文档内容
2024-2025 学年八年级数学下学期期末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：八下全册（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）若二次根式❑√x−2025在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2025 B．x＞2025 C．x≤2025 D．x＜2025
【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2025≥0，
∴x≥2025．
故选：A．
2．（3分）下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y
都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可．
【解答】解：由函数的定义可知，选项C中的图象表示y是x的函数．
故选：C．
3．（3分）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：❑√3
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】A．应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；
B．应用勾股定理的逆定理进行计算即可得出答案；
C．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
D．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝25a2，AC2＝（5a）2＝
25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B．设AB＝a，BC＝2a，AC=❑√3a，因为AB2+AC2＝a2+（❑√3a）2＝4a2，BC2＝（2a）2＝4a2，即AB2+AC2
＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故C选项不符合
题意；
3 4
D．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以∠A= ×180°=45°，∠B= ×180°=60°，
12 12
5
∠C= ×180°=75°，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意．
12
故选：D．
4．（3分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的
是各组平时成绩的平均数x（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么
应选的组是（ ）
甲 乙 丙 丁
x 8 7 7 8
s2 1 1.1 1 1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和丁组成绩较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，于是可决定选甲组
去参赛．
【解答】解：∵甲组、丁组的平均数比乙组、丙组大，而甲组的方差比乙组的小，
∴甲组的成绩比较稳定，
所以甲组的成绩较好且状态稳定，应选的组是甲组．
故选：A．
5．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的是（
）
▱ ▱A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AC＝BD D．∠ABC＝90°
【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故A错误；C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
▱
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
▱
∵∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故D正确；
故选：A．
▱
6．（3分）如图，E、F分别为正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AB＝12，AE＝DF＝3，AF与EB交于
点G，M为BF中点，则线段GM的长为（ ）
A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5
【分析】由勾股定理得出BF＝15，由“SAS”可证△BAE≌ADF，得出∠ABE＝∠DAF，证出∠BGF＝
90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA＝BC＝CD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°，
∵AE＝DF＝3，AB＝12，
∴BC＝DC＝12，CF＝9，
∴BF=❑√BC❑ 2+CF❑ 2=❑√144+81=15，在△BAE和△ADF中，
{
AE=DF
)
∠BAE=∠ADF ，
AB=DA
∴△BAE≌ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAG+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠BGA＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵M为BF中点，
1
∴GM= BF＝7.5，
2
故选：B．
7．（3分）在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（厘米）对应关系如下
表：
尺码/英寸 … 22 23 24 25 26 …
腰围/厘米 … 60±1 62.5±1 65±1 67.5±1 70±1 …
小华的腰围是74厘米，那么他所穿裤子的尺寸是（ ）
A．28英寸 B．29英寸 C．30英寸 D．31英寸
【分析】依据题意，设腰围的长度y“cm”与裤子的尺寸x“英寸”之间存在一种换算关系为y＝kx+b，从
而列出方程组，解得k，b，再令y＝74，最后即可得解．
【解答】解：由题意，设腰围的长度y“cm”与裤子的尺寸x“英寸”之间存在一种换算关系为y＝kx+b，
{ 60=22k+b )
∴ ．
62.5=23k+b
{k=2.5)
∴ ．
b=5
∴腰围的长度y“cm”与裤子的尺寸x“英寸”之间存在一种换算关系为y＝2.5x+5．
∴当腰围为74cm，即y＝74时，有74＝2.5x+5．
∴x＝27.6．
答：他的裤子尺码是28英寸．
故选：A．
8．（3分）关于函数y＝（k﹣3）x+k，给出下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；②无论k取什么值，函数图象必经过点（﹣1，3）；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0＜k＜3．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】①根据一次函数定义即可求解；
②y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，即可求解；
③图象经过二、三、四象限，则k﹣3＜0，k＜0，解即可求解；
k
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x= ＞0，即可求解．
3−k
【解答】解：①根据一次函数定义：k≠0函数为一次函数，故正确；
②y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，故函数过（﹣1，3），故正确；
③图象经过二、三、四象限，则k﹣3＜0，k＜0，解得：k＜0，故正确；
k
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x= ＞0，解得：0＜k＜3，故正确．
3−k
故选：D．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E，F分别是边CD和BC的延长线上一点，且CE＝
CF＝2，以CE，CF为边作 CEGF，H是AG的中点．则线段CH的长为（ ）
▱
A．2❑√5 B．4❑√3 C．3❑√2 D．2❑√3
【分析】如图，连接AC，CG，EF，CG与EF交于点O．证明∠ACG＝90°，利用勾股定理求出AG可得结
论．
【解答】解：如图，连接AC，CG，EF，CG与EF交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BA＝BC，
∴∠B＝∠ECF＝60°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF＝2，
∴四边形CEGF是菱形，
∴EF⊥CG，∠ECG＝∠GCF＝30°，
1
∴OE＝OF= CE＝1，
2
∴OC＝OG=❑√22−12=❑√3，
∴∠ACG＝90°，CG＝2❑√3，
∴AG=❑√AC2+CG2=❑√62+(2❑√3) 2=4❑√3，
∵AH＝HG，
1
∴CH= AG＝2❑√3．
2
故选：D．
10．（3分）著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用这句话提到的思想方法，
判断若函数y＝|﹣2x+3|的图象与直线y＝kx﹣k+4（k是常数）有两个交点，则符合条件的k值可能是
（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
3
【分析】由y＝|﹣2x+3|可知，图象关于直线x= 对称，画出图象，观察图象即可．
2
【解答】解：图象如图所示，
∵直线y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴直线y＝kx﹣k+4（k是常数）过定点（1，4），
∴若函数y＝|﹣2x+3|的图象与直线y＝kx﹣k+4（k是常数）有两个交点，则﹣2＜k＜2．
故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若❑√27与最简二次根式5❑√a−1是同类二次根式，则a＝ 4 ．
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：∵❑√27与最简二次根式5❑√a−1是同类二次根式，❑√27=3❑√3，
∴3＝a﹣1，
解得：a＝4，
故答案为：4．
12．（3分）某一次函数的图象经过点（1，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个满足
上述条件的函数关系式： y ＝﹣ x ﹣ 1 等 ．
【分析】根据y随着x的增大而减小推断出k＜0的关系，再利用过点（1，﹣2）来确定函数的解析式．
【解答】解：∵y随着x的增大而减小，
∴k＜0．
又∵直线过点（1，﹣2），
∴解析式可以为：y＝﹣x﹣1等．
故答案为：y＝﹣x﹣1等．
13．（3分）在学校演讲比赛中，小明的得分为：演讲内容87分，演讲能力98分，演讲效果90分，若演讲内
容、演讲能力、演讲效果按照2：2：1的比确定，则小明的最终成绩是 9 2 分．
【分析】根据加权平均数的计算即可．
87×2+98×2+90×1
【解答】解：小明的最终成绩是： = 92（分），
2+2+1
故答案为：92．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且
1
BE= AC，连接OE，则∠COE＝ 4 5 度．
2
【分析】先证AB＝BE，再证∴△BAO是等边三角形，即可得出∠ABO＝∠AOB＝60°，从而求出∠BOE的
度数，即可得出∠COE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
1
∵BE= AC，
2
即BE＝OA＝OC，
∴BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝BE，
180°−30°
∴∠BOE＝∠BEO= =75°，
2
∴∠AOE＝60°+75°＝135°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45．
15．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，往返速度的
大小不变，两车离甲地的距离y（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①快车比慢车晚出发2h；
②快车速度是慢车速度的2倍；
a
③慢车从出发到两车第一次相遇时，所走的路程为 km；
2
④若两车第二次相遇地距乙地距离为90km，则a＝360km．
其中正确的有 ①③④ .（请填写序号）
【分析】根据函数图象中的数据，可以表示出快车和慢车的速度，然后即可计算出两车第一次相遇和第二
次相遇的时间，逐项计算即可．【解答】解：由图象可得，快车比慢车晚出发2h，
故①正确；
2a a
快车的速度为 = （km/h），
6−2 2
a
慢车的速度为 （km/h），
6
a a
∴ ÷ = 3，
2 6
∴快车速度是慢车速度的3倍，
故②错误；
设慢车行驶m h两车第一次相遇，
1 1
则 am = a（m﹣2），
6 2
解得m＝3，
1 a
∴慢车所走的路程为 a×3 = （km），
6 2
故③正确；
设慢车行驶n h两车第二次相遇，
1 1 6−2
则 an + a（n− −2）＝a，
6 2 2
9
解得n= ，
2
1 9 1
此时慢车距乙地的距离为：a− a× = a＝90，
6 2 4
解得a＝360，
故④正确，
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB
上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，则线段CP的最
小值是 2❑√5−2 ．
【分析】先根据已知得DE＝CF，然后证明△ADE≌△DCF，得出∠DAE＝∠CDF，然后证明∠APD＝90°，取AD中点O，则OP＝2为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，CP最小，然后
根据勾股定理求解．
【解答】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠DCF=90° ，
DE=CF
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD中点O，连接OP，如图，
1 1
则OP= AD= ×4=2，
2 2
根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，
CO=❑√CD2+DO2=❑√22+42=2❑√5，
∴CP=CO−OP=2❑√5−2．
故答案为：2❑√5−2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）(−❑√3) 2+|❑√3−2|−❑√(−3) 2；
（2）(❑√5+❑√2) 2−❑√5(❑√2−❑√5)．
【分析】（1）先算乘方，开方，去绝对值符号，再算加减即可；
（2）先算乘方，乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝3+（2−❑√3）﹣3
＝3+2−❑√3−3＝2−❑√3；
（2）原式＝5+2+2❑√10−❑√10+5
＝7+2❑√10−❑√10+5
＝12+❑√10．
18．（8分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3﹣m的图象不经过第三象限，且m为正整数．
（1）求m的值．
（2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象．
（3）当﹣4＜y＜0时，根据函数图象，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和一次函数的性质，可以求得m的值；
（2）根据（1）中m的值可以求得该函数的解析式，然后根据两点确定一条直线可以画出该函数的图象；
（3）根据（2）中的函数解析式和题意，可以求得当﹣4＜y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（m﹣2）x+3﹣m的图象不经过第三象限，
{m−2＜0)
∴ ，得m＜2，
3−m≥0
∵m为正整数，
∴m＝1，
即m的值是1；
（2）由（1）知，m＝1，
∴y＝（1﹣2）x+3﹣1＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，
该一次函数的图象如图所示；
（3）当y＝﹣4时，﹣4＝﹣x+2，得x＝6，当y＝0时，0＝﹣x+2，得x＝2，
由图象可得，当﹣4＜y＜0时，x的取值范围是2＜x＜6．19．（8分）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
▱
AC
（2）设 =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请直接写出合适的k值．不需要说明理由．
BD
1 1
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，因为OE= OA，OF= OD，所以OE＝OF，
2 2
即可由OB＝OD，OE＝OF，证明四边形DEBF为平行四边形；
AC
（2）当 =k＝2时，则AC＝2BD，因为AC＝4OE，BD＝2OB，所以4OE＝2×2OB，则OE＝OB，所以
BD
EF＝BD，即可证明四边形DEBF是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
1 1
∴ OA = OC，
2 2
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
1 1
∴OE= OA，OF= OD，
2 2
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形．（2）当k＝2时，四边形DEBF是矩形，
AC
理由：∵ = k＝2，
BD
∴AC＝2BD，
∵AE＝OE＝OF＝CF，
∴AC＝4OE，
∵BD＝2OB，
∴4OE＝2×2OB，
∴OE＝OB，
∴2OE＝2OB，
∵EF＝2OE，BD＝2OB，
∴EF＝BD，
∵四边形DEBF是平行四边形，且EF＝BD，
∴四边形DEBF是矩形．
20．（8分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为促使学生学习防护自救的知识，增强学生安
全意识，开展了“远离溺水，珍爱生命”安全知识竞赛，为了解学生对防溺水知识的学习情况，现从该校
七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，得分不少
于90分者为优秀）进行如下收集、整理、描述和分析：
【收集数据】七年级：85，84，76，70，90，73，82，78，87，75；
八年级：85，85，76，78，96，64，75，97，63，81．
【整理数据】七八年级抽取的学生比赛成绩统计表：
成绩x/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级/人 0 a 4 1
八年级/人 2 3 3 2
【分析数据】两组数据的平均数，中位数，方差，优秀率如下表：
统计量 平均数 中位数 方差 优秀率
七年级 80 80 38.8 10%
八年级 80 b 118.6 c
【应用数据】：
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 79. 5 ，c＝ 20% ；
（2）根据以上数据，我认为 七 年级学生“防溺水”知识的学习情况较好，（填“七”或“八”），
理由是 七年级的方差比八年级的小，成绩比较稳定（答案不唯一） ；（一条理由即可）
（3）该校七八年级1240名学生共同参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数．【分析】（1）根据抽取的总人数即可求出a的值，根据中位数和优秀率的定义即可求出b和c的值；
（2）根据方差的意义判断即可（答案不唯一）；
（3）利用样本估计总体即可求出结论．
【解答】解：（1）a＝10﹣4﹣1＝5，
八年级成绩从小到大排列为63，64，75，76，78，81，85，85，96，97，
78+81
所以中位数b= =79.5，
2
2
八年级的优秀率为c= ×100%＝20%；
10
故答案为：5，79.5，20%；
（2）根据以上数据，我认为七年级学生“防溺水”知识的学习情况较好，理由是七年级的方差比八年级的
小，成绩比较稳定（答案不唯一）；
故答案为：七，七年级的方差比八年级的小，成绩比较稳定（答案不唯一）；
1+2
（3）1240× =186（人），
10+10
答：估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为186人．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个
顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表
示）．
（1）如图1，先画点D使四边形ABDC为平行四边形，连接AD交BC于点E，再在AC上画点F，使
EF∥AB；
（2）在图2中，先在△ABC内部画格点M，连接AM，BM，CM，使S△ABM ＝S△BCM ＝S△ACM ，再画点M关
于AB的对称点N．
【分析】（1）根据平行四边形的判定作出图形，取AC的中点F，连接EF即可；
（2）如图2中，取格点M，连接AM，BM，CM，取格点P，Q，连接AP，PQ，取AP的中点K，PQ的中
点J，连接QK，JM交于点N，点N即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABDC，点F即为所求；（2）如图2中，点M，点N即为所求．
22．（10分）盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，
且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如表．设该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
（1）直接写出该超市采购费用y（单位：元）与x（单位：盆）的函数关系式 y ＝ 2 x +300 0
（ 15 0 ≤ x ≤ 16 0 ） ；
（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了2m元，同时B种盆栽批发
价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460
元，求m的值．
【分析】（1）依据题意，根据单价乘以数量等于总价，表示出购A种盆栽和B种盆栽的总价，然后将其相
加就是总共所需要的费用；
（2）依据题意，设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何
时获得最大利润；
（3）依据题意，根据将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元分情况讨论得出结果，最终确定出
m的值．
【解答】解：（1）由题意得，该超市采购（300﹣x）盆B种盆栽，
∴该超市采购费用y＝12x+10（300﹣x）＝2x+3000．
∵A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，且不超过160盆，
{x≥300−x )
∴ ．
x≤160
∴150≤x≤160．
故答案为：y＝2x+3000（150≤x≤160）．（2）由题意，该超市这300盆盆栽的利润W＝（19﹣12）x+（15﹣10）（300﹣x）＝2x+1500．
∵2＞0，
∴利润W随x的增大而增大．
又150≤x≤160，
∴当x＝160时，利润W最大为：2×160+1500＝1820（元）．
（3）由题意，利润W＝（19﹣12﹣2m）x+（15﹣10+m）（300﹣x）＝（2﹣3m）x+300m+1500．
2
①当2﹣3m＞0时，即m＜ 时，W随x的增大而增大，
3
又∵150≤x≤160，
∴当x＝150时，W最小＝1460，
即：（2﹣3m）×150+300m+1500＝1460，
34 2
解得：m= ＞ ，舍去，
15 3
2
②当2﹣3m＜0时，即m＞ 时，W随x的增大而减小，
3
又∵150≤x≤160，
∴当x＝160时，W最小＝1460，
即：（2﹣3m）×160+300m+1500＝1460，
解得：m＝2，符合题意．
综上所述，m的值为2．
23．（10分）如图1，正方形ABCD中，E为对角线上一点．
（1）连接DE，BE．求证：BE＝DE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，FE交AB于点G．
①求证：BF＝FG；
②当BE＝BF时，求证：¿=(❑√2−1)DE．
【分析】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE（SAS），即可得出
结论；
（2）①先证明∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；②先证明EF=❑√2BE，由（1）知BE＝DE，由①知FG＝BF，则FG＝BF＝BE＝DE，即可判断出结论．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB；
②证明：∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF=❑√BE2+BF2=❑√BE2+BE2=❑√2BE，
由（1）知，BE＝DE，由①知，FG＝BF，
∴FG＝BF＝BE＝DE，
∴¿=EF−FG=❑√2BE−DE=❑√2DE−DE=(❑√2−1)DE．
24．（12分）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体
的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现 过点C（a，b）的直线y＝kx+c（k，c为常数且k≠0）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A
a b
和B，探究并说明 + 是定值．
OA OB
1 1
（1）特例探究 如图1，过点C（2，2）的直线y＝﹣2x+6分别交x轴和y轴于点A和B，求 + 的
OA OB
值；1 1 1 2 3
（2）一般证明 ①a＝b＝2时，直接写出 + = ；a＝2，b＝3时，直接写出 + =
OA OB 2 OA OB
1 ；
a b
②求出 + 的值；
OA OB
（3）类比推广 如图2，已知H（﹣4，0），T（0，2），点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的
4 ❑√5
直线l交直线HT于第一象限点N，若总有 + =1，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定
HM HN
点坐标；如果否，请说明理由．
1 1 1 1 1
【分析】（1）AO＝3，OB＝6，则 + = + = ；
AO BO 3 6 2
c
（2）①点A、B的坐标分别为：（− ，0）、（0，c），即可求解；
k
c a b −ak b c
②由①知，b＝ak+c，OA=− ，OB＝c，则 + = + = =1；
k AO OB c c c
❑√5(n−4m) n 4m−n
（3）求出HN= ，HM=− −（﹣4）= ，即可求解．
1−2m m m
【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+6分别交x轴和y轴于点A和B，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、
（0，6），
则AO＝3，OB＝6，
1 1 1 1 1
则 + = + = ；
AO BO 3 6 2
（2）①将点C的坐标代入一次函数表达式得：b＝ak+c，
c
则点A、B的坐标分别为：（− ，0）、（0，c），
k1
当a＝b＝2时，即2＝2k+c，则1﹣k= c，
2
c 1 1 1−k 1
则OA=− ，OB＝c，则 + = = ；
k AO OB c 2
2 3
当＝2，b＝3时，同理可得： + =1，
OA OB
1
故答案为： ，1；
2
c
②由①知，b＝ak+c，OA=− ，OB＝c，
k
a b −ak b c
则 + = + = =1；
AO OB c c c
1
（3）由点H、T的坐标得，直线HT的表达式为：y= x+2，设直线l的表达式为：y＝mx+n，
2
1
联立上述两式得： x+2＝mx+n，
2
2n−4 2n−4 n−4m
解得：x= ，则点N（ ， ），
1−2m 1−2m 1−2m
2n−4 n−4m 5(n−4m) 2 ❑√5(n−4m)
由点H、N的坐标得，NH2＝（ +4）2+（ ）2= ，则HN= ，
1−2m 1−2m (1−2m) 2 1−2m
n n 4m−n
由直线l的表达式知，点M（− ，0），则HM=− −（﹣4）= ，
m m m
4 ❑√5 4m 1−2m
∵ + =1，即 + = 1，
HM HN 4m−n n−4m
解得：n＝1﹣2m，则y＝mx+n＝m（x﹣2）+1，
当x＝2时，y＝1，
即直线l过定点（2，1）．
