北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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5.4 解三角形
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
答案 D 解题指导:思路一(利用余弦定理):已知角B,边c,b,利用余弦定理,得到关于a的一元二次方程,
求解即可;思路二(利用正弦定理):已知角B,边b,c,借助正弦定理求出角C的正弦值,进而利用两角和的正
弦公式及诱导公式求出角A,再借助正弦定理求出a.
解析 解法一:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC中,由题意知b=√19,c=2,由余弦定理
得b2=c2+a2-2cacos B,即19=4+a2-2·2a·cos 120°,整理得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍),所以BC=3.故选
D.
√3
AC AB √19 2 2×
解法二:在△ABC中,由正弦定理得 = ,即 = ,所以sin C= 2 √ 3 ,
sinB sinC sin120° sinC =
√19 19
4
又0°<C<60°,所以cos C=
√1−sin2C=
,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=
√19
3√3
√19×
√3 4 ( 1) √ 3 3√3 √19·sin A 2√19
× + − × = ,所以BC= = =3.
2 √19 2 19 2√19 sinB √3
2
a2+b2−c2
2.(2018课标Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 ,则
4
C=( )
π π
A. B.
2 3
π π
C. D.
4 6北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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a2+b2−c2 2abcosC
答案 C 根据余弦定理得a2+b2-c2=2ab·cos C,因为S = ,所以S = ,又S =
△ABC 4 △ABC 4 △ABC
1 π
absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C= .故选C.
2 4
2
3.(2016课标Ⅰ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A= ,则b=( )
3
A.√2 B.√3 C.2 D.3
答案 D 由余弦定理得5=22+b2-2×2b·cos A,∵cos A=2,∴3b2-8b-3=0,∴b=3( 1 ).故选D.
b=− 舍去
3 3
评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.
4.(2016山东文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )
3π π π π
A. B. C. D.
4 3 4 6
答案 C 在△ABC中,由b=c,得cos A=b2+c2−a2 =2b2−a2 ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即
2bc 2b2
π
tan A=1,又知A∈(0,π),所以A= ,故选C.
4
评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.
√3
5.(2015广东文,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A= 且b<c,则b=(
2
)
A.3 B.2√2 C.2 D.√3
答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2√3,∴b=2.选C.
1
6.(2014课标Ⅱ理,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC=√2,则AC=( )
2
A.5 B.√5 C.2 D.1
1 1 1
答案 B S = AB·BCsin B= ×1×√2sin B= ,
△ABC
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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√2
∴sin B= ,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此
2
B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1× ×( √2)=5,∴AC= .故选B.
√2 − √5
2
π π
7.(2013课标Ⅱ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= ,C= ,则△ABC的面积为(
6 4
)
A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1
b c
答案 B 由 = 及已知条件得c=2√2.
sinB sinC
1 √2 √3 √2 √2+√6 1 1 √2+√6
又sin A=sin(B+C)= × + × = .从而S = bcsin A= ×2×2√2× =√3+1.故选
2 2 2 2 4 △ABC 2 2 4
B.
8.(2013课标Ⅰ文,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则
b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
答案 D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1,
1 12
因为A为锐角,所以cos A= .又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36- b,整理得5b2-12b-65=0,
5 5
13
解得b=- (舍)或b=5,故选D.
5
π 1
9.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则cos A=( )
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A. B. C.- D.-
10 10 10 10
1 2 √2 √5
答案 C 过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,AB= BC,AC= BC,在
3 3 3 3
2 5
BC2+ BC2−BC2
AB2+AC2−BC2 9 9 √10
△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC= = =- ,故
2AB·AC √2 √5 10
2× BC× BC
3 3
选C.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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10.(2021全国乙理,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60°,a2+c2=3ac,则
b= .
答案 2√2
解题指导:首先由面积公式得ac的值,再借助余弦定理进行边角的转化,从而得到b与ac的关系.
1 √3
解析 由S = acsin B= ac=√3得ac=4.
ABC
2 4
△
由b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,
结合a2+c2=3ac得到b2=2ac=8,∴b=2√2.
方法总结:解三角形问题时,若条件中含有边的二次式和角,则考虑用余弦定理;若条件中含有角或边的一次
式,则考虑用正弦定理;特征不明显时,两个可能都用.
11.(2021浙江,14,6分)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2√3,则AC=
,cos∠MAC= .
2√39
答案 2√13;
13
解题指导:解三角形的关键在于锁定已知的边长和角较多的三角形,抓住“边长”,求AC的长时,在不同三
角形中分别用两次余弦定理即可;求∠MAC的余弦值时,在△ACM中直接利用余弦定理可得结果.
解析 由题意知在△ABM中,AB=2,∠B=60°,AM=2√3,
1
由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos B,即12=4+BM2-4·BM· ,
2
解得BM=4或BM=-2(舍),
∵M为BC的中点,∴BM=MC=4,BC=8,
在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,
1
∴AC2=4+64-2×2×8× =52,
2
∴AC=2√13.
在△AMC中,由余弦定理可得
AM2+AC2−MC2 12+52−16 2√39
cos∠MAC= = = .
2AM·AC 2×2√3×2√13 13
一题多解 过A作AH⊥BC交BC于H,∵AB=2,∠B=60°,∴AH=√3,BH=1,又∵AM=2√3
,∴HM=3,∴BM=MC=4,∴AC= .
√AH2+HC2=√AH2+(HM+MC) 2=√3+49=2√13北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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在△AMC中,由余弦定理可得
AM2+AC2−MC2 12+52−16 2√39
cos∠MAC= = = .
2AM·AC 2×2√3×2√13 13
4 5
12.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b=
5 13
.
21
答案
13
3 12 3 5 4 12 63 a b
解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,则sin B=sin(A+C)= × + × = ,再由 = ⇒b=
5 13 5 13 5 13 65 sin A sinB
63
1×
65 21
= .
3 13
5
思路分析 利用同角三角函数的基本关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出sin B的值,
再利用正弦定理即可求出b的值.
13.(2019课标Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
3
答案 π
4
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.
在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,
∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0,
即tan B=-1,
3
又B∈(0,π),∴B= π.
4
14.(2017课标Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .
答案 75°
3 √6 √2
解析 由正弦定理得 = ,∴sin B= ,
sin60° sinB 2
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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√2
易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用b<c确定B=45°,从而求得A=75°.
2
15.(2017课标Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=
.
答案 60°
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin
2B=sin(180°-B),可得B=60°.
a2+c2−b2 a2+b2−c2 b2+c2−a2 a2+c2−b2
解法二:由余弦定理得2b· =a· +c· ,即b· =b,所以a2+c2-
2ac 2ab 2bc ac
1
b2=ac,所以cos B= ,又0°<B<180°,所以B=60°.
2
思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.
2π b
16.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A= ,a=√3c,则 = .
3 c
答案 1
解析 在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cos A,
2π
将∠A= ,a=√3c代入,
3
可得( c)2=b2+c2-2bc·( 1),
√3 −
2
整理得2c2=b2+bc.
∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,
得2=b2 +bc,即2=(b) 2 +b.
c2 c2 c c
b
令t= (t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,
c
解得t=1或t=-2(舍去),
b
故 =1.
c
b
思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以 为变元的方程求解.
c
评析 本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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17.(2015福建理,12,4分)若锐角△ABC的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
1 √3
解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及 bcsin A=10√3得sin A= ,因为A为锐角,所以
2 2
1 1
A=60°,cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40× =49,故a=7,即BC=7.
2 2
评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.
18.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
答案 2
AB AC AB·sinB √6·sin45°
解析 由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由 = 知AC= = =2.
sinC sinB sinC sin60°
19.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC= .
答案 √2
AC BC
解析 B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得 = ,可得BC=√2.
sinB sinA
1
20.(2015重庆文,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c=
4
.
答案 4
解析 由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×( 1)
−
4
=16,所以c=4.
sin2A
21.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 = .
sinC
答案 1
b2+c2−a2 52+62−42 3
解析 在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos A= = = ,由正弦定理可知
2bc 2×5×6 4
3
sin2A 2sinAcosA 2a·cosA 2×4×
= = = 4=1.
sinC sinC c
6
评析 本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识
的应用转化能力.
