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专题 2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
【题型02：截长补短法构造全等三角形】
【题型01：倍长中线法构造全等三角形】
△ABC中 , AD是BC边中线
A
B C
D
方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
A
B C
D
E
方式2：间接倍长
（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN
A A
F
M
B D C D
B C
E
N
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用
中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，
AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD
到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这
样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD
的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D
是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD，试说明：
AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作
AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理
由．
【答案】（1）2AC（如图），
怎样证明∠C>∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以，点C落在AB上的点C′处，
即AC=AC′，据以上操作，易证明△ACD≌△AC′D，所以∠AC′D=∠C，又因为
∠AC′D>∠B，所以∠C>∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC
和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，
DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长．
【答案】（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD△ ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝
60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，
进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC△ AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝
CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝
AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，∴△ACD≌△≌ ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC＝AD．
（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠MAC，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△≌ AMC（SAS），
∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，
∵CD＝BC＝12，
∴CM＝CB，
∴∠B＝∠CMB，
∵∠CMB＋∠CMA＝180°，
∴∠B＋∠D＝180°；
②设BN＝a，
过点C作CN⊥AB于点N，
∵CB＝CM＝12，
∴BN＝MN＝a，
在Rt△BCN中，CN2＝BC2−BN2＝122−a2，
在Rt△ACN中，CN2＝AC2−AN2＝162−(8+a) 2，则122−a2＝162−(8+a) 2，
解得：a＝3，
即BN＝MN＝3，
则AB＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三
角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
8．等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．
（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
BF
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求 的值；
AF
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是
___________．图2
【答案】（1）120°；（2）2；（3）120°
【分析】（1）由ΔABC是等边三角形，可得出AB=AC=BC，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，再利用AK=CH，可证ΔABK≌ΔCAH(SAS)，得出
∠CAH=∠ABK，由∠BFH=∠ABK+∠BAF=∠CAH+∠BAF可求出∠BFH，最
后由补角定义求出∠AFB.
（2）在BF上取点D，使BD=AF，由∠AFB=120°可证∠AFC=150°，再利用
AB=AC，∠ABD=∠CAF，BD=AF可证明ΔABD≌ΔCAF(SAS)，进而求出
∠ADB=∠CFA=150°，再用补角的性质得知∠AFD=120°，在△AFD中利用外角的
性质可求出∠FAD=∠ADB−∠AFD=30°，进而证出△AFD为等腰三角形，最后可证
出BF=BD+DF=2AF即可求解.
（3）延长BF至E，使ΔAFE为等边三角形，延长FG交CE于T，可得出
ΔABF≌ΔACE(SAS)，进而得出∠AEC=∠AFB=120°，利用角的和差得出
∠FET=60°=∠AFE，则证出AF// EC，进而证出ΔAFG≌ΔCTG(AAS)，再利用
AF=2FG，AF=EF证出ΔEFT为等边三角形，进而证出∠BFG=120°.
【详解】（1）∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在ΔABK和ΔCAH中，
AB=CA，∠BAK=∠ACH，AK=CH，
∴ΔABK≌ΔCAH(SAS)，
∴∠CAH=∠ABK，
∴∠BFH=∠ABK+∠BAF=∠CAH+∠BAF=60°，
∴∠AFB=180°−∠BFH=180°−60°=120°．
（2）在BF上取点D，使BD=AF．由（1）知∠AFB=120°，
又∠BFC=90°，
∴∠AFC=150°．
在ΔABD和ΔCAF中，
∵AB=AC，∠ABD=∠CAF，BD=AF，
∴ΔABD≌ΔCAF(SAS)，
∴∠ADB=∠CFA=150°，
∴∠FDA=30°，
∵∠AFD=120°，
∴∠FAD=∠ADB−∠AFD=30°，
∴∠FDA=∠FAD，
∴AF=DF，
∵BD=AF，
∴BD=DF=AF，
∴BF=BD+DF=2AF，
∴BF:AF=2．
（3）∠BFG=120°．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知∠AFB=120°．延长BF至E，使ΔAFE为等边三角形．延长FG交CE于T．
∵∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=60° ，
∴∠BAF=∠CAE，
在△BAF和△CAE中，
{ AF=AE )
∠BAF=∠CAE ,
AB=AC
∴ΔABF≌ΔACE(SAS)，
∴∠AEC=∠AFB=120°．
∴∠FET=60°=∠AFE，
∴AF// EC．
∴∠FAG=∠TCG，∠AFE=∠TEF=60°
在△AFG和△CTG中，
{∠FAG=∠TCG
)
AG=CG ，
∠FGA=∠TGC
∴ΔAFG≌ΔCTG(AAS)，
∴FG=TG．
∵AF=2FG，AF=EF，
∴EF=FT，
∵∠AFE=∠TEF=60°
∴ΔEFT为等边三角形，
∴∠EFT=60°
∴∠BFG=180°−∠EFT=120°．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
