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专题22 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD 是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD 为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023 年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用
于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A 看建筑物顶部B 的仰角为
，看底部C 的俯角为
，无
人机A 到该建筑物
的水平距离
为10 米，求该建筑物
的高度．（结果精确到
米；参考数据：
，
）
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例2．（2023 湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼
的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部
米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼
的顶部B 处的
俯角为
，
长为
米．已知目高
为
米．(1)求教学楼
的高度．(2)若无人机保持现有高度沿
平行于
的方向，以
米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线
．
例3．（2023 年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为
梯形
，斜面坡度
是指坡面的铅直高度
与水平宽度
的比．已知斜坡
长度为20 米，
，求斜坡
的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
例4．（2023 年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度
，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80 米，点A 处俯角为
，楼顶C
点处的俯角为
，已知点A 与大楼的距离
为70 米（点A，B，C，P 在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）
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模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC 是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC 为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC 为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心
处下挂一铅锤，制作了一个简易测角
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仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点
．
(1)在图1 中，过点
画出水平线，并标记观测
的仰角
．若铅垂线在量角器上的读数为
，求
的
值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地
米，站在
处观测
的仰角为（1）中的
，向前走
米到达
处，此
时观测点
的仰角为
，求树
的高度．（注：
，
，
）
例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一
架水平飞行的无人机在A 处测得河流左岸C 处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12 米至B
处，测得河流右岸D 处的俯角为30，线段
24 3
AM
米为无人机距地面的铅直高度，点M ，C ，D 在
同一条直线上，其中tan
2
．求河流的宽度CD （结果精确到1 米，参考数据：3
1.7
）．
例3．（2023 年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能
减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为
，
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点O 是
的中点，
是灯杆．地面上三点D，E 与C 在一条直线上，
，
．该校学生
在D 处测得电池板边缘点B 的仰角为
，在E 处测得电池板边缘点B 的仰角为
．此时点A、B 与E 在
一条直线上．求太阳能电池板宽
的长度．（结果精确到
．参考数据：
，
，
，
）
例4．（2023 年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A 处有一坡角
的斜坡
，长
度为30 米，在坡顶B 处测得教学楼
的楼顶C 的仰角
，离B 点4 米远的E 处有一个花台，
在E 处测得C 的仰角
，
的延长线交水平线
于点D，求
的长（结果保留根号）．
模型3、拥抱模型
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图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC 是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC 为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB 和CD 之间有一棵古树EF，从楼顶C 处经过树顶
E 点恰好看到教学楼AB 的底部B 点且俯角α 为30°，从教学楼CD 的底部D 处经过树顶E 点恰好看到教学
楼AB 的顶部A 点，且仰角β 为53°，已知树高EF＝6 米，求DF 的长及教学楼AB 的高度．（结果精确到
0.1 米，参考数据：
＝1.73、sin53°≈
、cos53°≈
、tan53°≈
）
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB 和CD 的高度，小明将木杆EF
放在楼AB 和CD 之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G 处（A、F、G 三点在一条直线上），测得
楼AB 顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H 处（D、F、H 三点在一条直线上），测得楼CD 顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H 均在同一
平面内，结果精确到0.1 米，
≈1.732）（1）求楼AB 的高度；（2）求楼CD 的高度．
例3．（2023 年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：
如图，把支架
放在离树
适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架
上的点E
处，然后沿着直线
后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量
，
，观测者目高
的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知
于点D，
于点F，
于点B，
米，
米，
米，
米，则这棵树的高度（
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的长）是 米．
例4．（2023 年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔
前有一座高为
的观景台，已知
，点E，C，A 在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为
，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为
．(1)求
的长；(2)设塔
的高度为h（单位：m）．①用含有h 的式子表示线段
的长（结果保留根号）；②求
塔
的高度（
取0.5，
取1.7，结果取整数）．
课后专项训练
1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节
杆
，
，
的最大仰角为
.当
时，则点
到桌面的最大高度是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知
，
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，则房顶A 离地面
的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照
近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯
塔最高点A 的仰角
，再沿
方向前进至C 处测得最高点A 的仰角
，
，则灯塔的高度
大约是（ ）（结果精确到
，参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5 12
∶
的山坡上
走1300 米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250
)米 B．(600
－250)米 C．(350＋350
)米 D．500
米
5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高
的天桥，已知天桥斜面
的坡度为
，
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则斜坡
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前
进行体温检测．某学校大门
高6.5 米，学生
身高1.5 米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，
在点D 处测得摄像头A 的仰角为
，当学生刚好离开体温检测有效识别区域
段时，在点C 处测得摄
像头A 的仰角为
，则体温检测有效识别区域
段的长为（ ）
A．
米
B．
米
C．10 米
D．5
米
7．（2023 年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中
处探测到某地面目标在点
处，此时飞
行高度
米，从飞机上看到点
的俯角为
飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平
行直线上同向运动．当飞机飞行
米到达点
时，地面目标此时运动到点
处，从点
看到点
的仰角
为
，则地面目标运动的距离
约为 米．（参考数据：
）
8．（2023 年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，
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无人机从地面
的中点A 处竖直上升30 米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为
，尚美楼顶部F 的
俯角为
，已知博雅楼高度
为15 米，则尚美楼高度
为 米．（结果保留根号）
9．（2023·浙江·校考三模）如图1 是两扇推拉门，AB 是门槛，AD，BC 是可转动门宽，且AB＝2AD＝
2BC．现将两扇门推到如图2（图1 的平面示意图）的位置，其中
，且点A，C，D 在一条直线上，
测得A，C 间的距离为
cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P 在AB 上，
且AP＝54cm，点M 是AD 上一动点，将点M 绕点P 顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是
_______cm．
10．（2023 年浙江省绍兴市中考数学真题）图1 是某款篮球架，图2 是其示意图，立柱
垂直地面
，
支架
与
交于点
，支架
交
于点
，支架
平行地面
，篮筺
与支架
在同一
直线上，
米，
米，
．
(1)求
的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面
米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：
）
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11．（2023 年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背
景
素
材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发
射塔的高度
（如图1）．他们通过自制的测
倾仪（如图2）在
，
，
三个位置观测，测
倾仪上的示数如图3 所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任
务
1
分析规划
选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之
间的图上距离．
任
务
2
推理计算
计算发射塔的图上高度
．
任
换算高度
楼房实际宽度
为
米，请通过测量换算发射
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务
3
塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1
．
12．（2023 年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需
在气体净化设备上增加一条管道
，已知
，
，求管
道
的总长．
13．（2023 年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线
，
及在黑板上
的投影图像高度
抽象成如图所示的
，
．黑板上投影图像的高度
，
与
的夹角
，求
的长．（结果精确到1cm．参考数据：
，
，
）
14．（2023 年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用
量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1 所示．
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(1)如图2，在
点观察所测物体最高点
，当量角器零刻度线上
两点均在视线
上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为
，设仰角为
，请直接用含
的代数式示
．
(2)如图3，为了测量广场上空气球
离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点
分别测得气球
的仰角
为
，
为
，地面上点
在同一水平直线上，
，求气球
离地
面的高度
．（参考数据：
，
）
15．（2023 年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1 是搭成的“倍力桥”，纵梁
夹住横梁
，使
得横梁不能移动，结构稳固．
图
是长为
，宽为
的横梁侧面示意图，三
个凹槽都是半径为
的半圆．圆心分别为
，纵梁是底面
半径为
的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭
“桥”，间隙忽略不计．
探究：图是“桥”侧面示意图，
为横梁与地面的交点，
为圆心，
是横梁侧面两边的
交点．测得
，点
到
的距离为
．试判断四边形
的形状，并求的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
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①若有12 根横梁绕成环，图4 是其侧面示意图，内部形成十二边形
，求的值；
②若有
根横梁绕成的环（
为偶数，且
），试用关于
的代数式表示内部形成的多边形
的周长．
16．（2023 年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1 是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在
摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头
的仰角、俯角均为
，摄像头高度
，
识别的最远水平距离
．
(1)身高
的小杜，头部高度为
，他站在离摄像头水平距离
的点C 处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高
的小若，头部高度为
，踮起脚尖可以增高
，但仍无法被
识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为
（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精
确到
，参考数据
）
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17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知
，
，
，
，
．
（结果精确到0.1
，参考数据：
，
，
，
，
，
）。(1)连结
，求线段
的长．(2)求点A，B 之间的距离．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图
是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文
仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，
日影长度最短的那一天定为夏至．图2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表
垂直圭
，
已知该市冬至正午太阳高度角（即
为
，夏至正午太阳高度角（即
为
，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即
的长）为4 米．(1)求∠BAD 的度数．(2)求表AC 的长（最后结果精确到0.1
米）．（参考数据：sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
，tan84°≈
）
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19．（2022·浙江金华·中考真题）图1 是光伏发电场景，其示意图如图2，
为吸热塔，在地平线
上
的点B，
处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点
旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面
反射后到达吸热器点F 处．已知
，在点A 观测点F 的仰角为
．
（1）点F 的高度
为______m．（2）设
，则
与
的数量关系是_______．
20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1 是新金婺大桥的效果
图．2022 年4 月13 日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段
为主塔，
在离塔顶10 米处有一个固定点
米．在东西各拉一根钢索
和
，已知
等于214 米．吊
装时，通过钢索
牵拉，主塔
由平躺桥面的位置，绕点O 旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时
，此时一名工作人员在离M
米的B 处，在位于B 点正上方的钢索上A 点处挂彩旗．
正
好是他的身高
米．（1）主塔
的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索
也
始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，
与水平桥面的最大张角在
到
之间即
，
的取值范围是 _____．（注：
，
）．
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