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淘宝：学思创想
专题22 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD 是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD 为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023 年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用
于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A 看建筑物顶部B 的仰角为
，看底部C 的俯角为
，无
人机A 到该建筑物
的水平距离
为10 米，求该建筑物
的高度．（结果精确到
米；参考数据：
，
）
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【答案】该建筑物
的高度约为
米
【分析】由题意可知，
，
，
，根据三角形内角和定理和等角对等边的性
质，得到
米，再利用锐角三角函数，求出
米，即可得到该建筑物
的高度．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
，
，
米，
在
中，
米，
米，答：该建筑物BC 的高度约为
米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．
例2．（2023 湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼
的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部
米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼
的顶部B 处的
俯角为
，
长为
米．已知目高
为
米．
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(1)求教学楼
的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于
的方向，以
米/秒的速度继续向前匀速
飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线
．
【答案】(1)教学楼
的高度为
米(2)无人机刚好离开视线
的时间为12 秒
【分析】（1）过点B 作
于点G，根据题意可得：
，
米，
，通过证明四边形
为矩形，得出
米，进而得出
米，
最后根据线段之间的和差关系可得
，即可求解；
（2）连接
并延长，交
于点H，先求出
米，进而得出
，则
，则
米，即可求解．
【详解】（1）解：过点B 作
于点G，
根据题意可得：
，
米，
，
∵
，
，
，∴四边形
为矩形，∴
米，
∵
，
，∴
，∴
，∴
米，
∵
长为
米，∴
（米），
答：教学楼
的高度为
米．
（2）解：连接
并延长，交
于点H，
∵
米，
米，∴
米，
∵
米，
，∴
，
∴
，
米，∴
（米），
∵无人机以
米/秒的速度飞行，∴离开视线
的时间为：
（秒），
答：无人机刚好离开视线
的时间为12 秒．
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【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟
练掌握解直角三角形的方法和步骤．
例3．（2023 年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为
梯形
，斜面坡度
是指坡面的铅直高度
与水平宽度
的比．已知斜坡
长度为20 米，
，求斜坡
的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
【答案】斜坡
的长约为10 米
【分析】过点
作
于点
，在
中，利用正弦函数求得
，在
中，利用勾
股定理即可求解．
【详解】解：过点
作
于点
，则四边形
是矩形，
在
中，
，
．∴
．
∵
，∴在
中，
（米）．
答：斜坡
的长约为10 米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
例4．（2023 年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度
，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80 米，点A 处俯角为
，楼顶C
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点处的俯角为
，已知点A 与大楼的距离
为70 米（点A，B，C，P 在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）
【答案】大楼的高度
为
．
【分析】如图，过
作
于
，过
作
于
，而
，则四边形
是矩形，可
得
，
，求解
，
，可得
，
，可得
．
【详解】解：如图，过
作
于
，过
作
于
，而
，
则四边形
是矩形，∴
，
，
由题意可得：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，∴
，
∴
，∴大楼的高度
为
．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的
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关键．
模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC 是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC 为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC 为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
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图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心
处下挂一铅锤，制作了一个简易测角
仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点
．
(1)在图1 中，过点
画出水平线，并标记观测
的仰角
．若铅垂线在量角器上的读数为
，求
的
值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地
米，站在
处观测
的仰角为（1）中的
，向前走
米到达
处，此
时观测点
的仰角为
，求树
的高度．（注：
，
，
）
【答案】(1)
(2)树
的高度为5.25 米
【分析】(1)根据互余的性质计算即可．
(2) 过点
作
，垂足为
，则
米．设
米．解直角三角形求解即可．
【详解】（1）如图1；
；
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（2）如图，过点
作
，垂足为
，则
米．设
米．
在
中，
（米），在
中，
（米），
（米），解得
．
答：树
的高度为
米．
【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一
架水平飞行的无人机在A 处测得河流左岸C 处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12 米至B
处，测得河流右岸D 处的俯角为30，线段
24 3
AM
米为无人机距地面的铅直高度，点M ，C ，D 在
同一条直线上，其中tan
2
．求河流的宽度CD （结果精确到1 米，参考数据：3
1.7
）．
【答案】河流的宽度CD 约为64 米
【分析】过点B 作BE
MD
于点E ，分别解Rt
AMC
△
、Rt
BDE
△
即可．
【详解】解：过点B 作BE
MD
于点E ．则四边形AMEB 是矩形．
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∴
24 3
BE
AM
，
12
ME
AB
∵AF
MD
∥
∴
ACM
在Rt
AMC
△
中，
90
AMC
∴tan
2
AM
MC
，∴24 3
2
MC
∴
12 3
MC
在Rt
BDE
△
中，
90
BED
，
90
30
60
DBE
∴tan
DE
DBE
BE
，∴tan 60
3
24 3
DE
，∴
24 3
3
72
DE
∴
72
12 3
12
84 12 3
84 12 1.7
84
20.4
64
CD
DE
CE
DE
MC
ME
米
答：河流的宽度CD 约为64 米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
例3．（2023 年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能
减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为
，
点O 是
的中点，
是灯杆．地面上三点D，E 与C 在一条直线上，
，
．该校学生
在D 处测得电池板边缘点B 的仰角为
，在E 处测得电池板边缘点B 的仰角为
．此时点A、B 与E 在
一条直线上．求太阳能电池板宽
的长度．（结果精确到
．参考数据：
，
，
，
）
【答案】
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【分析】过点
作
于点
，过点
作
于点
，先证
和
均为等腰直角三角
形，四边形
为矩形，
为等腰直角三角形，设
，则
，
，
，然后在
中，利用
得
，由此解出
，再利用勾股
定理求出
即可得
的长．
【详解】解：过点
作
于点
，过点
作
于点
，如图，
依题意得：
，
，
，
又
和
均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设
，则
，
，
，在
中，
，
即：
，
，解得：
，
检验：
是原方程的根．
，
在等腰
中，由勾股定理得：
，
点
为
的中点，
，
答：太阳能电池板宽
的长度约为
．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角
三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
例4．（2023 年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A 处有一坡角
的斜坡
，长
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度为30 米，在坡顶B 处测得教学楼
的楼顶C 的仰角
，离B 点4 米远的E 处有一个花台，
在E 处测得C 的仰角
，
的延长线交水平线
于点D，求
的长（结果保留根号）．
【答案】
的长为
米
【分析】作
于点
，首先根据坡度求出
，并通过矩形的判定确定出
，然后通过解
三角形求出
，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作
于点
，则由题意，四边形
为矩形，
∵在
中，
，
，
，
∴
，∵四边形
为矩形，∴
，
由题意，
，
，
，
，
∴
为等腰直角三角形，
，设
，则
，
在
中，
，∴
，即：
，
解得：
，经检验，
是上述方程的解，且符合题意，
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∴
，∴
，∴
的长为
米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC 是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC 为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB 和CD 之间有一棵古树EF，从楼顶C 处经过树顶
E 点恰好看到教学楼AB 的底部B 点且俯角α 为30°，从教学楼CD 的底部D 处经过树顶E 点恰好看到教学
楼AB 的顶部A 点，且仰角β 为53°，已知树高EF＝6 米，求DF 的长及教学楼AB 的高度．（结果精确到
0.1 米，参考数据：
＝1.73、sin53°≈
、cos53°≈
、tan53°≈
）
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF 中，EF＝6 米，
tan∠ADB＝tan53°＝
≈
，tan∠CBD＝tan30°＝
，
解得DF＝4.5，BF＝6
，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6
）米，
在Rt△ABD 中，tan∠ADB＝tan53°＝
≈
，解得AB＝6+8
≈19.8，
∴DF 的长约为4.5 米，教学楼AB 的高度约为19.8 米．
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例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB 和CD 的高度，小明将木杆EF
放在楼AB 和CD 之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G 处（A、F、G 三点在一条直线上），测得
楼AB 顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H 处（D、F、H 三点在一条直线上），测得楼CD 顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H 均在同一
平面内，结果精确到0.1 米，
≈1.732）（1）求楼AB 的高度；（2）求楼CD 的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG 中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21×
＝7
≈12.1（m），∴楼AB 的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG 中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6×
＝2
（m），在Rt△FEH 中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝
＝
＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH 中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16
≈27.7（m）．∴楼CD 的高度约为27.7m．
例3．（2023 年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：
如图，把支架
放在离树
适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架
上的点E
处，然后沿着直线
后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量
，
，观测者目高
的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知
于点D，
于点F，
于点B，
米，
米，
米，
米，则这棵树的高度（
的长）是 米．
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【答案】4.1
【分析】过点
作水平线交
于点
，交
于点
，根据镜面反射的性质求出
，再根据
对应边成比例解答即可．
【详解】过点
作水平线交
于点
，交
于点
，如图，
∵
是水平线，
都是铅垂线．∴
米，
米，
米，
∴
（米），又根据题意，得
，
∴
，
，即
，解得：
米，
∴
(米)．故答案为：
．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成
比例是解答此题的关键．
例4．（2023 年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔
前有一座高为
的观景台，已知
，点E，C，A 在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为
，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为
．(1)求
的长；(2)设塔
的高度为h（单位：m）．①用含有h 的式子表示线段
的长（结果保留根号）；②求
塔
的高度（
取0.5，
取1.7，结果取整数）．
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【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）根据含30 度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在
和
中，利用锐角三角函数定义求得
，
，进而可求解；
②过点
作
，垂足为
．可证明四边形
是矩形，得到
，
．在
中，利用锐角三角函数定义得到
，然后求解即可．
【详解】（1）解：在
中，
，∴
．即
的长为
．
（2）解：①在
中，
，∴
．
在
中，由
，
，
，
则
.∴
．即
的长为
．
②如图，过点
作
，垂足为
．
根据题意，
，∴四边形
是矩形．
∴
，
．可得
．
在
中，
，
，∴
．即
．
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∴
．答：塔
的高度约为
．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30 度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角
函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
课后专项训练
1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节
杆
，
，
的最大仰角为
.当
时，则点
到桌面的最大高度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过点
作
于
，过点
作
于
，利用解直角三角形可得
，
，根据点
到桌面的最大高度
，即可求得答案．
【详解】如图，过点
作
于
，过点
作
于
，
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在
中，
，在
中，
，
点
到桌面的最大高度
，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形
解决问题．
2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知
，
，则房顶A 离地面
的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点A 作AD⊥BC 于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可
求得答案．
【详解】解：过点A 作AD⊥BC 于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，∴
m，
，即
，
房顶A 离地面
的高度为
，故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
3．（2023 年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照
近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯
塔最高点A 的仰角
，再沿
方向前进至C 处测得最高点A 的仰角
，
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，则灯塔的高度
大约是（ ）（结果精确到
，参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在
中，得出
，设
，则
，
，在
中，根据正
切得出
，求解即可得出答案．
【详解】解：在
中，
，
，
设
，则
，
，在
中，
，
，
，
灯塔的高度AD 大约是
．故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度
数．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5 12
∶
的山坡上
走1300 米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250
)米 B．(600
－250)米 C．(350＋350
)米 D．500
米
【答案】B
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
AB=1300
∵
米，∴在Rt
ABE
△
中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
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即
，解得k=100．∴AE=1200 米，BE=500 米．
设EC=x 米，∵∠DBF=60°，∴DF=
x 米．又∵∠DAC=30°，∴AC=
CD．
1200+x=
∴
（500+
x），解得x=600
250
﹣
．∴DF=
x=600
750
﹣
．
CD=DF+CF=600
∴
250
﹣
（米）．∴山高CD 为（600
250
﹣
）米．故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特
殊角的三角函数值；待定系数法的应用．
5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高
的天桥，已知天桥斜面
的坡度为
，
则斜坡
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出
的长，再利用勾股定理得出
的长．
【详解】∵
，
，∴
，解得：
，
则
．故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键．
6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前
进行体温检测．某学校大门
高6.5 米，学生
身高1.5 米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，
在点D 处测得摄像头A 的仰角为
，当学生刚好离开体温检测有效识别区域
段时，在点C 处测得摄
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像头A 的仰角为
，则体温检测有效识别区域
段的长为（ ）
A．
米
B．
米
C．10 米
D．5
米
【答案】B
【分析】由题意得
米，分别在
和
中，利用三角函数求出
，即可得解．
【详解】解：由题意得，
米，
米，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
米．故选B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
7．（2023 年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中
处探测到某地面目标在点
处，此时飞
行高度
米，从飞机上看到点
的俯角为
飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平
行直线上同向运动．当飞机飞行
米到达点
时，地面目标此时运动到点
处，从点
看到点
的仰角
为
，则地面目标运动的距离
约为 米．（参考数据：
）
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】根据题意可得，
，
，
，
，
，
，
如图所述，过点
作
于点
，在
中，根据正切的计算方法可求出
的值，在
中根据角的正切值可求出
的值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
，
，
，
，
，
，
∴如图所述，过点
作
于点
，
∵
，即
，且
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，即
，
，
在
，
，
，
∴
，则
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，则
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是
解题的关键．
8．（2023 年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，
无人机从地面
的中点A 处竖直上升30 米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为
，尚美楼顶部F 的
俯角为
，已知博雅楼高度
为15 米，则尚美楼高度
为 米．（结果保留根号）
淘宝：学思创想
【答案】
/
【分析】过点E 作
于点M，过点F 作
于点N，首先证明出四边形
是矩形，得到
，然后根据等腰直角三角形的性质得到
，进而得到
，然后
利用
角直角三角形的性质和勾股定理求出
，即可求解．
【详解】如图所示，过点E 作
于点M，过点F 作
于点N，
由题意可得，四边形
是矩形，∴
，∵
，∴
，
∵博雅楼顶部E 的俯角为
，∴
，∴
，∴
，
∵点A 是
的中点，∴
，由题意可得四边形
是矩形，∴
，
∵尚美楼顶部F 的俯角为
，∴
，∴
，∴
，
∴在
中，
，∴
，∴解得
，
∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
9．（2023·浙江·校考三模）如图1 是两扇推拉门，AB 是门槛，AD，BC 是可转动门宽，且AB＝2AD＝
2BC．现将两扇门推到如图2（图1 的平面示意图）的位置，其中
，且点A，C，D 在一条直线上，
淘宝：学思创想
测得A，C 间的距离为
cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P 在AB 上，
且AP＝54cm，点M 是AD 上一动点，将点M 绕点P 顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是
_______cm．
【答案】 90cm
【分析】（1）过点C 作CE⊥AB，根据
，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根
据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接
，判断当AP＝MP 时，
，此时
最小，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点C 作CE⊥AB，
在Rt△BCE 中，∵
，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，
∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x
3
﹣x＝7x，在Rt△AEC 中，AD2+CD2＝AC2，
∴
，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；
（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，
淘宝：学思创想
当AP＝MP 时，
，此时
最小，
∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴
，点
在AB 边上，
连接
，此时
，∴
，∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．
10．（2023 年浙江省绍兴市中考数学真题）图1 是某款篮球架，图2 是其示意图，立柱
垂直地面
，
支架
与
交于点
，支架
交
于点
，支架
平行地面
，篮筺
与支架
在同一
直线上，
米，
米，
．
(1)求
的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上
篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长
交于点
，根据题意得出
，解
，求得
，根据
与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵
，∴
，
∵
，∴
．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长
交于点
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
又∵
，∴
，
在
中，
，
∴
，∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题
的关键．
11．（2023 年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背
景
素
材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发
射塔的高度
（如图1）．他们通过自制的测
倾仪（如图2）在
，
，
三个位置观测，测
倾仪上的示数如图3 所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任
分析规划
选择两个观测位置：点_________和点_________
淘宝：学思创想
务
1
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之
间的图上距离．
任
务
2
推理计算
计算发射塔的图上高度
．
任
务
3
换算高度
楼房实际宽度
为
米，请通过测量换算发射
塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1
．
【答案】规划一：[任务 1]选择点
和点
；
，
，
，测得图上
；
[任务 2]
；[任务 3]发射塔的实际高度为
米；规划二：[任务 1]选择点
和点
．[任务 2]
；[任务 3]发射塔的实际高度为
米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点
和点
,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点
作
于点
，过点
作
于点
，设
．根据
，
，得出
，
．由
，解得
，根
据
，得出
，即可求解；
[任务3 ]测得图上
，设发射塔的实际高度为米．由题意，得
，解得
，
规划二：[任务 1]选择点
和点
．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
；
[任务 2]如图2，过点
作
于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，则
，设
．根据
，
，得出
，
．根据
，得出
，然后根据
，得出
，进而即可求
解．[任务 3]测得图上
，设发射塔的实际高度为米．由题意，得
，解得
，即可
求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：[任务 1]选择点
和点
．
淘宝：学思创想
，
，
，测得图上
．
[任务 2]如图1，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
则
，设
．
∵
，
，∴
，
．
∵
，∴
解得
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
[任务3 ]测得图上
，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得
，解得
，∴发射塔的实际高度为
米．
规划二：[任务 1]选择点
和点
．
，
，
，测得图上
．
[任务 2]如图2，过点
作
于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，则
，设
．
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，
．
∵
，∴
，解得
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
[任务 3]测得图上
，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得
，解得
．∴发射塔的实际高度为
米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
12．（2023 年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需
在气体净化设备上增加一条管道
，已知
，
，求管
道
的总长．
【答案】18m
【分析】如图：过点
作
于点
，由题意易得
，进而求得
，再通过解直角三
角形可得
，然后求出
即可解答．
【详解】解：如图：过点
作
于点
， 由题意，得
，
∵
，∴
．∵
，∴
．
淘宝：学思创想
∴
．即管道
的总长为
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得
是解答本题的关键．
13．（2023 年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线
，
及在黑板上
的投影图像高度
抽象成如图所示的
，
．黑板上投影图像的高度
，
与
的夹角
，求
的长．（结果精确到1cm．参考数据：
，
，
）
【答案】
的长约为
【分析】在
中，由
，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在
中，
，
，
，
∴
．∴
的长约为
．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题
的关键．
14．（2023 年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用
量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1 所示．
淘宝：学思创想
(1)如图2，在
点观察所测物体最高点
，当量角器零刻度线上
两点均在视线
上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为
，设仰角为
，请直接用含
的代数式示
．
(2)如图3，为了测量广场上空气球
离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点
分别测得气球
的仰角
为
，
为
，地面上点
在同一水平直线上，
，求气球
离地
面的高度
．（参考数据：
，
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，
，在
中，
，由等腰直角三角形性质得到
；在
中，
，由
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知
，在
中，
，则
，即
，
；
（2）解：如图所示：
，在
中，
，由等腰直角三角形性质得到
，
淘宝：学思创想
在
中，
，由
，
即
，解得
，
气球
离地面的高度
．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高
等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
15．（2023 年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1 是搭成的“倍力桥”，纵梁
夹住横梁
，使
得横梁不能移动，结构稳固．
图
是长为
，宽为
的横梁侧面示意图，三
个凹槽都是半径为
的半圆．圆心分别为
，纵梁是底面
半径为
的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭
“桥”，间隙忽略不计．
探究：图是“桥”侧面示意图，
为横梁与地面的交点，
为圆心，
是横梁侧面两边的
交点．测得
，点
到
的距离为
．试判断四边形
的形状，并求的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12 根横梁绕成环，图4 是其侧面示意图，内部形成十二边形
，求的值；
②若有
根横梁绕成的环（
为偶数，且
），试用关于
的代数式表示内部形成的多边形
的周长．
淘宝：学思创想
【答案】探究1：四边形
是菱形，
；探究2：①
；②
【分析】探究1：根据图形即可判断出
形状；根据等腰三角形性质可求出
长度，利用勾股定理
即可求出
长度，从而求出值．
探究2：①根据十二边形的特性可知
，利用特殊角正切值求出
长度，最后利用菱形的性
质求出
的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知
的度数，利用特殊角正切值求出
和
长度，最后利用菱形的性质求出
的长度，从而求得值．
【详解】解：探究1：四边形
是菱形，理由如下：
由图1 可知，
，
，
为平行四边形．
桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形
每条边上的高相等，
∵
的面积等于边长乘这条边上的高，
每条边相等，
为菱形．
②如图1，过点
作
于点
．
淘宝：学思创想
由题意，得
，
．∴
．
在
中，
，∴
．
∴
．故答案为：
．
探究2：①如图2，过点
作
于点
．
由题意，得
，
．
．
又
四边形
是菱形，∴
．∴
．
故答案为：
．
②如图3，过点
作
于点
．
由题意，形成的多边形为正
边形，
外角
．
在
中，
．
又
，∴
．
淘宝：学思创想
形成的多边形的周长为
．故答案为：
．
【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关
键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
16．（2023 年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1 是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在
摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头
的仰角、俯角均为
，摄像头高度
，
识别的最远水平距离
．
(1)身高
的小杜，头部高度为
，他站在离摄像头水平距离
的点C 处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高
的小若，头部高度为
，踮起脚尖可以增高
，但仍无法被
识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为
（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精
确到
，参考数据
）
【答案】(1)
(2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出
长度，再利用三角形全等可求出
，最后利用矩形的
性质求出
的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出
长度，再利用三角形全等可求出
，最后利用矩形的性质求出
的长度，即可求出
长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点
作
的垂线分别交仰角、俯角线于点
，
，交水平线于点
，如图所示，
淘宝：学思创想
在
中，
．
．
，
．
．
，
，
小杜下蹲的最小距离
．
（2）能，理由如下：过点
作
的垂线分别交仰角、俯角线于点
，
，交水平线于点
，如图所示，
在
中，
．
，
，
．
，
．小若垫起脚尖后头顶的高度为
．
小若头顶超出点N 的高度
．
小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性
质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握
相关概念、性质和全等方法．
17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知
，
，
，
，
．
（结果精确到0.1
，参考数据：
，
，
，
，
，
）。(1)连结
，求线段
的长．(2)求点A，B 之间的距离．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点C 作
于点F，根据等腰三角形的性质可得
，
，
再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结
．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l
经过点C．从而得到四边形DGCE 是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D 作
于点G，过点E 作
EH⊥AB 于点H，可得
，从而得到
，再利用锐角三角函数，即可求解．
(1)解：如图2，过点C 作
于点F，
∵
，∴
，
平分
．∴
，
∴
，∴
．
(2)解：如图3，连结
．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l 经过点C．∴
，
，∴AB∥DE．
过点D 作
于点G，过点E 作EH⊥AB 于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，∴四边形DGCE 是矩形，
∴DE=HG，∴DG∥l， EH∥l，∴
，
∵
，BE⊥CE， ∴
，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图
是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文
仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，
日影长度最短的那一天定为夏至．图2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表
垂直圭
，
已知该市冬至正午太阳高度角（即
为
，夏至正午太阳高度角（即
为
，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即
的长）为4 米．(1)求∠BAD 的度数．(2)求表AC 的长（最后结果精确到0.1
米）．（参考数据：sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
，tan84°≈
）
【答案】(1)47°(2)3.3 米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；（2）分别求出
和
的正切值，用
表示出
和
，得到一个只含有
的关系式，再解答即可．
(1)解：
，
，
，答：
的度数是
．
(2)解：在Rt△ABC 中，
，∴
．同理，在Rt△ADC 中，有
．
∵
，∴
．∴
，∴
（米）．
答：表AC 的长是3.3 米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
19．（2022·浙江金华·中考真题）图1 是光伏发电场景，其示意图如图2，
为吸热塔，在地平线
上
的点B，
处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点
旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面
淘宝：学思创想
反射后到达吸热器点F 处．已知
，在点A 观测点F 的仰角为
．
（1）点F 的高度
为______m．（2）设
，则
与
的数量关系是_______．
【答案】 9
【分析】（1）过点A 作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG
的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线
的性质求解即可．
【详解】（1）过点A 作AG⊥EF，垂足为G．∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG 是矩形，∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，∴FG=AG=EB=8m，∴EF=FG+EG=9(m)．故答案为：9；
（2）
．理由如下：∵∠
E=∠
EG=∠EG
=90°，
∴四边形
EG 是矩形，∴EG=
=1m，
G=E
=
，
∴tan∠
FG=
，∴∠
FG=60°，∠F
G=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠F
M=2n，
淘宝：学思创想
∵ 光线是平行的，∴AN∥
M，∴∠GAN=∠G
M，∴45°+2m=30°+2n，解得n-m=7.5°，
根据光路图，得
，∴
，
故
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟
练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1 是新金婺大桥的效果
图．2022 年4 月13 日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段
为主塔，
在离塔顶10 米处有一个固定点
米．在东西各拉一根钢索
和
，已知
等于214 米．吊
装时，通过钢索
牵拉，主塔
由平躺桥面的位置，绕点O 旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时
，此时一名工作人员在离M
米的B 处，在位于B 点正上方的钢索上A 点处挂彩旗．
正
好是他的身高
米．（1）主塔
的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索
也
始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，
与水平桥面的最大张角在
到
之间即
，
的取值范围是 _____．（注：
，
）．
【答案】 82
##
【分析】（1）过点Q 作
交于G 点，得到
，则
，再由
，可得
，求出
，再求
米，即求
的长；
（2）在
中，
，在
中，
米，
米，
淘宝：学思创想
，再由
，由题可知
，则
．
【详解】解：过点Q 作
交于G 点，
∵
米，
米，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
米，∴
，解得
米，∴
米，
∵
米，∴
米，故答案为：82；
（2）解：在
中，
，在
中，
米，
米，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值定义，准确计算是解题的关键．
淘宝：学思创想
