难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型（原卷版）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮知识梳理_难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型1

难点与解题模型 12 特殊全等三角形五种热考模型 题型一：一线三等角模型 题型二：手拉手模型 题型三：倍长中线模型 题型四：截长补短模型 题型五：半角模型 题型一：一线三等角模型 三步模型抽离法 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解 题步骤如下: 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个三角形共顶点; 特征2:是否存在一条直线上有三个等角; 特征3:是否存在等线段 第二步：抽离模型 在题图中抽离出两个全等三角形 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下: 类型 图示 条件 结论 同侧 点P在线段AB上， △APC≌△BDP 一线 ∠1=∠2=∠3，且 三等 AP=BD 角 (或AC=BP或CP=PD) 异侧 点P在线段AB的延长 △APC≌△BDP 一线 线上,∠1=∠2=∠3， 三等 且AP=BD(或AC=BP 扇 或CP=PD) 【中考母题学方法】 【典例1-1】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线 和边 上， ， ．用等式写 出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形 中，点E在对角线 上，点F在边 的延长线上， ， ． 用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【典例1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽 在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线 三直角模型”．如图2，在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转90°得到线段BD，作 交AB的延长线于点 ．(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点 ，若 ， ，求 的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点 ，则 ______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长度． 【典例1-3】（2024·辽宁·中考真题）如图，在 中， ， ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 ．图1 图2 图3 (1)如图1，求证： ； (2)如图2， 的平分线与 的延长线相交于点 ，连接 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位置时，连接 ． ①求证：点 是 的中点； ②若 ，求 的面积． 【典例1-4】（2024·海南·中考真题）正方形 中，点E是边 上的动点（不与点B、C重合）， ， ， 交 于点H， 交 延长线于点G．(1)如图1，求证： ； (2)如图2， 于点P，交 于点M． ①求证：点P在 的平分线上； ②当 时，猜想 与 的数量关系，并证明； ③作 于点N，连接 ，当 时，若 ，求 的值． 【典例1-5】（2024·重庆·中考真题）在 中， ， ，过点 作 ．(1)如图1，若点 在点 的左侧，连接 ，过点 作 交 于点 ．若点 是 的中点，求证： ； (2)如图2，若点 在点 的右侧，连接 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ． 过点 作 交 于点 ， 平分 交 于点 ，求证： ； (3)若点 在点 的右侧，连接 ，点 是 的中点，且 ．点 是直线 上一动点，连接 ， 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，点 是直线 上一动点，连接 ， ．在点 的运动 过程中，当 取得最小值时，在平面内将 沿直线 翻折得到 ，连接 ．在点 的运动过 程中，直接写出 的最大值． 【中考模拟即学即练】 【变式1-1】（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c 的边长为4，则正方形b的面积是 ．【变式1-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在 中， ， ， 于点 E，且 ．求证： ． 【变式1-3】（2024·甘肃嘉峪关·二模）矩形 中， ，点 是边 的中点，连接 ， 过点 作 的垂线 ，与矩形的外角平分线 交于点 ． (1)【特例证明】如图（1），当 时，求证： ； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在 上截取 ，连接 ． ， ． ， ， ， ． 平分 ， ，． ． ∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过 程） (2)【类比探究】如图（2），当 时，求 的值（用含k的式子表示）． 【变式1-4】（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形 中， ， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过B作 于点E．求证： ． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以 为直角边作等腰直 角 ，使 ，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形 中， ， ，点P是 边上的一个动点（点P与点B，C 都不重合），现将 沿直线 折叠，使点C落到点F处；过点P作 的角平分线交 于点 E．设 ， ，则y与x的函数关系是_______， 最大值为______．题型二：手拉手模型 三步模型抽离法 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个等腰三角形; 特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点 第二步：抽离模型 以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下： 图示 OC在△OAB内且拉手 OC在△OAB外且拉手 OC在△OAB外且拉手 线无交点 线无交点 线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若 拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 【中考母题学方法】 【典例2-1】（2024·新疆·中考真题）【探究】 （ ）已知 和 都是等边三角形．①如图 ，当点 在 上时，连接 ．请探究 和 之间的数量关系，并说明理由； ②如图 ，当点 在线段 的延长线上时，连接 ．请再次探究 和 之间的数量关系，并说 明理由． 【运用】 （ ）如图 ，等边三角形 中， ，点 在 上， ．点 是直线 上的动点，连接 ，以 为边在 的右侧作等边三角形 ，连接 ．当 为直角三角形时，请直接写出 的长． 【典例2-2】（2024·广西·中考真题）如图1， 中， ， ． 的垂直平分线分别交 ， 于点M，O， 平分 ． (1)求证： ； (2)如图2，将 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ．连接 ， ①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由； ②当 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．【典例2-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ． (1)求证： ， ； (2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出 与 的位置关系：___________________； ②求证： ． 【中考模拟即学即练】 【变式2-1】（2024·浙江宁波·二模）如图 与 均为等腰直角三角形， ，直线 与直线 交于点 ，在 与 绕点 任意旋转的过程中， 到直线 的距离的最小值为（ ）A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·吉林长春·二模）如图，点 为线段 上一点， 、 都是等边三角形， 、 交于点 ， 、 交于点 ， 、 交于点 ，连结 ，给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【变式2-3】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板 抽象成如图2所示的 和 ，其中 ，点 、 、 依次在同一条直线上，连 结 ．若 ， ，则 的面积是 ． 【变式2-4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点 是正方形 对角线的交点， 是等腰直角 三角形， ， ，当 的顶点 在线段 （不与 ， 重合）上绕点 旋转的过程 中，直角边 交边 于点 ，直角边 交边 于点 ．(1)如图1，当点 与点 重合时，求证： ； (2)如图2，当 （ 为正整数， ）时，在旋转过程中， ①请写出线段 ， 之间的数量关系，并说明理由； ②若 ， ，求 的长（用含 ， 的代数式表示）． 题型三：倍长中线模型 倍长中线 图一图二 图三 3、过端点向中线作垂线 【中考母题学方法】 【典例3-1】（山东泰安·中考真题）若VABC和△AED均为等腰三角形，且BAC EAD90．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF CD．求证：①EBDC，② EBGBFC． 【典例3-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题 变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题． 2．等腰三角形+底边中 3．直角三角形+斜边中 4．两个中 题眼 1．普通三角形+中点 点 点 点 大致图形 辅助线名 倍长中线 三线合一 斜边中线 中位线 称 延长 到点E， 具体做法 连接 连接 连接 使 ，连接 产生效果 ① ②(1)请在①，②中任选择一个填空： 你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个） (2)如图①，在三角形中， 是 的一条中线， ，求 的长． (3)如图②，在 中， ，点 是边 上两个不同的动点，以 为边在 内部（包括边界）作等边三角形 ，点 ，F分别是 的中点，当 的周长取最 大值时，求线段 的长． 【典例3-3】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在 中， ， ，第三边上的中线 ，则 的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长 至点 ，使得 ，连结 ，根据“ ”可以判定 __________， 得出 ．在 中， ， ， ，故中线 的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长 中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知 ， ， ，连接 和 ，点 是的中点，连接 ．求证： ．小明发现，如图④，延长 至点 ，使 ，连接 ， 通过证明 ，可推得 ． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长 至点 ，使 ，连接 ， ∵点 是 的中点， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在 和 中， ， ， ，点 M，N分别是 和 的中点．若 ， ，则MN的取值范围是 ． 【中考模拟即学即练】 【变式3-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形 中， °， 为边BD上一点， 连接 ， ， 为 的中点，延长BM交DE的延长线于点 ， 交BM于点 ，连接 交CE于 点 ． (1)求证 ； (2)若 ， ，求证：四边形 为矩形．【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在 中， ，点D，E分别在边AB， 上， ，连接DE， CD， ， 为CD的中点，连接 ． 【数学思考】 （1）线段 与 的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把 绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若 是 的中点，连接AN，若 ，直接写 出CD的长．【变式3-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边 中， 为 边上一点， 于 ． (1)如图1，若 ， ，求 的值； (2)如图2，线段 的垂直平分线交 于 ，点 为 的中点，连接 ， ， ，求证： ； (3)如图3，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 为 边上点 右边一动点，连接BM、 ，当 取得最小值时，直接写出 的值．题型四：截长补短法 “截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在 长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决 问题. 截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换 一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路. 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD A A 图示 E α 2α α 2α B D C B D C E 方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE 结论 ACD≌AED ABD≌AED DEB是等腰三角形 CDE是等腰三角形 △ △ 【中考母题学方法】 【典例4-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中， ，点D在直线 上，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，过点E作 ，交直线 于点F． （1）当点D在线段 上时，如图①，求证： ； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用 构造全等三角形，便尝试着在 上截取 ， 连接 ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题： （2）当点D在线段 的延长线上时，如图②：当点D在线段 的延长线上时，如图③，请判断并直接 写出线段 ， ， 之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若 ， ，则 ______． 【典例4-2】如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°， ∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F 分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．【中考模拟即学即练】 【变式4-1】课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的 方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三 角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法， 并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分 小东判断这个 命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【变式4-2】如图，正方形 中， 是 的中点， 交 外角的平分线于 ． （1）求证： ； （2）如图，当 是 上任意一点，而其它条件不变， 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成 立，请说明理由．【变式4-3】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC ＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F． （1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF． 【变式4-4】在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F． 1 （1）求证：∠BFC=90°+ ∠A； 2 （2）已知∠A=60°． ①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长； ②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．题型五：半角模型 半角模型A 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， E 等边三角形含 F ∠EDF＝60°． 半角 B C 结论1：EF＝BE＋CF， D ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． A D 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD 正方形含半角 F 上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， B E C ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． A 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 等腰直角三角 点D，E在BC上，∠DAE＝45°． 形含半角 B D E C 结论3：DE2＝BD2＋CE2． 【中考母题学方法】 【典例5-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知 是等腰三角形， ， ， 在 的内部，点M、N在 上，点M在点N的左侧，探究线段 之间的数量关系． （1）如图①，当 时，探究如下： 由 ， 可知，将 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，则 且，连接 ，易证 ，可得 ，在 中， ， 则有 ． （2）当 时，如图②：当 时，如图③，分别写出线段 之间的数量关 系，并选择图②或图③进行证明． 【典例5-2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问 题： 【问题情境】 如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ， ， ， 求 的长． 解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ． 由旋转的特征得 ， ， ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 在 和 中， ， ， ， ∴___①___． ∴ ．又∵ ， ∴在 中，___②___． ∵ ， ， ∴ ___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以 不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形 的周长的 一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ．探究 的 数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．设 ，，求y与x的函数关系式． 【典例5-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1， 和 均为等边三角形，点A，D，E在同一 直线上，连接 ．(1)填空： 的度数为______；②线段 之间的数量关系为______； (2)如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数及线段 之间的数量关系，并 说明理由； (3)如图3，在 中， ， ，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段 绕点 C顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ，则 是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不 需要说明理由． 【中考模拟即学即练】 【变式5-1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形 是正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问 题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．用 等式写出线段 的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形 的边 的延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ， ，点N，M分别在边 上， ，用等式写出线段 的数量关 系，并说明理由． 【变式5-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰 的斜边 向上平移至 （点B和A重合）， 连接 ，M为线段 上一点（不与点C重合），连接 并将其绕点A顺时针旋转 至 ，连接 交 于点E，连接 ．(1)求证： ； (2)求证： ； (3)如图2，分别取 的中点 连接 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明理由． 【变式5-3】．（2022·安徽合肥·模拟预测）等腰直角 与等腰直角 的直角顶点 重合． 与 相交于 ， 的延长线交 于 ，连接 ． (1)如图1，求证： ； (2)如图2， ， ， 在同一条直线上，取 的中点 ，分别连接 ， ，求证： ； (3)如图3，过 作 的平行线，过 作 的平行线，两线相交于 ，且点 在 的延长线上，若 ，求 的值．