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专题13 解直角三角形之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题
转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三
角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角
三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
【重要模型】
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图所示，小明上学途中要经过 ， 两地，由于 ，
两地之间有一片草坪，所以需要走路线 ， ．小明想知道 ， 两地间的距离，测得 ，
， ，请帮小明求出两地间距离 的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即
可）
【答案】
【分析】过 作 于 ，求出 ，，在 中可得 ，可得两地间距离 的
长为 ．
【详解】解：过 作 于 ，如图：
在 中， ， ，
， ，
在 中， ， ， ，
； 两地间距离 的长为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的
俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．(1)求教学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速
飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．
【答案】(1)教学楼 的高度为 米(2)无人机刚好离开视线 的时间为12秒
【分析】（1）过点B作 于点G，根据题意可得： ， 米，
，通过证明四边形 为矩形，得出 米，进而得出 米，
最后根据线段之间的和差关系可得 ，即可求解；
（2）连接 并延长，交 于点H，先求出 米，进而得出 ，则
，则 米，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作 于点G，
根据题意可得： ， 米， ，
∵ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ 米，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ 米，
∵ 长为 米，∴ （米），
答：教学楼 的高度为 米．
（2）解：连接 并延长，交 于点H，
∵ 米， 米，∴ 米，
∵ 米， ，∴ ，
∴ ， 米，∴ （米），
∵无人机以 米/秒的速度飞行，∴离开视线 的时间为： （秒），
答：无人机刚好离开视线 的时间为12秒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟
练掌握解直角三角形的方法和步骤．
例3．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工
通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道 在水平直线上，且
无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 米的高度上水平飞行，到达点 处测得点 的俯
角为 继续飞行 米到达点 处，测得点 的俯角为 ．
（1）填空： __________度， _________度；
（2）求隧道 的长度(结果精确到 米)．(参考数据： )
【答案】（1）30，45；（2）2729米
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）过点 作 于点 过点 作
于点 .在 中求出AM的值，在 中求出NB的值，进而可求隧道 的长度.
【详解】解:（1）由题意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案为：30，45；
（2）过点 作 于点 过点 作 于点 .则 米， 米，
在 中， ， .
在 中， ， ，
(米).答:隧道 的长度约为 米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角
形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 ，楼顶C
点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）
【答案】大楼的高度 为 ．
【分析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，则四边形 是矩形，可得 ， ，求解 ， ，可得
， ，可得 ．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
则四边形 是矩形，∴ ， ，
由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴大楼的高度 为 ．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的
关键．
模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；
如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；
如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；
如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023年湖南省长沙市中考数学真题） 年 月 日 点 分，“神舟十六号”载人飞船在中国
酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发
射的过程中，飞船从地面 处发射，当飞船到达 点时，从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ，
仰角为 ； 后飞船到达 处，此时测得仰角为 ．
(1)求点 离地面的高度 ；
(2)求飞船从 处到 处的平均速度．(结果精确到 ，参考数据： )
【答案】(1) (2)飞船从 处到 处的平均速度约为
【分析】（1）根据含 度角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）在 中，根据直角三角形的性质得到 ，在 中，根据等腰直
角三角形的性质得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
，
（2）在 中， ， ， ， ，
在 中， ， ，
， ， ，
飞船从 处到 处的平均速度 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 ．如图所示，一架
水平飞行的无人机在 处测得河流左岸 处的俯角为 ，无人机沿水平线 方向继续飞行12米至 处，
测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一
条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）．
【答案】河流的宽度 约为64米
【分析】过点 作 于点 ，分别解 、 即可．
【详解】解：过点 作 于点 ．则四边形 是矩形．∴ ， ∵ ∴
在 中， ∴ ，∴ ∴
在 中， ，
∴ ，∴ ，∴
∴ 米
答：河流的宽度 约为64米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，为了测量百货大楼 顶部广告牌 的高度，在距离百
货大楼30m的A处用仪器测得 ；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得 ，仪
器高度忽略不计，求广告牌 的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】4.9m
【分析】先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解．
【详解】根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20，在Rt△ADC中， ，
在Rt△BEC中， ，
∴ ，
即
故广告牌DE的高度为4.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．
例4．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如
图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚 为起点，沿途修建 、 两段长度相等的
观光索道，最终到达山顶 处，中途设计了一段与 平行的观光平台 为 ．索道 与 的夹角
为 ， 与水平线夹角为 ， 两处的水平距离 为 ， ，垂足为点 ．（图中所有
点都在同一平面内，点 在同一水平线上）
(1)求索道 的长（结果精确到 ）；(2)求水平距离 的长（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据 、 两段长度相等及 与水平线夹角为 求出C到 的距离即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ 两处的水平距离 为 ，索道 与 的夹角为 ，
∴ ；
（2）解：∵ 、 两段长度相等， 与水平线夹角为 ，
∴ ， ，
∴ ；【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观
光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房
的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端 B点处观测电视
塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）
（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；
（2）求电视塔的高度．
【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝ ＝tan30°＝ ，
∴AD＝ AB＝24 （m），
答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24 m；
（2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝ ＝tan60°＝ ，∴CD＝ AD＝ ×24 ＝72（m）．
答：电视塔的高度为72m．
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF
放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在 G处（A、F、G三点在一条直线上），测得
楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一
平面内，结果精确到0.1米， ≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21× ＝7 ≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6× ＝2 （m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝ ＝ ＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16 ≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．
例3．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公
楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得
教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部
（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，
∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，
∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），
在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），
答：办公楼的高度EB为12m．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 ．(1)求
的长；(2)设塔 的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求
塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在 和 中，利用锐角三角函数定义求得 ， ，进而可求解；
②过点 作 ，垂足为 ．可证明四边形 是矩形，得到 ，
．在 中，利用锐角三角函数定义得到 ，然后求解即可．【详解】（1）解：在 中， ，∴ ．即 的长为 ．
（2）解：①在 中， ，∴ ．
在 中，由 ， ， ，
则 .∴ ．即 的长为 ．
②如图，过点 作 ，垂足为 ．
根据题意， ，∴四边形 是矩形．
∴ ， ．可得 ．
在 中， ， ，∴ ．即 ．
∴ ．答：塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角
函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．课后专项训练
1．（2022·湖南衡阳·中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万
里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测
量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ， ．已
知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为_________ ．（结果精确到 ．参考数据：
）
【答案】10.2
【分析】先根据三角形外角求得 ，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，
再解直角三角形求得BG即可求解．
【详解】解：∵ 且 ，∴ ，
∴ ，即 ．∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形
的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．
2．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为 的等腰三角形外框和
3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据： ， ，
）【答案】21
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵ 是等腰三角形，且 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴共需钢材约为 ；故答案为21．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 地和 地之间的一
处垃圾填埋场进行改造，把原来 地去往 地需要绕行到 地的路线，改造成可以直线通行的公路 ．
如图，经勘测， 千米， ， ，则改造后公路 的长是 千米（精
确到 千米；参考数据： ， ， ， ）．
【答案】
【分析】如图所示，过点 作 于点 ，分别解 ，求得 ，进而即可求
解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ （千米）
改造后公路 的长是 千米，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A
60 12n mile C A 30� A BC
在北偏东 方向上；航行 到达 点，这时测得小岛 在北偏东 方向上．小岛 到航线
n mile 3 1.73
的距离是__________ （ ，结果用四舍五入法精确到0.1）．
【答案】10.4
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用
AD
sin60°= AC 计算AD即可
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12,AD 3
∵sin60°= AC ，∴AD=AC sin60°=12 2 =6 3 1.73610.38≈10.4故答案为：10.4.
【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．
5．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，
某校数学兴趣小组在 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰角为 ，仪器与气球的水平距离
为20米，且距地面高度 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 是 米（结果精确到0.1米，
）．
【答案】9.5
【分析】通过解直角三角形 ，求出 ，再根据 求出结论即可．
【详解】解：根据题意得，四边形 是矩形，∴
在 中， ∴ ,
∴ 故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形是解此题的关键．
6．（2023年青海省中考数学真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从
图中 ， 两处分别向 处铺设，现测得 ， ， ，求 ， 两点间的
距离．（结果取整数，参考数据： ， ， ）
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，先利用三角形内角和定理求出 ，然后在 中，
利用含 度角的直角三角形的性质求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答．
【详解】解∶过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴在 中， ，
∴ ， 两点间的距离约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
7．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所
示．在截面图中，墙面 垂直于地面 ，遮阳棚与墙面连接处点 距地面高 ，即 ，遮阳棚
与窗户所在墙面 垂直，即 ．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为 (若
经过点 的光线恰好照射在地面点 处，则 )，为使正午时窗前地面上能有 宽的阴影区域，
即 ，求遮阳棚的宽度 ．(结果精确到 ．参考数据： )
【答案】遮阳棚的宽度 约为
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据垂直定义可得 ，从而可得四边形
是矩形，然后利用矩形的性质可得 ， ， ，从而可得
，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差关系
进行计算，即可解答．【详解】解：过点 作 ，垂足为 ， ，
， 四边形 是矩形，
， ， ， ，
在 中， ，
， 遮阳棚的宽度 约为
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
8．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，
海岛C位于码头A北偏东 方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西 方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油
资源，勘测发现位于码头A北偏东 方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管
道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】 千米
【分析】过点 作 于点 ，由垂线段最短可得 的长即为所求，先求出 ，再根据
等腰直角三角形的判定与性质可得 ，然后在 中，解直角三角形可得 的长，从而
可得 的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
由垂线段最短可知， 的长即为所求，
由题意得： ， 千米，
， ， ，
， 是等腰直角三角形， ，
在 中， 千米， 千米，
千米，
在 中， 千米，
答：输油管道的最短长度是 千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角
三角形的方法是解题关键．
9．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度 进行测量，他
在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是 ，测得大厦顶部的仰角是 ，已知他家楼顶B处距地面的高度
为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
(1)求两楼之间的距离 （结果保留根号）；(2)求大厦的高度 （结果取整数）．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1) 米(2)92米
【分析】（1）作 于点E，利用三角函数解 即可；
（2）先证四边形 是矩形，再利用三角函数解 求出 ，进而可求 ．
【详解】（1）解：如图，作 于点E，则 ，
由题意知 ， ， ，
故 ，即两楼之间的距离 为 米；
（2）解：由题意知 ，
四边形 是矩形， ， ，
中， ，
，
，
即大厦的高度 为92米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山
途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索
道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道 （如图所示），使得
，从点B出发按 方向前进20米到达点E，即 米，测得 ．已知 ， ，
求A、B两点间的距离．【答案】A、B两点间的距离为500米．
【分析】如图，过 作 于 ，由 ，设 ，则 ，可得
，而 ，可得 ，结合 ，即 ，再建立方
程求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∵ ，即 ，设 ，则 ，
∴ ，而 ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，解得： ，
∴ （米），答：A、B两点间的距离为500米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
11．（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿
灯”一辆车从被山峰 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 ，
，线段 的延长线交直线 于点D．(1)求 的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西 方向上，其中 米．问该轿车至
少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
【答案】(1) (2)轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车
【分析】（1）由 得到 ，由 得到 ，由 得到
，即可得到 的大小；（2）由 得到 ，在 中求得
，由勾股定理得到 ，由 得到 ，即可得到答
案．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，∵ ，∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，即 的大小为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
在 中， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂
题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．12．（2023年四川省成都市数学中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心
在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为 米，与水平
面的夹角为 ，且靠墙端离地高 为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．
（结果精确到 米；参考数据： ）
【答案】 米
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，在 中，求得
，进而求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
依题意， ， （米）
在 中， （米），
（米），则 （米）∵ （米）∴ （米）
∵ ，∴ （米）∴ （米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉
练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 点和 点，行进路线为 ．
点在 点的南偏东 方向 处， 点在A点的北偏东 方向，行进路线 和 所在直线的夹
角 为 ．(1)求行进路线 和 所在直线的夹角 的度数；(2)求检查点 和 之间的距离
（结果保留根号）．【答案】(1)行进路线 和 所在直线的夹角为 (2)检查点 和 之间的距离为
【分析】（1）根据题意得， ， ，再由各角之间的关系求解即
可；
（2）过点A作 ，垂足为 ，由等角对等边得出 ，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【详解】（1）解：如图，根据题意得， ， ，
， ．
在 中， ， ．
答：行进路线 和 所在直线的夹角为 ．
（2）过点A作 ，垂足为 ． ，
， ． ,
在 中， ， ． ,
在 中， ， ， ．答：检查点 和 之间的距离为 ．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
14．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组
成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确
定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器
的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成
一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯
角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵
同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器
用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径
刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角
．
________．
测出眼睛到地面的距离 ．
测出所站地方到古树底部的距离 ． ．
．
【步骤四】计算古树高度 ．（结果精确到 ）
（参考数据： ）
请结合图①、图④和相关数据写出 的度数并完成【步骤四】．
【答案】 ，
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得 的度数，证明四边形 是矩形得到 ，再解直角三角形求得 的度数，即可求解．
【详解】解：测角仪显示的度数为 ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴四边形 是矩形， ，
在 中， ，∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题
的关键．
15．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游
玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学
小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 是平
行四边形，座板 与地面 平行， 是等腰三角形且 ， ，靠背
，支架 ，扶手的一部分 ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 点距地面（
）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：
， ， ）
【答案】
【分析】方法一：过点 作 交 的延长线于点 ，由平行四边形的性质可得
，进而求得 ，过点 作 于点 ，根据平行线的性质可得，进而求得 ，过 作 于点 ，根据等腰三角形三线合一可得
，进而求得 ，利用 求解即可；
方法二：过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
根据等腰三角形三线合一可得 ，进而求得 ， ，过 作 于 ，根据平行线的性质
可得 ，进而求得 ，根据 求解即可．
【详解】解：方法一：
过点 作 交 的延长线于点 ，
四边形 是平行四边形， ， ，
，
过点 作 于点 ，由题意知 ， ， ，
又 ， ，
过 作 于点 ， ， ， ,
， 靠背顶端 点距地面 高度为
；
方法二：如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于
点 ， ， ， ，又 ， ， ，
，
过 作 于 ，由题意知 ， ， ，
又 ， ，
靠背顶端 点距地面 高度为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造
直角三角形是解题的关键．
16．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航
天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂
，两臂夹角 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 ，参考数据
， ， )
【答案】
【分析】连接 ，作作 于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， ，
，在 中利用 求出 ，继而求出 即可．
【详解】解：连接 ，作 于D，
∵ ， ，∴ 是边 边上的中线，也是 的角平分线，
∴ ， ，
在 中， ， ，∴ ，∴
∴
答：A，B两点间的距离为 ．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（2023年福建省中考真题数学试题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽
度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)① ；② (2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为 ，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即
可；
（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；用皮
尺测得 ；求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得
， ， ，根据 ，即可求得．
【详解】（1）∵ ， ， ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．故小水池的最大宽度为 ．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得 ，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得
；
（ⅱ）用皮尺测得 ．
求解过程：由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．在 中， ，
即 ，所以 ．同理， ．
在 中， ，即 ，所以 ．所以 ．故小水池的最大宽度为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立
数学模型是解题的关键．
18．（2023•铁岭中考模拟）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如
图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安
全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
【解答】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝ ＝ ，设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；
（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝ ，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
19．（2023•郴州中考模拟）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i ＝1：1．
1
为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 i ＝1： ，
2
求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73．结果精确到0.1m）【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i ＝1：1，∴ ＝1，∴CD＝BD＝20米，
1
在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i ＝1： ，
2
∴ ＝ ，∴AD＝ CD＝20 （米），
∴AB＝AD﹣BD＝20 ﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
20．（2023·广东深圳·校考模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把
囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗
口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表
示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明
为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午
12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=
≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________ ．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内，求此时CD的长．（结果保留根号）
【答案】(1)60°， (2)
【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知 ，没有遮阳棚时，正
午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：
（2）根据 ，求得， ，根据 ，即可求解．
【详解】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知∶
， ， 正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为
由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶
没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，故答案为： ；
（2）由题意可知∶ ，
， ，
， ， 此时 的长为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
