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专题 2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
A
B C
D
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A
B C
D
E
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
A A
F
M
B D C D
B C
E
N
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用
中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，
AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD
到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这
样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD
的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D
是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD，试说明：
AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作
AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理
由．
【变式1-1】如图，AB∥ CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD．求
证：CE平分∠BCD．【变式1-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
(1)如图1，AD是△ABC的中线，AB＝7，AC=5，求AD的取值范围，我们可以延长
AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，在△ABM中利用三角形的
三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 ；
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，且AE=EF，求证：AC=BF；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为AB中点，连接CE，ED，试猜想线段
BC，CD，AD之间的关系，并予以证明．
【变式1-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经
过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法
思考作答：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)求得AD的取值范围是______；
A．5AC（如图），
怎样证明∠C>∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以，点C落在AB上的点C′处，
即AC=AC′，据以上操作，易证明△ACD≌△AC′D，所以∠AC′D=∠C，又因为
∠AC′D>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC
和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，
DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长．
8．等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
BF
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求 的值；
AF
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是
___________．
图2
