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专题 12.4 全等三角形的经典模型【八大题型】
【人教版】
【题型1 一线三等角模型】......................................................................................................................................2
【题型2 倍长中线模型】..........................................................................................................................................3
【题型3 截长补短模型】..........................................................................................................................................5
【题型4 手拉手模型】..............................................................................................................................................7
【题型5 半角模型】..................................................................................................................................................9
【题型6 角平分线模型】........................................................................................................................................11
【题型7 雨伞模型】................................................................................................................................................13
【题型8 平行线中点模型】....................................................................................................................................15
知识点1：一线三等角模型
三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型.
一线三等角类型：
（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD【题型1 一线三等角模型】
【例1】（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AB=BC．
(1)如图1，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°，求证：
MN=AM+CN．
(2)如图2，直线NM过点B，AM交NM于点M，CN交NM于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则
MN=AM+CN是否成立？请说明理由！
【变式1-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
BE⊥CE，于点E，AD⊥CE于点D．△BEC与△CDA全等吗？请说明理由．
【变式1-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中
垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）9 9
A．3 B．2 C． D．
4 2
【变式1-3】（23-24八年级·北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，
求BC的长．
知识点2：倍长中线模型
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造
一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE,
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
【题型2 倍长中线模型】
【例2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在ΔABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，
EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD为∠BAC的平分线.【变式2-1】（23-24八年级·山东泰安·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求
证：∠BED＝∠CAD．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=8，F为
AB边的中点，点D，E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE,DF,EF．在此运动变化的
过程中，下列结论：①△≝¿是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③AD+BE>DE．其
中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．② D．①②
【变式2-3】（23-24八年级·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中
线，点D在AC的延长线上，连接BD，若∠ABE=∠D．
(1)猜想BD=________BE；
(2)完成（1）的证明过程．
知识点3：截长补短模型该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截
长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延
长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
(1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。
例: 如图, 求证BE+DC=AD；
方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE
(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等
【题型3 截长补短模型】
【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC
上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
【变式3-1】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平
分线，求证：AE+BE=BC． △
【变式3-2】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC
kBC+EC
上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得 为定值a，
DC
则k和a分别是（ ）1 1 3
A．k= ，a=1 B．k= ，a=1 C．k=1，a= D．k=2，a=3
2 3 2
【变式3-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数
量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为
点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．
知识点4：手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模
型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE= 。结论：△BAD≌△CAE。E
A A A
E
D
E
D
D
B C B C B C
【题型 4 图 1 图 2 图 3 手拉手模型】
【例4】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若
∠AOB=∠COD=60°，连接AC、BD交于点P；
(1)求证：△AOC≌△BOD．
(2)求∠APB的度数．
(3)如图(2)，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，点D是射线AB上的一点，
连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形△CDE，连接BE，若BD=4cm，求BE
的值．
【变式4-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板
抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，
连结CD．若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 △ABC和 △DEC直角顶
点重合在点 C处，AC=BC，DC=EC，连接AE、BD，点 A恰好在线段 BD上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 AE与 BD的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，D为△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=50°，将
AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
(1)求证：EB=DC；
(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数．
知识点5：半角模型
当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现
1
倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点
2
作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
1
如图：已知∠2= ∠AOB，OA=OB
2
O
1 2 3
F
E
B
A
O
4
F' 1 2 3
F
E
B
A【说明】连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF
【题型5 半角模型】
【例5】（23-24八年级·福建龙岩·期中）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、
E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S =15，则△ABD与△AEC的面积之和
△ADE
为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式5-1】（23-24八年级·山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两
点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE
＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平
分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关
系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证
明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索
CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
知识点6：角平分线模型
模型一：如图一，角平分线+对称型
利用角平分线图形的对称性, 在角的两边构造对称全等三角形, 可以得到对应边、对应角相等。利用对称
性把一些线段或角进行转移, 这是经常使用的---种解题技巧。
【理论依据】: 三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等
模型二：如图二，角平分线+垂直两边型【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB
∴△CED ≌△OFD(AAS),
∴DE=DF
模型三：如图三，角平分线+垂直平分线型
【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而
得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型四：如图四，角平分线+平行线型
【说明】 有角平分线时, 常过角平分线上一点作角的有边的平行线, 构造等腰三角形, 为证明结论提供更
多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【题型6 角平分线模型】
【例6】（23-24八年级·四川成都·期末）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取
线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【变式6-1】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分
∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD=240°．
(1)求∠AOB的度数；
(2)求证：OD=OC．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，
1
BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．
2
【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于
点F．
1
（1）求证：∠BFC=90°+ ∠A；
2
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．知识点7：雨伞模型
如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点 D，延长 BD交AC于点C，则∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，
BD=CD
【题型7 雨伞模型】
【例7】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC
于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【变式7-1】（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且
∠BAD=∠CAE=90°，AF⊥CB，垂足为F．(1)试说明∠ABF=∠ADC的理由
(2)猜想CF和CE的位置关系，并说明理由；
(3)试说明：CD=2BF+DE．
【变式7-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平
分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.
【变式7-3】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直
角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
知识点8：平行线中点模型
已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE≌ ∆QOF
【题型8 平行线中点模型】
【例8】（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且
MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．
（1）求证：BC⊥AC；
（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,
①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；
②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
【变式8-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD
上，且满足AF=DE．
(1)求证BE=CF；
(2)若AE=OF，直接写出面积为△COD面积一半的所有三角形．
【变式8-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点
E，使CE=CD，连接ED并延长交AB于点F．求证：DE=2DF【变式8-3】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在△ABC中，BD 是边AC上的高，BE为∠CBD的
角平分线，且AD=DE，AO是△ABC的中线，延长AO到点F，使得BF∥AC，连接EF，EF交BC于
点G，AF交BE于点H，交BD于点M．
(1)试说明：BF=CD+DE；
(2)若，试说明：．
