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专题 12.17 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们
在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和
倍长中线法.
【知识点一】截长补短法
截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与
另一短边相等。
补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明
新线段与最长的已知线段的关系。
【知识点二】倍长中线法
倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要
连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线
倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】截长补短
【例1】已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且 、 交于点 ．
若 、 为 的角平分线．(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；(2)10
【分析】（1）由题意 ，根据 ，即可解决问
题；
（2）在 上截取 ，连接 ．只要证明 ，推出 ，
，再证明 ，推出 ，由此即可解决问题．
（1）解： 、 分别为 的角平分线，
， ，
，
；
（2）解：在 上截取 ，连接 ．
、 分别为 的角平分线
， ，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知
条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
解：延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【变式2】如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合， ．
求证： ．
【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关
系即可得答案．
解：在AC上截取AE=AB，连接PE，
∵AD平分 ，
∴ ．
在 和 中，∴ ．
在 中， ，
∵ ，AE=AB，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟
练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
【题型2】倍长中线
【例2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知 中， ， ， 是
的中线，求 的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长 到 ，使 ，连接
，证明 ，得出 ，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，∵ 是 的中线，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，即 ，
．
【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互
补的两个三角形叫兄弟三角形．如图， ， ， ．回答下列问题：
(1)求证： 和 是兄弟三角形．
(2)取 的中点 ，连接 ，试说明 ．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中
线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造 ，并证明 ．
②求证： ．【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线
是解题的关键．
（1）证出 ，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长 至 ，使 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
②证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论．
解：（1）证明： ，
，
又 ， ，
和 是兄弟三角形；
（2）证明：①延长 至 ，使 ，
为 的中点，
，
在 和 中，
，，
；
② ，
，
∴ ，
，
又 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在 中， 是 边上的中线，
和 的周长之差为 ，且 的长是 ．
(1)求 的长；
(2)求 长度的取值范围；
(3)若 ， 是 的中点，如图 ，直接写出 的面积．
【答案】(1) ； (2) ；(3)
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定；（1）根据三角形的中线的性质，得出 ，根据题意得出 ，即可求解；
（2）倍长中线，延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，得出 ，
，进而根据三角形的三边关系，即可求解．
（3）根据三角形的面积公式求得 ，进而根据三角形的中线的性质，即可求解．
（1）解：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ 和 的周长之差为 ，
∴ ，
∵ 的长是 ．
∴ ；
（2）解：如图所示，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
在 中， ，即
∵ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明
可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上
述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的
边上的中线长 的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到 ，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向
延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，
是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的
方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三
角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画
法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证：
．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分 小东判断这
个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【分析】（1）延长 至F，使 ，连接 ，根据三角形的外角性质得到 ，则可利
用 证明 ，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，则可利用 证明 ，根据全等三角形的
性质即可证明结论；
（3）延长 至G，使 ，连接 ，则可利用 证明 ，根据全等三角形的性质、
角平分线的定义即可证明结论．
解：（1）证明：（1）如图1，延长 至F，使 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
（2）证明：如图3，在 上截取 ，使 ，连接
∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）证明：如图4：延长 至G，使 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，即 平分 ．
【点拨】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形
的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
【例2】（22-23八年级上·广东汕头·期末）（1）阅读理解：如图1，在 中，若 ， ．
求 边上的中线 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长 至 ，使 ，连接 ．利用
全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值范围，在这个过程中小
聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线 的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在 中，点 是 的中点， ． 交 于点 ， 交
于点 ．求证： ；
（3）问题拓展：如图3，在 中，点 是 的中点，分别以 ， 为直角边向 外作
和 ，其中 ， ， ，连接 ，请你探索 与
的数量与位置关系．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3） ，
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，利用“ ”证明 ，由全等三角形
的性质可得 ，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边”求解即可；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，利用“ ”证明 ，易得
，可知 为 的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得 ，然后由三角形的三边关系可证明结论；
（3）延长 于 ，使得 ，连接 ，延长 交 于 ，首先证明 ，由全等
三角形的性质可得 ， ，再证明 ，可得 ，
，进而可证明 ．
解：（1）如图1，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 为 边上的中线， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据三角形三边关系可得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）如图2中，延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ；
（3）结论： ， ，
如图3，延长 于 ，使得 ，连接 ，延长 交 于 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、
垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
