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5.4 解三角形
基础篇
考点 一 正弦定理和余弦定理 注 当 ａ ｂ Ａ 时无解.
: < ｓｉｎ
当 Ａ 为钝角或直角时
1.
正弦定理 ② ꎬ
如图 此时只有一个解.
ａ ｂ ｃ ꎬ
内容 Ｒ Ｒ 为 ＡＢＣ 外
１) : Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ( △ 注 当 ａ ｂ 时无解.
: ≤
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
2.
三角形中常用的结论
接圆半径 .
)
在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别是 ａ ｂ
变形形式
△ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
２)
ｃ 常见的结论有
ａ Ｒ Ａ ｂ Ｒ Ｂ ｃ Ｒ Ｃ
ꎬ :
① ＝２ ｓｉｎ ꎬ ＝２ ｓｉｎ ꎬ ＝２ ｓｉｎ ꎻ
Ａ Ｂ Ｃ
ａ ｂ ｃ １) ＋ ＋ ＝πꎻ
Ａ Ｂ Ｃ
②ｓｉｎ ＝ Ｒꎬｓｉｎ ＝ Ｒꎬｓｉｎ ＝ Ｒꎻ 在 ＡＢＣ 中 大角对大边 大边对大角 如
２ ２ ２ ２) △ ꎬ ꎬ ꎬ :
ａ ｂ ｃ Ａ Ｂ Ｃ ａ ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
③ ∶ ∶ ＝ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ꎻ > ⇔ > ⇔ｓｉｎ >ｓｉｎ ꎻ
ａ ｂ ｃ ａ 在斜 ＡＢＣ 中 Ａ Ｂ Ｃ Ａ
＋ ＋ Ｒ. ３) △ ꎬｔａｎ ＋ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ
④ Ａ Ｂ Ｃ＝ Ａ＝２ Ｂ Ｃ
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ｔａｎ ｔａｎ ꎻ
2.
余弦定理 有关三角形内角的常用三角恒等式
４) :
内容 ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ
１) : ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ꎻ ｓｉｎ( ＋ )＝ｓｉｎ ꎻｃｏｓ( ＋ )＝ －ｃｏｓ ꎻｔａｎ( ＋ )
ｂ２ ｃ２ ａ２ ｃａ Ｂ ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ. æ ö Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ꎻ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＣçＡ Ｂ π÷ ＋ ＋
变形形式 ＝－ｔａｎ è ＋ ≠ øꎻｓｉｎ ＝ｃｏｓ ꎻｃｏｓ ＝
２) ２ ２ ２ ２
Ａ
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
Ｂ
ｃ２
＋
ａ２
－
ｂ２ Ｃ
.
ｃｏｓ ＝ ｂｃ ꎻｃｏｓ ＝ ｃａ ꎻ ｓｉｎ
２ ２ ２
三角形中的射影定理 ａ ｂ Ｃ ｃ Ｂ ｂ
Ｃ
ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
. ５) : ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ꎬ ＝
ｃｏｓ ＝ ａｂ ａ Ｃ ｃ Ａ ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ.
２ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ꎬ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
考点 二 解三角形及其应用 ° ６－ ２ ° ６＋ ２
６)ｓｉｎ １５ ＝ ꎬｃｏｓ １５ ＝ ꎬ
４ ４
1.
已知两边及一边对角解三角形，如在△ＡＢＣ
° .
ｔａｎ １５ ＝２－ ３
中，已知 ａ，ｂ 和 Ａ. 3. 三角形的面积公式
若利用余弦定理求边长 实质是解一元二次 设 ＡＢＣ 的三边为 ａ ｂ ｃ 所对的三个内角分
１) ꎬ △ ꎬ ꎬ ꎬ
方程 解出后可根据已知条件对方程的根进 别为 Ａ Ｂ Ｃ 其面积为 Ｓ ＡＢＣ 的外接圆半
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ△
行取舍. 径为 Ｒ 内切圆半径为 ｒ.
ꎬ
用正弦定理解三角形时 会出现如下情形
5 ２) ꎬ : Ｓ １ａｈ ｈ 为 ＢＣ 边上的高
年 当 Ａ 为锐角时 如图 解的个数分别为一解 １) ＝ ( )ꎻ
高 ① ꎬ ꎬ ꎬ ２
考 两解 一解.
3 ꎬ Ｓ １ａｂ Ｃ １ａｃ Ｂ １ｂｃ Ａ
２) ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ꎻ
年
２ ２ ２
模
拟 Ｓ Ｒ２ Ａ Ｂ Ｃ
３) ＝２ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ
A ａｂｃ
版 Ｓ
４) ＝ Ｒꎻ
高 ４
考 æ ö
数 Ｓ ｐ ｐ ａ ｐ ｂ ｐ ｃ çｐ １ ａ ｂ ｃ ÷.
学 ａ ｂ Ａ ｂ Ａ ａ ｂ ａ ｂ ５) ＝ ( － )( － )( － ) è ＝ ( ＋ ＋ )ø
＝ ｓｉｎ ｓｉｎ < < ≥ ２
２６８
Ｓ １ｒ ａ ｂ ｃ .
６) ＝ ( ＋ ＋ )
２
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２６９
综合篇
考法 一 三角形形状的判断 ＡＢＣ 是顶角为 °的等腰三角形.故选 .
△ １２０ Ｄ
答案
要判断三角形的形状 应围绕三角形的边 Ｄ
ꎬ
角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系
考法 二 与三角形的最值、范围有关的问题
判断时 主要有以下两种途径
ꎬ : 1. 三角形中的最值、范围问题的解题策略
1.
化角为边：利用正 余弦定理把已知条件转
、 定基本量 根据题意画出图形 找出三角形
化为只含边的关系 通过因式分解 配方等得 １) : ꎬ
ꎬ 、 中的边 角 利用正弦 余弦定理求出相关的
出边的相应关系 从而判断三角形的形状. 、 ꎬ 、
ꎬ 边 角 并选择边 角作为基本量 确定基本
2. 化边为角：利用正 余弦定理把已知条件转化 、 ꎬ 、 ꎬ
、 量的范围.
为只含内角的三角函数间的关系 通过三角恒
ꎬ 构建函数 根据正弦 余弦定理或三角恒等
等变换得出内角的关系 从而判断出三角形的 ２) : 、
ꎬ 变换 将所求范围的变量表示成函数形式.
形状 此时要注意应用 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ . ꎬ
ꎬ “△ ꎬ ＋ ＋ ＝π” 求最值 利用基本不等式或函数的单调性等
提醒 在两种途径的等式变形中ꎬ一般两边的公因式 ３) :
求函数的最值.
不要约掉ꎬ要移项提取公因式ꎬ以免漏解.
2.
求解三角形中的最值、范围问题的注意点
例1 ( 江苏徐州期中ꎬ )已知 ＡＢＣ 的
２０２２ ８ △
涉及求范围的问题 一定要搞清变量的范
三个内角 ＡꎬＢꎬＣ 所对的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ满足 １) ꎬ
围 若已知边的范围 求角的范围可利用余
２Ａ ２Ｂ ２Ｃ Ａ Ｃꎬ且 Ａ ꎻ ꎬ
ｃｏｓ －ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝ １＋ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ 弦定理进行转化.
Ｃ ꎬ则 ＡＢＣ 的形状为 ( )
ｓｉｎ ＝１ △ 注意题目中的隐含条件 如 Ａ Ｂ Ｃ Ａ
等边三角形 ２) ꎬ ＋ ＋ ＝πꎬ０< <
Ａ. ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 三角形中大边对大角等.
等腰直角三角形 πꎬ｜ － ｜< < ＋ ꎬ
Ｂ. 例2 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分) ＡＢＣ 的内角
顶角为 °的非等腰三角形 ２０１９ Ⅲ １８ １２ △
Ｃ. １２０
Ａ Ｃ
顶角为 °的等腰三角形 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别为 ａꎬｂꎬｃ.已知 ａ ＋
Ｄ. １２０ ｓｉｎ ＝
２
解 析 因 为 ２Ａ ２Ｂ ２Ｃ
ｃｏｓ － ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ １ ＋ ｂ Ａ.
ｓｉｎ
Ａ Ｃꎬ 所 以 ２Ａ ２Ｃ ２Ｂ
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － ｓｉｎ ＝ ( )求 Ｂꎻ
１
Ａ Ｃꎬ由正弦定理可得 ａ２ ｃ２ ｂ２ ａｃꎬ
－ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ － ＝ － ( )若 ＡＢＣ 为锐角三角形ꎬ且 ｃ ꎬ求 ＡＢＣ
２ △ ＝１ △
ａ２ ｃ２ ｂ２
所以 ＋ － １ꎬ所以 Ｂ １ꎬ因为 ° 面积的取值范围.
ａｃ ＝－ ｃｏｓ ＝－ ０ <
２ ２ ２ Ａ Ｃ
Ｂ °ꎬ所以 Ｂ °ꎬ所以 Ａ Ｃ °ꎬ 解析 ( )由题设及正弦定理得 Ａ ＋
<１８０ ＝１２０ ＋ ＝６０ １ ｓｉｎ ｓｉｎ
２
由 Ａ Ｃ 得 Ａ ( ° Ａ) ꎬ得
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝１ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ６０ － ＝ １ Ａ Ｃ
Ｂ Ａ.因为 Ａ ꎬ所以 ＋ Ｂ.
＝ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ≠０ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
Ａ ° Ａ ° Ａ ꎬ即１ Ａ
２
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ６０ ｃｏｓ －ｃｏｓ ６０ ｓｉｎ ＝１ ｓｉｎ ＋
２ Ａ Ｃ Ｂ
由Ａ Ｂ Ｃ °ꎬ可得 ＋ ꎬ
＋ ＋ ＝１８０ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ
３ Ａ ꎬ所以 (Ａ °) ꎬ因为 Ａ 为三 ２ ２
ｃｏｓ ＝１ ｓｉｎ ＋６０ ＝ １
Ｂ Ｂ Ｂ
２ 故 .
角形的内角ꎬ所以 Ａ °ꎬ则 Ｃ °ꎬ所以 ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ
＝ ３０ ＝ ３０ ２ ２ ２
2. Ｂ Ｂ 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
因为 ꎬ故 １ꎬ因此 Ｂ °.
ｃｏｓ ≠０ ｓｉｎ ＝ ＝６０
２ ２ ２
( )由题设及( )知 ＡＢＣ 的面积 Ｓ ３ａ.
２ １ △ △ ＡＢＣ＝
４
ｃ Ａ ( ° Ｃ)
由正弦定理得 ａ ｓｉｎ ｓｉｎ １２０ － ３
＝ Ｃ ＝ Ｃ ＝ Ｃ
ｓｉｎ ｓｉｎ ２ｔａｎ
１.由 ＡＢＣ 为锐角三角形ꎬ知 ° Ａ °ꎬ °
＋ △ ０ < <９０ ０ <
２
Ｃ °.由( )知 Ａ Ｃ °ꎬ所以 ° Ｃ °ꎬ
<９０ １ ＋ ＝１２０ ３０ < <９０ 例3 ( 全国甲ꎬ ꎬ
２０２１ ８ ５
故１ ａ ꎬ从而 ３ Ｓ ３. 分) 年 月 日ꎬ中
< <２ < △ ＡＢＣ< ２０２０ １２ ８
２ ８ ２ 国和尼泊尔联合公布珠穆
æ ö
因此ꎬ ＡＢＣ 面积的取值范围是çç ３ꎬ ３ ÷÷. 朗 玛 峰 最 新 高 程 为
△ è ø
８ ２
. (单位: )ꎬ三角高
考法 三 解三角形的实际应用 ８ ８４８ ８６ ｍ
程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角
1.
有关概念
高程测量法的一个示意图ꎬ现有ＡꎬＢꎬＣ 三点ꎬ且
仰角和俯角
ＡꎬＢꎬＣ 在同一水平面上的投影 Ａ′ꎬＢ′ꎬＣ′满足
１)
在视线和水平线所成的角中 视线在水平线
Ａ′Ｃ′Ｂ′ °ꎬ Ａ′Ｂ′Ｃ′ °.由 Ｃ 点测得 Ｂ 点
ꎬ
∠ ＝４５ ∠ ＝６０
上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角
的仰角为 °ꎬＢＢ′与 ＣＣ′的差为 ꎻ由 Ｂ 点测
ꎬ
１５ １００
如图 .
得 Ａ 点的仰角为 °ꎬ则 ＡꎬＣ 两点到水平面
( ａ)
４５
Ａ′Ｂ′Ｃ′的高度差ＡＡ′ ＣＣ′约为( . )( )
－ ３≈１７３２
Ａ.３４６ Ｂ.３７３ Ｃ.４４６ Ｄ.４７３
解析 如图ꎬ过点Ｃ 分别作Ａ′Ｃ′ꎬＢ′Ｃ′的平行
线ꎬ分别交Ａ′Ａ 与Ｂ′Ｂ 于点Ｄ 和Ｅꎬ连接ＤＥꎬ则
方位角
２)
ＤＥ Ａ′Ｂ′ꎬ过点 Ｂ 作 ＤＥ 的平行线 ＢＦꎬ交 ＡＡ′
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平
∥
于点 Ｆ.
角叫方位角 如 Ｂ 点的方位角为 α 如图 .
ꎬ ( ｂ)
故 Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＥＣꎬ
方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 .
△ ≌△
３) : ( ｃ)
ＤＣＥ Ａ′Ｃ′Ｂ′ °ꎬ
北偏东 α° 指北方向顺时针旋转 α°到达目 ∴ ∠ ＝∠ ＝４５
① :
ＣＤＥ Ｃ′Ａ′Ｂ′ °
标方向.
∠ ＝ ∠ ＝ １８０ －
Ａ′Ｃ′Ｂ′ Ａ′Ｂ′Ｃ′ °.
东北方向 指北偏东 °方向.
∠ －∠ ＝７５
② : ４５
ＢＥ
在 ＢＣＥ 中ꎬ可得 ° ꎬ即
5 Ｒｔ△ ｔａｎ １５ ＝ＣＥ ２－ ３ ＝
年
高
考 １００ꎬ ＣＥ １００ ( )ꎬ在 ＣＤＥ 中ꎬ
3 ＣＥ ∴ ＝ ＝１００ ２＋ ３ △
年 ２－ ３
模
ＤＥ ＣＥ
拟 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角 由正弦定理可得 ꎬ ＤＥ
４) : ° ＝ ° ∴ ＝
A
如图 角 θ 为坡角 . ｓｉｎ ４５ ｓｉｎ ７５
版
( ｄꎬ ) °
高 坡度 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做 ｓｉｎ ４５ ＣＥ ( )ꎬ
考 : ° ＝１００ ３＋１
ｓｉｎ ７５
数 坡度 或坡比 如图 ｉ 为坡比 .
学 ( )( ｄꎬ ) 又知在 ＡＢＦ 中ꎬ ＡＢＦ °ꎬ所以 ＡＦ
Ｒｔ△ ∠ ＝ ４５ ＝
２７０
ＢＦꎬ所以 ＡＡ′ ＣＣ′ ＡＤ ＡＦ ＤＦ ＡＦ ＢＥ ＢＦ ＡＢ ＢＣꎬ ＡＣＢ ＢＡＣꎬ故 ＢＡＣ 为锐角ꎬ
－ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ∵ > ∴ ∠ >∠ ∠
ＢＥ ＤＥ ＢＥ ( ) .故选 . æ ö
２
＝ ＋ ＝１００ ２＋ ３ ≈３７３ Ｂ ＢＡＣ ç ７ ÷ ２４ꎬ
答案 ∴ ｃｏｓ∠ ＝ １－è ø ＝
Ｂ ２５ ２５
例4 ( 广东惠州一模ꎬ )如图ꎬ曲柄连 æ ö
２
２０２２ １６ 又 ＡＣＢ ç ４÷ ３ꎬ
杆机构中ꎬ曲柄 ＣＢ 绕 Ｃ 点旋转时ꎬ通过连杆 ｃｏｓ∠ ＝ １－è ø ＝
５ ５
ＡＢ 的传递ꎬ活塞做直线 ＡＢＣ ( ＡＣＢ ＢＡＣ )
∴ ｓｉｎ ∠ ＝ ｓｉｎ ∠ ＋ ∠ ＝
往复运动.当曲柄在 ＣＢ
ＡＣＢ ＢＡＣ ＡＣＢ ＢＡＣ ４
０ ｓｉｎ∠ ｃｏｓ∠ ＋ｃｏｓ∠ ｓｉｎ∠ ＝ ×
位置时ꎬ曲柄和连杆成 ５
ＡＢ ＡＢＣ
一条直线ꎬ连杆的端点 Ａ 在 Ａ 处.设连杆 ＡＢ 长 ２４ ３ ７ １１７ꎬ ＡＣ ｓｉｎ∠ １１７
０ ＋ × ＝ ∴ ＝ ＡＣＢ ＝２００×
ꎬ曲柄 ＣＢ 长 ꎬ则曲柄自 ＣＢ 按顺 ２５ ５ ２５ １２５ ｓｉｎ∠ １２５
２００ ｍｍ ７０ ｍｍ ０
时针方向旋转 . °时ꎬ活塞移动的距离(即连 ５ ꎬ故 Ａ Ａ (Ａ Ｂ Ｂ Ｃ) ＡＣ (
５３ ２ × ＝ ２３４ ０ ＝ ０ ０ ＋ ０ － ＝ ２００＋
４
杆的端点 Ａ 移动的距离 Ａ Ａ)约为 .
０ ｍｍ ７０ ) －２３４＝３６ ( ｍｍ ).
(结果保留整数)(参考数据: . ° . )
ｓｉｎ ５３ ２ ＝０ ８ 故曲柄自 ＣＢ 按顺时针方向旋转 . °时活塞
０ ５３ ２
解析 在 ＡＢＣ 中ꎬＡＢ ꎬＢＣ ꎬ ＡＣＢ
△ ＝２００ ＝７０ ∠ 移动的距离约为 .
３６ ｍｍ
. °ꎬ 由 正 弦 定 理ꎬ 得 ＢＡＣ
答案
＝ ５３ ２ ｓｉｎ ∠ ＝
３６
ＢＣ ＡＣＢ
ｓｉｎ∠ ７ꎬ
ＡＢ ＝
２５
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２７１
