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专题13 十字形模型（全等三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、正方形的十字架模型（全等模型）............................................................................1
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）.................................................................2
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）..................................................2
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）..............................................3
（3）直角三角形中的十字模型.................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................6
正方形“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生
了两组相等的锐角及一组全等的三角形。“十字架模型”的口诀是：“对边所夹两线段，垂直必相
等”。简单来说，如果一个正方形的对边被两条线段所夹，那么这两条线段垂直且长度相等。三角
形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，可以利用十字形构造出全等或相
似的三角形，从而解决各种几何问题。
1、正方形的十字架模型（全等模型）
（1）如图，在正方形ABCD 中，若E、F 分别是BC、CD 上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
（2）如图，在正方形ABCD 中，若E、F、G 分别是BC、CD、AB 上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
（3）如图，在正方形ABCD 中，若E、F、G、H 分别是BC、CD、AB、AD 上的点，EH⊥GF；则
HE=GF。
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD 和BE 夹角为60°，△ABC。
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）
如图2，在△ABC 中，AB=BC，AB⊥BC，①D 为BC 中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦
，以上七个结论中，可“知二
得五”。
（3）直角三角形中的十字模型
如图3，在三角形ABC 中，BC=kAB，AB⊥BC，D 为BC 中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相
似）
（2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD 的边BC 上任取一点F，连接AF，一条与AF 垂
直的直线l（垂足为点P）沿AF 方向，从点A 开始向下平移，交边AB 于点E．
（1）当直线l 经过正方形ABCD 的顶点D 时，如图1 所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l 经过AF 的中点时，与对角线BD 交于点Q，连接FQ，如图2 所示．求∠AFQ 的度数；
（3）直线l 继续向下平移，当点P 恰好落在对角线BD 上时，交边CD 于点G，如图3 所示．设AB
＝2，BF＝x，DG＝y，求y 与x 之间的关系式．
真题演练
【答案】（1）见详解；（2）
；（3）
【详解】（1）证明：∵四边形
是正方形，
∴
，
∵AF⊥ED，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：连接AQ，过点Q 作QM⊥AD 于点M，并延长MQ，交BC 于点N，如图所示：
∵点P 是AF 的中点，AF⊥EQ，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴四边形MNCD 是矩形，△MDQ 是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
；
（3）过点D 作DH∥EG，交AB 于点H，如图所示：
∴四边形HEGD 是平行四边形，
∴
，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥HD，
由（1）中结论可得
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
与
之间的关系式为
．
（1）感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 为边AB 上一点（点E 不与点AB 重合），连接DE，过
点A 作
，交BC 于点F，证明：
．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 上的点（点E，F 不与正方形的顶
点重合），连接EF，作EF 的垂线分别交边AD，BC 于点G，H，垂足为O．若E 为AB 中点，
，
，求GH 的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD
上，
，BF，AE 相交于点G．若
，图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为
2：3，则
的面积为______，
的周长为______．
【答案】感知：见详解探究：
；应用：
，
【详解】感知：
证明：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
探究：
解：分别过点
、
作
，
，分别交
、
于点
、
，如图②所示：
四边形
是正方形，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
巩固练习
，
，
，
，
，
同理，四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
为
中点，
，
，
，
；
应用：
解：
，
，
阴影部分的面积与正方形
的面积之比为
，
阴影部分的面积为：
，
空白部分的面积为：
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
则
，
，
，
，
即
，
，即
，
的周长为
，
故答案为：
，
．
