文档内容
专题12.4 全等三角形的判定（SSS、SAS）（知识梳理与考点分类讲
解）
【知识点1】全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图，如果 ＝AB， ＝AC， ＝BC，则△ABC≌△ .
【知识点2】全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠ ，AC ＝ ，则△ABC≌△ . 注意：这里的角，指的是
两组对应边的夹角.
【知识点3】 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全
等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【考点一】三角形全等➼➻用“边边边”直接证明三角形全等
【例1】如图，已知 ， ， 为 上任意一点，过 点作一条直线分别交 ，
的延长线于点 ， ．求证： ．
【分析】先证明 得到 ，再根据内错角相等，两直线平行得到
，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论．
证明：∵
，
，
，
．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方
法．
【举一反三】
【变式】已知，如图 ， ，求证：
【分析】连接 ，证明 即可求得答案．证明：连接 ，如图所示，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．
【考点二】三角形全等➼➻用“边边边”间接证明三角形全等
【例2】如图所示，AB=AC，BD=CE，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD．
分析：根据BD=CE得出BE=CD，然后结合AE=AD，AB=AC利用SSS来判定三角形全等.
解：∵BD=CE， ∴BD+DE=CE+DE， ∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE△ACD（SSS）
考点：三角形全等的判定
【举一反三】
【变式】如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，AE=FC．求证：△ABC≌△FDE．
【分析】由AE=FC证得AC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△FDE即可.证明：∵A，E，C，F在同一条直线上，AE=FC，
∴AE+EC=EC+FC，
∴AC=EF，
在△ABC和△FDE中，
∴△ABC≌△FDE（SSS）．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、
HL，根据已知条件选择合适的判定方法是解决问题的关键．
【考点三】三角形全等➼➻全等的性质和“边边边”综合
【例3】如图， 与 交于点 ，① ；② ；③ ，请以①②③中的两个
作为条件，另一个为结论，写出一个正确命题．
(1) 正确的命题是：____________________（格式：由××，得×；上述×用前面数字代号①②③表示）．
(2) 从你写出的正确命题中选一个加以证明．
【答案】(1)由①③，得②；或由②③，得①；(2)见分析．
【分析】分两种情形，利用全等三角形的判定和性质分别证明即可．
（1）解：正确的命题是：由①③，得②；或由②③，得①；
（2）证明：由①③，得②，
若 ， ，
连接 ，
在 和 中，，
，
；
或由②③，得①，
若 ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
．
【点拨】本题考查命题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问
题．
【举一反三】
【变式1】如图，点E、点F在 上，且 ， ， ，求证： ．
【分析】根据全等三角形的判定得出 ，推出 ，利用平行线的判定解答即可．
证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考
常考题型．
【变式2】如图，在 中，点 ，点 分别在边 ，边 上，连接 ， ．
(1) 求证： ．
(2) 若 ，求 的度数．
【答案】(1) 证明见分析； (2)
【分析】（1）连接 ，利用 定理证出 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据垂直的定义可得 ，再根据（1）的结论可得 ，然后根据三角形的内
角和定理即可得．
解：（1）证明：如图，连接 ，
在 和 中，，
，
．
（2）解： ，
，
由（1）已证： ，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解题关键．
【考点四】三角形全等➼➻用“边角边”直接证明三角形全等
【例4】已知：如右图 ， ．
求证： ．
【分析】由 ，得 ，再利用 即可证得结论．
证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中：
，
∴ ．【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、
、
【举一反三】
【变式】“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一
倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图， 是 的中线，延长 到 ，使 ，连
接 ，构造出 和 ．求证： ．
【分析】由 是 的中线，可得 ，再由 ， ，即可证明
．
证明：如图所示：
，
是 的中线，
，
在 和 中，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
【考点五】三角形全等➼➻用“边角边”间接证明三角形全等
【例5】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且 ， ， ，求证：
．
【答案】见分析
【分析】根据 可得 ，根据 可得 ，即可根据 进行求证．
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度
相等，熟练掌握三角形全等的判定定理．
【举一反三】
【变式】如图，已知： ， ， ， 是 上两点，且 ．
求证： ．
证明： （已知）_______ _______（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等式的基本性质）
即
在 和 中
（ ）
（ ）
【答案】 ； ； ； ； ； ； ；全等三角形对应边
相等．
【分析】根据平行线的性质得到 ，根据等式的性质得到 ，然后证明
即可得到结论．
证明： （已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
(等式的基本性质)
即
在 和 中
，
(全等三角形对应边相等)
故答案为： ； ； ； ； ； ； ；全等三角形对应
边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点六】三角形全等➼➻全等的性质和“边角边”综合
【例6】如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ， ， ．(1) 求证： ；
(2) 若 ，求三角形 的面积．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）根据 得 ，根据 得 ，即 ，根据
即可证明 ；
（2）在 中，以 为底作 为高，则 ， ，根据
得 ， ，即可得．
（1）证明：∵ ，
，
∵ ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：如图所示，在 中，以 为底作 为高，， ，
∵ ，
， ，
．
【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【举一反三】
【变式1】如图，在△ABC中，已知 ， ，且 ．求证：
．
【分析】先根据全等三角形的性质以及已知 得出 ，再利用 即可
证出 ．
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ．
在 和 中，∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式2】已知：如图， ， ， ．
求证： ； (2) ； (3) ．
【分析】（1）根据“边角边”证明 ，即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，进而可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得 ，根据“边角边”证明 ，即可证得
结论．
解：（1）证明：在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
