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决胜 2024 年高考数学押题预测卷 01
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知： ，则 ，
所以： .故A项正确.
故选：A.
2．已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知得， ， ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，
所以“ ” “ ”，但“ ” “ ”，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
3．已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ， .
故选：A．
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4．从正方体 的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A. 每个面都是等边三角形
B. 每个面都是直角三角形
C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
5．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，即
，①又因为函数 为奇函数，则 ，即
，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 最的小值为 .
故选：B.
6．已知反比例函数 （ ）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹
角为 ，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线 ，由此可求得其离心率为 .已知函数
的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线 和y轴，则该双曲线的离心率是（
）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在第一象限内，函数 的图象位于 上方，
由于 和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角 ，故 ，
不妨将双曲线 绕其中心旋转逆时针旋转 ,则可得到其焦点在 轴上的双曲线
，且两条渐近线之间的夹角 ，因此其中一条渐近线的倾斜角为 ，
因此 ，进而可得
故选：C.
7．已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以平方得， ， ，
即 ， ，
两式相加可得 ，
即 ，
故 ，
.
故选：D.
8．已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则 的值为（ ）
A. 0 B. 8 C. D. 4
【答案】C
【解析】∵ 为偶函数，∴ 则 两边求导得：
，
则 关于点 成中心对称，又 为偶函数，∴ ，即 关
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于直线 成轴对称，
∴ 且 ， ∴ ， 即 得 ：
，
故 是周期函数，且一个周期为 4，因 ，故
，
于是 .
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的最小正周期为 ，且函数 的图象关于直线
对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在区间 内单调递增
C. 函数 在区间 内有恰有两个零点
D. 函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
【答案】AD
【解析】函数 的最小正周期为 ，
则 ，得 ，则 ，
又函数 的图象关于直线 对称，
则 ，则 ，
即 ，又 ，则 ，
故 ，
A，当 时， ，
则函数 的图象关于点 对称，A正确；
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B， ，则 ，
函数 在 单调递减，则函数 在区间 内单调递减，B错误；
C，由 ，则 ，
即 ，又 ，
，则有1个零点，C错误；
D，函数 的图象向右平移 个单位长度，
则 ，
D正确；
故选：AD
10．已知 、 是椭圆 的左、右顶点， 是直线 上的动点（不在 轴上），
交椭圆于点 ， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点 ，则
C. 是常数 D. 点 在一个定圆上
【答案】BCD
【解析】如下图所示：
对于A选项，设点 ，易知点 、 ，
所以， 不 定值，A错；
是
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对于B选项，当点 的坐标为 ， ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 或 ，即 ，
所以， ，B对；
对于C选项，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，解得 或 ，
则 ， ，
即点 ，
联立 可得 ，即点 ，
所以， ，C对；
对于D选项，设点 ，其中 ，且 ，则 ，
，
，则 ，所以， ，
则 ，所以， ，取线段 的中点 ，连接 ，
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由直角三角形的几何性质可知 ，
所以，点 在以线段 的直径的圆上，D对.
故选：BCD.
11．已知四棱锥 ，底面 是正方形， 平面 ， ， 与底面
所成角的正切值为 ，点 为平面 内一点，且 ，点 为
平面 内一点， ，下列说法正确的是（ ）
A. 存在 使得直线 与 所成角为
B. 不存在 使得平面 平面
C. 若 ，则以 为球心， 为半径的球面与四棱锥 各面的交线长为
D. 三棱锥 外接球体积最小值为
【答案】BCD
【解析】由 平面 ，底面 是正方形， ，可得 ，
且 是 与底面 所成角，即 ，则 ，
同理 是 与底面 所成角，故 ，
由题意， 在面 内，故直线 与 所成角不小于 ，A错；
平面 ， 平面 ，则 ，又 ，
， 面 ，则 面 ，
要平面 平面 ， 要在直线 上，而 ，
显然不存在，B对；
由题设 ，将侧面展开如下图，
球与侧面的交线是以 为圆心， 为半径的圆与侧面展开图的交线，如下 ，
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由 ，则 ， ，
所以 ，根据对称性有 ，故 ，
所以 长为 ，
又球与底面 交线是以 为圆心， 为半径的四分之一圆，故长度为 ，
综上，球面与四棱锥 各面的交线长为 ，C对；
由题设，三棱锥 外接球也是棱锥 外接球，
又 为平面 内一点， ，且 面 ，则面 面 ，
，面 面 ， 面 ，故 面 ，
易知 在面 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（去掉与直线 的交点），
根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，则 在该圆弧上，
当 接近与面 重合时 趋向 ，
当 面 时 最小且为锐角， ，
而 的外接圆半径 ，
正方形 的外心为 交点 ，且到面 的距离为 ，
所以棱锥 外接球半径 ，要使该球体体积最小，只需 最小，
仅当 时 ，此时 ，故外接球最小体积为 ，D对.
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故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其 分位数
为___________.
【答案】14
【解析】由图可知第一组的频率为 ，前两组的频率之和为
，则可知其 分位数在 内，设为 ，
则 ，解得 .
故答案为：14
13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等
分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一
次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”； .
依次进行“ 次分形”（ ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.
若将边长为1的正三角形“ 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则 的最小值是______.
（参考数据： ， ）
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【答案】
【解析】依题意可得“ 次分形”图的长度是“ 次分形”图的长度的 ，
由“一次分形”图的长度为 ，
所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为 的等比数列，
所以“ 次分形”图的长度为 ，
故 ，即 ，两边取对数得 ，
所以 ，则 ，
又 ，故n的最小整数值是 ．
故答案为： ．
14.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若正方形 的一边 为圆 的一条
弦，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】令 且 ， ，要使 最大有
，
如下图示，在 中 ，
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所以
，
当且仅当 时 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求实数 的值；
（2）求函数 的单调区间．
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】（1）由题可得 ，
因为 在点 处的切线平行于 轴，所以 ，
即 ，解得 ，经检验 符合题意．
（2）因为 ，
令 ，得 或 ．
当 时，随 的变化， ， 的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
当 时，因为 ，当且仅当 时， ，
所以 在区间 上单调递增．
当 时，随 的变化， ， 的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
综上所述，
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
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16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件
的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软
件，结果如下：
跑步软件 跑步软件
跑步软件二 跑步软件四
一 三
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使
用跑步软件一的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 人，再从这 人中随机抽取 人.记
为这 人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为
；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ；
， ， ， ， ， ， ， 的方差为 .写出 ， ， 的大小关系.（结论不要求证
明）
【答案】（1） （2）分布列详见解析， （3）
【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这 人都最喜爱使用跑步软件一的概率为 .
（2）因为抽取的 人中最喜爱跑步软件二的人数为 ，
所以 的所有可能取值为 ，
，
所以 的分布列为：
所以 .
（2） ，证明如下：
，
，
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所以 .
，
，
所以 .
数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
对应的平均数为
所以
所以 .
17．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ．点 在棱
上， ，点 在棱 上， ．
（1）若 ， 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：过 作 的平行线交 于 ，连接 ，
，又 ， ， ，又 ，
， 为 的中点，又 为 的中点，
，
又 ，又 ， ，
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，且 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
平面 ， 平面 ， 平面
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ． ，3， ， ，0， ，
，0， ，3， ，
设 ， ， ，
，0， ， ， ，= ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
， ，则
18．已知抛物线 ： （ ）上一点 的纵坐标为3，点 到焦点距离为5.
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作直线交 于 ， 两点，过点 ， 分别作 的切线 与 ， 与 相交于点
，过点 作直线 垂直于 ，过点 作直线 垂直于 ， 与 相交于点 ， 、 、 、 分别
与 轴交于点 、 、 、 .记 、 、 、 的面积分别为 、 、
、 .若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） （2）
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【解析】（1）设 ，由题意可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以抛物线 的方程为 .
（2）如图，
设经过 ， 两点的直线方程为 ： （ ），
与抛物线方程 联立可得 ，
即 ，
∴ ， .
∵ ，则 ，
∴ ，
∴过点 作 的切线 方程为 ，
令 ，得 ，即 .
同理，过点 作 的切线 方程为 ，
令 ，得 ，即 .
∴ .
联立两直线方程 ，解得 ，即 ，
则 到直线 的距离 .
又∵过点 作直线 垂直于 ，
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直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
同理，直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
∴ .
联立两直线方程 ，解得 ，
整理后可得 ，即 ，
则 到直线 的距离 .
由上可得 ， ，
， ，
∴ ，得 ，
∴直线 的方程为 即 .
19．给定正整数 ，已知项数为 且无重复项的数对序列 ： 满
足如下三个性质：① ，且 ；②
；③ 与 不同时在数对序列 中.
（1）当 ， 时，写出所有满足 的数对序列 ；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 为奇数时，记 的最大值为 ，求 .
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【答案】（1） 或
（2）证明详见解析 （3）
【解析】（1）依题意，当 ， 时有：
或 .
（2）当 时，因为 与 不同时在数对序列 中，
所以 ，所以 每个数至多出现 次，
又因为 ，
所以只有 对应的数可以出现 次，
所以 .
（3）当 为奇数时，先证明 .
因为 与 不同时在数对序列 中，
所以 ，
当 时，构造 恰有 项，且首项的第 个分量与末项的第 个分量都为
.
对奇数 ，如果和可以构造一个恰有 项的序列 ，且首项的第 个分量与末项的第 个分量都
为 ，
那么多奇数 而言，可按如下方式构造满足条件的序列 ：
首先，对于如下 个数对集合：
，
，
……
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列 中，
所以 ，
其次，对每个不大于 的偶数 ，
将如下 个数对并 一为组：
，
共得到 组，将这 组对数以及 ，
按如下方式补充到 的后面，
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即
.
此时恰有 项，所以 .
综上，当 为奇数时，
.
18
