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专题08 倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
【“倍长中线”模型】...........................................................................................................2
1、倍长中线型（基本型）.........................................................................................2
2、类中线 / 中点型（一）........................................................................................2
3、类中线 / 中点型（二）........................................................................................2
【“截长补短”模型】...........................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
【“倍长中线”问题专练】...................................................................................................3
【“截长补短”问题专练】...................................................................................................9
巩固练习...................................................................................................................................10
“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中
线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运
用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条
中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，
然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即
两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。
如图①，若证明线段AB、CD、EF 之间存在 EF＝AB＋CD，可以考
虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF 上截取EG＝AB，再证GF＝CD 即可。
补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH＝CD，再证AH＝EF 即
可。
专题目录
模型解读
【“倍长中线”模型】
1、倍长中线型（基本型）
如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线；
证明思路：延长AD 至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA；
若连结EC，则△ABD≌△ECD。
2、类中线 / 中点型（一）
如图，在△ABC 中，D 是BC 中点；
证明思路：延长FD 至点E 使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。
3、类中线 / 中点型（二）
如图，C 为AB 的中点；
证明思路：若延长EC 至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF；
若延长DC 至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。
常见类型讲解
【“截长补短”模型】
如下图，若要求证AB＋BD＝AC，
1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。
思路：可以在线段AC 上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD 即可。
2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
思路：延长AB 至点C′使得AC'＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD 即可。
【“倍长中线”问题专练】
（2020·山东德州·中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB＝6，AC＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她
的做法是：延长AD 到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得
到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD 的判定定理是： ；
（2）AD 的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F，连结BF 并延长交AC 于点E，使AE＝EF，
真题演练
求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD 中，AB/BC=1/2，在BD 上取一点F，以BF 为斜边作Rt△BEF，且EF/
BE=1/2，点G 是DF 的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析；（4）见解析
【详解】解：（1）如图，AD 是中线，
在
与
中，
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）证明：延长
至点
，使
，
∵
是
的中线
∴
在
和
中
∴
，
∴
，
又∵
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
∴
，
又∵
∴
（4）证明：延长
至点
使
，连接
、
、
∵G 为
的中点
∴
在
和
中
∴
∴
在
中，∵
，
∴
又矩形
中，
∴
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
又
为
的外角，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
在
和
中，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∵G 为
的中点，
∴
，
即
．
（2020·四川乐山·中考真题）点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不
与点A、C 重合），分别过点A、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E、F．点O 为AC 的中点．
（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 OE＝OF ；
（2）当点P 运动到如图2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍
然成立？
（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE 之间的
关系．
【答案】（1）
；（2）补图见解析，
仍然成立，证明见解析；（3）
，证明见解析
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
仍然成立，
证明如下：延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵点
为
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）当点
在线段
的延长线上时，线段
、
、
之间的关系为
，
证明如下：延长
交
的延长线于点
，如图所示，
由（2） 可知
，
∴
，
，
又∵
，
，
∴
，
∴
．
【“截长补短”问题专练】
（2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE＝AD．EC
与BD 相交于点G，与AD 相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE 的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG
DG=
﹣
❑√2AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到
截长补短的方法）
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF 和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90º，
∴∠E+∠ABD=90º，
∴∠EGB=90º，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴
，又AF=AB=1，
∴
即
，
解得：
，
（舍去）
即AE=
；
（3）在EG 上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH 和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90º，
∴∠DAG+∠DAH=90º，
∴∠HAG=90º，
∴△GAH 是等腰直角三角形，
∴
即
，
∴GH=
AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴
．
1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
巩固练习
(1)如图1，△ABC 中，若AB=5，AC=3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交
流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答
过程．
(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E，交AD 于F，且AE=EF．请判断AC 与BF 的数量关
系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC=BF，理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC 和△EDB 中
∵
，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE=AC=3．
∵AB-BE<AE<AB+BE
∵2<AE<8．
∵AE=2AD
∴1<AD<4．
（2）AC=BF，理由如下：
延长AD 至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC 和△GDB 中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS）．
∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAE．
∴∠DAC=∠AFE=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∴AC=BF．
2、阅读材料：如图1，在
中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线
平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F，使
，连接CF，证明
，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD 是
的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F，且
，
求证：
．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD 至点M，使
，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边
中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接
AD．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE，F 是线段BE 的中点，连接DF、CF．请你判
断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）
，证明见解析
【详解】（1）证明：延长AD 至M，使
，连接MC．
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）线段DF 与AD 的数量关系为：
．
证明如下：延长DF 至点M，使
，连接BM、AM，如图2 所示：
∵点F 为BE 的中点，
∴
在
和
中，
∵
，
∴
∴
，
，
∴
∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE
∴
，
，
∴
∵
是等边三角形
∵
，
，
∴
∵
，
∴
在
和
中，
∵
，
∴
∴
，
，
∴
∴
是等边三角形，
∴
．
3、课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在
中，
平分
交
于点D，且
，求证：
，小明的方法是：如图2，在
上截取
，使
，
连接
，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段
构造
全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长
至F，使
=______，连接
请补全小天提出的
辅助线的画法，并在图1 中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D 在
的内部，
分别平分
，且
．
求证：
．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在
中，
，点D 在边
上，
，那么
平分
小东判
断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4 对这个命题进行证明．
【答案】(1)
，证明见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长
至F，使
，连接
，则
，
∴
，
∵
平分
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
（2）证明：如图3，在
上截取
，使
，连接
∵
分别平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）证明：如图4：延长
至G，使
，连接
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
∴
，即
平分
．
