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专题 2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
A
B C
D
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A
B C
D
E
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
A A
F
M
B D C D
B C
E
N
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用
中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，
AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD
到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这
样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD
的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D
是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD，试说明：
AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作
AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理
由．
【变式1-1】如图，AB∥ CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD．求
证：CE平分∠BCD．【变式1-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
(1)如图1，AD是△ABC的中线，AB＝7，AC=5，求AD的取值范围，我们可以延长
AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，在△ABM中利用三角形的
三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 ；
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，且AE=EF，求证：AC=BF；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为AB中点，连接CE，ED，试猜想线段
BC，CD，AD之间的关系，并予以证明．
【变式1-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经
过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法
思考作答：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)求得AD的取值范围是______；
A．5<AD<9 B．5≤AD≤9 C．2<AD<7 D．2≤AD≤7
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，
她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：
AD平分∠BAC．
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
（1）截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证
剩下的线段与另一短边相等。
（2）补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起
【典例2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，
∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，
BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作
DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
【变式2-1】已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
【变式2-2】在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．
(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理
由；
(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，
DE，AE间的数量关系及理由．
【变式2-3】在△ ABC中，∠ ACB＝2∠B，如图①，当∠ C＝90°，AD为∠ BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
(1)如图②，当∠ C≠90°，AD为△ ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎
样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当∠ ACB≠90°，AD为△ ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【变式2-4】如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：
AE+BE=BC． △
【变式2-5】如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．
（1）如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；
（2）如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．【课后巩固】
1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C，点D为AB的中点．
如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C
向A点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
2．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6，AC=4
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的
取值范围是______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等
三角形
【问题解决】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，∠CAD=∠CDA，下列四个
选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①∠CAE=∠DAE；②AB=2AE；③∠DAE=∠DAB；④AE=AD【问题拓展】
（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC
1
的中点，求证：OE= BD；
2
（4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=2，
OE=4，则△AOC的面积是______．
3．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
{ BD=CD )
在△BDE和△CDA中， ∠BDE=∠CDA ，
DE=DA
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴BE=CA，
在△ABE中，AB+BE＞AE（依据2），
∴AB+AC＞2AD．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD
转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多
用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，AB=6，AC=8，则AD的取值范围是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6≤AD≤8； C． 1＜AD＜7
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
1
如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，求证：AD= BC．
2
4．【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC边上的中线AD的取值范围．
小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的
取值范围；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等
三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，请写出AD的取值范围是 ．
（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的
1
中点，求证：OE= BD；
2
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C为
顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，
DF，EF之间的数量关系，并说明理由．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB
＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
6．在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并
且有AB=BE，∠AED=∠C．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：AD+DE=BD．
7．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB>AC（如图），
怎样证明∠C>∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以，点C落在AB上的点C′处，
即AC=AC′，据以上操作，易证明△ACD≌△AC′D，所以∠AC′D=∠C，又因为
∠AC′D>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC
和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，
DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长．
8．等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
BF
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求 的值；
AF
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是
___________．
图2
