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专题 2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
A
B C
D
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A
B C
D
E
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
A A
F
M
B D C D
B C
E
N
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用
中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，
AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD
到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这
样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD
的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D
是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD，试说明：
AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作
AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理
由．
【答案】（1）2<AD<8；（2）见解析；（3）EF=2AD；理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三
角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类
比的方法解决问题．
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB，可得结论；
（2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．证明△ABE≌△FDE(SAS)，得出
∠BAE=∠F,DF=AB，得出△ADC≌△ADF(SAS)，得出AC=AF，即可证明结论．
（3）延长AD，使AD=DG，连接BG，证明△ADC≌△GDB(SAS)，得出BG=AC，
∠CAD=∠G，证明△ABG≌△EAF(SAS)，得出EF=AG，即可证明结论．
【详解】解：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=10，
在△ABE中，10−6<AE<10+6，
∴4<2AD<16，
∴2<AD<8；
（2）证明：如图，延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．
∵AE是BD边上的中线，
∴DE=EB，
在△ABE和△FDE中，
{ AE=EF )
∠AEB=∠≝¿DE=EB
∴△ABE≌△FDE(SAS)，
∴∠BAE=∠F,DF=AB，
∴DF∥AB，
∴∠ADF+∠BAD=180°，
∵CD=AB，DF=AB，∴CD=DF，
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠BDA=∠BAD，
∴∠CDA=∠ADF，
∵AD=AD，
∴△ADC≌△ADF(SAS)，
∴AC=AF，
∵AF=2AE，
∴AC=2AD；
（3）解：EF=2AD；理由如下：
如图，延长AD，使AD=DG，连接BG，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵∠BDG=∠ADC，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴BG=AC，∠CAD=∠G，
∴AC∥BG，
∴∠ABG+∠BAC=180°，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=360°−90°−90°=180°，
∴∠ABG=∠EAF，
∵AF=AC，BG=AC，∴BG=AF，
∵AE=AB，
∴△ABG≌△EAF(SAS)，
∴EF=AG，
∵AG=2AD，
∴EF=2AD．
【变式1-1】如图，AB∥ CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD．求
证：CE平分∠BCD．
【答案】见解析
【分析】在BC上截取BF=BA，连接EF．先证明△BAE≌△BFE可得EF=AE，再证
△CED≌△CEF可得∠FCE=∠DCE即可证明结论．灵活运用全等三角形的判定与性质
是解题的关键．
【详解】解：如图：在BC上截取BF=BA，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE．
在△BAE和△BFE中，
{ AB=BF )
∠ABE=∠FBE ，
BE=BE
∴△BAE≌△BFE(SAS)．
∴EF=AE．
∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．
又∵BC=AB+CD，BF=AB，
∴CD=CF，
在△CED和△CEF中
{CD=CF
)
DE=EF ．
CE=CE
∴△CED≌△CEF(SSS)，
∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．
【变式1-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
(1)如图1，AD是△ABC的中线，AB＝7，AC=5，求AD的取值范围，我们可以延长
AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，在△ABM中利用三角形的
三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 ；
(2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，且AE=EF，求证：AC=BF；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为AB中点，连接CE，ED，试猜想线段
BC，CD，AD之间的关系，并予以证明．
【答案】(1)1<AD<6
(2)见解析
(3)CD=AD+BC，理由见解析
【分析】（1）如图1中，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM．证明
△ADC≌△MDB（SAS），推出AC=BM=5，再根据AB−BM≤AM≤AB+BM，
可得结论；
（2）如图2中，延长AD到T，使得DT=AD，连接BT．由△ADC≌△TDB，推出
AC=BT，∠C=∠TBD，推出BT∥AC，再证明BF=BT，可得结论；
（3）结论：CD=AD+BC．如图3中，延长CE交DA的延长线于点G．利用全等三角形的性质证明BC=AG，DC=DG，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△MDB中，
{ DA=DM )
∠ADC=∠MDB ，
DC=DB
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC=BM=5，
∵AB=7，
∴AB−BM<AM<AB+BM．
∴2<AM<12，
∴2<2AD<12，
∴1<AD<6．
故答案为：1<AD<6；
（2）证明：如图2中，延长AD到T，使DT=AD，连接BT．
同法可证△ADC≌△TDB，
∴AC=BT，∠C=∠TBD，
∴BT∥AC，
∴∠T=∠DAC，
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFT，
∴∠T=∠BFT，
∴BF=BT，∴AC=BF；
（3）解：结论：CD=AD+BC．
理由：如图3中，延长CE交DA的延长线于点G．
∵AD∥BC，
∴∠G=∠ECB，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
在△AEG和△BEC中，
{ ∠G=∠ECB )
∠AEG=∠BEC ，
AE=BE
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG=BC，EC=EG，
∵DE⊥CG，
∴CD=GD，
∵DG=AD+AG=AD+BC，
∴CD=AD+BC．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，
线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式1-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经
过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法
思考作答：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)求得AD的取值范围是______；
A．5<AD<9 B．5≤AD≤9 C．2<AD<7 D．2≤AD≤7
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，
她又提出了如下的问题，请你解答．
如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：
AD平分∠BAC．
【答案】(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“SAS”可证△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行线的性
质和等腰三角形的性质可证∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．
【详解】（1）解：延长AD到点E，使DE=AD，
∵BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
{ CD=BD )
∠ADC=∠BDE ，
AD=DE
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故选：B．（2）解：∵△ADC≌△EDB，
∴AC=EB，
∵AB=9，AC=5，AB−BE<AE<AB+BE，
∴4<2AD<14，
∴2<AD<7，
故选：C；
（3）证明：如图，延长AD至M，使DM=DF，连接CM，
∵DE=DC ∠EDF=∠CDM DF=DM
， ， ，
∴△EFD≌△CMD(SAS)，
∴EF=DM，∠EFD=∠M，
∴EF∥CM，
∵EF∥AB，
∴CM∥AB，
∴∠BAD=∠M，
∵EF=AC，
∴EF=DM=AC，
∴∠CAM=∠M，
∴∠BAD=∠CAM，
∴AD平分∠BAC．
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
（1）截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证
剩下的线段与另一短边相等。
（2）补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起
【典例2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，
∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，
BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作
DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）AB+BC=BD，见解析；（3）BC−AB=2CE，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD(SAS)，得出
∠A=∠BMD，AD=MD，进而得出∠C=∠CMD，则DM=DC，等量代换即可得证；
方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD(SAS)，得出
∠BND=∠C，ND=CD，进而得出∠BND=∠NAD，则DN=DA，等量代换即可得
证
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，
连接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明
△ABC≌△AFD(SAS)，得出DF=BC，进而即可得证；方法2：延长CB到P，使
BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，则△ADC，△ABP是等边三角形，证明
△PAC≌△BAD(SAS)，得出PC=BD，进而即可得证；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE，连接BD，过点D作
DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt△BDE(HL)，得出
BF=BE，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，∵BD ∠ABC
平分 ，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△MBD中，
{ BD=BD )
∠ABD=∠MBD ，
BA=BM
∴△ABD≌△MBD(SAS)，
∴∠A=∠BMD，AD=MD，
∵∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°，
∴∠C=∠CMD，
∴DM=DC，
∴DA=DC；
方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，
∵BD ∠ABC
平分 ，
∴∠NBD=∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
{ BD=BD )
∠NBD=∠CBD ，
BN=BC
∴△NBD≌△CBD(SAS)，
∴∠BND=∠C，ND=CD，
∵∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°，
∴∠BND=∠NAD，∴DN=DA，
∴DA=DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．
方法1：理由如下：
如图2，在BD上截取BF=AB，连接AF，
由（1）知∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠DAC=180°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠DBC=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，
∵AD=DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴△ABC≌△AFD(SAS)，
∴DF=BC，
∴BD=BF+DF=AB+BC．
方法2：理由：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，
由（1）知AD=CD，∵∠DAC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，∠ADC=60°，
∵∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ABC=360°−180°−60°=120°，
∴∠PBA=180°−∠ABC=60°，
∵BP=BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB=60°，AB=AP，
∵∠DAC=60°，
∴∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
即∠PAC=∠BAD，
在△PAC和△BAD中，
{ PA=BA )
∠PAC=∠BAD ，
AC=AD
∴△PAC≌△BAD(SAS)，
∴PC=BD，
∵PC=BP+BC=AB+BC，
∴AB+BC=BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠BAD+∠C=180° ∠BAD+∠FAD=180°
， ，
∴∠FAD=∠C，
在△DFA和△DEC中，
{∠DFA=∠DEC
)
∠FAD=∠C ，
DA=DC
∴△DFA≌△DEC(AAS)，∴DF=DE，AF=CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
{BD=BD)
，
DF=DE
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，
∴BC−BA=2CE．
【变式2-1】已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且
AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
【答案】(1)120度
(2)10
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平
分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问
题．
（1）由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据
1
∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA＝180°− (∠BAC+∠BCA)，即可解决问题；
2
（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≌ △AGF，推出
∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≌ △CEF，推出
CG=CE=4，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AE、CD为△ABC的角平分线，
1 1
∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA
2 2∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
1
∴∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA＝180°− (∠BAC+∠BCA)=120°
2
（2）解：在AC上截取AG=AD=6，连接FG．
∵AE、CD为△ABC的角平分线．
∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°，
∵AD=AG,AF=AF
∴△ADF≌ △AGF，
∴∠AFD=∠AFG=60°，
∴∠GFC=∠CFE=60°，
又∵CF=CF，
∴△CGF≌ △CEF
∴CG=CE=4，
∴AC=AG+GC=10．
【变式2-2】在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．
(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理
由；
(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，
DE，AE间的数量关系及理由．【答案】(1)AE=AB+DE，见解析
1
(2)AB+ BD+DE=AE，理由见解析
2
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出
BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．
1
可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG= BD，进而得出结论；
2
【详解】（1）AE=AB+DE，理由如下：
在AE上取一点F，使AF=AB，连接CF．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
{ AB=AF )
在△ACB和△ACF中 ∠BAC=∠FAC
AC=AC
∴△ACB≌△ACF．
∴ BC=FC，∠ACB=∠ACF，
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
{ CF=CD )
在△CEF和△CED中 ∠ECF=∠ECD
AC=AC
∴△CEF≌△CED．
∴ EF=DE．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE．1
（2）AB+ BD+DE=AE，理由如下：
2
在AE上取AM=AB，EN=ED，连接CM，CN．
与（1）同理，可得△ABC≌△AMC，△CEN≌△CED．
∴BC=MC，∠ACB=∠ACM，CD=CN，∠DCE=∠NCE．
∵∠ACB+∠ECD=180°−120°=60°，
∴∠MCN=120°−60°=60°．
∵BC=CD，
∴MC=NC．
∴△CMN为等边三角形．
1
∴MN=CM= BD．
2
∵AM+MN+EN=AE，
1
∴AB+ BD+DE=AE．
2
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性
质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【变式2-3】在△ ABC中，∠ ACB＝2∠B，如图①，当∠ C＝90°，AD为∠ BAC的
平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．(1)如图②，当∠ C≠90°，AD为△ ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎
样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当∠ ACB≠90°，AD为△ ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【答案】(1)AB＝CD+AC；
(2)AB＝CD﹣AC，证明见解析
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ ADE≌ △ADC（SAS），
则可得∠ AED＝ ∠C，ED＝CD，又由∠ AED＝ ∠ACB，∠ ACB＝2∠B，所以
∠ AED＝2∠B，即∠ B＝ ∠BDE，易证DE＝CD进而求解；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△ EAD≌ △CAD，可得
ED＝CD，∠ AED＝ ∠ACD，又由∠ ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求解．
【详解】（1）解：AB＝CD+AC．
理由为：
在AB上截取AG＝AC，连接DG，如图②所示，
∵AD为∠ BAC的平分线，
∴∠ GAD＝ ∠CAD，
在△ ADG和△ ADC中，
{ AG=AC )
∠GAD=CAD ，
AD=AD∴△ ADG≌ △ADC（SAS），
∴DG＝CD，∠ AGD＝ ∠ACB．
∵∠ ACB＝2∠B，
∴∠ AGD＝2∠B．
又∵∠ AGD＝ ∠B+∠GDB，
∴∠ B＝ ∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（2）解：AB＝CD- AC．
理由为：
在AF上截取AG＝AC，连接DG，如图③所示，
∵AD为∠ FAC的平分线，
∴∠ GAD＝ ∠CAD，
在△ ADG和△ ACD中，
{ AG=AC )
∠GAD=CAD ，
AD=AD
∴△ ADG≌ △ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠ AGD＝ ∠ACD，
∴∠ ACB＝ ∠FGD．
∵∠ ACB＝2∠B，
∴∠ FGD＝2∠B．
又∵∠ FGD＝ ∠B+∠GDB，
∴∠ B＝ ∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG- AG＝CD- AC．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分
线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式2-4】如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：
AE+BE=BC． △
【答案】见解析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到
∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过
FCE≌ △F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得 ABE≌ △F′BE，于是得到
△AE=EF′，于是得到结论． △
【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
{
CF=CF′
)
在△FCE与△F′CE中， ∠F′CE=∠FCE ，
CE=CE
∴△FCE≌ △F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
{
∠A=∠BF′E
)
在△ABE与△F′BE中， ∠ABE=∠F′BE ，
BE=BE
∴△ABE≌ △F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作
辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【变式2-5】如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．
（1）如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；
（2）如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，ACB=90°，得△ABC是等腰
直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到
AC＝AM，于是得到结论；
1
（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°− α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根
2
据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据
三角形的内角和即可得到结论；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝
40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取
AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三
角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在△ABC中，AC=BC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，
∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝DM，
∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
{CD＝MD)
，
AD＝AD
∴RT△ADC≌△RT≌ ADM（HL），
∴AC＝AM，
∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，
即AB＝AC＋CD；
1
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°− α，
2
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK
∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中，{ AC＝AK )
∠CAD＝∠KAD
AD＝AD
∴△CAD≌△≌ KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，
∴∠BKD＝180°−α，
∵BK＝BD，
∴∠BDK＝180°−α，
1
∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°− α＝180°，
2
∴α＝108°，
∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由（1）得，△CAD△ KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，
∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三
角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
【课后巩固】
1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C，点D为AB的中点．
如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C
向A点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
15
【答案】点Q的运动速度为3m/s或 m/s
4
1
【分析】根据中点的定义得出BD= AB=5cm，再进行分类讨论：①当
2
BD=CP,BP=CQ时，则CP=5cm，求出BP=BC−CP=3cm，进而求出时间，即可求
1 4
出点Q速度；②当BD=CQ,BP=CP时，则BP= BC=4cm，得出t= s，即可求出点
2 3
Q的速度．
【详解】解：∵点D为AB的中点，AB=10cm，
1
∴BD= AB=5cm，
2
①当BD=CP,BP=CQ时，
∵BD=CP，
∴CP=5cm，
∵BC=8cm，∴BP=BC−CP=3cm，
3
∴t= =1(s)，
3
∵BP=CQ=3cm，
∴点Q的运动速度=3÷1=3(m/s)，
②当BD=CQ,BP=CP时，
∵BP=CP，BC=8cm
1
∴BP= BC=4cm，
2
4
∴t= s，
3
∵BD=CQ=5cm，
4 15
∴点Q的运动速度=5÷ = (m/s)，
3 4
15
综上：点Q的运动速度为3m/s或 m/s．
4
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，
正确找出对应边，具有分类讨论的思想．
2．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6，AC=4
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的
取值范围是______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等
三角形
【问题解决】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，∠CAD=∠CDA，下列四个
选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①∠CAE=∠DAE；②AB=2AE；③∠DAE=∠DAB；④AE=AD
【问题拓展】
（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC1
的中点，求证：OE= BD；
2
（4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=2，
OE=4，则△AOC的面积是______．
【答案】（1）1<AD<5；（2）②③；（3）证明见解析；（4）S =8．
△AOC
【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC=BE=4，由三角形的三边关系
可求解；
（2）由“SAS”可证△AEC≌△HED，可得AC=DH，∠ACD=∠HDC，由“SAS”
可证△ADB≌△ADH，可得AB=AH，∠BAD=∠DAE，即可求解；
（3）由“SAS”可证△AEO≌△CEH，可得AO=CH，∠A=∠HCO，由“SAS”可证
△BOD≌△HCO，可得BD=OH，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得S =S ，S =S ，∠D=∠COE，由三角形
ΔAEO ΔCEH ΔBOD ΔHCO
的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长AD至点E，使ED=AD．
在△ADC和△EDB中，
{ DA=DE )
∠ADC=∠EDB ，
DC=DB
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE=4，
∵AB=6，
∴6−4<AE<6+4，
∴2<2AD<<10，
∴1<AD<5，
故答案为：1<AD<5；
（2）解：如图2，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，∵AE
是中线，
∴DE=EC，
又∵∠AEC=∠DEH，AE=EH，
∴△AEC≌△HED(SAS)，
∴AC=DH，∠ACD=∠HDC，
∵∠ADB=∠ADC+∠ACD，∠ADH=∠ADC+∠CDH，
∴∠ADB=∠ADH，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
∵AC=CD，
∴BD=DC=AC=DH，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADH(SAS)，
∴AB=AH，∠BAD=∠DAE，
∴AB=2AE，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长OE至H，使EH=OE，连接CH，
∵E AC
是 的中点，
∴AE=CE，
又∵OE=EH，∠AEO=∠CEH，
∴△AEO≌△CEH(SAS)，
∴AO=CH，∠A=∠HCO，
∴AO∥CH，∴∠AOC+∠HCO=180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠BOD=∠OCH，
又∵CH=OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△HCO(SAS)，
∴BD=OH，
1
∴OE= BD；
2
（4）如图3，∵△AEO≌△CEH，△BOD≌△HCO，
∴S =S ，S =S ，∠D=∠COE，
ΔAEO ΔCEH ΔBOD ΔHCO
∴S =S =S ，
ΔAOC ΔBOD ΔHCO
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COE+∠DOF=90°，
∴∠DOF+∠D=90°，
∴∠OFD=90°，
∵OF=2，OE=4，
∴BD=2OE=8，
1
∴S =S = BD⋅OF=8，
ΔAOC ΔBOD 2
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的
判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
{ BD=CD )
在△BDE和△CDA中， ∠BDE=∠CDA ，
DE=DA∴△BDE≌ △ CDA（依据1），
∴BE=CA，
在△ABE中，AB+BE＞AE（依据2），
∴AB+AC＞2AD．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD
转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多
用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，AB=6，AC=8，则AD的取值范围是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6≤AD≤8； C． 1＜AD＜7
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
1
如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，求证：AD= BC．
2
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三
边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线
法”是解题的关键．（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断△BDA≌△CDF，△ABC≌△CFA即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”
或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三
边．
（2）
解：如图，延长AD至点E，使DE=AD,连接CE．
∵ AD是BC的中线，
∴ BD=CD,
在△ABD与△ECD中，
{ AD=ED )
∠ADB=∠EDC ,
BD=CD
∴ △ABD≌△CDE (SAS)，
∴ AB=EC=6,
在△ACE中，AC−CE＜AE＜AC+CE，
即8−6＜2AD＜8+6，
∴ 1＜AD＜7．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长AD至F，使AD=DF连接CF，∵ D是BC的中点，
∴BD=CD,
又∵ ∠ADB=∠CDF
∴△BDA≌△CDF (SAS)，
∴ ∠B=∠DCF，AB=CF，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°,
∴ ∠DCF+∠ACB=90°,
即∠ACF=∠BAC，
又∵AC=CA，
∴△ABC≌△CFA (SAS)，
∴AF=BC，
1 1
∴AD= AF= BC．
2 2
4．【方法学习】
数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC边上的中线AD的取值范围．
小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等
三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，请写出AD的取值范围是 ．
（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的
1
中点，求证：OE= BD；
2
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C为
顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，
DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）1<AD<6；（2）见解析；（3）BE+DF=EF，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助
线，构造全等三角形．
（1）由题意知，△BDE≌△CDA，则BE=AC=3，DE=AD，AE=2AD，由
AB−BE<AE<AB+BE，求解作答即可；
（2）如图3，延长OE到点P，使OE=EP，连接AP，证明△AEP≌△CEO(SAS)，则
AP=CO=OD，∠CAP=∠C，可证AP∥CO，则∠AOC+∠OAP=180°，由
∠AOB与∠COD互补，可得∠AOC+∠BOD=180°，则∠BOD=∠OAP，证明
1 1
△BOD≌△OAP(SAS)，可得BD=OP，进而可得OE= OP= BD；
2 2（3）延长AB至点H，使BH=DF，连接CH，先证明△HBC≌△FDC(SAS)，再证明
△HCE≌△FCE(SAS)，得到EH=EF，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结
论．
【详解】（1）解：由题意知，△BDE≌△CDA，
∴BE=AC=5，DE=AD，
∴AE=2AD，
∵AB−BE<AE<AB+BE，
∴7−5<2AD<5+7，即2<AD<12，
故答案为：1<AD<6；
（2）证明：如图，延长OE到点P，使OE=EP，连接AP，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又∵EP=OE，∠AEP=∠CEO，
∴△AEP≌△CEO(SAS)，
∴AP=CO=OD，∠CAP=∠C，
∴AP∥CO，
∴∠AOC+∠OAP=180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠BOD=∠OAP，
又∵AP=OD，OA=OB，
∴△BOD≌△OAP(SAS)，
∴BD=OP，
1 1
∴OE= OP= BD，
2 2
1
∴OE= BD；
2
（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH=DF，连接CH，
∵∠ABC+∠D=180°,∠HBC+∠ABC=180°，
∴∠HBC=∠D，
在△HBC和△FDC中，
{ DF=BH )
∠D=∠CBH ，
CD=CB
∴△HBC≌△FDC(SAS)
∴CH=CF,∠HCB=∠FCD，
∵∠BCD=100°,∠ECF=50°，
∴∠BCE+∠FCD=50°，
∴∠ECH=50°=∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
{ CF=CH )
∠ECF=∠ECH ，
CE=CE
∴△HCE≌△FCE(SAS)
∴EH=EF，
∵HE=BH+EB
∴EF=BE+DF．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB
＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度数；（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得
到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据
△ABD≌ △AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
1
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣30°）＝75°，
2
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
{AB=AC
)
在△ABD和△ACD中， DB=DC ，
AD=AD
∴△ABD≌ △ACD （SSS），
1
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝15°，
2
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
{ ∠ABD=∠E )
在△ABD和△AEM中， ∠ADB=∠AME ，
AB=AE
∴△ABD≌ △AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并
且有AB=BE，∠AED=∠C．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：AD+DE=BD．
【答案】（1）60°；（2）见解析
【分析】（1）由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，由
∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可证
∠CDE=∠AEB=60°
（2）延长DA至F，使AF=DE，连接FB， 由∠BED=60°+∠AED，
∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可证△FBA≌△DBE(SAS) 由DB=FB，可证
△FBD为等边三角形，可得BD=FD， 可推出结论，
【详解】解：（1）∵AB=BE，∠ABC=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，
∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，
∴∠CDE=∠AEB=60°
（2）如图，延长DA至F，使AF=DE，连接FB，
由（1）得△ABE为等边三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，
又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，
∴∠BED=∠BAF，
{ AB=BE )
在△FBA与△DBE中， ∠BAF=∠BED
AF=DE
∴△FBA≌△DBE(SAS)
∴DB=FB，∠DBE=∠FBA
∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，
∴∠ABE=∠FBD=60°
又∵DB=FB，
∴△FBD为等边三角形
∴BD=FD，
又∵FD=AF+AD，且AF=DE，
∴FD=DE+AD=BD，
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形
外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．
7．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB>AC（如图），
怎样证明∠C>∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以，点C落在AB上的点C′处，
即AC=AC′，据以上操作，易证明△ACD≌△AC′D，所以∠AC′D=∠C，又因为
∠AC′D>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC
和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，
DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长．
【答案】（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD△ ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝
60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，
进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC△ AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝
CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝
AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，∴△ACD≌△≌ ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC＝AD．
（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠MAC，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△≌ AMC（SAS），
∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，
∵CD＝BC＝12，
∴CM＝CB，
∴∠B＝∠CMB，
∵∠CMB＋∠CMA＝180°，
∴∠B＋∠D＝180°；
②设BN＝a，
过点C作CN⊥AB于点N，
∵CB＝CM＝12，
∴BN＝MN＝a，
在Rt△BCN中，CN2＝BC2−BN2＝122−a2，
在Rt△ACN中，CN2＝AC2−AN2＝162−(8+a) 2，则122−a2＝162−(8+a) 2，
解得：a＝3，
即BN＝MN＝3，
则AB＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三
角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
8．等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．
（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
BF
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求 的值；
AF
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是
___________．图2
【答案】（1）120°；（2）2；（3）120°
【分析】（1）由ΔABC是等边三角形，可得出AB=AC=BC，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，再利用AK=CH，可证ΔABK≌ΔCAH(SAS)，得出
∠CAH=∠ABK，由∠BFH=∠ABK+∠BAF=∠CAH+∠BAF可求出∠BFH，最
后由补角定义求出∠AFB.
（2）在BF上取点D，使BD=AF，由∠AFB=120°可证∠AFC=150°，再利用
AB=AC，∠ABD=∠CAF，BD=AF可证明ΔABD≌ΔCAF(SAS)，进而求出
∠ADB=∠CFA=150°，再用补角的性质得知∠AFD=120°，在△AFD中利用外角的
性质可求出∠FAD=∠ADB−∠AFD=30°，进而证出△AFD为等腰三角形，最后可证
出BF=BD+DF=2AF即可求解.
（3）延长BF至E，使ΔAFE为等边三角形，延长FG交CE于T，可得出
ΔABF≌ΔACE(SAS)，进而得出∠AEC=∠AFB=120°，利用角的和差得出
∠FET=60°=∠AFE，则证出AF// EC，进而证出ΔAFG≌ΔCTG(AAS)，再利用
AF=2FG，AF=EF证出ΔEFT为等边三角形，进而证出∠BFG=120°.
【详解】（1）∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在ΔABK和ΔCAH中，
AB=CA，∠BAK=∠ACH，AK=CH，
∴ΔABK≌ΔCAH(SAS)，
∴∠CAH=∠ABK，
∴∠BFH=∠ABK+∠BAF=∠CAH+∠BAF=60°，
∴∠AFB=180°−∠BFH=180°−60°=120°．
（2）在BF上取点D，使BD=AF．由（1）知∠AFB=120°，
又∠BFC=90°，
∴∠AFC=150°．
在ΔABD和ΔCAF中，
∵AB=AC，∠ABD=∠CAF，BD=AF，
∴ΔABD≌ΔCAF(SAS)，
∴∠ADB=∠CFA=150°，
∴∠FDA=30°，
∵∠AFD=120°，
∴∠FAD=∠ADB−∠AFD=30°，
∴∠FDA=∠FAD，
∴AF=DF，
∵BD=AF，
∴BD=DF=AF，
∴BF=BD+DF=2AF，
∴BF:AF=2．
（3）∠BFG=120°．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知∠AFB=120°．延长BF至E，使ΔAFE为等边三角形．延长FG交CE于T．
∵∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=60° ，
∴∠BAF=∠CAE，
在△BAF和△CAE中，
{ AF=AE )
∠BAF=∠CAE ,
AB=AC
∴ΔABF≌ΔACE(SAS)，
∴∠AEC=∠AFB=120°．
∴∠FET=60°=∠AFE，
∴AF// EC．
∴∠FAG=∠TCG，∠AFE=∠TEF=60°
在△AFG和△CTG中，
{∠FAG=∠TCG
)
AG=CG ，
∠FGA=∠TGC
∴ΔAFG≌ΔCTG(AAS)，
∴FG=TG．
∵AF=2FG，AF=EF，
∴EF=FT，
∵∠AFE=∠TEF=60°
∴ΔEFT为等边三角形，
∴∠EFT=60°
∴∠BFG=180°−∠EFT=120°．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
