｂ Ａ ２ ２ ２
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ － ）＝０， ＝ ， ＝ ， ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ·
所以 ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值为 ．
Ａ即ｂ ａ Ａ 因为ｂ ２ ａ 所以 Ａ １ 所以 Ａ △ ２＋１
ｃｏｓ ＝２ ｃｏｓ ， ＝ ， ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＝
３ ３
为节省投入资金 人工湖 ＯＭＮ的面积要尽可能小 试
（２） ， △ ，
确定Ｍ的位置 使 ＯＭＮ的面积最小 并求出最小面积．
， △ ，
例 如图所示 某公路ＡＢ一侧有一块空地 ＯＡＢ 其中
， △ ，
ＯＡ ＯＢ ＡＯＢ ° 当地政府拟在中间开挖一
＝３ ｋｍ， ＝３ ３ ｋｍ，∠ ＝９０ ，
个人工湖 ＯＭＮ 其中Ｍ Ｎ都在边ＡＢ上 Ｍ Ｎ不与Ａ Ｂ重合
△ ， ， （ ， ， ，
Ｍ在Ａ Ｎ之间 且 ＭＯＮ °．
， ）， ∠ ＝３０ 解题导引 由已知求出 ＯＡＢ °．在 ＯＡＭ 中求得
若Ｍ在距离Ａ点 处 求点Ｍ Ｎ之间的距离 （１） ∠ ＝６０ △
（１） ２ ｋｍ ， ， ；
３１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＯＭ ．在 ＯＡＮ 中 ＯＮＡ Ａ ＡＯＮ 在 ＯＭＮ （ ）
＝ ７ △ ，ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ（∠ ＋∠ ）， △ 时，Ｓ 取最小值２７ ２－ ３ ．所以应设计 ＡＯＭ π，可使 ＯＭＮ
中 由正弦定理求出ＭＮ． △ ＯＭＮ ∠ ＝ △
， ４ １２
在 ＯＡＭ ＯＡＮ中 用正弦定理求得ＯＭ及ＯＮ Ｓ （ ）
（２） △ ，△ ， ， △ ＯＭＮ 的面积最小，最小面积是２７ ２－ ３ ２．
ｋｍ
１ ＯＭ ＯＮ ＭＯＮ 化简 Ｓ 的表达式 由 θ π 求得 ４
＝ · ·ｓｉｎ∠ ， △ ＯＭＮ ， ＜ 题目价值 本题以生活问题为背景 考查三角函数的实际
２ ３ ，
Ｓ 的最小值．
ＯＭＮ 应用．考查数学建模的核心素养 以及学生处理信息的能力．
△ ，
解析 （ ）在 ＯＡＢ 中，因为 ＯＡ ，ＯＢ ， ＡＯＢ 规律方法 解三角形应用题的方法
１ △ ＝３ ＝３ ３ ∠ ＝
９０
°，所以
∠
ＯＡＢ
＝６０
°．在
△
ＯＡＭ中，由已知及余弦定理得ＯＭ２
＝
１．解三角形应用题的一般步骤
：
ＡＯ２ ＡＭ２ ＡＯ·ＡＭ· Ａ ，所以ＯＭ ，所以 ＡＯＭ
＋ －２ ｃｏｓ ＝７ ＝ ７ ｃｏｓ∠ ＝
ＯＡ２ ＯＭ２ ＡＭ２
＋ － ２ ７，在 ＯＡＮ中， ＯＮＡ （ Ａ ＡＯＮ）
ＯＡ·ＯＭ ＝ △ ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ ∠ ＋∠
２ ７
ＭＮ
（ ＡＯＭ °） ＡＯＭ ２ ７．在 ＯＭＮ中，由
＝ｓｉｎ ∠ ＋９０ ＝ｃｏｓ∠ ＝ △ °＝
７ ｓｉｎ３０
ＯＭ
得ＭＮ ７ １ ７ ．故点Ｍ，Ｎ之间的距离为 ７ ．
ＯＮＭ ＝ × ＝ ｋｍ
ｓｉｎ∠ ２ ７ ２ ４ ４
７
ＯＭ
（ ）设 ＡＯＭ θ， θ π．在 ＯＡＭ 中，由
２ ∠ ＝ ０＜ ＜ △ ＯＡＭ ＝
３ ｓｉｎ∠
ＯＡ ＯＮ
ＯＭＡ
得 ＯＭ
＝ (
３ ３
)
． 在
△
ＯＡＮ 中，由
ＯＡＮ ＝
２．解三角形应用题的两种情形
：
ｓｉｎ∠ θ π ｓｉｎ∠ 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一
２ｓｉｎ ＋ （１） ，
３ 个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解．
ＯＡ ，
得ＯＮ ３ ３ ３ ３ ．所以Ｓ １ ＯＭ·ＯＮ· 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个 或
ＯＮＡ ＝ ( ) ＝ θ △ ＯＭＮ＝ （２） ， （
ｓｉｎ∠ θ π ２ｃｏｓ ２ 两个以上 三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角
２ｓｉｎ ＋ ） ， ，
２ 形 然后逐步求出其他三角形中的解 有时需设出未知量 从几
， ， ，
ｓｉｎ∠
ＭＯＮ
＝
１ ·
(
３ ３
)
· ３ ３
θ
· １
＝ (
２７
) ＝
个三角形中列出方程
，
解方程得出所要求的解．
２
２ｓｉｎ
θ
＋
π ２ｃｏｓ ２
１６ｓｉｎ
θ
＋
π
ｃｏｓ
θ ３．解三角形应用题应注意的问题
：
３ ３ 画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形 如等边三角
（１） ，
８ｓｉｎ θ ｃｏｓ ２ θ ７ ＋８ ３ｃｏｓ ２θ＝ ４ｓｉｎ２ θ ＋４ ２ ３ ７ ｃｏｓ２ θ ＋４ ３ ＝ ８ｓｉｎ ( ２ θ ＋ ２７ π ) ＋４ ３ ， 形 、 直角三 解 角 三 形 角 等 形 ， 时 这样 为 可 避 以 免 优 误 化 差 解 的 题 累 过 积 程 应 ． 尽可能用已知的数
３ （２） ， ，
( ) 据 原始数据 少用间接求出的量．
因为 θ π，所以 θ π π， ，所以当 θ π π，即θ π （ ），
０＜ ＜ ２ ＋ ∈ π ２ ＋ ＝ ＝
３ ３ ３ ３ ２ １２
把线段ＰＣ的长表示为θ的函数
（１） ；
求四边形ＡＣＤＰ面积的最大值．
（２）
１．如图所示 一座建筑物ＡＢ的高为 在该建筑物的正东
， （３０－１０ ３）ｍ，
方向有一座通信塔ＣＤ．在它们之间的地面上的点Ｍ Ｂ Ｍ Ｄ三点
（ ， ，
共线 处测得楼顶Ａ 塔顶Ｃ的仰角分别是 °和 ° 在楼顶Ａ处
） ， １５ ６０ ，
测得塔顶Ｃ的仰角为 ° 则通信塔ＣＤ的高为
３０ ， （ ）
３．如图所示 经过村庄Ａ有两条夹角为 °的公路ＡＢ ＡＣ 根据
， ６０ ， ，
规划拟在两条公路之间的区域建一工厂Ｐ 分别在两条公路边
，
上建两个仓库Ｍ Ｎ 异于村庄 Ａ 要求 ＰＭ ＰＮ ＭＮ 单
， （ ）， ＝ ＝ ＝２（
位 千米 ．如何设计 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小
： ） ，
． 即工厂与村庄的距离最远
Ａ３０ ｍ Ｂ．６０ ｍ Ｃ．３０ ３ ｍ Ｄ．４０ ３ ｍ （ ）？
答案 Ｂ
２．（２０２０山东滨州三模，１９）如图 半圆Ｏ的直径ＡＢ 点Ｃ在
， ＝２，
ＡＢ的延长线上 ＢＣ 点Ｐ为半圆上异于Ａ Ｂ两点的一个动
， ＝１， ，
点 以点Ｐ为直角顶点作等腰直角 ＰＣＤ 且点Ｄ与圆心Ｏ分
， △ ，
布在ＰＣ的两侧 设 ＰＡＣ θ．
， ∠ ＝
专题五 三角函数与解三角形 ３１５
考点一 正弦定理和余弦定理 若ＤＣ 求ＢＣ．
（２） ＝２ ２，
１１．（２０１９天津，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边
１．（２０２０课标Ⅲ文，１１，５分）在 ＡＢＣ中 Ｃ ２ ＡＣ ＢＣ △ ， ， ，
△ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝４， 分别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ ｃ ａ ｃ Ｂ ａ Ｃ．
３ ， ， ＋ ＝２ ，３ ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ
则 Ｂ 求 Ｂ的值
＝３， ｔａｎ ＝ （ ） （１） ｃｏｓ ；
( )
Ａ． ５ Ｂ．２ ５ Ｃ．４ ５ Ｄ．８ ５ 求 Ｂ π 的值．
答案 Ｃ （２） ｓｉｎ ２ ＋
６
１２．（２０２１新高考适应卷，１８，１２ 分）在四边形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ
Ｃ ， ∥
２．（２０１８课标Ⅱ，６，５分）在 ＡＢＣ中 ５ ＢＣ ＡＣ
△ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝１， ＝ ＣＤ ， ＡＤ ＝ ＢＤ ＝ ＣＤ ＝１ ．
２ ５
５，
则ＡＢ
＝ （ ） （１） 若ＡＢ ＝ ３ ， 求ＢＣ ；
２
Ａ．４ ２ Ｂ． ３０ Ｃ． ２９ Ｄ．２ ５ 若ＡＢ ＢＣ 求 ＢＤＣ．
答案 Ａ （２） ＝２ ， ｃｏｓ∠
３．（２０１６天津，３，５分）在 ＡＢＣ中 若ＡＢ ＢＣ Ｃ 考点二 解三角形及其综合应用
△ ， ＝ １３， ＝３，∠ ＝
１２０ ° ， 则ＡＣ ＝ （ ） １３．（２０２０新高考Ⅰ，１５，５ 分）某中学开展劳动实习 学生加工
，
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
制作零件 零件的截面如图所示．Ｏ为圆孔及轮廓圆弧ＡＢ所
答案 Ａ ，
在圆的圆心 Ａ是圆弧ＡＢ与直线ＡＧ的切点 Ｂ是圆弧ＡＢ与
， ，
４．（２０１６课标Ⅲ，８，５分）在 ＡＢＣ中 Ｂ π ＢＣ边上的高等于 直线ＢＣ的切点 四边形 ＤＥＦＧ 为矩形 ＢＣ ＤＧ 垂足为 Ｃ
△ ， ＝ ， ， ， ⊥ ， ，
４
ＯＤＣ ３ ＢＨ ＤＧ ＥＦ ＤＥ Ａ到直线ＤＥ
１ ＢＣ 则 Ａ ｔａｎ∠ ＝ ， ∥ ， ＝１２ ｃｍ， ＝２ ｃｍ，
， ｃｏｓ ＝ （ ） ５
３ 和ＥＦ的距离均为 圆孔半径为 则图中阴影部分的
７ｃｍ， １ｃｍ，
３ １０ １０ １０ ３ １０
面积为
ｃｍ
２．
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
１０ １０ １０ １０
答案 Ｃ
５．（２０１６课标Ⅱ，１３，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为
△ ， ，
ａ ｂ ｃ 若 Ａ ４ Ｃ ５ ａ 则ｂ ．
， ， ， ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝１， ＝
５ １３
答案 ２１
１３
６．（２０１８浙江，１３，６分）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为 ( )
△ ， ， ， 答案 ５π
４＋
ａ ｂ ｃ．若ａ ｂ Ａ ° 则 Ｂ ｃ ． ２
， ， ＝ ７， ＝２， ＝６０ ， ｓｉｎ ＝ ， ＝ １４．（２０２０课标Ⅰ理，１６，５分）如图 在三棱锥Ｐ ＡＢＣ的平面展
， －
答案 ２１ 开图中 ＡＣ ＡＢ ＡＤ ＡＢ ＡＣ ＡＢ ＡＤ ＣＡＥ °
；３ ， ＝１， ＝ ＝ ３， ⊥ ， ⊥ ，∠ ＝３０ ，
７．（２０１９浙江 ７ ，１４，６分）在 ＡＢＣ中 ＡＢＣ ° ＡＢ ＢＣ 则 ｃｏｓ∠ ＦＣＢ ＝ ．
△ ，∠ ＝９０ ， ＝４， ＝
点Ｄ 在线段 ＡＣ 上．若 ＢＤＣ ° 则 ＢＤ
３， ∠ ＝ ４５ ， ＝ ，
ＡＢＤ ．
ｃｏｓ∠ ＝
答案 １２ ２ ７ ２
；
５ １０
８．（２０２０北京，１７，１３分）在 ＡＢＣ中 ａ ｂ 再从条件 条
△ ， ＋ ＝１１， ①、
件 这两个条件中选择一个作为已知 求
② ， ：
ａ的值
（１） ；
Ｃ和 ＡＢＣ的面积．
（２）ｓｉｎ △
条件 ｃ Ａ １
①： ＝７，ｃｏｓ ＝－ ；
７ 答案 １
－
条件 Ａ １ Ｂ ９ ． ４
②：ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ ＝ １５．（２０１９课标Ⅱ，１５，５ 分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
８ １６ △ ， ，
注：如果选择条件 和条件 分别解答，按第一个解答计分．
① ② 为ａ ｂ ｃ．若ｂ ａ ｃ Ｂ π 则 ＡＢＣ的面积为 ．
９．（２０１９课标Ⅰ，１７，１２ 分） ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别 ， ， ＝６， ＝２ ， ＝ ， △
△ ， ， ３
为ａ ｂ ｃ．设 Ｂ Ｃ ２ ２Ａ Ｂ Ｃ． 答案
， ， （ｓｉｎ －ｓｉｎ ） ＝ｓｉｎ －ｓｉｎ ｓｉｎ ６ ３
求Ａ １６．（２０１７浙江，１４，６分）已知 ＡＢＣ ＡＢ ＡＣ ＢＣ ．点Ｄ为
（１） ； △ ， ＝ ＝４， ＝２
若 ａ ｂ ｃ 求 Ｃ． ＡＢ延长线上一点 ＢＤ 连接 ＣＤ 则 ＢＤＣ 的面积
（２） ２ ＋ ＝２ ， ｓｉｎ ， ＝ ２， ， △
１０．（２０１８课标Ⅰ，１７，１２分）在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＡＤＣ 是 ＢＤＣ ．
，∠ ＝ ，ｃｏｓ∠ ＝
° Ａ ° ＡＢ ＢＤ ．
９０ ，∠ ＝４５ ， ＝２， ＝５ 答案 １５ １０
求 ＡＤＢ ；
（１） ｃｏｓ∠ ； ２ ４
３１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１７．（２０２０课标Ⅱ理，１７，１２ 分） ＡＢＣ中 ２Ａ ２Ｂ ２Ｃ
△ ，ｓｉｎ －ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝ 若 Ａ Ｃ ２ 求Ｃ．
Ｂ Ｃ． （２） ｓｉｎ ＋ ３ｓｉｎ ＝ ，
ｓｉｎ ｓｉｎ ２
求Ａ ２１．（２０２０课标Ⅱ文，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
（１） ； △ ， ，
若ＢＣ 求 ＡＢＣ周长的最大值． ( )
（２） ＝３， △ 别为ａ ｂ ｃ 已知 ２ π Ａ Ａ ５ ．
１８．（２０２０新高考Ⅰ，１７，１０分）在 ａｃ ｃ Ａ ｃ ， ， ， ｃｏｓ ＋ ＋ｃｏｓ ＝
① ＝ ３，② ｓｉｎ ＝３，③ ＝ ２ ４
求Ａ
ｂ这三个条件中任选一个 补充在下面问题中 若问题中的 （１） ；
３ ， ，
三角形存在
，
求ｃ的值
；
若问题中的三角形不存在
，
说明理由．
若ｂ ｃ ３ａ 证明 ＡＢＣ是直角三角形．
问题 是否存在 ＡＢＣ 它的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ （２） － ＝ ３ ， ：△
： △ ， ， ， ， ， ２２．（２０１７课标Ⅰ，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
ｃ 且 Ａ Ｂ Ｃ π △ ， ，
， ｓｉｎ ＝ ３ｓｉｎ ， ＝ ６ ， ？ 为ａ ｂ ｃ．已知 ＡＢＣ的面积为 ａ２ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ， ， △
３ｓｉｎ
Ａ
１９．（２０２０浙江，１８，１４ 分）在锐角 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的 （１） 求 ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ；
△ ， ， ， 若 Ｂ Ｃ ａ 求 ＡＢＣ的周长．
边分别为ａ ｂ ｃ．已知 ｂ Ａ ａ ． （２） ６ｃｏｓ ｃｏｓ ＝１， ＝３， △
， ， ２ ｓｉｎ － ３ ＝０ ２３．（２０１８天津，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边
求角Ｂ的大小 △ ， ， ，
（１） ； ( )
求 Ａ Ｂ Ｃ的取值范围． 分别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ Ａ ａ Ｂ π ．
（２） ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ， ， ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ －
２０．（２０２０课标Ⅰ文，１８，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分 ６
△ ， ， 求角Ｂ的大小
别为ａ ｂ ｃ．已知Ｂ °． （１） ；
， ， ＝１５０ 设ａ ｃ 求ｂ和 Ａ Ｂ 的值．
若ａ ｃ ｂ 求 ＡＢＣ的面积 （２） ＝２， ＝３， ｓｉｎ（２ － ）
（１） ＝ ３ ， ＝２ ７， △ ；
考点一 正弦定理和余弦定理 又 ＡＢＣ为锐角三角形 所以 ° Ｃ ° 故 ｂ ａ．故选 ．
△ ， ０ ＜ ＜９０ ， ２ ＝ Ａ
解法二 由正弦定理和余弦定理得
１．（２０２０课标Ⅲ理，７，５分）在 ＡＢＣ中 Ｃ ２ ＡＣ ＢＣ ：
△ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝４， ＝ ( ａ２ ｂ２ ｃ２ ) ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂ２ ｃ２ ａ２
３ ｂ ＋ － ａ ＋ － ｃ ＋ －
则 Ｂ １＋ ａｂ ＝２ × ａｂ ＋ × ｂｃ ，
３， ｃｏｓ ＝ （ ） ２ ２
( ａ２ ｂ２ ｃ２ )
１ １ １ ２ 所以 ｂ２ ＋ － ａ２ ｂ２ ｃ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ １＋ ａｂ ＝ ＋３ － ，
９ ３ ２ ３
答案 Ａ 由 Ｃ
ＡＣ２
＋
ＢＣ２
－
ＡＢ２
得 ２ １６＋９－
ＡＢ２
ＡＢ 即２
ｂ
ａ２ ｂ２ ｃ２ ａ２ ｂ２ ｃ２
ｃｏｓ ＝ ＡＣ ＢＣ ＝ ，∴ ＝ ａ （ ＋ － ）＝ ＋ － ，
２ · ３ ２×４×３
Ｂ
ＢＡ２
＋
ＢＣ２
－
ＡＣ２
９＋９－１６ １ 故选 ． 即 ａ２ ｂ２ ｃ２
(
２
ｂ )
３，∴ ｃｏｓ ＝ ＢＡ ＢＣ ＝ ＝ ， Ａ （ ＋ － ） ａ －１ ＝０，
２ · ２×３×３ ９
２．（２０１８课标Ⅲ，理９，文１１，５ 分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对 所以ａ２ ｂ２ ｃ２ 或 ｂ ａ
△ ， ， ＋ ＝ ２ ＝ ，
边分别为ａ ｂ ｃ．若 ＡＢＣ的面积为
ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
则Ｃ
又
△
ＡＢＣ为锐角三角形
，
所以ａ２
＋
ｂ２
＞
ｃ２
，
故
２
ｂ
＝
ａ
，
故选
Ａ
．
， ， △ ， ＝ （ ） 方法总结 解三角形时 可以由正弦定理 余弦定理将边角互化
４ ， 、 ，
边角统一后 化简整理即可求解．注意灵活运用三角公式．
π π ，
Ａ． Ｂ． ４．（２０１６课标Ⅰ文，４，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为
２ ３ △ ， ，
π π ａ ｂ ｃ．已知ａ ｃ Ａ ２ 则ｂ
Ｃ． Ｄ． ， ， ＝ ５， ＝２，ｃｏｓ ＝ ， ＝ （ ）
４ ６ ３
答案 Ｃ 根据余弦定理得ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
＝２
ａｂ
ｃｏｓ
Ｃ
，
因为Ｓ
△ ＡＢＣ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３
ａ２ ｂ２ ｃ２ ａｂ Ｃ
＝ ＋ － ， 所以 Ｓ △ ＡＢＣ＝ ２ ｃｏｓ ， 又 Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ａｂ ｓｉｎ Ｃ ， 所以 答案 Ｄ 由余弦定理得 ５＝２ ２ ＋ ｂ２ －２×２ ｂ ｃｏｓ Ａ ，∵ ｃｏｓ Ａ ＝ ２ ，
４ ４ ２
３
( )
ｔａｎ Ｃ ＝１， 因为Ｃ ∈（０，π）， 所以Ｃ ＝ π ４ ．故选 Ｃ ． ∴３ ｂ２ －８ ｂ －３＝０，∴ ｂ ＝３ ｂ ＝－ １ 舍去 ．故选 Ｄ ．
３
３．（２０１７山东理，９，５分）在
△
ＡＢＣ中
，
角Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ的对边分别为 评析 本题考查了余弦定理的应用，考查了方程的思想方法．
ａ ｂ ｃ．若 ＡＢＣ 为锐角三角形 且满足 Ｂ Ｃ
， ， Ａ △ Ｃ Ａ Ｃ 则下列等 ， 式成立的 ｓｉ 是 ｎ （１＋２ｃｏｓ ）＝ ５．（２０１６课标Ⅲ文，９，５分）在 △ ＡＢＣ中 ， Ｂ ＝ π ， ＢＣ边上的高等
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， （ ） ４
．ａ ｂ ．ｂ ａ
Ａ ＝２ Ｂ ＝２ 于 １ ＢＣ 则 Ａ
．Ａ Ｂ ．Ｂ Ａ ， ｓｉｎ ＝ （ ）
Ｃ ＝２ Ｄ ＝２ ３
答案 Ａ 本题考查三角公式的运用和正弦定理 余弦定理．
、
解法一 因为 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ． ３ Ｂ． １０ Ｃ． ５ Ｄ． ３ １０
： ｓｉｎ （１＋２ｃｏｓ ）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， １０ １０ ５ １０
所以 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ 答案 Ｄ 解法一 过Ａ作ＡＤ ＢＣ于Ｄ 设ＢＣ ａ 由已知
ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ（ ＋ ）， ： ⊥ ， ＝ ，
所以 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ ａ
ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ， 得ＡＤ Ｂ π ＡＤ ＢＤ ＢＡＤ π
即 Ｃ Ｂ Ａ ＝ ，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∠ ＝ ，
ｃｏｓ （２ｓｉｎ －ｓｉｎ ）＝０， ３ ４ ４
所以 Ｃ 或 Ｂ Ａ ａ ＤＣ
ｃｏｓ ＝０ ２ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， ＢＤ ＤＣ ２ ａ ＤＡＣ ．
即Ｃ °或 ｂ ａ ∴ ＝ ， ＝ ，ｔａｎ∠ ＝ＡＤ＝２
＝９０ ２ ＝ ， ３ ３
专题五 三角函数与解三角形 ３１７
Ａ．２ ３＋２ Ｂ． ３＋１ Ｃ．２ ３－２ Ｄ． ３－１
ｂ ｃ
答案 Ｂ 由 及已知条件得ｃ ．
Ｂ＝ Ｃ ＝２ ２
ｓｉｎ ｓｉｎ
又 Ａ Ｂ Ｃ １ ２ ３ ２ ２＋ ６．从而 Ｓ
ＢＡＣ ( π ＤＡＣ ) ｔａｎ π ４ ＋ｔａｎ∠ ＤＡＣ １＋２ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ２ × ２ ＋ ２ × ２ ＝ ４ △ ＡＢＣ＝
∴ ｔａｎ∠ ＝ｔａｎ ＋∠ ＝ ＝ ＝
４ π ＤＡＣ １－２ １ ｂｃ Ａ １ ２＋ ６ ．故选 ．
１－ｔａｎ ·ｔａｎ∠ ｓｉｎ ＝ ×２×２ ２× ＝ ３＋１ Ｂ
４ ２ ２ ４
． １０．（２０１３ 课标Ⅰ文，１０，５ 分）已知锐角 ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ
－３ △ ， ，
的对边分别为ａ ｂ ｃ ２Ａ Ａ ａ ｃ 则ｂ
２ ＢＡＣ １ １ ＢＡＣ ２ ＢＡＣ ， ， ，２３ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２ ＝０， ＝７， ＝６， ＝
ｃｏｓ ∠ ＝ ２ ＢＡＣ＝ ，ｓｉｎ∠ ＝ １－ｃｏｓ ∠ ＝
１＋ｔａｎ ∠ １０ （ ）
３ １０．故选 ． Ａ．１０ Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．５
Ｄ 答案 Ｄ 由 ２Ａ Ａ 得 ２Ａ
１０ ２３ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２ ＝０ ２５ｃｏｓ ＝１，
ａ
解法二 过Ａ作ＡＤ ＢＣ于Ｄ 设ＢＣ ａ 由已知得ＡＤ Ｂ 因为Ａ为锐角 所以 Ａ １ ．又由ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ得
： ⊥ ， ＝ ， ＝ ，∵ ， ｃｏｓ ＝ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ４９
３ ５
ａ
π ＡＤ ＢＤ ＢＤ ＡＤ ＤＣ ２ ａ ＡＣ ｂ２ １２ｂ 整理得 ｂ２ ｂ
＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ＝ ＋３６－ ， ５ －１２ －６５＝０，
４ ３ ３ ５
( ａ ) ２ ( ２ ａ ) ２ ５ ａ 在 ＡＢＣ 中 由正弦定理得 解得ｂ １３ 舍 或ｂ 故选 ．
＋ ＝ ， △ ， ＝－ （ ） ＝５， Ｄ
３ ３ ３ ５
１１．（２０１９课标Ⅱ文，１５，５ 分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
△ ， ，
５ａ 别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ Ａ ａ Ｂ 则Ｂ ．
ａ ３ ＢＡＣ ３ １０．故选 ． ， ， ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝０， ＝
ＢＡＣ＝ °，∴ ｓｉｎ∠ ＝ Ｄ
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ４５ １０ 答案 ３
评析 本题考查了三角函数和解三角形的能力，正确地画图对
４
π
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值 考查的核心素
解题很有帮助．属中档题．
，
６．（２０１６山东文，８，５分） ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别是ａ
养为数学运算．
△ ， ， ， ，
ｂ ， ｃ．已知ｂ ＝ ｃ ， ａ２ ＝２ ｂ２ （１－ｓｉｎ Ａ ） ．则Ａ ＝ （ ） 在 △ ＡＢＣ中 ， 由已知及正弦定理得 ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ａ ＋ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＝０，
Ａ Ｂ Ｂ
∵ ｓｉｎ ≠０，∴ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝０，
３π π π π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 即 Ｂ
４ ３ ４ ６ ｔａｎ ＝－１，
答案 Ｃ 在 ＡＢＣ中 由ｂ ｃ 得 Ａ
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
２
ｂ２
－
ａ２
又Ｂ Ｂ ３ ．
△ ， ＝ ， ｃｏｓ ＝
２
ｂｃ ＝
２
ｂ２ ， ∈（０，π），∴ ＝
４
π
又ａ２
＝２
ｂ２
（１－ｓｉｎ
Ａ
），
所以
ｃｏｓ
Ａ
＝ｓｉｎ
Ａ
，
即
ｔａｎ
Ａ
＝１，
又知Ａ
∈
１２．（２０１７课标Ⅲ文，１５，５ 分）
△
ＡＢＣ的内角Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ的对边分
别为ａ ｂ ｃ．已知Ｃ ｂ ｃ 则Ａ ．
所以Ａ π 故选 ． ， ， ＝６０°， ＝ ６， ＝３， ＝
（０，π）， ＝ ， Ｃ 答案 °
４ ７５
评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键．
解析 由正弦定理得 ３ ６ Ｂ ２
７．（２０１５广东文，５，５分）设 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为 ＝ Ｂ，∴ ｓｉｎ ＝ ，
△ ， ， ｓｉｎ６０° ｓｉｎ ２
又 ｃ ｂ Ｂ Ａ ．
ａ ｂ ｃ．若ａ ｃ Ａ ３且ｂ ｃ 则ｂ ∵ ＞ ，∴ ＝４５°，∴ ＝７５°
， ， ＝２， ＝２ ３，ｃｏｓ ＝ ＜ ， ＝ （ ）
２ 易错警示 本题求得 Ｂ ２后 要注意利用ｂ ｃ确定Ｂ
ｓｉｎ ＝ ， ＜ ＝
Ａ．３ Ｂ．２ ２ Ｃ．２ Ｄ． ３ ２
答案 Ｃ 由余弦定理ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ａ２ 得ｂ２ ｂ 从而求得Ａ °．
＋ －２ ｃｏｓ ＝ ， －６ ＋８＝０， ４５°， ＝７５
解得ｂ 或ｂ ｂ ｃ ｂ ．选 ． １３．（２０１７课标Ⅱ文，１６，５ 分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
＝２ ＝４，∵ ＜ ＝２ ３，∴ ＝２ Ｃ △ ， ，
别为ａ ｂ ｃ 若 ｂ Ｂ ａ Ｃ ｃ Ａ 则Ｂ ．
８．（２０１４课标Ⅱ理，４，５分）钝角三角形ＡＢＣ的面积是 １ ＡＢ ， ， ， ２ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ， ＝
， ＝ 答案 °
２ ６０
解析 解法一 由正弦定理得 Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ
ＢＣ 则ＡＣ ： ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ
１， ＝ ２， ＝ （ ） Ａ 即 Ｂ Ａ Ｃ 即 Ｂ ° Ｂ 可得
·ｃｏｓ ， ｓｉｎ２ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）， ｓｉｎ ２ ＝ｓｉｎ（１８０ － ），
Ａ．５ Ｂ． ５ Ｃ．２ Ｄ．１ Ｂ °．
＝６０
答案 Ｂ Ｓ
△ ＡＢＣ＝
１ ＡＢ
·
ＢＣ
ｓｉｎ
Ｂ
＝
１
×１× ２ｓｉｎ
Ｂ
＝
１
， 解法二 由余弦定理得 ｂ
ａ２
＋
ｃ２
－
ｂ２
ａ
ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
ｃ
２ ２ ２ ： ２ · ａｃ ＝ · ａｂ ＋ ·
２ ２
Ｂ ２ Ｂ °或 °．若Ｂ ° 则由余弦定理得ＡＣ ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２
∴ ｓｉｎ ＝ ，∴ ＝４５ １３５ ＝４５ ， ＋ － 即ｂ ＋ － ｂ 所以ａ２ ｃ２ ｂ２ ａｃ 所以 Ｂ
２ ｂｃ ， · ａｃ ＝ ， ＋ － ＝ ， ｃｏｓ ＝
ＡＢＣ为直角三角形 不符合题意 因此Ｂ ° 由余 ２
＝１，∴ △ ， ， ＝１３５ ，
１ 又 ° Ｂ ° 所以Ｂ °．
弦定理得 ＡＣ２ ＡＢ２ ＢＣ２ ＡＢ ＢＣ Ｂ ， ０ ＜ ＜１８０ ， ＝６０
＝ ＋ －２ · ｃｏｓ ＝１＋２－２×１× ２× ２
æ ö 思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解．
ç ２÷ ＡＣ ．故选 ．
è－ ø＝５，∴ ＝ ５ Ｂ
２ １４．（２０１６北京文，１３，５ 分）在 ＡＢＣ 中 Ａ ２π ａ ｃ 则
９．（２０１３课标Ⅱ文，４，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为 △ ，∠ ＝ ， ＝ ３ ，
△ ， ， ３
ｂ
ａ ｂ ｃ 已知ｂ Ｂ π Ｃ π 则 ＡＢＣ的面积为 ．
， ， ， ＝２， ＝ ， ＝ ， △ （ ） ｃ ＝
６ ４
３１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ａ
１ ｓｉｎ２ ．
解析 在 ＡＢＣ中 ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ Ｃ ＝
△ ， ＝ ＋ －２ ·ｃｏｓ ， ｓｉｎ
答案
将 Ａ ２π ａ ｃ代入 １
∠ ＝ ， ＝ ３ ， 解析 在 ＡＢＣ 中 由余弦定理的推论可得 Ａ
３ △ ， ｃｏｓ ＝
( ) ｂ２ ｃ２ ａ２ ２ ２ ２ Ａ
可得 ｃ ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ １ ＋ － ５ ＋６ －４ ３ 由 正 弦 定 理 可 知 ｓｉｎ２
（ ３ ） ＝ ＋ －２ · － ， ｂｃ ＝ ＝ ， Ｃ ＝
２ ２ ２×５×６ ４ ｓｉｎ
整理得 ｃ２ ｂ２ ｂｃ．
２ ＝ ＋ ３
∵
ｃ
≠０，∴
等式两边同时除以ｃ２
， ２ｓｉｎ
Ａ
ｃｏｓ
Ａ
２
ａ
·ｃｏｓ
Ａ ２×４×
４ ．
得 ２＝ ｂ ｃ２ ２ ＋ ｂ ｃ２ ｃ ， 即 ２＝ ( ｂ ｃ ) ２ ＋ ｂ ｃ ． 评析 ｓｉｎ Ｃ 本题 ＝ 主要考 ｃ 查正 ＝ 弦定 ６ 理、余 ＝ 弦 １ 定理的推论以及二倍角
公式的应用，考查学生的运算求解能力和知识的应用转化
ｂ
令ｔ ＝ ｃ （ ｔ ＞０）， 有 ２＝ ｔ２ ＋ ｔ ， 即ｔ２ ＋ ｔ －２＝０， 能力．
解得ｔ 或ｔ 舍去 ２０．（２０１４课标Ⅰ理，１６，５分）已知ａ ｂ ｃ分别为 ＡＢＣ三个内
＝１ ＝－２（ ）， ， ， △
ｂ 角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ａ 且 ｂ Ａ Ｂ ｃ ｂ Ｃ
故 ． ， ， ， ＝２， （２＋ ）（ｓｉｎ －ｓｉｎ ）＝（ － ）ｓｉｎ ，
ｃ ＝１ 则 ＡＢＣ面积的最大值为 ．
△
思路分析 本题先由余弦定理列出关于ｂ ｃ的方程 再将方 答案
、 ， ３
ｂ 解析 因为ａ 所以 ｂ Ａ Ｂ ｃ ｂ Ｃ可
程转化为以 为变元的方程求解． ＝２， （２＋ ）（ｓｉｎ －ｓｉｎ ）＝（ － ）ｓｉｎ
ｃ 化为 ａ ｂ Ａ Ｂ ｃ ｂ Ｃ 由正弦定理可得 ａ
（ ＋ ）（ｓｉｎ －ｓｉｎ ）＝（ － ）ｓｉｎ ， （ ＋
评析 本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用，属中 ｂ ａ ｂ ｃ ｂ ｃ 即ｂ２ ｃ２ ａ２ ｂｃ 由余弦定理可得 Ａ
）（ － ）＝（ － ） ， ＋ － ＝ ， ｃｏｓ ＝
档题． ｂ２ ｃ２ ａ２ ｂｃ
＋ － １ 又 Ａ 故 Ａ π．因为 Ａ １
１５．（２０１５福建理，１２，４分）若锐角 ＡＢＣ的面积为 且ＡＢ ｂｃ ＝ ｂｃ＝ ， ０＜ ＜π， ＝ ｃｏｓ ＝ ＝
△ １０ ３， ２ ２ ２ ３ ２
＝５， ＡＣ ＝８， 则ＢＣ等于 ． ｂ２ ＋ ｃ
ｂ
２
ｃ
－４
≥
２ ｂｃ
ｂ
－
ｃ
４
，
所以ｂｃ
≤４，
当且仅当ｂ
＝
ｃ时取等号．由三角
答案
２ ２
７
解析 设内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别为 ａ ｂ ｃ．由已知及
， ， ， ， 形面积公式知Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝ １ ｂｃ · ３ ＝ ３ｂｃ ≤ ３， 故
２ ２ ２ ４
１ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝１０ ３ 得 ｓｉｎ Ａ ＝ ３ ， 因为 Ａ为锐角 ， 所以 Ａ ＝６０ ° ， ＡＢＣ面积的最大值为 ．
２ ２ △ ３
评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基
ｃｏｓ
Ａ
＝
１ ．由余弦定理得ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
－２
ｂｃ
ｃｏｓ
Ａ
＝２５＋６４－２×４０× 本不 等式的应用，考查学生对知识的综合应用能力以及运算
２
求解能力．能把 代换成ａ是正确解决本题的关键．
１ 故ａ 即ＢＣ ． ２
＝４９， ＝７， ＝７ ２１．（２０１１课标文，１５，５ 分） ＡＢＣ 中 Ｂ ° ＡＣ ＡＢ
２ △ ， ＝１２０ ， ＝７， ＝５，
评析 本题考查了三角形的面积和解三角形，利用三角形的 则 ＡＢＣ的面积为 ．
△
面积求出 Ａ是求解关键．
ｃｏｓ 答案 １５ ３
１６．（２０１５安徽文，１２，５分）在 ＡＢＣ中 ＡＢ Ａ ° Ｂ
△ ， ＝ ６，∠ ＝７５ ，∠ ４
° 则ＡＣ ． 解析 由余弦定理ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ 及已知条件得
＝４５ ， ＝ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
答案 ａ２ ａ °．
２ ４９＝ ＋２５－２×５× ｃｏｓ１２０
ＡＢ 整理得ａ２ ａ
解析 由已知及三角形内角和定理得 Ｃ ° 由 ＋５ －２４＝０，
∠ ＝６０ ， Ｃ＝ 解得ａ 或ａ 舍 ．
ｓｉｎ ＝３ ＝－８（ ）
ＡＣ ＡＢ Ｂ °
Ｂ 知ＡＣ ＝ ·ｓｉ Ｃ ｎ ＝ ６·ｓｉｎ ° ４５ ＝２ ． ∴ Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ａｃ ｓｉｎ Ｂ ＝ １ ×３×５ｓｉｎ１２０ ° ＝ １５ ３．
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ６０ ２ ２ ４
评析 本题考查余弦定理、解三角形等知识，根据余弦定理正
１７．（２０１５ 福建文，１４，４ 分）若 ＡＢＣ 中 ＡＣ Ａ ° Ｃ
△ ， ＝ ３， ＝４５ ， ＝ 确求出ａ的值是解答本题的关键．
° 则ＢＣ ．
７５ ， ＝ ２２．（２０１７课标Ⅱ理，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
答案 △ ， ，
２ Ｂ
ＡＣ ＢＣ 别为ａ ｂ ｃ 已知 Ａ Ｃ ２ ．
解析 Ｂ ° ° ° °．由正弦定理得 ， ， ， ｓｉｎ（ ＋ ）＝８ｓｉｎ
＝１８０ －４５ －７５ ＝６０ Ｂ＝ Ａ， ２
ｓｉｎ ｓｉｎ 求 Ｂ
可得ＢＣ ＝ ２ ． （１） 若 ｃ ａ ｏｓ ｃ ； ＡＢＣ的面积为 求ｂ．
１８．（２０１５重庆文，１３，５ 分）设
△
ＡＢＣ的内角Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ的对边分 （２ 解 ） 析 ＋ 本 ＝ 题 ６， 考 △ 查了三角公式的 ２ 运 ， 用和余弦定理的应用．
别为 ａ ， ｂ ， ｃ ， 且 ａ ＝２，ｃｏｓ Ｃ ＝－ １ ，３ｓｉｎ Ａ ＝２ｓｉｎ Ｂ ， 则 ｃ ＝ 由题设及Ａ Ｂ Ｃ 得 Ｂ ２ Ｂ 故 Ｂ Ｂ ．
４ （１） ＋ ＋ ＝π ｓｉｎ ＝８ｓｉｎ ， ｓｉｎ ＝４（１－ｃｏｓ ）
２
． 上式两边平方
，
整理得
１７ｃｏｓ
２Ｂ
－３２ｃｏｓ
Ｂ
＋１５＝０，
答案
４ 解得 Ｂ 舍去 Ｂ １５．
解析 由 Ａ Ｂ及正弦定理 得 ａ ｂ 又ａ 所 ｃｏｓ ＝１（ ），ｃｏｓ ＝
３ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ， ３ ＝２ ， ＝２， １７
( )
以ｂ 故ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ １ 所 由 Ｂ １５得 Ｂ ８ 故Ｓ １ ａｃ Ｂ ４ ａｃ．
＝３， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝４＋９－２×２×３× － ４ ＝１６， （２） ｃｏｓ ＝ １７ ｓｉｎ ＝ １７ ， △ ＡＢＣ＝ ２ ｓｉｎ ＝ １７
以ｃ ．
＝４ 又Ｓ 则ａｃ １７．
１９．（２０１５北京理，１２，５ 分）在 ＡＢＣ 中 ａ ｂ ｃ 则 △ ＡＢＣ＝２， ＝
△ ， ＝４， ＝５， ＝６， ２
专题五 三角函数与解三角形 ３１９
由余弦定理及ａ ｃ 得ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ ａ ｃ ２ ａｃ 若ａ 求 ＡＢＣ的面积．
＋ ＝６ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝（ ＋ ） －２ （１ （２） ＝７， △
( ) 解析 本题考查正 余弦定理的应用 考查三角形的面积
１７ １５ ． 、 ，
＋ｃｏｓ Ｂ）＝３６－２× × １＋ ＝４ 公式．
２ １７
所以ｂ ．
＝２ 在 ＡＢＣ中 因为 Ａ ° ｃ ３ ａ
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中 要 （１） △ ， ∠ ＝６０ ， ＝ ，
， ７
重视 整体运算 的技巧．如本题中ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ ａ ｃ Ａ
“ ” ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝（ ＋ 所以由正弦定理得 Ｃ ｓｉｎ ３ ３ ３ ３．
ｃ ２ ａｃ Ｂ 中的转化就说明了这一点． ｓｉｎ ＝ ａ ＝ × ＝
） －２ （１＋ｃｏｓ ） ７ ２ １４
２３．（２０１７课标Ⅲ理，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
△ ， ， 因为ａ 所以ｃ ３ ．
（２） ＝７， ＝ ×７＝３
别为ａ ｂ ｃ．已知 Ａ Ａ ａ ｂ ． ７
， ， ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝０， ＝２ ７， ＝２
求ｃ 由余弦定理ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ得 ２ ｂ２ ２ ｂ １
（１） ； ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ７ ＝ ＋３ －２ ×３× ，
设Ｄ为ＢＣ边上一点 且ＡＤ ＡＣ 求 ＡＢＤ的面积． ２
（２） ， ⊥ ， △ 解得ｂ 或ｂ 舍 ．
＝８ ＝－５（ ）
解析 由已知可得 Ａ 所以Ａ ２π．
（１） ｔａｎ ＝－ ３， ＝ 所以 ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ３ ．
３ △ ＝ ｓｉｎ ＝ ×８×３× ＝６ ３
２ ２ ２
在 ＡＢＣ中 由余弦定理得 ｃ２ ｃ ２π 即ｃ２ ｃ 解后反思 根据所给等式的结构特点 利用正弦定理将边的
△ ， ２８＝４＋ －４ ｃｏｓ ， ＋２ －２４ ，
３ 关系转化为角的关系是解题的关键．在求解面积时 经常用余
． ，
＝０ 弦定理求出两边乘积．
解得ｃ 舍去 或ｃ ．
＝－６（ ）， ＝４ ２５．（２０１７山东文，１７，１２ 分）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分
△ ， ， ，
由题设可得 ＣＡＤ π
（２） ∠ ＝ ， 别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ →ＡＢ →ＡＣ Ｓ 求Ａ和ａ．
２ ， ， ＝３， · ＝－６， △ ＡＢＣ＝３，
所以 ＢＡＤ ＢＡＣ ＣＡＤ π． 解析 因为→ＡＢ · →ＡＣ ＝－６， 所以ｂｃ ｃｏｓ Ａ ＝－６，
∠ ＝∠ －∠ ＝ ６ 又Ｓ △ ＡＢＣ＝３， 所以ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝６，
１ ＡＢ ＡＤ π 因此 Ａ 又 Ａ 所以Ａ ３π．
故 △ ＡＢＤ面积与 △ ＡＣＤ面积的比值为 ２ · ·ｓｉｎ ６ ＝１ ． ｔａｎ ＝－１， ０＜ ＜π， ＝ ４
１ ＡＣ ＡＤ 又ｂ 所以ｃ ．
· ＝３， ＝２ ２
２ 由余弦定理ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
又 ＡＢＣ的面积为 １ ＢＡＣ æ ö
△ ×４×２ｓｉｎ∠ ＝２ ３， 得ａ２ ç ２÷
２ ＝９＋８－２×３×２ ２×è－ ø＝２９，
所以 ＡＢＤ的面积为 ． ２
△ ３ 所以ａ ．
思路分析 由 Ａ Ａ 可求得 Ａ 注 ＝ ２９
（１） ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝０， ｔａｎ ＝－ ３， ２６．（２０１６四川文，１８，１２ 分）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边
△ ， ， ，
意到Ａ是三角形内角 得Ａ ２π 再由余弦定理求ｃ． 由题 Ａ Ｂ Ｃ
， ＝ ， （２） 分别是ａ ｂ ｃ 且ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ ．
３ ， ， ， ａ ＋ ｂ ＝ ｃ
Ｓ
意知 ∠ ＣＡＤ ＝ π ，∠ ＢＡＤ ＝ π ， 于是可求得 Ｓ △ ＡＢＤ的值 ， 再由 （１） 证明 ：ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ｓｉｎ Ｃ ；
２ ６ △ ＡＣＤ 若ｂ２ ｃ２ ａ２ ６ ｂｃ 求 Ｂ．
Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ×４×２ｓｉｎ∠ ＢＡＣ ＝２ ３ 得解． （２ 解 ） 析 ＋ － 证明 ＝ ５ 根据 ， 正弦 ｔａｎ 定理
２
（１） ： ，
一题多解 （２） 另解一 ： 由余弦定理得 ｃｏｓ Ｃ ＝ ２ ， 在 Ｒｔ△ ＡＣＤ 可设 ａ Ａ＝ ｂ Ｂ＝ ｃ Ｃ＝ ｋ （ ｋ ＞０） ．
７ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
ＡＣ 则ａ ｋ Ａ ｂ ｋ Ｂ ｃ ｋ Ｃ．
中 Ｃ ＣＤ ＝ ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ
，ｃｏｓ ＝ＣＤ，∴ ＝ ７， Ａ Ｂ Ｃ
代入ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ 中 有
ＡＤ ＤＢ ＣＤ ａ ＋ ｂ ＝ ｃ ，
∴ ＝ ３， ＝ ＝ ７，
Ａ Ｂ Ｃ
ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ 变形可得
Ｓ Ｓ １ Ｃ ３ ． ｋ Ａ＋ｋ Ｂ＝ｋ Ｃ，
∴ △ ＡＢＤ＝ △ ＡＣＤ＝ ×２× ７×ｓｉｎ ＝ ７× ＝ ３ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
２ ７ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ．
ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）
另解二 ＢＡＤ π 由余弦定理得 Ｃ ２ ＣＤ 在 ＡＢＣ中 由Ａ Ｂ Ｃ 有 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ
：∠ ＝ ， ｃｏｓ ＝ ，∴ ＝ ７，∴ △ ， ＋ ＋ ＝π， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ（π－ ）＝ｓｉｎ ，
６ ７ 所以 Ａ Ｂ Ｃ．
ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
ＡＤ ＝ ３，∴ Ｓ △ ＡＢＤ＝ ２ １ ×４× ３×ｓｉｎ∠ ＤＡＢ ＝ ３ ． （２） 由已知 ， ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ ６ ｂｃ ，
另解三 过Ｂ作ＢＥ垂直ＡＤ 交ＡＤ的延长线于 Ｅ 在 ＡＢＥ ５
： ， ， △ 根据余弦定理 有 Ａ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ３ ．
， ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝
中 ＥＡＢ ２π π π ＡＢ ＢＥ ＢＥ ＣＡ 从而可 ２ ５
，∠ ＝ － ＝ ， ＝４，∴ ＝２，∴ ＝ ，
得 ＡＤＣ
３
ＥＤＢ
２ ６
ＢＤ ＤＣ 即 Ｄ 为 ＢＣ 中点 Ｓ
所以
ｓｉｎ
Ａ
＝ １－ｃｏｓ
２Ａ
＝
４ ．
△ ≌△ ，∴ ＝ ， ，∴ △ ＡＢＤ＝ ５
由 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
１ Ｓ １ １ ＣＡＢ ． （１），ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ，
△ ＡＢＣ＝ × ×２×４×ｓｉｎ∠ ＝ ３
２ ２ ２ 所以 ４ Ｂ ４ Ｂ ３ Ｂ
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ，
２４．（２０１７北京理，１５，１３分）在 ＡＢＣ中 Ａ ° ｃ ３ ａ． ５ ５ ５
△ ，∠ ＝６０ ， ＝ Ｂ
７ 故 Ｂ ｓｉｎ ．
求 Ｃ的值 ｔａｎ ＝ Ｂ＝４
（１） ｓｉｎ ； ｃｏｓ
３２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
方法总结 解三角形中 要根据题干条件恰当选取正 余弦 转化为“角”之间的关系，再运用三角函数知识求解．
， 、
定理 当涉及边较多时 可考虑余弦定理 当涉及角较多时 可 ２９．（２０１６浙江理，１６，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
， ， ， ， △ ， ， ，
考虑正弦定理． ＡＢＣ中 也常用到 Ａ Ｂ Ｃ． 边分别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ ｃ ａ Ｂ．
△ ， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ， ， ＋ ＝２ ｃｏｓ
评析 本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系 证明 Ａ Ｂ
（１） ： ＝２ ；
式，根据条件恰当选择正、余弦定理是解题的关键． ａ２
若 ＡＢＣ的面积Ｓ 求角Ａ的大小．
２７．（２０１６浙江文，１６，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的 （２） △ ＝ ，
△ ， ， ， ４
边分别为ａ ｂ ｃ．已知ｂ ｃ ａ Ｂ． 解析 由正弦定理得 Ｂ Ｃ Ａ Ｂ
， ， ＋ ＝２ ｃｏｓ （１） ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ，
证明 Ａ Ｂ 故 Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
（１） ： ＝２ ； ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ，
于是 Ｂ Ａ Ｂ ．
若 Ｂ ２ 求 Ｃ的值． ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ － ）
（２） ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ 又Ａ Ｂ 故 Ａ Ｂ 所以 Ｂ Ａ Ｂ 或Ｂ Ａ Ｂ
３ ， ∈（０，π）， ０＜ － ＜π， ， ＝π－（ － ） ＝ － ，
解析 由正弦定理得 因此Ａ 舍去 或Ａ Ｂ
（１） ＝π（ ） ＝２ ，
Ｂ Ｃ Ａ Ｂ 故 Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ 所以 Ａ Ｂ．
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ， ＝２
Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ａ２ ａ２
＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ， 由Ｓ 得 １ ａｂ Ｃ 故有 Ｂ Ｃ １ Ｂ
于是 Ｂ Ａ Ｂ ． （２） ＝ ｓｉｎ ＝ ， ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ２
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ － ） ４ ２ ４ ２
又Ａ Ｂ 故 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ
， ∈（０，π）， ０＜ － ＜π， ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
所以 ， Ｂ ＝π－（ Ａ － Ｂ ） 或Ｂ ＝ Ａ － Ｂ ， 因 ｓｉｎ Ｂ ≠０， 得 ｓｉｎ Ｃ ＝ｃｏｓ Ｂ．
因此Ａ ＝π（ 舍去 ） 或Ａ ＝２ Ｂ ， 又Ｂ ， Ｃ ∈（０，π）， 所以Ｃ ＝ π ± Ｂ．
所以 Ａ Ｂ． ２
， ＝２
当Ｂ Ｃ π时 Ａ π
由 Ｂ ２ 得 Ｂ ５ ＋ ＝ ， ＝ ；
（２） ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＝ ， ２ ２
３ ３
当Ｃ Ｂ π时 Ａ π．
Ｂ ２Ｂ １ － ＝ ， ＝
ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝－ ， ２ ４
９
综上 Ａ π或Ａ π．
故 ｃｏｓ Ａ ＝－ ９ １ ，ｓｉｎ Ａ ＝ ４ ９ ５ ， 思路 ， 分析 ＝ ２ 由 ＝ 正 ４ 弦定理及两角和的正弦公式将已知条件
（１）
Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ２２．
转化为 Ａ与 Ｂ的三角函数关系 利用Ａ Ｂ的范围诱导公
ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ∠ ∠ ， ，
２７ 式得出 Ａ与 Ｂ的关系
评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识，同时考查 ∠ ∠ ；
利用三角形的面积公式将已知条件转化为 Ｃ与 Ｂ的三
运算求解能力． （２） ∠ ∠
角函数关系 再由 Ｂ Ｃ的范围及诱导公式求 Ａ的大小．
２８．（２０１６课标Ⅰ理，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分 ， ∠ ，∠ ∠
△ ， ， 评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形
别为ａ ｂ ｃ 已知 Ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ ｃ．
， ， ， ２ｃｏｓ （ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ）＝ 面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力．
求Ｃ
（１） ； ３０．（２０１５课标Ⅱ理，１７，１２ 分） ＡＢＣ 中 Ｄ 是 ＢＣ 上的点 ＡＤ
△ ， ，
平分 ＢＡＣ ＡＢＤ面积是 ＡＤＣ面积的 倍．
若ｃ ＡＢＣ的面积为３ ３ 求 ＡＢＣ的周长． ∠ ，△ △ ２
（２） ＝ ７，△ ， △
Ｂ
２ 求ｓｉｎ∠
解析 由已知及正弦定理得 （１） Ｃ；
（１） ， ｓｉｎ∠
Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ 分
２ｃｏｓ （ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ）＝ｓｉｎ ， （２ ） 若ＡＤ ＤＣ ２ 求ＢＤ和ＡＣ的长．
Ｃ Ａ Ｂ Ｃ． （２） ＝１， ＝ ，
２ｃｏｓ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ２
故 Ｃ Ｃ Ｃ． 分
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ （４ ） 解析 Ｓ １ ＡＢ ＡＤ ＢＡＤ
可得 Ｃ １ 所以Ｃ π． 分 （１） △ ＡＢＤ＝ ２ · ｓｉｎ∠ ，
ｃｏｓ ＝ ， ＝ （６ ）
２ ３ Ｓ １ ＡＣ ＡＤ ＣＡＤ．
△ ＡＤＣ＝ · ｓｉｎ∠
由已知 得 １ ａｂ Ｃ ３ ３． ２
（２） ， ｓｉｎ ＝ 因为Ｓ Ｓ ＢＡＤ ＣＡＤ 所以ＡＢ ＡＣ．
２ ２ △ ＡＢＤ＝２ △ ＡＤＣ，∠ ＝∠ ， ＝２
Ｂ ＡＣ
又Ｃ π 所以ａｂ ． 分 由正弦定理可得ｓｉｎ∠ １ ．
＝ ， ＝６ （８ ） Ｃ＝ＡＢ＝
３ ｓｉｎ∠ ２
由已知及余弦定理得 ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ ． 因为Ｓ Ｓ ＢＤ ＤＣ 所以ＢＤ ．
， ＋ －２ ｃｏｓ ＝７ （２） △ ＡＢＤ ∶ △ ＡＤＣ＝ ∶ ， ＝ ２
故ａ２ ｂ２ 从而 ａ ｂ ２ ． 分 在 ＡＢＤ和 ＡＤＣ中 由余弦定理知
＋ ＝１３， （ ＋ ） ＝２５ （１０ ） △ △ ，
所以 ＡＢＣ的周长为 ． 分 ＡＢ２ ＡＤ２ ＢＤ２ ＡＤ ＢＤ ＡＤＢ
△ ５＋ ７ （１２ ） ＝ ＋ －２ · ｃｏｓ∠ ，
解后反思 本题属解三角形问题中的常见题型 要先利用正 ＡＣ２ ＡＤ２ ＤＣ２ ＡＤ ＤＣ ＡＤＣ．
， ＝ ＋ －２ · ｃｏｓ∠
弦 余弦定理 将已知中的 边 或 角 的关系式 转化为只有 故ＡＢ２ ＡＣ２ ＡＤ２ ＢＤ２ ＤＣ２ ．
、 ， “ ” “ ” ， ＋２ ＝３ ＋ ＋２ ＝６
边 或只有 角 的方程形式 进而通过三角函数或代数知识 由 知ＡＢ ＡＣ 所以ＡＣ ．
“ ” “ ” ， （１） ＝２ ， ＝１
求解方程．解题中要注意三角形的一些性质应用 例如 Ａ 评析 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，以及三角形的面
， ：ｓｉｎ（
积公式．属常规题，中等偏易．
Ｂ Ｃ Ｓ １ ａｂ Ｃ．
＋ ）＝ｓｉｎ ， △ ＡＢＣ＝ ２ ｓｉｎ ３１．（２０１５课标Ⅰ文，１７，１２分）已知ａ ， ｂ ， ｃ分别为 △ ＡＢＣ内角
评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公 Ａ Ｂ Ｃ的对边 ２Ｂ Ａ Ｃ．
， ， ，ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ
式，同时，对三角恒等变换的公式也有所考查．在解题过程中， 若ａ ｂ 求 Ｂ
（１） ＝ ， ｃｏｓ ；
要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系，通过正弦定理 设Ｂ ° 且ａ 求 ＡＢＣ的面积．
（２） ＝９０ ， ＝ ２， △
专题五 三角函数与解三角形 ３２１
解析 由题设及正弦定理可得ｂ２ ａｃ． 由余弦定理ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ
（１） ＝２ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
又ａ ＝ ｂ ， 可得ｂ ＝２ ｃ ， ａ ＝２ ｃ． 可得 １＋ ３ ｂｃ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ≥２ ｂｃ ，
ａ２ ｃ２ ｂ２
由余弦定理可得 Ｂ ＋ － １ ． 分 即ｂｃ 且当ｂ ｃ时等号成立．
ｃｏｓ ＝ ａｃ ＝ （６ ） ≤２＋ ３， ＝
２ ４
（２） 由 （１） 知ｂ２ ＝２ ａｃ． 因此 １ ｂｃ Ａ ２＋ ３．
因为Ｂ ° 由勾股定理得ａ２ ｃ２ ｂ２． ２ ｓｉｎ ≤ ４
＝９０ ， ＋ ＝
故ａ２ ＋ ｃ２ ＝２ ａｃ ， 得ｃ ＝ ａ ＝ ２ ． 所以 ＡＢＣ面积的最大值为２＋ ３．
所以 ＡＢＣ的面积为 ． 分 △ ４
评析
△
本题考查了正弦
１
定理、余弦定理；考查了解三角
（
形
１２
的基
） 评析 本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，以及
本方 法，属容易题．
解三角形等基础知识和基本方法，对运算能力有较高要求．属
３２．（２０１５浙江理，１６，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
中等难度题．
△ ， ， ，
３４．（２０１５陕西理，１７，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分
边分别是ａ ｂ ｃ．已知Ａ π ｂ２ ａ２ １ ｃ２． △ ， ，
， ， ＝ ， － ＝ 别为ａ ｂ ｃ．向量ｍ ａ ｂ 与ｎ Ａ Ｂ 平行．
４ ２ ， ， ＝（ ， ３ ） ＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）
求 Ｃ的值 求Ａ
（１） ｔａｎ ； （１） ；
若 ＡＢＣ的面积为 求ｂ的值．
（２） △ ３， 若ａ ｂ 求 ＡＢＣ的面积．
（２） ＝ ７， ＝２， △
解析 由 ｂ２ ａ２ １ ｃ２ 及正弦定理得 ２Ｂ １ 解析 因为ｍ ｎ 所以ａ Ｂ ｂ Ａ
（１） － ＝ ｓｉｎ － ＝ （１） ∥ ， ｓｉｎ － ３ ｃｏｓ ＝０，
２ ２
由正弦定理 得 Ａ Ｂ Ｂ Ａ
１ ２Ｃ 所以 Ｂ ２Ｃ． ， ｓｉｎ ｓｉｎ － ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０，
ｓｉｎ ， －ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ 又 Ｂ 从而 Ａ
２ ｓｉｎ ≠０， ｔａｎ ＝ ３，
又由Ａ ＝ π ， 即Ｂ ＋ Ｃ ＝ ３ π， 得 －ｃｏｓ２ Ｂ ＝ｓｉｎ２ Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ ｃｏｓ Ｃ ， 由于 ０＜ Ａ ＜π， 所以Ａ ＝ π．
４ ４
３
解得 ｔａｎ Ｃ ＝２ ． 解法一 由余弦定理 得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ
（２） ： ， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
由 Ｃ Ｃ 得 Ｃ ２ ５ Ｃ ５． 及ａ ｂ Ａ π
（２） ｔａｎ ＝２， ∈（０，π） ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ＝ ７， ＝２， ＝ ，
５ ５ ３
又因为 Ｂ Ａ Ｃ
(
π Ｃ
)
所以 Ｂ ３ １０．
得
７＝４＋
ｃ２
－２
ｃ
，
即ｃ２
－２
ｃ
－３＝０，
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋ ， ｓｉｎ ＝ 因为ｃ 所以ｃ ．
４ １０ ＞０， ＝３
由正弦定理得ｃ ＝ ２ ２ｂ ， 故 △ ＡＢＣ的面积为 １ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝ ３ ３．
３
２ ２
又因为Ａ π １ ｂｃ Ａ 所以ｂｃ 故ｂ ．
＝ ， ｓｉｎ ＝３， ＝６ ２， ＝３ 解法二 由正弦定理 得 ７ ２
４ ２ ： ， ＝ Ｂ，
评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础 π ｓｉｎ
ｓｉｎ
知识，同时考查运算求解能力． ３
( ) 从而 Ｂ ２１
３３．（２０１５山东理，１６，１２分）设ｆ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ π ． ｓｉｎ ＝ ，
（ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ＋ ７
４
求ｆ ｘ 的单调区间
（１） （ ） ； 又由ａ ｂ 知Ａ Ｂ 所以 Ｂ ２ ７．
在锐角 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ．若 ＞ ， ＞ ， ｃｏｓ ＝
（２） ( Ａ ) △ ， ， ， ， ， ( ) ７
ｆ ａ 求 ＡＢＣ面积的最大值． 故 Ｃ Ａ Ｂ Ｂ π
＝０， ＝１， △ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋
２ ３
( )
ｘ π Ｂ π Ｂ π ３ ２１．
ｘ １＋ｃｏｓ ２ ＋ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝
解析 由题意知ｆ ｘ ｓｉｎ２ ２ ３ ３ １４
（１） （ ）＝ －
２ ２
ｘ ｘ 所以 ＡＢＣ的面积为 １ ａｂ Ｃ ３ ３．
ｓｉｎ２ １－ｓｉｎ２ ｘ １ ． △ ｓｉｎ ＝
＝ － ＝ｓｉｎ２ － ２ ２
２ ２ ２ ３５．（２０１４课标Ⅱ文，１７，１２分）四边形ＡＢＣＤ的内角Ａ与Ｃ互
由 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 可得 π ｋ ｘ π ｋ 补 ＡＢ ＢＣ ＣＤ ＤＡ ．
－ ＋２ π≤２ ≤ ＋２ π， ∈ ， － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ， ＝１， ＝３， ＝ ＝２
２ ２ ４ ４ 求Ｃ和ＢＤ
ｋ Ｚ （１） ；
∈ ； 求四边形ＡＢＣＤ的面积．
（２）
由π ｋ ｘ ３π ｋ ｋ Ｚ 可得π ｋ ｘ ３π ｋ ｋ 解析 由题设及余弦定理得
＋２ π≤２ ≤ ＋２ π， ∈ ， ＋ π≤ ≤ ＋ π， （１）
２ ２ ４ ４
Ｚ．
ＢＤ２
＝
ＢＣ２
＋
ＣＤ２
－２
ＢＣ
·
ＣＤ
ｃｏｓ
Ｃ
∈
[ ] Ｃ
所以ｆ ｘ 的单调递增区间是 π ｋ π ｋ ｋ Ｚ ＝１３－１２ｃｏｓ ， ①
（ ） － ＋ π， ＋ π （ ∈ ）； ＢＤ２ ＡＢ２ ＤＡ２ ＡＢ ＤＡ Ａ
４ ４ ＝ ＋ －２ · ｃｏｓ
[ ] Ｃ．
单调递减区间是 π ｋ ３π ｋ ｋ Ｚ ． ＝５＋４ｃｏｓ ②
＋ π， ＋ π （ ∈ ）
４ ４ 由 得 Ｃ １ 故Ｃ ° ＢＤ ．
( Ａ ) ①，② ｃｏｓ ＝ ， ＝６０ ， ＝ ７
由ｆ Ａ １ 得 Ａ １ ２
（２） ＝ｓｉｎ － ＝０， ｓｉｎ ＝ ， 四边形ＡＢＣＤ的面积
２ ２ ２ （２）
由题意知Ａ为锐角 所以 Ａ ３． Ｓ １ ＡＢ ＤＡ Ａ １ ＢＣ ＣＤ Ｃ
， ｃｏｓ ＝ ＝ · ｓｉｎ ＋ · ｓｉｎ
２ ２ ２
３２２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) ３８．（２０１２课标文，１７，１２分）已知ａ ｂ ｃ分别为 ＡＢＣ三个内
１ １ ° ， ， △
＝ ２ ×１×２＋ ２ ×３×２ ｓｉｎ６０ 角Ａ ， Ｂ ， Ｃ的对边 ， ｃ ＝ ３ ａ ｓｉｎ Ｃ － ｃ ｃｏｓ Ａ．
． 求Ａ
＝２ ３ （１） ；
评析 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算，考查
（２）
若ａ
＝２，△
ＡＢＣ的面积为
３，
求ｂ
，
ｃ．
运算求解能力和转化的思想，把四边形分割成两个三角形是
解析 由ｃ ａ Ｃ ｃ Ａ及正弦定理得 Ａ
求面积的常用方法． （１） ＝ ３ ｓｉｎ － ·ｃｏｓ ３ｓｉｎ
Ｃ Ａ Ｃ Ｃ ．
３６．（２０１４浙江理，１８，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的 ·ｓｉｎ －ｃｏｓ ·ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝０
( )
△ ， ， ，
由于 Ｃ 所以 Ａ π １ ．
边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｂ ｃ ２Ａ ２Ｂ Ａ Ａ ｓｉｎ ≠０， ｓｉｎ － ＝
， ， ≠ ， ＝ ３，ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ６ ２
Ｂ Ｂ．
－ ３ｓｉｎ ｃｏｓ 又 Ａ 故Ａ π．
求角Ｃ的大小 ０＜ ＜π， ＝
（１） ； ３
若 Ａ ４ 求 ＡＢＣ的面积． ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ 故ｂｃ ．
（２） ｓｉｎ ＝ ， △ （２）△ ＝ ｓｉｎ ＝ ３， ＝４
５ ２
解析 由题意得 而ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ
（１） ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
Ａ Ｂ
故ｂ２
＋
ｃ２
＝８
．解得ｂ
＝
ｃ
＝２
．
１＋ｃｏｓ２ １＋ｃｏｓ２ ３ Ａ ３ Ｂ 评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式，考查了方程的
－ ＝ ｓｉｎ２ － ｓｉｎ２ ，
２ ２ ２ ２ 思想，灵活利用正、余弦定理是求解关键，正确的转化是本题
即 ３ Ａ １ Ａ ３ Ｂ １ Ｂ 的难点．
ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ，
( ２ ) ２ ( ２ ) ２ ３９．（２０１２课标理，１７，１２分）已知ａ ｂ ｃ分别为 ＡＢＣ三个内
， ， △
Ａ π Ｂ π ．
ｓｉｎ ２ － ＝ｓｉｎ ２ － 角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ａ Ｃ ａ Ｃ ｂ ｃ ．
６ ６ ， ， ， ｃｏｓ ＋ ３ ｓｉｎ － － ＝０
由ａ ｂ 得Ａ Ｂ 又Ａ Ｂ 得 求Ａ
≠ ， ≠ ， ＋ ∈（０，π）， （１） ；
若ａ ＡＢＣ的面积为 求ｂ ｃ．
Ａ π Ｂ π （２） ＝２，△ ３， ，
２ － ６ ＋２ － ６ ＝π， 解析 由 ａ Ｃ ａ Ｃ ｂ ｃ 及正弦定理得
（１） ｃｏｓ ＋ ３ ｓｉｎ － － ＝０
即Ａ Ｂ ２π Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ ．
＋ ＝ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ｓｉｎ －ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝０
３ 因为Ｂ Ａ Ｃ 所以 Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ ．
＝π－ － ， ３ｓｉｎ ｓｉｎ －ｃｏｓ ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝０
所以Ｃ π． ( )
＝ 由于 Ｃ 所以 Ａ π １ ．
３ ｓｉｎ ≠０， ｓｉｎ － ＝
ａ ｃ ６ ２
由 及ｃ Ａ ４ 得ａ ８
（２） （１） ＝ ３，ｓｉｎ ＝ ， Ａ＝ Ｃ， ＝ ， 又 Ａ 故Ａ π．
５ ｓｉｎ ｓｉｎ ５ ０＜ ＜π， ＝
３
由ａ ｃ 得Ａ Ｃ．从而 Ａ ３
＜ ， ＜ ｃｏｓ ＝ ， ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ 故ｂｃ ．
５ （２）△ ＝ ｓｉｎ ＝ ３， ＝４
２
故 Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ ４＋３ ３ 而ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ 故ｂ２ ｃ２ ．解得ｂ ｃ ．
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ ， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ＋ ＝８ ＝ ＝２
１０ 评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式，考查了方程的思
所以 ＡＢＣ的面积为Ｓ １ ａｃ Ｂ ８ ３＋１８． 想．灵活运用正、余弦定理是求解关键．
，△ ＝ ｓｉｎ ＝
２ ２５
评析 本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公 考点二 解三角形及其综合应用
式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求
１．（２０１９课标Ⅰ文，１１，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
解能力． △ ， ，
ｂ
３７．（２０１３课标Ⅱ理，１７，１２分） △ ＡＢＣ的内角Ａ ， Ｂ ， Ｃ的对边分 为ａ ， ｂ ， ｃ．已知ａ ｓｉｎ Ａ － ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝４ ｃ ｓｉｎ Ｃ ，ｃｏｓ Ａ ＝－ １ ， 则 ｃ ＝
４
别为ａ ｂ ｃ 已知ａ ｂ Ｃ ｃ Ｂ．
， ， ， ＝ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ
（ ）
求Ｂ
（１） ；
Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３
（２）
若ｂ
＝２，
求
△
ＡＢＣ面积的最大值．
答案 Ａ 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用 考查
；
解析 由已知及正弦定理得 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ 考生的逻辑思维能力和运算求解能力 考查的核心素养是数学
（１） ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ·
；
Ｂ． 运算与逻辑推理．
ｓｉｎ ①
又Ａ ＝π－（ Ｂ ＋ Ｃ ）， 由正弦定理及ａ ｓｉｎ Ａ － ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝４ ｃ ｓｉｎ Ｃ得ａ２ － ｂ２ ＝４ ｃ２ ， 由余弦定
故 ｓｉｎ Ａ ＝ｓｉｎ（ Ｂ ＋ Ｃ ）＝ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ ＋ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ｃ． ② 理可得 Ａ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ －３ ｃ２ １ ．所以 ｂ ．故选 ．
由 和Ｃ 得 Ｂ Ｂ． ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ ｂｃ ＝－ ｃ ＝６ Ａ
①② ∈（０，π） ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ２ ２ ４
２．（２０１７课标Ⅰ文，１１，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
又Ｂ 所以Ｂ π． △ ， ，
∈（０，π）， ＝
４ 为ａ ｂ ｃ．已知 Ｂ Ａ Ｃ Ｃ ａ ｃ 则Ｃ
， ， ｓｉｎ ＋ｓｉｎ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ）＝０， ＝２， ＝ ２， ＝
ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｃ Ｂ ２ａｃ． （ ）
（２）△ ＝ ｓｉｎ ＝
２ ４
π π π π
由已知及余弦定理得 ａ２ ｃ２ ａｃ π． Ａ． １２ Ｂ． ６ Ｃ． ４ Ｄ． ３
４＝ ＋ －２ ｃｏｓ ４ 答案 Ｂ 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式．
又ａ２
＋
ｃ２
≥２
ａｃ
，
故ａｃ
≤
４
，
当且仅当ａ
＝
ｃ时
，
等号成立． 在
△
ＡＢＣ中
，ｓｉｎ
Ｂ
＝ｓｉｎ（
Ａ
＋
Ｃ
），
则
ｓｉｎ
Ｂ
＋ｓｉｎ
Ａ
（ｓｉｎ
Ｃ
－ｃｏｓ
Ｃ
）
Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ
２－ ２ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｓｉｎ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ）＝０，
因此 ＡＢＣ面积的最大值为 ． 即 Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ
△ ２＋１ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ －ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０，
专题五 三角函数与解三角形 ３２３
Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ａ 即 ｘ
∴ ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝０，∵ ｓｉｎ ≠０，∴ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝０， ．由题意可知 ＡＤＣ ° 则 ＡＤＢ ° α．在
° ，∠ ＝ １３５ ， ∠ ＝ １３５ －
Ａ 即Ａ ３ ． ｓｉｎ７５
ｔａｎ ＝－１， ＝ π ｘ ｙ
４ ＡＢＤ 中 由 正 弦 定 理 得 ． 所 以
△ ， ° ＝ ° α
由 ａ ｃ 得 ２ ２ Ｃ １ ｓｉｎ７５ ｓｉｎ（１３５ － ）
ｓｉｎ Ａ＝ ｓｉｎ Ｃ ２ ＝ ｓｉｎ Ｃ，∴ ｓｉｎ ＝ ２ ， ｙ ° α ＝ ２ α， 即 ｙ ＝ ２ｓｉｎ（１３５ α ° － α ） ＝
ｓｉｎ（１３５ － ） ｓｉｎ ｓｉｎ
２
° α ° α ° α α
又 Ｃ π Ｃ π 故选 ． ２ｓｉｎ［９０ －（ －４５ ）］ ２ｃｏｓ（ －４５ ） ２（ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ）．
０＜ ＜ ，∴ ＝ ， Ｂ α ＝ α ＝ α
４ ６ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
方法总结 解三角形问题首先要熟悉正弦定理 余弦定理 其
、 ；
次还要注意应用三角形内角和定理 以达到求解三角函数值时
，
消元的目的 例如本题中 Ｂ Ａ Ｃ 的应用．
， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）
３．（２０１４四川文，８，５分）如图 从气球Ａ上测得正前方的河流
，
的两岸Ｂ Ｃ的俯角分别为 ° ° 此时气球的高是 则
， ７５ ，３０ ， ６０ ｍ，
河流的宽度ＢＣ等于
（ ）
因为 ° β ° α β ° ° 所以 ° α °
０ ＜ ＜７５ ， ＋ ＋７５ ＝１８０ ， ３０ ＜ ＜１０５ ，
当α °时 易得ｙ
＝９０ ， ＝ ２；
α α ( )
当α °时 ｙ ２（ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） １
≠９０ ， ＝ α ＝ ２ α＋１ ，
ｓｉｎ ｔａｎ
° °
又 ° ３ ° ° ° ｔａｎ６０ ＋ｔａｎ４５
ｔａｎ３０ ＝ ，ｔａｎ １０５ ＝ｔａｎ（６０ ＋４５ ）＝ ° °＝
３ １－ｔａｎ６０ ｔａｎ４５
Ａ．２４０（ ３－１）ｍ Ｂ．１８０（ ２－１）ｍ －２－ ３， 结合正切函数的性质知 ， １ α∈（ ３－２， ３）， 且 １ α
ｔａｎ ｔａｎ
Ｃ．１２０（ ３－１）ｍ Ｄ．３０（ ３＋１）ｍ ( )
答案 Ｃ 如图 ＡＣＤ ° ＡＢＤ ° ＡＤ 在 所以ｙ １ ．
，∠ ＝３０ ，∠ ＝７５ ， ＝６０ ｍ， ≠０， ＝ ２ α＋１ ∈（ ６－ ２， ２）∪（ ２， ６＋ ２）
ＡＤ ｔａｎ
ＡＣＤ中 ＣＤ ６０ 在 ＡＢＤ中 综上所述 ｙ ．
Ｒｔ△ ， ＝ ＡＣＤ＝ °＝６０ ３ ｍ， Ｒｔ△ ， ： ∈（ ６－ ２， ６＋ ２）
ｔａｎ∠ ｔａｎ３０ 评析 本题考查了三角函数和解三角形．利用函数的思想方法
ＡＤ
ＢＤ ６０ ６０ ＢＣ ＣＤ ＢＤ 是求解关键，属偏难题．
＝ ＡＢＤ＝ °＝ ＝６０（２－ ３）ｍ，∴ ＝ － ＝
ｔａｎ∠ ｔａｎ７５ ２＋ ３ ６．（２０１５重庆理，１３，５ 分）在 ＡＢＣ 中 Ｂ ° ＡＢ Ａ的
． △ ， ＝１２０ ， ＝ ２，
６０ ３－６０（２－ ３）＝１２０（ ３－１）ｍ 角平分线ＡＤ 则ＡＣ ．
＝ ３， ＝
答案
６
解析 依题意知 ＢＤＡ Ｃ １ ＢＡＣ 由正弦定理得
∠ ＝∠ ＋ ∠ ，
２
( )
４．（２０１８课标Ⅰ文，１６，５分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
△ ， ， ２ ＢＤＡ＝ ３ Ｂ，∴ ｓｉｎ ∠ Ｃ ＋ １ ∠ ＢＡＣ ＝ ２ ，
为ａ ｂ ｃ 已知 ｂ Ｃ ｃ Ｂ ａ Ｂ Ｃ ｂ２ ｃ２ ａ２ 则 ｓｉｎ∠ ｓｉｎ ２ ２
， ， ， ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ｓｉｎ ， ＋ － ＝８，
ＡＢＣ的面积为 ． Ｃ ＢＡＣ ° Ｂ ° Ｃ １ ＢＡＣ °
△ ∵ ∠ ＋∠ ＝１８０ －∠ ＝６０ ，∴ ∠ ＋ ∠ ＝４５ ，
２
答案 ２ ３ ＢＡＣ ° Ｃ °．从而ＡＣ ＡＢ ° ．
∴ ∠ ＝３０ ，∠ ＝３０ ＝２· ｃｏｓ３０ ＝ ６
３ ７．（２０１４课标Ⅰ理，１６，５分）如图 为测量山高ＭＮ 选择Ａ和另
解析 本题主要考查正弦定理 余弦定理在解三角形中的应 ， ，
、 一座山的山顶 Ｃ 为测量观测点．从 Ａ 点测得 Ｍ 点的仰角
用以及三角形面积的求解．
ＭＡＮ ° Ｃ点的仰角 ＣＡＢ °以及 ＭＡＣ ° 从Ｃ点
由已知条件及正弦定理可得 Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ ∠ ＝６０ ， ∠ ＝４５ ∠ ＝７５ ；
２ｓｉｎ ｓｉｎ ＝４ｓｉｎ ·ｓｉｎ ｓｉｎ ， 测得 ＭＣＡ °．已知山高 ＢＣ 则山高 ＭＮ
∠ ＝ ６０ ＝ １００ ｍ， ＝
易知 ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ≠０，∴ ｓｉｎ Ａ ＝ １ ， 又 ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝８，∴ ｃｏｓ Ａ ＝ ．
ｍ
２
ｂ２ ｃ２ ａ２
＋ － ４ Ａ Ａ ３ 即 ４ ３ ｂｃ ８ ３
ｂｃ ＝ｂｃ，∴ ｃｏｓ ＞０，∴ ｃｏｓ ＝ ， ｂｃ＝ ，∴ ＝ ，
２ ２ ２ ３
ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ８ ３ １ ２ ３．
∴ △ ＝ ｓｉｎ ＝ × × ＝
２ ２ ３ ２ ３
解题关键 正确利用正弦定理将 边 转化为 角 求出 Ａ
“ ” “ ”， ｓｉｎ
是解决本题的关键． 答案
１５０
５．（２０１５课标Ⅰ理，１６，５分）在平面四边形ＡＢＣＤ中 Ａ Ｂ 解析 在 ＡＢＣ 中 ＣＡＢ ° ＢＣ 所以 ＡＣ
，∠ ＝∠ Ｒｔ△ ，∠ ＝４５ ， ＝１００ ｍ， ＝
Ｃ ° ＢＣ 则ＡＢ的取值范围是 ． ．
＝∠ ＝７５ ， ＝２， １００ ２ ｍ
答案 在 ＡＭＣ中 ＭＡＣ ° ＭＣＡ ° 从而 ＡＭＣ °
（ ６－ ２， ６＋ ２） △ ，∠ ＝７５ ，∠ ＝６０ ， ∠ ＝４５ ，
解析 依题意作出四边形ＡＢＣＤ 连接ＢＤ．令ＢＤ ｘ ＡＢ ｙ ＡＣ ＡＭ
， ＝ ， ＝ ， 由正弦定理得 因此ＡＭ ．
， °＝ °， ＝１００ ３ ｍ
ＣＤＢ α ＣＢＤ β．在 ＢＣＤ 中 由正弦定理得 ２ ｓｉｎ４５ ｓｉｎ６０
∠ ＝ ，∠ ＝ △ ， α ＝ 在 ＭＮＡ中 ＡＭ ＭＡＮ °
ｓｉｎ Ｒｔ△ ， ＝１００ ３ ｍ，∠ ＝６０ ，
３２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＭＮ 由余弦定理ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ 得ｂ２ °
由 °得ＭＮ ３ 故填 ． ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ＝９＋２－２×３× ２ｃｏｓ ４５
ＡＭ＝ｓｉｎ６０ ＝１００ ３× ２ ＝１５０ ｍ， １５０ ＝５， 所以ｂ ＝ ５ ．
８．（２０１１课标理，１６，５分）在 ＡＢＣ中 Ｂ ° ＡＣ 则ＡＢ ｂ ｃ
△ ， ＝６０ ， ＝ ３， ＋ 在 ＡＢＣ中 由正弦定理
ＢＣ的最大值为 ． △ ， Ｂ＝ Ｃ，
２ ｓｉｎ ｓｉｎ
答案
２ ７ 得 ５ ２ 所以 Ｃ ５．
°＝ Ｃ， ｓｉｎ ＝
解析 设ＡＣ ｂ ＡＢ ｃ ＢＣ ａ ｓｉｎ４５ ｓｉｎ ５
＝ ＝ ３， ＝ ， ＝ ，
ａ ｂ ｃ 在 ＡＤＣ中 因为 ＡＤＣ ４ 所以 ＡＤＣ为钝角
在 ＡＢＣ中 （２） △ ， ｃｏｓ∠ ＝－ ， ∠ ，
△ ， Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２， ５
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ 而 ＡＤＣ Ｃ ＣＡＤ ° 所以 Ｃ为锐角
ａ Ａ ｃ Ｃ 且Ａ Ｃ ° ∠ ＋∠ ＋∠ ＝１８０ ， ∠ ，
∴ ＝２ｓｉｎ ， ＝２ｓｉｎ ， ＋ ＝１２０ ，
Ｃ
∴ ＡＢ ＋２ ＢＣ ＝ ｃ ＋２ ａ ＝２ｓｉｎ Ｃ ＋４ｓｉｎ Ａ 故 ｃｏｓ Ｃ ＝ １－ｓｉｎ ２Ｃ ＝ ２ ５ ， 则 ｔａｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｃ＝ １ ，
Ｃ ° Ｃ ５ ｃｏｓ ２
＝２ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ（１２０ － ）
Ｃ Ｃ Ｃ φ 因为 ＡＤＣ ４ 所以 ＡＤＣ ２ ＡＤＣ ３
＝４ｓｉｎ ＋２ ３ｃｏｓ ＝２ ７ｓｉｎ（ ＋ ）， ｃｏｓ∠ ＝－ ， ｓｉｎ∠ ＝ １－ｃｏｓ ∠ ＝ ，
５ ５
其中 φ ２１ φ ２ ７ ＡＤＣ ｓｉｎ∠ ＡＤＣ ３ ．
ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ， ｔａｎ∠ ＝ ＡＤＣ＝－
７ ７ ｃｏｓ∠ ４
φ ° ° 而Ｃ ° ° φ Ｃ ° ° 当 从而 ＤＡＣ ° ＡＤＣ Ｃ ＡＤＣ Ｃ
∴ ∈（３０ ，６０ ）， ∈（０ ，１２０ ），∴ ＋ ∈（３０ ，１８０ ）， ｔａｎ∠ ＝ｔａｎ（１８０ －∠ －∠ ）＝－ｔａｎ（∠ ＋∠ ）
Ｃ φ °时 ＡＢ ＢＣ有最大值 ．
＋ ＝９０ ， ＋２ ２ ７ ３ １
评析 本题主要考查正弦定理的应用及三角函数性质和公式 ＡＤＣ Ｃ － ＋
的应 用，熟练掌握定理、公式和三角函数的性质是正确解题的 ＝－
ｔａｎ∠
ＡＤＣ
＋ｔａｎ
Ｃ＝－ (
４
)
２
＝
２ ．
１－ｔａｎ∠ ·ｔａｎ ３ １ １１
关键．
１－ －
４
×
２
１１．（２０１９课标Ⅲ，理１８，文１８，１２分） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的
９．（２０２０天津，１６，１４分）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别 △ ， ，
△ ， ， ，
Ａ Ｃ
为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｂ ｃ ． 对边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ ＋ ｂ Ａ．
， ， ＝２ ２， ＝５， ＝ １３ ， ， ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ
求角Ｃ的大小 ２
（１） ； 求Ｂ
求 Ａ的值 （１） ；
（２） ｓｉｎ ； 若 ＡＢＣ 为锐角三角形 且 ｃ 求 ＡＢＣ 面积的取值
( ) （２） △ ， ＝１， △
求 Ａ π 的值． 范围．
（３） ｓｉｎ ２ ＋
４ 解析 本题考查了正弦定理 二倍角公式 三角形面积公式
解析 （１） 在 △ ＡＢＣ 中 ， 由余弦定理及 ａ ＝２ ２， ｂ ＝５， ｃ ＝ 以及学 生对三角恒等变换的掌 、 握情况 考查 、 学生逻辑推理能
；
ａ２ ｂ２ ｃ２ 力和运算求解能力 考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．
有 Ｃ ＋ － ２．又因为Ｃ 所以Ｃ π． ；
１３， ｃｏｓ ＝ ａｂ ＝ ∈（０，π）， ＝ Ａ Ｃ
２ ２ ４ 由题设及正弦定理得 Ａ ＋ Ｂ Ａ．
（１） ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ
在 ＡＢＣ中 由正弦定理及Ｃ π ａ ｃ 可得 ２
（２） △ ， ＝ ， ＝２ ２， ＝ １３， Ａ Ｃ
４ 因为 Ａ 所以 ＋ Ｂ．
ａ Ｃ ｓｉｎ ≠０， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
Ａ ｓｉｎ ２ １３． ２
ｓｉｎ ＝ ｃ ＝ Ａ Ｃ Ｂ
１３ 由Ａ Ｂ Ｃ ° 可得 ＋
＋ ＋ ＝１８０ ， ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ，
２ ２
（３） 由ａ ＜ ｃ及 ｓｉｎ Ａ ＝ ２ １３ ， 可得 ｃｏｓ Ａ ＝ １－ｓｉｎ ２Ａ ＝ ３ １３ ， 进 故 Ｂ Ｂ Ｂ ．
１３ １３ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ
２ ２ ２
而 Ａ Ａ Ａ １２ Ａ ２Ａ ５ ．所以 Ｂ Ｂ
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝ ， 因为 故 １ 因此Ｂ °．
１３ １３ ｃｏｓ ≠０， ｓｉｎ ＝ ， ＝６０
( ) ２ ２ ２
Ａ π Ａ π Ａ π １２ ２ ５ ２
ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ２ ｓｉｎ ＝ × ＋ × 由题设及 知 ＡＢＣ的面积Ｓ ３ａ．
４ ４ ４ １３ ２ １３ ２ （２） （１） △ △ ＡＢＣ＝
４
１７ ２． ｃ Ａ ° Ｃ
＝ 由正弦定理得ａ ｓｉｎ ｓｉｎ（１２０ － ） ３ １ ．
２６ ＝ Ｃ＝ Ｃ ＝ Ｃ＋
１０．（２０２０江苏，１６，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别 ｓｉｎ ｓｉｎ ２ｔａｎ ２
△ ， ， ， 由于 ＡＢＣ为锐角三角形 故 ° Ａ ° ° Ｃ °．
为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｃ Ｂ °． △ ， ０ ＜ ＜９０ ，０ ＜ ＜９０
， ， ＝３， ＝ ２， ＝４５
求 Ｃ的值 由 知Ａ Ｃ ° 所以 ° Ｃ ° 故 １ ａ
（１） ｓｉｎ ； （１） ＋ ＝１２０ ， ３０ ＜ ＜９０ ， ＜ ＜２，
２
在边ＢＣ上取一点Ｄ 使得 ＡＤＣ ４ 求 ＤＡＣ
（２） ， ｃｏｓ∠ ＝－ ， ｔａｎ∠ 从而 ３ Ｓ ３．
５ ＜ △ ＡＢＣ＜
的值． ８ ２
æ ö
因此 ＡＢＣ面积的取值范围是ç ３ ３÷．
，△ è ， ø
８ ２
思路分析 用正弦定理将边化成角 再利用三角恒等变
（１） ，
换求解角Ｂ．
解析 本题主要考查正弦定理 余弦定理 同角三角函数的 用正弦定理先表示出边ａ 再用面积公式和锐角三角形的
、 、 （２） ，
基本关系 两角和与差的三角函数等基础知识 考查运算求解 性质求出角Ｃ的范围 进而求出 ＡＢＣ面积的取值范围．
、 ， ， △
能力． １２．（２０１９江苏，１５，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别
△ ， ， ，
在 ＡＢＣ中 因为ａ ｃ Ｂ ° 为ａ ｂ ｃ．
（１） △ ， ＝３， ＝ ２， ＝４５ ， ， ，
专题五 三角函数与解三角形 ３２５
若ａ ｃ ｂ Ｂ ２ 求ｃ的值 边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｂ ａ ｃ Ｂ ３ ．
（１） ＝３ ， ＝ ２，ｃｏｓ ＝ ， ； ， ， ＞ ， ＝５， ＝６，ｓｉｎ ＝
３ ５
Ａ Ｂ ( ) 求ｂ和 Ａ的值
若ｓｉｎ ｃｏｓ 求 Ｂ π 的值． （１） ｓｉｎ ；
（２） ａ ＝ ｂ ， ｓｉｎ ＋ ( )
２ ２ 求 Ａ π 的值．
解析 本小题主要考查正弦定理 余弦定理 同角三角函数 （２） ｓｉｎ ２ ＋
、 、 ４
关系 诱导公式等基础知识 考查运算求解能力． 解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角
、 ， ，
的正弦 余弦公式 两角和的正弦公式以及正弦定理 余弦定
因为ａ ｃ ｂ Ｂ ２ 、 ， 、
（１） ＝３ ， ＝ ２，ｃｏｓ ＝ ， 理等基础知识．考查运算求解能力．
３
ａ２ ｃ２ ｂ２ ｃ ２ ｃ２ ２
由余弦定理 Ｂ ＋ － 得 ２ （３ ） ＋ －（ ２） 在 ＡＢＣ中 因为ａ ｂ 故由 Ｂ ３ 可得 Ｂ ４ ．由
ｃｏｓ ＝ ａｃ ， ＝ ｃ ｃ ， （１） △ ， ＞ ， ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ ＝
２ ３ ２×３ × ５ ５
即ｃ２ １ ．所以ｃ ３．
已知及余弦定理
，
有ｂ２
＝
ａ２
＋
ｃ２
－２
ａｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝１３，
所以ｂ
＝ １３
．
＝ ＝
３ ３ ａ ｂ ａ Ｂ
因为ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ 由正弦定理 Ａ＝ Ｂ， 得 ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉ ｂ ｎ ＝ ３ １３．
（２） ａ ＝ ｂ ， ｓｉｎ ｓｉｎ １３
２
ａ ｂ Ｂ Ｂ 所以 ｂ的值为 Ａ的值为３ １３．
由正弦定理 得ｃｏｓ ｓｉｎ 所以 Ｂ Ｂ． ， １３，ｓｉｎ
Ａ＝ Ｂ， ｂ ＝ ｂ ， ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ １３
ｓｉｎ ｓｉｎ ２
从而 ｃｏｓ ２Ｂ ＝（２ｓｉｎ Ｂ ） ２ ， 即 ｃｏｓ ２Ｂ ＝４（１－ｃｏｓ ２Ｂ ）， （２） 由 （１） 及ａ ＜ ｃ ， 得 ｃｏｓ Ａ ＝ ２ １３ ，
１３
故 ２Ｂ ４ ．
ｃｏｓ ＝ ５ 所以 ｓｉｎ２ Ａ ＝２ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ａ ＝ １２ ，ｃｏｓ２ Ａ ＝１－２ｓｉｎ ２Ａ ＝－ ５ ．
１３ １３
因为 Ｂ 所以 Ｂ Ｂ 从而 Ｂ ２ ５． ( )
ｓｉｎ ＞０， ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＞０， ｃｏｓ ＝ ５ 故 Ａ π Ａ π Ａ π ７ ２．
ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｓｉｎ２ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２ ｓｉｎ ＝
( ) ４ ４ ４ ２６
因此 Ｂ π Ｂ ２ ５． 方法总结 ．利用正 余弦定理求边或角的步骤 根据已
ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ ＝ １ 、 ：（１）
２ ５ 知的边和角画出相应的图形 并在图中标出 结合图形选
１３．（２０１８北京理，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 ａ ｂ Ｂ ， ；（２）
△ ， ＝７， ＝８，ｃｏｓ ＝ 择用正弦定理或余弦定理求解 在运算和求解过程中注
；（３）
１ ．
－ 意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用．
７
求Ａ ．解决三角函数及解三角形问题的满分策略 认真审题
（１） ； ２ ：（１） ，
求ＡＣ边上的高． 把握变形方向 规范书写 合理选择公式 计算准确
（２） ；（２） ， ；（３） ，
注意符号．
解析 在 ＡＢＣ 中 因为 Ｂ １ 所以 Ｂ
（１） △ ， ｃｏｓ ＝ － ， ∈ １５．（２０１７天津文，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
７ △ ， ， ，
( ) 边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ Ａ ｂ Ｂ ａｃ ａ２ ｂ２ ｃ２ ．
π 所以 Ｂ ２Ｂ ４ ３． ， ， ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ， ＝ ５（ － － ）
，π ， ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ 求 Ａ的值
２ ７ （１） ｃｏｓ ；
ａ Ｂ 求 Ｂ Ａ 的值．
由正弦定理得 Ａ ·ｓｉｎ ３ （２） ｓｉｎ（２ － ）
ｓｉｎ ＝ ｂ ＝ ， 解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角的
２ 、
( ) 正弦 余弦公式 两角差的正弦公式以及正弦定理 余弦定理
因为Ｂ π 、 、 、
∈ ，π ， 等基础知识．考查运算求解能力．
２
( )
ａ ｂ
所以Ａ π 所以Ａ π． 由ａ Ａ ｂ Ｂ 及 得ａ ｂ．
∈ ０， ， ＝ （１） ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ， Ａ＝ Ｂ， ＝２
２ ３ ( ) ｓｉｎ ｓｉｎ
在 ＡＢＣ 中 Ｃ Ａ Ｂ Ｂ π １ Ｂ 由ａｃ ａ２ ｂ２ ｃ２
（２） △ ，ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＝ ｓｉｎ ＋ ＝ ５（ － － ），
３ ２
５ａｃ
３ Ｂ ３ ３ ｂ２ ｃ２ ａ２ －
ｃｏｓ ＝ ， 及余弦定理 得 Ａ ＋ － ５ ５．
２ １４ ， ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ ａｃ ＝－
２ ５
三角形ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｂ Ｃ
△ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝６ ３， 由 可得 Ａ ２ ５ 代入ａ Ａ ｂ Ｂ
２ （２） （１）， ｓｉｎ ＝ ， ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ，
设ＡＣ边上的高为ｈ ５
，
ａ Ａ
则Ｓ １ ｂｈ １ ｈ 得 Ｂ ｓｉｎ ５．
△ ＡＢＣ＝ ２ ＝ ２ ×８· ＝６ ３， ｓｉｎ ＝ ４ ｂ ＝ ５
所以ｈ ３ ３ 由 知 Ａ为钝角 所以 Ｂ ２Ｂ ２ ５．
＝ ， （１） ， ， ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝
２ ５
即ＡＣ边上的高为３ ３． 于是 ｓｉｎ２ Ｂ ＝２ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ４ ，ｃｏｓ２ Ｂ ＝１－２ｓｉｎ ２Ｂ ＝ ３ ，
５ ５
２
方法总结 处理解三角形相关的综合题目时 首先要掌握正 æ ö
， 故 Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ ４ ç ５÷ ３
弦 余弦定理 其次结合图形分析哪些边 角是已知的 哪些 ｓｉｎ（２ － ）＝ｓｉｎ ２ ｃｏｓ －ｃｏｓ ２ ｓｉｎ ＝ ×è－ ø－ ×
、 ， 、 ， ５ ５ ５
边 角是未知的 然后将方程转化为只含有边或角的方程 最
、 ， ， ２ ５ ２ ５．
后通过解方程求出边或角． ＝－
５ ５
１４．（２０１７天津理，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的 规律总结 解有关三角形问题时应注意
△ ， ， ， ：
３２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理 ( ａ ｂ )
（１） ， ３ １ １
更适合或两个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息． ＝ ｂ ＋ ａ － ≥ ，
， ８ ４ ２
一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余 当且仅当ａ ｂ时 等号成立．
， ， ＝ ，
弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 要考虑用正
； ， 故 Ｃ的最小值为 １ ．
弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑到两个定理都有可能 ｃｏｓ
； ， ２
用到． 解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及 疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化 最终转化为三
（２） ，
角的范围． 角形三角正弦之间的关系 从而结合正弦定理得出三角形三
，
边之间的关系．
１６．（２０１６北京理，１５，１３分）在 ＡＢＣ中 ａ２ ｃ２ ｂ２ ａｃ．
△ ， ＋ ＝ ＋ ２ 评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基
求 Ｂ的大小
（１） ∠ ； 本不等式，综合性较强，重点考查了化归与转化的思想方法，
求 Ａ Ｃ的最大值．
（２） ２ｃｏｓ ＋ｃｏｓ 属中档题．
解析 由余弦定理及题设得 Ｂ
ａ２
＋
ｃ２
－
ｂ２
２
ａｃ
１８．（２０１６天津文，１５，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
（１） ｃｏｓ ＝ ａｃ ＝ ａｃ △ ， ， ，
２ ２ 边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ Ｂ ｂ Ａ．
， ， ｓｉｎ２ ＝ ３ ｓｉｎ
２． 求Ｂ
＝ （１） ；
２
又因为 Ｂ 若 Ａ １ 求 Ｃ的值．
０＜∠ ＜π， （２） ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ
３
所以 Ｂ π． 分 ａ ｂ
∠ ＝ （６ ） 解析 在 ＡＢＣ 中 由 可得 ａ Ｂ
４ （１） △ ， Ａ＝ Ｂ， ｓｉｎ ＝
ｓｉｎ ｓｉｎ
由 知 Ａ Ｃ ３π． ｂ Ａ 又由ａ Ｂ ｂ Ａ 得 ａ Ｂ Ｂ ｂ Ａ
（２） （１） ∠ ＋∠ ＝ ｓｉｎ ， ｓｉｎ ２ ＝ ３ ｓｉｎ ， ２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ３ ｓｉｎ ＝
４
( )
Ａ Ｃ Ａ ３π Ａ ａ Ｂ 所以 Ｂ ３ 得Ｂ π．
２ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ３ ｓｉｎ ， ｃｏｓ ＝ ， ＝
４ ２ ６
Ａ ２ Ａ ２ Ａ 由 Ａ １ 可得 Ａ ２ ２
＝ ２ｃｏｓ － ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ （２） ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＝ ，
２ ２ ３ ３
( )
则 Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ π
２ Ａ ２ Ａ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ［π－（ ＋ ）］＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋
＝ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ６
２ ２
( )
Ａ π ． 分 ３ Ａ １ Ａ ２ ６＋１．
＝ｃｏｓ － （１１ ） ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝
４ ２ ２ ６
思路分析 利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角
因为 Ａ ３π （１）
０＜∠ ＜ ， Ｂ的三角函数式进行求解 利用三角形的性质及两角和
４ ；（２）
的正弦公式求 Ｃ的值．
所以当 Ａ π时 Ａ Ｃ取得最大值 ． 分 ｓｉｎ
∠ ＝ ， ２ｃｏｓ ＋ｃｏｓ １ （１３ ） 评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正
４
思路分析 第 问条件中有边的平方和边的乘积 显然用 弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基础知识．考查运
（１） ，
余弦定理求解．第 问用三角形内角和定理将原三角函数式 算求解能力．
（２）
化为只含一个角的三角函数式 再注意角的取值范围 问题 １９．（２０１５江苏理，１５，１４分）在 ＡＢＣ中 已知ＡＢ ＡＣ Ａ
， ， △ ， ＝２， ＝３，
得解． °．
＝６０
评析 本题考查余弦定理，三角恒等变换及三角函数的性质． 求ＢＣ的长
（１） ；
属中档题． 求 Ｃ的值．
（２） ｓｉｎ２
１７．（２０１６山东理，１６，１２ 分）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分 解析 由余弦定理知 ＢＣ２ ＡＢ２ ＡＣ２ ＡＢ ＡＣ Ａ
△ ， ， ， （１） ， ＝ ＋ －２ · ·ｃｏｓ
Ａ Ｂ
别为ａ ｂ ｃ．已知 Ａ Ｂ ｔａｎ ｔａｎ ． １
， ， ２（ｔａｎ ＋ｔａｎ ）＝ Ｂ＋ Ａ ＝４＋９－２×２×３× ＝７，
ｃｏｓ ｃｏｓ ２
证明 ａ ｂ ｃ 所以ＢＣ ．
（１） ： ＋ ＝２ ； ＝ ７
求 Ｃ的最小值．
ＡＢ ＢＣ
（２） ｃｏｓ 由正弦定理知
( Ａ Ｂ) Ａ Ｂ （２） ， Ｃ＝ Ａ，
解析 由题意知 ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
（１） ２ Ａ＋ Ｂ ＝ Ａ Ｂ＋ Ａ Ｂ，
ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ＡＢ °
化简得 Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ｂ 所以 Ｃ Ａ ２ｓｉｎ６０ ２１．
２（ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ）＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ， ｓｉｎ ＝ＢＣ·ｓｉｎ ＝ ＝
即 Ａ Ｂ Ａ Ｂ． ７ ７
２ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ
因为Ａ
＋
Ｂ
＋
Ｃ
＝π，
因为ＡＢ
＜
ＢＣ
，
所以Ｃ为锐角
，
则
ｃｏｓ
Ｃ
＝ １－ｓｉｎ
２Ｃ
＝ １－
３
所以 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ． ７
ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ（π－ ）＝ｓｉｎ
从而 Ａ Ｂ Ｃ． ２ ７．
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ＝
由正弦定理得ａ ｂ ｃ． ７
＋ ＝２
由 知ｃ ａ ＋ ｂ 因此 Ｃ Ｃ Ｃ ２１ ２ ７ ４ ３．
（２） （１） ＝ ， ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ·ｃｏｓ ＝２× × ＝
２ ７ ７ ７
ａ２ ｂ２ ｃ２
ａ２
＋
ｂ２
－
(ａ
＋
ｂ)
２
评
关
析
系 与 二
本
倍
小
角
题
公
主
式
要
，考
考
查
查
运
余
算
弦
求
定
解
理
能
、正
力
弦
．
定理，同角三角函数
所以 Ｃ ＋ － ２
ｃｏｓ ＝ ａｂ ＝ ａｂ ２０．（２０１５浙江文，１６，１４ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
２ ２ △ ， ， ，
专题五 三角函数与解三角形 ３２７
( ) 因为 Ｃ ° ＢＡＣ Ｂ ＢＡＣ °
边分别为ａ ｂ ｃ．已知 π Ａ ． （２） ∠ ＝１８０ －（∠ ＋∠ ），∠ ＝６０ ，
， ， ｔａｎ ＋ ＝２
４ 所以 Ｃ ＢＡＣ Ｂ ３ Ｂ １ Ｂ．
求 ｓｉｎ２ Ａ 的值 ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ（∠ ＋∠ ）＝ ２ ｃｏｓ∠ ＋ ２ ｓｉｎ∠
（１） ｓｉｎ２ Ａ ＋ｃｏｓ ２Ａ ； 由 （１） 知 ２ｓｉｎ∠ Ｂ ＝ｓｉｎ∠ Ｃ ，
若Ｂ π ａ 求 ＡＢＣ的面积．
（２） ＝ ， ＝３， △ 所以 Ｂ ３ 即 Ｂ °．
４ ｔａｎ∠ ＝ ， ∠ ＝３０
( ) ３
解析 由 π Ａ 得 Ａ １ 评析 本题考查了正弦定理；考查了解三角形的能力．属中
（１） ｔａｎ ＋ ＝２， ｔａｎ ＝ ，
４ ３ 档题．
Ａ Ａ
所以 ｓｉｎ２ ２ｔａｎ ２ ．
ｓｉｎ２
Ａ
＋ｃｏｓ
２Ａ＝
２ｔａｎ
Ａ
＋１
＝
５
２３．（２０１５安徽理，１６，１２分）在
△
ＡＢＣ中
，∠
Ａ
＝
３π
，
ＡＢ
＝６，
ＡＣ
＝
４
（２） 由 ｔａｎ Ａ ＝ １ ， Ａ ∈（０，π）， 得 点Ｄ在ＢＣ边上 ＡＤ ＢＤ 求ＡＤ的长．
３ ３ ２， ， ＝ ，
解析 设 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对边的长分别是ａ ｂ ｃ
△ ， ， ， ， ，
Ａ １０ Ａ ３ １０．
ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ 由余弦定理得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ ＢＡＣ ２ ２
１０ １０ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ∠ ＝（３ ２） ＋６ －２×３ ２×
ａ ｂ
又由ａ Ｂ π及正弦定理 得 ３π
＝３， ＝ Ａ＝ Ｂ， ６×ｃｏｓ ＝１８＋３６－（－３６）＝９０，
４ ｓｉｎ ｓｉｎ ４
ｂ ． 所以ａ ．
＝３ ５ ＝３ １０
( )
ｂ ＢＡＣ
由 Ｃ Ａ Ｂ Ａ π 得 Ｃ ２ ５． 又由正弦定理得 Ｂ ｓｉｎ∠ ３ １０
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ａ ＝ ＝ ，
４ ５ ３ １０ １０
设 ＡＢＣ的面积为Ｓ 则Ｓ １ ａｂ Ｃ ．
△ ， ＝ ｓｉｎ ＝９ 由题设知 Ｂ π 所以 Ｂ ２Ｂ １
２ ０＜ ＜ ， ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ １－
评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，同 ４ １０
时考查运算求解能力． ３ １０．
＝
２１．（２０１５天津文，１６，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的 １０
△ ， ， ， ＡＢ Ｂ Ｂ
边分别为ａ ｂ ｃ．已知 ＡＢＣ的面积为 ｂ ｃ Ａ 在 ＡＢＤ中 由正弦定理得ＡＤ ·ｓｉｎ ６ｓｉｎ
， ， △ ３ １５， － ＝２，ｃｏｓ ＝ △ ， ＝ Ｂ ＝ Ｂ Ｂ
ｓｉｎ（π－２ ） ２ｓｉｎ ｃｏｓ
１ ．
－ ３ ．
４ ＝ Ｂ＝ １０
求ａ和 Ｃ的值 ｃｏｓ
（１） ｓｉｎ ； ２４．（２０１４辽宁理，１７，１２ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边
( ) △ ， ， ，
求 Ａ π 的值．
（２） ｃｏｓ ２ ＋ 分别为ａ ｂ ｃ 且ａ ｃ．已知→ＢＡ Ｂ→Ｃ Ｂ １ ｂ ．求
６ ， ， ， ＞ · ＝２，ｃｏｓ ＝ ， ＝３ ：
３
解析 在 ＡＢＣ中 由 Ａ １ 可得 Ａ １５． ａ和ｃ的值
（１） △ ， ｃｏｓ ＝－ ， ｓｉｎ ＝ （１） ；
４ ４ Ｂ Ｃ 的值．
（２）ｃｏｓ（ － ）
由Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝３ １５， 得ｂｃ ＝２４， 又由ｂ － ｃ ＝２， 解析 （１） 由→ＢＡ · Ｂ→Ｃ ＝２ 得ｃ · ａ ｃｏｓ Ｂ ＝２，
２
解得ｂ ＝６， ｃ ＝４ ． 又 Ｂ １ 所以ａｃ ．
由ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ 可得ａ ． ｃｏｓ ＝ ３ ， ＝６
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ＝８ 由余弦定理 得ａ２ ｃ２ ｂ２ ａｃ Ｂ．
ａ ｃ ， ＋ ＝ ＋２ ｃｏｓ
由
Ａ＝ Ｃ，
得
ｓｉｎ
Ｃ
＝
１５． 又ｂ
＝３，
所以ａ２
＋
ｃ２
＝９＋２×２＝１３
．
ｓｉｎ
(
ｓｉｎ
)
８ {ａｃ
Ａ π Ａ π Ａ π 解 ＝６， 得ａ ｃ 或ａ ｃ ．
（２）ｃｏｓ ２ ＋ ＝ｃｏｓ２ ·ｃｏｓ －ｓｉｎ２ ·ｓｉｎ ａ２ ｃ２ ＝２， ＝３ ＝３， ＝２
６ ６ ６ ＋ ＝１３，
因ａ ｃ 所以ａ ｃ ．
３ ２Ａ １ Ａ Ａ １５－７ ３． ＞ ， ＝３， ＝２
＝ （２ｃｏｓ －１）－ ×２ｓｉｎ ·ｃｏｓ ＝ ( ) ２
２ ２ １６ 在 ＡＢＣ中 Ｂ ２Ｂ １ ２ ２
评析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的 （２） △ ，ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ １－ ＝ ，
３ ３
正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理
ｃ
由正弦定理 得 Ｃ Ｂ ２ ２ ２ ４ ２．
等基础知识．考查基本运算求解能力． ， ｓｉｎ ＝ ｂ ｓｉｎ ＝ × ＝
３ ３ ９
２２．（２０１５课标Ⅱ文，１７，１２ 分） ＡＢＣ 中 Ｄ 是 ＢＣ 上的点 ＡＤ 因ａ ｂ ｃ 所以Ｃ为锐角
△ ， ， ＝ ＞ ， ，
平分 ＢＡＣ ＢＤ ＤＣ．
∠ ， ＝２ æ ö２
Ｂ 因此 Ｃ ２Ｃ ç４ ２÷ ７ ．
求ｓｉｎ∠ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ １－è ø ＝
（１） Ｃ； ９ ９
ｓｉｎ∠ 于是 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ
若 ＢＡＣ ° 求 Ｂ． ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ
（２） ∠ ＝６０ ， ∠
解析 由正弦定理得
１ ７ ２ ２ ４ ２ ２３．
（１） ＝ × ＋ × ＝
ＡＤ ＢＤ ＡＤ ＤＣ ３ ９ ３ ９ ２７
Ｂ＝ ＢＡＤ， Ｃ＝ ＣＡＤ ． ２５．（２０１４天津文，１６，１３ 分）在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的
△ ， ， ，
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
因为ＡＤ平分 ＢＡＣ ＢＤ ＤＣ
∠ ， ＝２ ， 边分别为ａ ｂ ｃ．已知ａ ｃ ６ｂ Ｂ Ｃ．
Ｂ ＤＣ ， ， － ＝ ，ｓｉｎ ＝ ６ｓｉｎ
所以ｓｉｎ∠ １ ． ６
Ｃ＝ＢＤ＝ 求 Ａ的值
ｓｉｎ∠ ２ （１） ｃｏｓ ；
３２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) 求 ＣＡＤ的值
求 Ａ π 的值． （１） ｃｏｓ∠ ；
（２） ｃｏｓ ２ －
６ 若 ＢＡＤ ７ ＣＢＡ ２１ 求ＢＣ的长．
解析 在 ＡＢＣ中 由 ｂ ｃ 及 Ｂ Ｃ （２） ｃｏｓ∠ ＝－ １４ ，ｓｉｎ∠ ＝ ６ ，
（１） △ ， Ｂ＝ Ｃ， ｓｉｎ ＝ ６ｓｉｎ ，
ｓｉｎ ｓｉｎ
可得ｂ ｃ．又由ａ ｃ ６ｂ 有ａ ｃ．
＝ ６ － ＝ ， ＝２
６
ｂ２ ｃ２ ａ２ ｃ２ ｃ２ ｃ２
所以 Ａ ＋ － ６ ＋ －４ ６．
，ｃｏｓ ＝
２
ｂｃ ＝
２ ６
ｃ２ ＝
４
在 ＡＢＣ中 由 Ａ ６ 可得 Ａ １０． 解析 在 ＡＤＣ中 由余弦定理 得
（２） △ ， ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＝ （１） △ ， ，
４ ４ ＡＣ２ ＡＤ２ ＣＤ２
ＣＡＤ ＋ － ７＋１－４ ２ ７．
于是
ｃｏｓ２
Ａ
＝２ｃｏｓ
２Ａ
－１＝－
１
，ｓｉｎ２
Ａ
＝２ｓｉｎ
Ａ
·ｃｏｓ
Ａ
＝
１５． ｃｏｓ∠ ＝
２
ＡＣ
·
ＡＤ ＝
２ ７
＝
７
４ ４ 设 ＢＡＣ α 则α ＢＡＤ ＣＡＤ．
( ) （２） ∠ ＝ ， ＝∠ －∠
所以 Ａ π Ａ π Ａ π
ｃｏｓ ２ － ６ ＝ ｃｏｓ ２ · ｃｏｓ ６ ＋ ｓｉｎ ２ · ｓｉｎ ６ 因为 ＣＡＤ ２ ７ ＢＡＤ ７
ｃｏｓ∠ ＝ ，ｃｏｓ∠ ＝－ ，
７ １４
１５－ ３．
＝ æ ö２
８ 所以 ＣＡＤ ２ ＣＡＤ ç２ ７÷ ２１
评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正 ｓｉｎ∠ ＝ １－ｃｏｓ ∠ ＝ １－è ø ＝ ，
７ ７
弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等
æ ö２
基础知识．考查运算求解能力．
ｓｉｎ∠
ＢＡＤ
＝ １－ｃｏｓ
２
∠
ＢＡＤ
＝ １－è
ç
－
７
ø
÷
＝
３ ２１．
１４ １４
２６．（２０１４北京理，１５，１３分）如图 在 ＡＢＣ中 Ｂ π ＡＢ 于是 α ＢＡＤ ＣＡＤ
， △ ，∠ ＝ ， ＝ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（∠ －∠ ）
３ ＢＡＤ ＣＡＤ ＢＡＤ ＣＡＤ
＝ｓｉｎ∠ ｃｏｓ∠ －ｃｏｓ∠ ｓｉｎ∠
点Ｄ在ＢＣ边上 且ＣＤ ＡＤＣ １ ． æ ö
８， ， ＝２，ｃｏｓ∠ ＝ ３ ２１ ２ ７ ç ７÷ ２１ ３．
７ ＝ × －è－ ø× ＝
求 ＢＡＤ １４ ７ １４ ７ ２
（１） ｓｉｎ∠ ；
ＢＣ ＡＣ
求ＢＤ ＡＣ的长． 在 ＡＢＣ中 由正弦定理 得
（２） ， △ ， ， α＝ ＣＢＡ，
ｓｉｎ ｓｉｎ∠
３
ＡＣ α ７×
故ＢＣ ·ｓｉｎ ２ ．
＝ ＣＢＡ＝ ＝３
ｓｉｎ∠ ２１
６
２８．（２０１４湖南文，１９，１３分）如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＤＡ
， ，
ＡＢ ＤＥ ＥＣ ＥＡ ＡＤＣ ２π ＢＥＣ π．
⊥ ， ＝１， ＝ ７， ＝２，∠ ＝ ，∠ ＝
３ ３
求 ＣＥＤ的值
解析 在 ＡＤＣ中 因为 ＡＤＣ １ （１） ｓｉｎ∠ ；
（１） △ ， ｃｏｓ∠ ＝ ， 求ＢＥ的长．
７ （２）
所以 ＡＤＣ ４ ３．
ｓｉｎ∠ ＝
７
所以 ＢＡＤ ＡＤＣ Ｂ
ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ（∠ －∠ ）
ＡＤＣ Ｂ ＡＤＣ Ｂ
＝ｓｉｎ∠ ｃｏｓ －ｃｏｓ∠ ｓｉｎ
解析 设 ＣＥＤ α．
４ ３ １ １ ３ ３ ３． ∠ ＝
＝ × － × ＝ 在 ＣＤＥ中 由余弦定理 得ＥＣ２ ＣＤ２ ＤＥ２ ＣＤ ＤＥ
７ ２ ７ ２ １４ （１） △ ， ， ＝ ＋ －２ · ·
在 ＡＢＤ中 由正弦定理得 ＥＤＣ．
（２） △ ， ｃｏｓ∠
于是由题设知 ＣＤ２ ＣＤ 即ＣＤ２ ＣＤ
３ ３ ，７＝ ＋１＋ ， ＋ －６＝０，
ＡＢ ＢＡＤ ８× 解得ＣＤ ＣＤ 舍去 ．
ＢＤ ·ｓｉｎ∠ １４ ． ＝２（ ＝－３ ）
＝ ＡＤＢ ＝ ＝３ ＥＣ ＣＤ
ｓｉｎ∠ ４ ３ 在 ＣＤＥ中 由正弦定理 得 ．
△ ， ， ＥＤＣ＝ α
７ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ
在 ＡＢＣ中 由余弦定理得
△ ， ＣＤ ２π ３
ＡＣ２ ＡＢ２ ＢＣ２ ＡＢ ＢＣ Ｂ ·ｓｉｎ ２×
＝ ＋ －２ · ·ｃｏｓ 于是 α ３ ２ ２１ 即 ＣＥＤ ２１．
ｓｉｎ ＝ ＥＣ ＝ ＝ ， ｓｉｎ∠ ＝
２ ２ １ ． ７ ７ ７
＝８ ＋５ －２×８×５× ＝４９
２ 由题设知 α π 于是由 知
所以ＡＣ ． （２） ，０＜ ＜ ， （１） ，
＝７ ３
评析 本题考查了三角变换，及利用正、余弦定理解三角形；
考查分析推理、运算求解能力．
ｃｏｓ
α
＝ １－ｓｉｎ
２α
＝ １－
２１
＝
２ ７．
４９ ７
２７．（２０１４湖南理，１８，１２分）如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＡＤ ( )
， ， 而 ＡＥＢ ２π α 所以 ＡＥＢ ２π α ２π α
ＣＤ ＡＣ ． ∠ ＝ － ， ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋
＝１， ＝２， ＝ ７ ３ ３ ３
专题五 三角函数与解三角形 ３２９
解析 由已知得 ＰＢＣ ° 所以 ＰＢＡ °．
２π α １ α ３ α １ ２ ７ ３ ２１ ７． （１） ，∠ ＝６０ ， ∠ ＝３０
ｓｉｎ ｓｉｎ ＝－ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝－ × ＋ × ＝
３ ２ ２ ２ ７ ２ ７ １４ 在 ＰＢＡ中 由余弦定理得ＰＡ２ １ １ °
ＥＡ △ ， ＝３＋ －２× ３× ｃｏｓ ３０ ＝
在 ＥＡＢ中 ＡＥＢ ２ 故ＢＥ ２ ２ ４ ２
Ｒｔ△ ，ｃｏｓ∠ ＝ＢＥ＝ＢＥ， ＝ ＡＥＢ＝ ＝
ｃｏｓ∠ ７ ７ ．故ＰＡ ７．
＝
１４ ４ ２
设 ＰＢＡ α 由已知得ＰＢ α．
． （２） ∠ ＝ ， ＝ｓｉｎ
４ ７
评析 本题考查解三角形及三角函数式的恒等变形，解题时 α
在 ＰＢＡ中 由正弦定理得 ３ ｓｉｎ
要运用从已知到未知的思路，利用角的关系进行恒等变形． △ ， °＝ ° α ，
ｓｉｎ１５０ ｓｉｎ（３０ － ）
２９．（２０１３课标Ⅰ理，１７，１２分）如图 在 ＡＢＣ中 ＡＢＣ °
， △ ，∠ ＝９０ ， 化简得 α α．所以 α ３ 即 ＰＢＡ ３．
ＡＢ ＝ ３， ＢＣ ＝１， Ｐ为 △ ＡＢＣ内一点 ，∠ ＢＰＣ ＝９０ °． 评析 本 ３ 题 ｃｏｓ 考查 ＝４ 了 ｓｉ 利 ｎ 用正弦 ｔ 定 ａｎ 理和 ＝ 余 ４ 弦 ， 定 ｔ 理 ａｎ∠ 解三角 ＝ 形 ４ ，考查
（１） 若ＰＢ ＝ １ ， 求ＰＡ ； 了运算 求解能力和分析、解决问题的能力．题目新颖且有一定
２
若 ＡＰＢ ° 求 ＰＢＡ． 的难度，通过ＰＢ把 ＰＢＣ 和 ＰＡＢ 联系起来利用正弦定理
（２） ∠ ＝１５０ ， ｔａｎ∠ △ △
是解题关键．
时间： 分钟 分值： 分
８０ ９５
一、单项选择题 每题 分 共 分 １２）四边形 ＡＢＣＤ 内接于圆 Ｏ ＡＢ ＣＤ ＡＤ ＢＣＤ
（ ５ ， ２５ ） ， ＝ ＝５， ＝３，∠ ＝
１．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，３）在 ＡＢＣ 中 角 ° 下列结论正确的是
△ ， ６０ ， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 若ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｂ 则角Ｃ为
， ， ， ， ， ＋ － ＝ ，
（ ）
π π π ２π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ４ ３ ３
答案 Ｃ
２．（２０２１届河南第一次摸底，１０）已知四边形 ＡＢＣＤ ＢＡＤ
，∠ ＝
° ＢＣＤ ° ＡＢ ＡＤ 则ＡＣ的最大值为
１２０ ，∠ ＝６０ ， ＝ ＝２， （ ）
四边形ＡＢＣＤ为梯形
４ ３ ８ ３ Ａ．
Ａ． Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．８
答 ３ 案 Ｂ ３ Ｂ． 四边形ＡＢＣＤ的面积为５５ ３
４
３．（２０２１届河南商丘、周口、驻马店部分学校联考，６）设 ａ ｂ ｃ 圆Ｏ的直径为
， ， Ｃ． ７
分别为 ＡＢＣ内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 已知ａ Ｂ ｂ Ａ ｂ ＡＢＤ的三边长度可以构成一个等差数列
△ ， ， ， ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ２ ， Ｄ．△
则Ａ 答案 ＡＢＤ
＝ （ ）
７．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，１１）在 ＡＢＣ中 角
π π π π △ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 以下说法中 正确的是
６ ４ ３ ２ ， ， ， ， ， ， （ ）
答案 Ｂ 若Ａ Ｂ 则 Ａ Ｂ
Ａ． ＞ ， ｓｉｎ ＞ｓｉｎ
４．（２０２１届福建厦门外国语学校１０月月考，７）在 ＡＢＣ中 内 若ａ ｂ ｃ 则 ＡＢＣ为钝角三角形
△ ， Ｂ． ＝４， ＝５， ＝６， △
ａ
角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 若 Ｂ 且 Ｂ Ｃ 若ａ ｂ Ａ π 则符合条件的三角形不存在
， ， ， ， ， ｃｏｓ ＝ ｃ， ｓｉｎ ｓｉｎ （２ Ｃ． ＝５， ＝１０， ＝ ，
２ ４
Ａ 若ｂ Ｃ ｃ Ｂ ａ Ａ 则 ＡＢＣ为直角三角形
Ａ ２ １ 则Ａ Ｄ． ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ， △
－ｃｏｓ ）＝ｓｉｎ ＋ ， ＝ （ ） 答案 ＡＣＤ
２ ２
π π π ２π ８．（２０２０福建泉州适应性线上测试，１２）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． △ ， ， ，
６ ３ ２ ３ 所对的边分别为ａ ｂ ｃ 若ｂ ｃ ＢＡＣ 角Ａ的平分线交ＢＣ
答案 Ｃ ， ， ， ＝ ｃｏｓ∠ ，
５．（２０１９河南六市３月联考，１０）在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ的对边分 于点Ｄ ＡＤ ＢＡＣ １ 以下结论正确的是
△ ， ， ， ， ＝１，ｃｏｓ∠ ＝ ， （ ）
８
ａ ｃ Ｃ
别为ａ ｂ ｃ 若２ － ｃｏｓ ｂ 则 ＡＢＣ的面积的最大值为
， ， ， ｂ ＝ Ｂ， ＝４， △ ＡＣ ３ ＡＢ
ｃｏｓ Ａ． ＝ Ｂ． ＝８
４
（ ） ＣＤ
１ ＡＢＤ的面积为３ ７
Ｃ．ＢＤ＝ Ｄ．△
Ａ．４ ３ Ｂ．２ ３ Ｃ．３ ３ Ｄ． ３ ８ ４
答案 Ａ 答案 ＡＣＤ
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， １５ ）
６．（２０２１届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考，
３３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
三、填空题 每题 分 共 分 某中学开展劳动实习 去测量当地八卦田的面积 如图 现测
（ ５ ， ２５ ） ， ， ，
９．（２０２１届山东枣庄第三中学第二次阶段测试，２０）设 ＡＢＣ的 得正八边形的边长为 代表阴阳太极图的圆的半径为
△ ８ ｍ，
内角Ａ Ｂ Ｃ 所对边的长分别为 ａ ｂ ｃ．若 ｂ ｃ ａ Ａ 则每块八卦田的面积为 ２．
， ， ， ， ＋ ＝２ ，３ｓｉｎ ＝ ２ ｍ， ｍ
Ｂ 则最大角的余弦值为 ．
５ｓｉｎ ，
答案 １
－
２
１０．（２０２１届河南郑州第一中学开学测试，１４）在 ＡＢＣ中 内角
△ ，
ａ Ａ ｂ Ｂ ｃ Ｃ
Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别是 ａ ｂ ｃ 若 ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － ｓｉｎ
， ， ， ， ， ａ Ｂ ＝ ( )
ｓｉｎ 答案 π
Ｃ 则Ｃ的大小为 ． １６ ２＋１６－
２ｓｉｎ ， ２
答案 π 四、解答题 共 分
（ ３０ ）
４
１１．（２０２１届陕西安康１０月联考，１５）为美化环境 某小区计划 １４．（２０２１届山东枣庄第三中学第一次月考，１７）在 Ａ ３
， ①ｃｏｓ ＝ ，
将一片扇形区域改造为一个绿化区兼休闲娱乐区 如图所示 ５
， ，
该扇形区域的圆心角为 ° ＯＡ 在ＯＡ上选一点Ｍ Ｃ ２ ５ ｃ Ｃ Ａ ｂ Ｂ Ｂ ° ｃ Ａ １
１２０ ， ＝１０ ｍ， ， ｃｏｓ ＝ ，② ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ， ＝６０ ，③ ＝２，ｃｏｓ ＝
在弧ＡＢ上选一点Ｎ 使得ＭＮ ＯＢ 计划在点Ｏ处建休闲区 ５ ８
， ∥ ， ， 三个条件中任选一个补充在下面问题中 并加以解答．已知
在点Ｎ处建健身区 并修建小路ＯＭ ＭＮ 则 ＯＭ ＭＮ 的 ，
， ， ， ｜ ｜＋｜ ｜ ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若ａ
最大值为 ． △ ， ， ， ， ， ＝３， ，
ｍ 求 ＡＢＣ的面积Ｓ．
△
１５．（２０２１届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，１７）在 ｂ Ｂ
①５ ｃｏｓ
ａ Ｃ ｃ Ａ ｂ Ｂ Ｃ ａ Ｂ ｂ Ｂ Ｃ
－３ ｃｏｓ ＝３ ｃｏｓ ；②３ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝４ ｃｏｓ －３ ｃｏｓ ｓｉｎ ；
( Ｂ ) ( )
２ π ２ Ｂ π 三个条件中 任选一个补
③２ｃｏｓ ＋ ＝１－ ０＜ ＜ ，
２ ８ １０ ２
充在下面问题中的横线处 并加以解答．已知 ＡＢＣ 的内角
答案 ， △
２０ Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若ａ ｃ ＡＢＣ的面积为
１２．（２０２０广东广州天河外国语学校４月测试，１４）在 ＡＢＣ中 ， ， ， ， ， ＋ ＝７，△ ４，
△ ， 求 Ｂ及ｂ．注 如果选择多个条件分别解答 按第
角Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ 若 ａ ｃ ｂ Ａ ， ｓｉｎ ： ，
、 、 、 、 ， ＝１， ＝２ ３， ｓｉｎ ＝ 一个解答计分．
( )
ａ π Ｂ 则 Ｃ ． １６．（２０２１届河南南阳第一中学第四次月考，１８）在 ＡＢＣ中 角
ｓｉｎ － ， ｓｉｎ ＝ △ ，
３ Ｂ
Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 且 ２ Ｂ ．
， ， ， ， ， ２ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ＝３
答案 ２１ ２
７
求角Ｂ
（１） ；
１３．（２０２１届湖南长沙长郡中学月考（一），１５） 易经 中记载着
《 》 若 Ｄ 是 ＡＣ 的中点 且 ｂ ＢＤ 求 ＡＢＣ 的
一种几何图形 八卦图 图中正八边形代表八卦 中间的圆 （２） ， ＝２ ７， ＝ １９， △
——— ， ， 周长．
代表阴阳太极图 图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．
，
专题五 三角函数与解三角形 ３３１
１．（２０１９宁夏银川一中二模，６）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的
△ ， ， ， ＡＢＣ的重心 且ＡＤ ７ 则 ＡＢＣ的外接圆的半径为
边分别为ａ ｂ ｃ 若 ｃ ｂ Ｃ ° 则Ｂ △ ， ＝ ， △
， ， ， ２ ＝ ６ ， ＝６０ ， ＝ （ ） ３
° °或 °
Ａ．４５ Ｂ．４５ １３５ （ ）
° °或 °
Ｃ．３０ Ｄ．３０ １５０ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
ｃ 答案 Ａ 由正弦定理 得 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ
答案 Ａ 在 ＡＢＣ中 ｃ ｂ Ｃ ° 可得ｂ ２ ， ３ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ
△ ，∵２ ＝ ６ ， ＝６０ ， ＝ ，
Ｃ 又 Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ
６ ， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ），∴ ３ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（
ｃ Ｂ 可得 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ 又 Ｂ
２ ３ ＋ ）， ３ ｓｉｎ ｓｉｎ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， ｓｉｎ ≠０，
ｂ ｃ ｂ Ｃ × ( )
由正弦定理 可得 Ｂ ·ｓｉｎ ６ ２ ２ Ａ Ａ Ａ π １ 由 Ａ 得 π Ａ
∴ Ｂ＝ Ｃ， ｓｉｎ ＝ ｃ ＝ ｃ ＝ ， ∴ ３ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝１，∴ ｓｉｎ － ＝ ， ０＜ ＜π， － ＜ －
ｓｉｎ ｓｉｎ ２ ６ ２ ６
ｂ ｃ Ｂ为锐角 Ｂ °．故选
∵ ＜ ，∴ ，∴ ＝４５ Ａ． π ５π Ａ π π Ａ π．由点Ｄ是 ＡＢＣ的重心 得Ａ→Ｄ
２．（２０１９东北育才中学模拟，７）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ＜ ，∴ － ＝ ，∴ ＝ △ ，
△ ， ， ， ６ ６ ６ ６ ３
分别为ａ ｂ ｃ 且ｂ２ ａｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 则角
， ， ， ＝ ，ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝１－ｃｏｓ ２ ， １ →ＡＢ →ＡＣ Ａ→Ｄ２ １ →ＡＢ２ →ＡＣ２ →ＡＢ →ＡＣ Ａ
Ａ ＝ （ ＋ ），∴ ＝ （ ＋ ＋２｜ ｜·｜ ｜ｃｏｓ ）＝
＝ （ ） ３ ９
π π π ５π ７ 结合已知条件可解得 →ＡＢ 即ｃ ．由余弦定理 得ａ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， ｜ ｜＝２， ＝２ ， ＝
４ ３ ６ １２ ９
答案 Ｂ 在 △ ＡＢＣ中 ，∵ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＋ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝１－ｃｏｓ２ Ｂ ， ｂ２ ＋ ｃ２ －２ ｂｃ ｃｏｓ Ａ ＝ ３， 由正弦定理 ， 得 △ ＡＢＣ的外接圆半径Ｒ
∴ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＋ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝２ｓｉｎ ２Ｂ．再由正弦定理可得 ａｂ ＋ ｂｃ ＝ ａ ．故选 ．
ｂ２ 即ａ ｃ ｂ 两边平方 可得 ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ ｂ２ ａｃ ＝ Ａ＝１ Ａ
２ ， ＋ ＝２ ，∴ ， ４ ＝ ＋ ＋２ ，∵ ＝ ， ２ｓｉｎ
ａ ｃ ６．（２０１９吉林长春外国语学校模拟，７）在 ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别
ａｃ ａ２ ｃ２ ａｃ 整理可得 ａ ｃ ２ ａ ｃ 可得ｂ ＋ ａ △ ， ， ，
∴４ ＝ ＋ ＋２ ， （ － ） ＝０，∴ ＝ ， ＝ ＝
２
是角Ａ Ｂ Ｃ所对应的边 若ｃ ＡＢＣ的面积为３ ３ 且ｃ
ｃ Ａ π．故选 ， ， ， ＝ ７，△ ， ＝
＝ ，∴ ＝ Ｂ． ２
３ Ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ 则 ＡＢＣ的周长为
３．（２０１８山东菏泽３月联考，８）在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边 ２ｃｏｓ （ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ）， △ （ ）
△ ， ， ，
ｂ ｂ Ａ．５＋ ３ Ｂ．３＋ ５ Ｃ．５＋ ７ Ｄ．７＋ ５
分别为ａ ｂ ｃ 且ａ Ｂ ｃ ａ２ ７ ｂｃ ｂ ｃ 则 答案 Ｃ ｃ Ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ
， ，， ｃｏｓ － － ＝０， ＝ ， ＞ ， ｃ ＝（ ） ∵ ＝２ｃｏｓ （ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ），
２ ２ 由正弦定理可得 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ 可得
∴ ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ （ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ），
３ ５
Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ
Ａ． Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ． ２ｃｏｓ ｓｉｎ（ ＋ ）＝２ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ，
２ ２
答案 Ｂ 由ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ －２ ａｃ ｃｏｓ Ｂ可得ａ ｃｏｓ Ｂ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ ｃ － ｂ２ ， 又 ∵ Ｃ ∈（０，π），ｓｉｎ Ｃ ≠０，∴ 解得 ｃｏｓ Ｃ ＝ １ ，∴ Ｃ ＝ π．
２ ３
２
ｂ ｂ
７ ｂｃ
＋
ｃ２
－
ｂ２
∵
ｃ
＝ ７，∴
由
△
ＡＢＣ的面积为３ ３
＝
１ ａｂ
ｓｉｎ
Ｃ
＝
１
×
ａ
×
ｂ
×
３
，
ａ Ｂ ｃ ａ２ ７ ｂｃ 所以ｃ ２ 即 ｂ２ ｂｃ ２ ２ ２ ２
ｃｏｓ － － ＝０， ＝ ， ＋ ＝ ｃ ， ２ －５ 解得ａｂ
２ ２ ２ ２ ＝６，
ｃ２ 所以有 ｂ ｃ ｂ ｃ ．所以ｂ ｃ或ｃ ｂ 又ｂ 由余弦定理ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ 可得 ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ ２
＋２ ＝０， （ －２ ）·（２ － ）＝０ ＝２ ＝２ ， ＞ ∴ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ７＝ ＋ － ＝（ ＋ ）
ｃ 所以 ｂ ．故选 ． －３ ａｂ ＝（ ａ ＋ ｂ ） ２ －１８， 解得ａ ＋ ｂ ＝５，
， ｃ ＝２ Ｂ
ＡＢＣ的周长 ａ ｂ ｃ ．故选
４．（２０１８河南郑州一模，１１）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别 ∴ △ ＝ ＋ ＋ ＝５＋ ７ Ｃ．
△ ， ， ， ７．（２０１９甘肃兰州一中模拟，５）在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对
△ ， ， ，
为ａ
，
ｂ
，
ｃ
，
且
２
ｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝２
ａ
＋
ｂ
，
若
△
ＡＢＣ的面积Ｓ
＝ ３
ｃ
，
则ａｂ的
的边分别是ａ ｂ ｃ 若ａ ｂ 则２ｓｉｎ
２Ｂ
－ｓｉｎ
２Ａ
的值为
最小值为
（ ）
、 、 ， ＝２ ，
ｓｉｎ
２Ａ （ ）
Ａ．２８ Ｂ．３６ Ｃ．４８ Ｄ．５６ １ １
答案 Ｃ 在 ＡＢＣ 中 ｃ Ｂ ａ ｂ 由正弦定理 得 Ａ． Ｂ．－ Ｃ．１ Ｄ．７
△ ，２ ｃｏｓ ＝２ ＋ ， ， ２ ２
２ｓｉｎ
Ｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝２ｓｉｎ
Ａ
＋ｓｉｎ
Ｂ．又Ａ
＝π－（
Ｂ
＋
Ｃ
），
所以
ｓｉｎ
Ａ
＝ｓｉｎ［π－ 答案 Ｂ 由正弦定理得ｓｉｎ
Ｂ ｂ
１ 原式 ２ｓｉｎ
２Ｂ
Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 所以 Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ＝ ａ ＝ ， ＝ ２Ａ －１＝２
（ ＋ ）］＝ｓｉｎ（ ＋ ）， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ２ ｓｉｎ
Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ 得 Ｂ Ｃ Ｂ 因为 ( ) ２
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝０， １ １ ．故选
× －１＝－ Ｂ．
Ｂ 所以 Ｃ １ 又 Ｃ 所以Ｃ ２π．由Ｓ ｃ ２ ２
ｓｉｎ ≠０， ｃｏｓ ＝－ ， ０＜ ＜π， ＝ ＝ ３ ＝ ８．（２０１９福建漳州二模，８） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为
２ ３ △ ， ，
ａｂ ａ ｂ ｃ 已知 ａ Ａ ｂ Ｃ ｃ Ｂ ｂ ｃ 则ａ的最小值为
１ ａｂ Ｃ １ ａｂ ３ 得ｃ ．又ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ ａ２ ， ， ， ３ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ， ＋ ＝３，
·ｓｉｎ ＝ × ， ＝ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝ ＋
２ ２ ２ ４ （ ）
(ａｂ)
２
ｂ２ ａｂ ａｂ ａｂ ａｂ 当且仅当ａ ｂ时取等号 所以 Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３
＋ ≥２ ＋ ＝３ （ ＝ ）， ４ ≥ 答案 Ｂ 在 △ ＡＢＣ中 ，∵３ ａ ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｃ ＋ ｃ ｃｏｓ Ｂ ，
ａｂ 得ａｂ 所以ａｂ的最小值为 故选 ．
３ ， ≥４８， ４８， Ｃ ∴３ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ａ ＝ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ ＋ｓｉｎ Ｃ ｃｏｓ Ｂ ＝ｓｉｎ（ Ｂ ＋ Ｃ ）＝ｓｉｎ Ａ ，
５．（２０１８河北衡水中学４月模拟，１１）已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ
△ ， ， 即 Ａ Ａ Ａ 又Ａ Ａ Ａ １ ．
的对边分别为ａ ｂ ｃ 且ａ Ｂ ａ Ｂ ｂ ｃ ｂ 点Ｄ是 ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， ∈（０，π），∴ ｓｉｎ ≠０，∴ ｃｏｓ ＝
， ， ， ｃｏｓ ＋ ３ ｓｉｎ ＝ ＋ ， ＝１， ３
３３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｂ ｃ 两边平方可得ｂ２ ｃ２ ｂｃ 由ｂ２ ｃ２ ｂｃ 可得
∵ ＋ ＝３，∴ ＋ ＋２ ＝９， ＋ ≥２ ， ９ 解析 Ａ π 且 ３ Ｂ Ｃ Ｂ ３ Ｂ
∵ ＝ ， －ｓｉｎ（ － ）＝ｓｉｎ ２ ，∴ ＝ｓｉｎ２ ＋
ｂｃ ｂｃ ｂｃ 解得ｂｃ ９ 当且仅当ｂ ｃ时等号成立 由 ３ ２ ２
≥２ ＋２ ＝４ ， ≤ ， ＝ ，∴ Ｂ Ｃ 即 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 又 Ａ Ｂ Ｃ
４ ｓｉｎ（ － ）， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ２ ＋ｓｉｎ（ － ）， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ），
ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ 可得ａ２ ｂ２ ｃ２ ２ ｂｃ ｂ ｃ ２ ８ ｂｃ ８ ∴ ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ ＋ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ ＋ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ －ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ，
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ， ＝ ＋ － ３ ＝（ ＋ ） － ３ ≥９－ ３ 即 ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ．
× ４ ９ ＝３，∴ ａ的最小值为 ３ ．故选 Ｂ． 当 ｃｏｓ Ｂ ＝０ 时 ， 可得Ｂ ＝ π ， Ｃ ＝ π ，
２ ６
思路分析 根据正弦定理将边化角 逆用两角和的正弦公式
，
化简得出 ｃｏｓ Ａ ， 由已知利用余弦定理和基本不等式即可求出ａ ∴ Ｓ △ ＡＢＣ＝ １ ａｃ ＝ １ ×２×２×ｔａｎ π ＝ ２ ３ ；
的最小值． ２ ２ ６ ３
当 Ｂ 时 Ｂ Ｃ 由正弦定理可知ｂ ｃ ＡＢＣ
９．（２０１８山东日照二模，１１）如图所示 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ｃｏｓ ≠０ ，ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， ＝ ，∴ △
， ，
ＡＢ
＝１，
ＢＣ
＝２，△
ＡＣＤ为正三角形
，
则
△
ＢＣＤ面积的最大值为 为等腰三角形
，
又
∵
Ａ
＝
π
，∴
ａ
＝
ｂ
＝
ｃ
＝２
．
∴
Ｓ
△ ＡＢＣ＝
３ａ２
＝ ３
．
３ ４
（ ）
综上可知 ＡＢＣ的面积为 或２ ３．
△ ３
３
思路分析 利用 Ａ ３及三角恒等变换化简已知等式 从
ｓｉｎ ＝ ，
２
而可得 Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ 进而利用分类讨论思想及三角
ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
形的面积公式求得结果．
易错警示 求解时 易忽视 Ｂ 的情形 从而导致漏解．
３＋１ ３ ， ｃｏｓ ＝０ ，
Ａ．２ ３＋２ Ｂ． Ｃ． ＋２ Ｄ． ３＋１ ( )
２ ２ 一题多解 由已知及Ａ Ｂ Ｃ 可得 ３ Ｂ ２
答案 Ｄ 在 ＡＢＣ中 设 ＡＢＣ α ＡＣＢ β 由余弦定理 ＋ ＋ ＝π －ｓｉｎ ２ － π ＝ｓｉｎ
△ ， ∠ ＝ ，∠ ＝ ， ２ ３
得 ＡＣ２ ２ ２ α ＡＣＤ 为正三角形 ＣＤ２ ( )
： ＝１ ＋２ －２×１×２ｃｏｓ ，∵ △ ，∴ ＝ Ｂ 即 Ｂ Ｂ ２ ３ Ｂ ３ Ｂ
( ) ２ ， ｓｉｎ ２ ＋ｓｉｎ ２ － π ＝ ，∴ ｓｉｎ ２ － ｃｏｓ ２ －
ＡＣ２
＝５－４ｃｏｓ
α
，
Ｓ
△ ＢＣＤ ＝
１
·２·
ＣＤ
·ｓｉｎ
π
＋
β
＝
ＣＤ
· (
３
)
２ ２
２ ３
１ Ｂ ３ 即 Ｂ π ３．
( ) ｓｉｎ２ ＝ ， ｓｉｎ ２ － ＝
π β ３ＣＤ β １ ＣＤ β 在 ＡＢＣ中 由正弦 ２ ２ ３ ２
ｓｉｎ ＋ ＝ ·ｃｏｓ ＋ ·ｓｉｎ ， △ ，
３ ２ ２ Ａ π Ｂ ２ π Ｂ π
ＡＣ ∵ ＝ ，∴０＜ ＜ π，∴ － ＜２ － ＜π，
定理得 １ ＡＣ β α ＣＤ β α ３ ３ ３ ３
： β＝ α，∴ ·ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ，∴ ·ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ，
ｓｉｎ ｓｉｎ Ｂ π π或２π Ｂ π或π．
ＣＤ β ２ ＣＤ２ ２β ＣＤ２ ２α α ２α ∴２ － ＝ ，∴ ＝
∴ （ ·ｃｏｓ ） ＝ （１－ｓｉｎ ）＝ －ｓｉｎ ＝５－４ｃｏｓ －ｓｉｎ ３ ３ ３ ３ ２
α ２ β ＢＡＣ β为锐角 ＣＤ β α
＝（２－ｃｏｓ ） ，∵ ＜∠ ，∴ ， ·ｃｏｓ ＝２－ｃｏｓ ， 当Ｂ π时 Ｃ π Ｓ １ π ２ ３
＝ ， ＝ ，∴ △ ＡＢＣ＝ ×２×２×ｔａｎ ＝ ；
Ｓ ３ＣＤ β １ ＣＤ β ３ α ２ ６ ２ ６ ３
∴ △ ＢＣＤ＝ ·ｃｏｓ ＋ ·ｓｉｎ ＝ ·（２－ｃｏｓ ）＋
２ ２ ２ 当Ｂ π时 ＡＢＣ是边长为 的等边三角形
( ) ＝ ，△ ２ ，
１ α α π 当α ５π时 Ｓ ． ３
ｓｉｎ ＝ ３＋ｓｉｎ － ， ＝ ，（ △ ＢＣＤ）ｍａｘ＝ ３＋１
２ ３ ６
方法指导 设 ∠ ＡＢＣ ＝ α ，∠ ＡＣＢ ＝ β ， 设法找出α 、 β与ＣＤ的关 ∴
Ｓ
△ ＡＢＣ＝ ４
３ａ２
＝ ４
３
×４＝ ３
．
系 进而将Ｓ 表示成关于α的函数 从而求其最大值．
方 ， 法总结 在 △ ＢＣ 解 Ｄ 决多个关联三角形问 ， 题时 应找出联系各三 综上可知 ＡＢＣ的面积为 或２ ３．
，△ ３
， ３
角形的纽带 进而利用正 余弦定理进行转化 最终使问题得以 １２．（２０１７北京东城二模，１２）如图 在四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢＤ
， 、 ， ， ，∠ ＝
解决．
° ＡＤＢ ° ＢＣ ＤＣ ＢＣＤ １ 则 ＢＤ
１０．（２０２０湖南、河南、江西高三３月线上联考，１４）设ａ ｂ ｃ分 ４５ ，∠ ＝ ３０ ， ＝ １， ＝ ２，ｃｏｓ∠ ＝ ，
， ， ４
ＡＢＤ的面积为 ．
别为 ＡＢＣ内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 已知Ａ π ｂ 且 ２Ａ ＝ ；△
△ ， ， ， ＝ ， ＝１， （ｓｉｎ ＋
３
２Ｂ ｃ ２Ｂ ２Ｃ ２Ａ 则ａ ．
４ｓｉｎ ） ＝８（ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －ｓｉｎ ）， ＝
答案
２
解析 因为 ２Ａ ２Ｂ ｃ ２Ｂ ２Ｃ ２Ａ
（ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ ） ＝８（ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －ｓｉｎ ），
所以 ａ２ ｂ２ ｃ ｂ２ ｃ２ ａ２ 又ｂ
（ ＋４ ） ＝８（ ＋ － ）， ＝１，
所以 ａ２ ｂ２ ｂｃ ｂ２ ｃ２ ａ２
（ ＋４ ） ＝８（ ＋ － ），
所以
ａ２
＋４
ｂ２ ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
Ａ 则
ａ２
＋４ 解得ａ ． 答案
＝８× ｂｃ ＝８ｃｏｓ ＝４， ＝４， ＝２ ２； ３－１
２ ２ ２ 解析 在 ＢＣＤ中 由余弦定理得ＢＤ２ ＢＣ２ ＤＣ２ ＢＣ
１１．（２０１８广东七校３月联考，１６）已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ △ ， ＝ ＋ －２ ·
△ ， ，
ＤＣ ＢＣＤ １ ＢＤ ．
Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若 ａ Ａ π 且 ３ Ｂ Ｃ ·ｃｏｓ∠ ＝１＋４－２×１×２× ４ ＝４，∴ ＝２
， ， ， ＝２， ＝ ， －ｓｉｎ（ － ）＝
Ｂ 则 ＡＢＣ面积为 ．
３ ２ 在
△
ＡＢＤ中
，
由正弦定理得 ＡＢ
ＡＤＢ＝
ＢＤ
ＢＡＤ，
ｓｉｎ２ ， △ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
ＢＤ ＡＤＢ °
答案 或２ ３ ＡＢ ｓｉｎ∠ ２×ｓｉｎ３０
３ ∴ ＝ ＢＡＤ ＝ ° ° ° ＝ ６－ ２，
３ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ（１８０ －４５ －３０ ）
专题五 三角函数与解三角形 ３３３
．求 ＡＢＣ的面积．
Ｓ １ ＡＢ ＢＤ ＡＢＤ １ ２ △
∴ △ ＡＢＤ＝ · ·ｓｉｎ∠ ＝ ×（ ６－ ２）×２× ＝ 解析 若选
２ ２ ２ ①：
３－１ ．
由正弦定理得
（
ａ
＋
ｂ
）（
ａ
－
ｂ
）＝（
ｃ
－
ｂ
）
ｃ
，
即ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
＝
ｂｃ
，
思路分析 在 ＢＣＤ中利用余弦定理求 ＢＤ．在 ＡＢＤ 中利 所以 Ａ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ｂｃ １ 因为Ａ 所以Ａ π
△ △ ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ ｂｃ＝ ， ∈（０，π）， ＝ ，
用正弦定理求 ＡＢ 然后利用三角形面积公式求 ＡＢＤ 的 ２ ２ ２ ３
， △
面积． 又ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ ｂ ｃ ２ ｂｃ ａ ｂ ｃ 所以ｂｃ 所
＝ ＋ － ＝（ ＋ ） －３ ， ＝２ ６， ＋ ＝６， ＝４，
１３．（ 所 ２ 对 ０１ 的 ９ 边 黑 分 龙 别 江牡 为 丹 ａ 江 ｂ 一 ｃ 中 已 模 知 拟 ｂ ，１４） 且 在 △ ｃ ＡＢＣ Ｂ 中 ｂ ， 内角 Ｃ Ａ ， Ｂ ａ ， Ｃ 以Ｓ △ ＡＢＣ＝ ２ １ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝ ２ １ ×４×ｓｉｎ π ３ ＝ ３ ．
， ， ， ＝２ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝４ ｓｉｎ 若选
Ｂ Ｃ 则ｃ的最小值为 ． ②：
ｓｉｎ ， ( )
答案 １ 由正弦定理得 ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ａ ＋ π ．
６
２ ( )
解析 ｃ Ｂ ｂ Ｃ ａ Ｂ Ｃ 因为 Ｂ 所以 Ｂ 所以 Ａ Ａ π
∵ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝４ ｓｉｎ ｓｉｎ ， ０＜ ＜π， ｓｉｎ ≠０， ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ ，
Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ ６
∴ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＝４ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ，
∴ ｓｉｎ（ Ｂ ＋ Ｃ ）＝ｓｉｎ Ａ ＝４ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ，∵ ｓｉｎ Ａ ≠０， 化简得 Ａ ３ Ａ １ Ａ 即 Ａ ３
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ － ｓｉｎ ， ｔａｎ ＝ ，
Ｂ Ｃ １ Ｃ １ 当 Ｂ取最大值时 Ｃ ２ ２ ３
∴ ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ４ ，∴ ｓｉｎ ＝ ４ｓｉｎ Ｂ， ｓｉｎ ，ｓｉｎ 因为 Ａ 所以Ａ π．又因为ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ π
０＜ ＜π， ＝ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
最小 且为 １ 由正弦定理可得 ｂ ｃ 即ｃ ｓｉｎ Ｃ ６ ６
， ， Ｂ＝ Ｃ， ＝２× Ｂ＝ ｂ ｃ ２ ａ２ ２ ２
４ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ 所以ｂｃ （ ＋ ） － ６ －（２ ６） 即ｂｃ
＝ ＝ ， ＝２４－１２ ３，
２Ｃ 当 Ｃ １ 时 ｃ取最小值 １ ． ２＋ ３ ２＋ ３
８ｓｉｎ ， ｓｉｎ ＝ ，
４ ２ 所以Ｓ １ ｂｃ Ａ １ １ ．
１４．（２０１９北京东城二模，１５）如图 在四边形ＡＢＣＤ中 ＡＣ △ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝ ×（２４－１２ ３）× ＝６－３ ３
， ， ＝ ７， ２ ２ ２
若选
ＣＤ ＡＤ ＡＤＣ ２π． ③：
＝２ ，∠ ＝ Ｂ Ｃ
３ 由正弦定理得 Ｂ ＋ Ａ Ｂ 因为 Ｂ 所以
求 ＣＡＤ的正弦值 ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ， ０＜ ＜π，
（１） ∠ ； ２
若 ＢＡＣ ＣＡＤ 且 ＡＢＣ的面积是 ＡＣＤ的面积的 Ｂ Ｃ Ａ
（２） ∠ ＝２∠ ， △ △ ４ Ｂ 所以 ＋ Ａ 又因为Ｂ Ｃ Ａ 所以
倍 求ＡＢ的长． ｓｉｎ ≠０， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ， ＋ ＝π－ ， ｃｏｓ
， ２ ２
Ａ Ａ Ａ Ａ
因为 Ａ 所以 π 所以
＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ， ０＜ ＜π， ０＜ ＜ ， ｃｏｓ ≠
２ ２ ２ ２ ２
Ａ Ａ
所以 １ 即 π 所以Ａ π．则ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ
０， ｓｉｎ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＋ － ＝
２ ２ ２ ６ ３
解析 在 ＡＣＤ中 设ＡＤ ｘ ｘ 则ＣＤ ｘ． （ ｂ ＋ ｃ ） ２ －３ ｂｃ ， 又ａ ＝２ ６， ｂ ＋ ｃ ＝６， 所以 ｂｃ ＝４， 所以 Ｓ △ ＡＢＣ ＝
（１） △ ， ＝ （ ＞０）， ＝２
１ ｂｃ Ａ １ π ．
由余弦定理得
７＝
ｘ２
＋４
ｘ２
－２
ｘ
·２
ｘ
·ｃｏｓ
２
π， ２
ｓｉｎ ＝
２
×４×ｓｉｎ
３
＝ ３
３ １６．（２０１９广西南宁二中、柳州高中第二次联考，１７）在 ＡＢＣ
整理得
７
ｘ２
＝７，
所以ｘ
＝１（
舍负
）
．所以ＡＤ
＝１，
ＣＤ
＝２
．
中 内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 且 ａ ｃ Ｂ ｂ
△
Ｃ．
， ， ， ， ， ， （２ － ）ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ
由正弦定理得
ＤＣ ＡＣ
所以 ＤＡＣ ２１． 分 （１）
求角Ｂ的大小
；
ｓｉｎ∠
ＤＡＣ＝
２
， ｓｉｎ∠ ＝
７
（６ ） 若ｂ 当 ＡＢＣ的面积取得最大值时 求 ＡＢＣ内切圆
ｓｉｎ π （２） ＝３， △ ， △
３ 的半径．
由已知得Ｓ Ｓ
（２） △ ＡＢＣ＝４ △ ＡＣＤ， 解析 （１） 由已知 （２ ａ － ｃ ）ｃｏｓ Ｂ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｃ ，
所以 １ ＡＢ ＡＣ ＢＡＣ １ ＡＤ ＡＣ ＣＡＤ 结合正弦定理可得 Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ
· ·ｓｉｎ∠ ＝４× · ·ｓｉｎ∠ ， （２ｓｉｎ －ｓｉｎ ）ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
２ ２ 即 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 又 Ａ Ｂ Ｃ 所以 Ｂ
化简得ＡＢ ＢＡＣ ＡＤ ＣＡＤ． ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）， ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＞０， ｃｏｓ
·ｓｉｎ∠ ＝４ ·ｓｉｎ∠
所以ＡＢ ＣＡＤ ＣＡＤ ＡＤ ＣＡＤ １ 又 Ｂ 所以Ｂ π．
·２ｓｉｎ∠ ·ｃｏｓ∠ ＝４ ·ｓｉｎ∠ ， ＝ ， ０＜ ＜π， ＝
于是ＡＢ ＣＡＤ ＡＤ． ２ ３
·ｃｏｓ∠ ＝２
由 知Ｂ π 又因为ｂ
（２） （１） ＝ ， ＝３，
因为 ＣＡＤ ２１ 且 ＣＡＤ为锐角 ３
ｓｉｎ∠ ＝
７
， ∠ ， 在
△
ＡＢＣ中
，
ｂ２
＝
ａ２
＋
ｃ２
－２
ａｃ
ｃｏｓ
Ｂ
，
所以 ＣＡＤ ２ ＣＡＤ ２ ７．因此ＡＢ ． 分 所以 ３ ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ａｃ ， 即 ９＋３ ａｃ ＝（ ａ ＋ ｃ ） ２．
ｃｏｓ∠ ＝ １－ｓｉｎ ∠ ＝ ７ ＝ ７ （１３ ） 又 （ ａ ＋ ｃ ） ２ ≥４ ａｃ ， 所以 ９＋３ ａｃ ≥４ ａｃ ， 即ａｃ ≤９ ．
１５．（２０２０山东烟台一中期末，１７）在条件
： ( ) 从而Ｓ １ ａｃ Ｂ ３ａｃ ９ ３
①（ ａ ＋ ｂ ）（ｓｉｎ Ａ －ｓｉｎ Ｂ ）＝（ ｃ － ｂ ）ｓｉｎ Ｃ ，② ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ｃｏｓ Ａ ＋ π ， △ ＡＢＣ＝ ２ ｓｉｎ ＝ ４ ≤ ４ ，
６
Ｂ Ｃ 当且仅当ａ ｃ 时 Ｓ 取得最大值９ ３．
ｂ ＋ ａ Ｂ中任选一个 补充到下面问题中 并给出 ＝ ＝３ ， △ ＡＢＣ
③ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ， ， ４
２
问题解答． 设 ＡＢＣ内切圆的半径为ｒ 由Ｓ １ ａ ｂ ｃ ｒ 得ｒ ３．
△ ， △ ＡＢＣ＝ （ ＋ ＋ ） ， ＝
在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ２ ２
△ ， ， ， ， ， ， ＋ ＝６， ＝２ ６，
