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专题 02 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、全等三角形模型之截长补短模型..............................................................................................................1
题型二、全等三角形模型之手拉手模型..................................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、全等三角形模型之截长补短模型
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例1．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广
泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．
补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形 中， ， 是角平分线，交 边于点 ．求证：
．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在 中， ， 是 的角平分线．求证： ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据截长法，在 上截取 ，连接 ，通过题目条件可证 ，进
而证得 是等腰直角三角形，等量代换即可得；
（2）根据补短法，延长 到 ，使 ，连接 ，根据已知条件可证 ，进而
可证 ，等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，在 上截取 ，连接 ，
∵ 是角平分线，
∴
在 和 中
∴
∴ ，
又∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ 是 的角平分线，
∴
在 和 中∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平
分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
例2．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长
法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的
一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合， ，组成一个四边形 ，以D为顶
点作 ，交边 于M、N．
(1)若 ， ，证明： ；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用
补短法，延长 到点E，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即
可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；
(2)当 时， 三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证
明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在 的延长线上，完成图③，其余条件不变，则
之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长 到E，使 ，连接 ，利用全等三角形的判定得出
， ，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；
（2）证明方法与（1）一致，证明即可；
（3）在 截取 ，连接 ，利用全等三角形的判定得出 ，
再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果．
【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD，
延长 到E，使 ，连接
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
在 和 中∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，
证明方法同（1）类似，
∴ ；
（3） ，
证明：在 截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵
∴
即∴
即 ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解
题关键．
题型二、全等三角形模型之手拉手模型
【常见模型及证法】
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例3．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问
题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的
(1)【模型探究】如图1， 和 中， ，且 ，连接 ．这
一图形称为“手拉手模型”．求证 ，请你完善下列过程．
证明：∵ ，
∴ （ ）①．
即 ．
…
（ ）②
(2)【类比推理】如图2， 中， ，以B为端点引一条与腰 相交的射线，在
射线上取点D，使 ，求 的度数．（提示：可构建手拉手模型，在 上找一点E，使
）
【答案】(1)等式的性质，
(2)42°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题
的关键．
（1）由等式的性质可得 ，则可证明 ，再利用 即可证明
；
（2）在 上取一点E，使 ，连接 ，由等边对等角得到 ，则
可证明 ，进而证明 ，得到 ，设 和 交于点
O，由 ，可得 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ （等式的性质）．
即 ．
又∵ ，
∴ ；
（2）解：在 上取一点E，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 和 交于点O，
∵ ，
∴ ．
例4．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰
三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为
“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1、两个等腰三角形 和 中， 连接 、 、如
果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大
手拉着小手，这个就是 手拉手模型 ，在这个模型中，和 全等的三角形是 ，此时 和 的数量
关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形 和 中， 连接 ，
，两线交于点 ，请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以 、 为边分别向 外作等边 和等边 ，连接 ， ，两线交
于点 ，请直接写出线段 和 的数量关系及 的度数．
【答案】(1) ，
(2) 且 ，理由见解析
(3) ，
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等
边三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ， ，进而判断出 ，即可
得出结论；
（3）由三角形 与三角形 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的
内角都为 ，利用等式的性质得到 ，利用 可得出 得 ，
，求出 ，即可根据 求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴和 全等的三角形是 ，此时 和 的数量关系是 ．
故答案为： ， ；
（2） 且 ；
理由如下：∵ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 且 ．
（3） 和 都为等边三角形，， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
；
， ，
∴
，
∴ ．
一、填空题
1．在四边形 中， ， 与 互补，点E、F分别在射线 、 上，且
，当 ， ， 时， 的周长等于 ．
【答案】13
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
在 上截取 ，先证 ，再证 ，可得 ，再由 的周长
即可解答．
【详解】解：在 上取点G，使 ，∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中
，
∴
∴ ．
∴
∴ 的周长等于 ，
∵ ， ， ，
∴ 的周长等于
故答案： ．
2．如图所示，已知 和 都是等腰三角形， ，连接 ， 交于点 ，连
接 ．下列结论：① ；② 平分 ；③ 平分 ；④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是 ．【答案】①③④⑤
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关
键是利用面积证明 ，属于中考常考题型．
作 于M， 于N，设 交 于O．证明 ，利用全等三角形的性质、角
平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：如图，作 于M， 于N，设 交 于O．
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
（ ），
∴ ， ，故①正确，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故③正确；
∴ ，
∴ ，∵
∴ ，
故⑤正确；
若② 平分 成立，则 ，
∵ ，
∴ ，推出 ，由题意知， 不一定等于 ，
∴ 不一定平分 ，故②错误，
即正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
3．如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于点 ， 交 于 ， 交 于 ，
过点 作 于 ，下列四个结论：① ；②当 时， ；③
若 ， ，则 ．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等
三角形的判定与性质是解题的关键．
根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据
角平分线的性质及三角形的面积可知③正确．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 和 是 和 的平分线，
，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
在 上截取 ，∵ 和 是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
作 于 于 ，连接 ，
∵ 和 的平分线 ， 相交于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
故③正确；∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
4．如图，点 ， ， 在同一直线上，在这条直线同侧作等边 和等边 ，连接 和 ，交
点为 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 、 ，有 个结论：① ，②
，③ ，④ ，请将所有正确结论的序号填在横线上 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可
以判断各小题是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解： 等边 和等边 ，
， ， ， ，
在 和 中，
，
，故 正确，
，
即 ，
在 和 中，
，
，故 正确，
题目中没有说明 平分 ，故无法推出 ，故 错误，， ，
，
，故 正确，
故答案为： ．
二、解答题
5．如图， 交 于 ，交 于 平分 平分 ，直线 经过点 并与
分别交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的数量
关系．
【答案】(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立， ；
【分析】（1）在 上截取 ，连 ，根据题意证明 ，得到 ，
，再由 证明 ，由平角定义得到 ，则有
，再证明 ，得到 ，则 ；
（2）延长 交 于点H，根据题意证明 ，得到 ， ，再由 平分
，证明 ，得到 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图，在 上截取 ，连 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）（1）中的结论不成立， ；
理由：延长 交 于点H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．
6．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一
组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)发现问题：如图1， 和 是顶角相等的等腰三角形， 、 分别是底边．求证： ；
(2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点B、D、E在同一
条直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断线段 ， ， 之间的数量关系并说明理
由．
(3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长 交 于点P， 与 交于点N，连接 ，
， ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3)
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用
这些知识点是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出 ， ， ，再结合图形及全等三角形的判
定和性质即可证明；
（2）由（1）知 且 ，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）作 ， 垂直于 的延长线于 ，根据全等三角形的判定得出 ，
， ，再由全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明： 和 是顶角相等的等腰三角形
， ， ，
即
在 和 中，
，
，
；（2）解：由（1）知 且 ，
是等腰直角三角形， 且 ，
，
，
；
（3）作 ， 垂直于 的延长线于 ，
，
，
，同理 ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
， ， ，
设 ，
，
，
，
，
解得 ，
．
7．【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1， 平分 ，求证：
．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过 作 ，交 于
点 ，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到 ．
请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3， ， 平分
，求证： ．
【学以致用】
（3）如图4，在 中， ， ，D是 边的中点， ，
与 边相交于点 与 边相交于点 ．请直接写出线段 的值：___________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】（1）利用 证明 ，得出 即可；
（2）过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，由角平分线的性质可得 ，由“ ”
可证 ，可得 ；
（3）取 中点 ，连接 ，根据 证 ，得 ，即可得证 ，
据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，
，
又 平分 ， ，
， ，
在四边形 中， ，
又 ，
，
又 ，
，且 ， ，
，
；
（3）取 中点 ，连接 ，∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
点 、 分别是 、 边上的中点，
，
又
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分
线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接
起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1， 和
是顶角相等的等腰三角形，即 ， ，且 ，分别连接 ， ．求证：
；
（2）类比探究：如图2， 和 都是等腰三角形，即 ， ，且
， ， ， 在同一条直线上．请判断线段 与 存在怎样的数量关系及位置关系，
并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若 和 均为等腰直角三角形，且 ， ，
，点 ， ， 在同一条直线上， 为 中 边上的高，连接 ，若， ，请直接写出四边形 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ， ，理由见解析；（3）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性
质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得 ，利用全等的性质可得
， ，又因为 是等腰直角三角形，可得 ，从而
可知 ，即 ．
（3）由 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高，可证得 ，根据
（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得 ，从而得 ，即可求出 的长，最后求
出四边形 的面积．
【详解】（1）证明：
即
在 和 中
，
．
（2） 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
理由如下：
，
，即 ，
在 和 中，
，
，， ，
是等腰三角形且 ，
，
，
，
．
（3）解：由（1）的方法得， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
．
，
，
，
，
四边形 的面积
9．综合与探究
数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．
(1)如图1，在四边形 中， ，E，F分别是边 上的点，且
．请探究线段 之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内
容补充完整．
解：延长EB到
G，使得
，连
接AG
在 和
中∴
，∴
∴
∴
，∴
……
(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形 中，若 ，E，F分别是边 上
的点，且 ，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．
(3)如图3，在四边形 中， ，E，F分别是边 延长线上的点，且
，请判断线段 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析【分析】（1）证明 ，即可得出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可得出
结论；
（3）在 上取一点 ，使 ，先证明 ，再证明 ，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
【详解】（1）解：延长 到G，使得 ，连接 ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2） ；理由如下：
延长 到点 ，使 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
在 上取一点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．’
10．已知，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当 时．
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明 _____；再证明了 _____，即可得出 ， ， 之间的数量
关系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当 时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的
结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若 、 分别是边 、 延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段 ， ， 之间
的数量关系为_____．（不用证明）
【答案】(1)图见解析， ， ，
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明 ，再证明 ，即可得出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可得出
结论；
（3）在 上取一点 ，使 ，先证明 ，再证明 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：解题思路为：先证明 ，再证明 ，即可得出 之间的数量关系为
；
故答案为： ， ， ；
（2）解：成立，证明如下：
延长 到点 ，使 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；（3）解：在 上取一点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制
习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组： 和 是等腰直角三角形， ．
连接 ，构建“手拉手”模型（如图1），得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图
2的划斜线部分，得到了 ．
二组：如图3， 和 是等边三角形， ，连接 的延长线与 相交于点 ．
猜想也能构建上述两种模型得到结论 ．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在 和 中， ，连接
．
则 与 的数量关系为_______，直线 与直线 的夹角为_______；【变式拓展】
（3）四组：只需用 ，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5， 和 是等腰直角三角形， ， ，
连接 是线段 的中点，连接 ．若 ，请你求出 的长．
【答案】（1）见解析；（2） （或相等）， 或 ；（3）把 绕点 按逆时针方向旋
转 得 （或旋转 ），连接 ；（4）2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识：
（1）先证明 ，再证明 可得 ，再根据三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由（2）知 ，结合旋转可得出结论；
（4）延长 到 使 ，连接 ，证明 得 ，得 ，进一步
证明 ，再证明 即可得出结论
【详解】（1）证明： 和 是等边三角形，
，
，即 ，
，
设 与 相交于点 ，则 ，
；（2） （或相等）， 或
延长 交 于点F，设 交于点G，
∵ ，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴ ，
即直线 与直线 的夹角为 或 ；
故答案为： （或相等）， 或 ；
（3）把 绕点 按逆时针方向旋转 得 （或旋转 ），连接 ．
故答案为：把 绕点A按逆时针方向旋转 得 （或旋转 ），连接 ．
（4）证明：延长 到 使 ，连接 ．
，
又 ，
，，
，
，
，
，
，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
12．问题探究：（1）如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是
上的点，且 ，探究图中 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延
长 到点 ，使 连接 ，先对比 与 的关系，再对比 与 的关系，
可得出 之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程．
理解运用：（2）已知：在四边形 中， ， ，点 、点 分别在直线 、
直线 上，且 ；如图 ，点 、点 分别在边 、 的延长线上；如图 ，点 、点
分别在边 、 的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段 、 、 之间的数量关系，
并说明理由．
拓展延伸：（3）如图 ，在四边形 中， ， ，若点 在 的延长线
上，点 在 的延长线上，若 ，请直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1） ，过程见解析（2）图2： ，理由见解析；图3：
，理由见解析（3）
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形．
（1）延长 到点G，使 ，连接 ，可判定 ，进而得出
，再判定 ，可得结论；
（2）对于图2：在 上截取 ，连接 ，先判定 ，进而得出
，，再判定 ，可得结论；对于图3：在 上截取 ，使
，连接 ，同图2法进行求解即可；
（3）在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，先判定 ，再判定
，得出 ，最后根据 ，推导得到
，即可得出结论．
【详解】解：（1）结论： ．
理由：如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
∴ ．
（2）对于图2， ，理由如下：
在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
对于图3：对于图3， ，理由如下：在 上截取 ，使 ，连接 ，
同图2法可得： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论： ．
理由：如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
