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重难点突破 08 全等三角形 8 种模型
（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、
平行线中点模型与雨伞模型）
目 录
题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型）
题型02 手拉手模型
题型03 倍长中线模型
题型04 平行线中点模型与雨伞模型
题型05 截长补短模型
题型06 婆罗摩笈多模型
题型07 半角模型
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题型 01 一线三等角模型（含一线三垂直模型）
【一线三垂直模型介绍】只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的
垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系.
已知（一线三垂直） 图示 结论（性质）
如图AB⊥BC， ∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC
AB=BC，CE⊥DE，
AD⊥DE
如图AB⊥BC， ∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC
AB=BC，CE⊥DE，
AD⊥DE
已知∠AOC ∆ADB≌∆DEC
=∠ADB=∠CED=90°
，AB=DC
延长DE交AC于点 ∆ABC≌∆DBE
F，已知∠DBE
=∠ABC=∠EFC=90°
，AC=DE
【一线三等角模型介绍】三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
一线三等角类型：
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（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的
探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球
静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点
D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作
CE⊥OA于点E，测得BD=8cm，OA=17cm．求AE的长．
2．（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，
且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称
为“一线三等角“模型．
应用：
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(1)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B
作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
(2)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD，
∠DBA=∠DAB，AB=2√3，求点C到AB边的距离．
(3)如图4，在 ▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若
EF
∠≝=∠B，AB=10，BE=6，求 的值．
DE
3．（2022·北京·校考一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P
顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点
P的“垂直图形”．
(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________；
②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________；
(2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，
点F的对应点为F'．
①求点E'的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值．
4．（2021·浙江嘉兴·校考一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外
两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别
过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
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(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
1
(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝ x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为
2
3
α，且tanα＝ ，请你求出直线CD的解析式．
2
(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE
绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角
三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
5．（2022下·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，
AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又
∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为“一线三等角”
模型；
(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x，AB=2，
BD=5，用含x的式子表示CD的长；
(2)【拓展】在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，
AB=5，BC=6．若△CDE为直角三角形，求CD的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内任一点．△AOB是以OA为斜边
的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．
6．（2021上·山东青岛·九年级统考期中）【模型引入】
我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候
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很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
【模型探究】
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．
（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过
H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确
的结论有 个．
（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交
线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②√2DE＝CF；③S AEM
△
＝S MCF；④BE＝DE+√2BF；正确的结论有 个．
△
【模型变式】
（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一
点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：
MD＝MN
（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数
量关系？请给出证明．
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【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞
OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若
∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；
如果变化，请说明理由．
（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于
点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB
边的中点，则△EDM的面积是 ．
7．（2022上·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等
角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中
实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，
DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．
8．（2020上·河南安阳·八年级统考期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．则线段DE、BD与CE之间的数量
关系是______；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有
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∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），
点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE．若
∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△≝¿的形状，并说明理由．
9．（2023上·湖南长沙·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B(a,b)是第二象限内一点．
(1)若a、b满足等式(a+3) 2+|b−2|=0，求点B的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，
同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t
为何值时，△ABC是AB为斜边的等腰直角三角形；
(3)如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
若E是线段OC上一点，连接BE交AC于点D，连接AE，当AE=CE，∠OAE=45∘，①求证：BE平分
∠ABC； ②设BD的长为a，△ADB的面积为S．请用含a的式子表示S．
10．（2022上·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直
线m上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC．
(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ___________，CE与AD的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；
(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点
E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存
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在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
题型 02 手拉手模型
【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个
经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.
文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头
2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂
线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂
3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手
点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手
解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”；
②连接对应端点；
③SAS证明全等.
已知 图示 结论（性质）
如图，直线AB的同一侧作 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN
∆ABC和∆AMN都为等边三角形
3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶
（A、B、N三点共线），连接
角）
BM、CN，两者相交于点E
4）∆ANF≌∆AMD 5）∆AFC≌∆ADB
6）连接DF，DF∥BN 7）连接AE，AE平分
∠BEN 8）存在3组四点共圆
9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF
如图，∆ABC和∆AMN都为等边 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN
三角形（A、B、N三点不共
3）∠MON=60°（拉手线的夹角等于顶角）
线），连接BM、CN，两者相
交于点O 4）连接AO，AO平分∠BON
5）存在2组四点共圆
6）ON=OM+OA，OB=OC+OA
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如图，四边形ABCD和四边 1）∆AGD≌∆AEB 2）GD=EB
形AEFG为正方形，连接EB 3）GD⊥EB 4）AO平分∠EOD
和GD，两者交于点O
11．（2023·安徽黄山·校考一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点A逆时针旋转一
周．
(1)如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为_______；直线BD与CE所夹角的度数为_______．
MN
(2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问： 的值是
BD
否随△ADE的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
(3)M，N分别为BC，DE的中点，连接MN．若AB=3√10，AD=6，当△ADE旋转至B，D，E三点在
同一条直线上时，请直接写出MN的值．
12．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是平面内不与
点A，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转α得到线段PD，连接AP、CD、BD．
(1)当α=60°时，
①如图1，当点P在△ABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP与BD的数量关
系是_______________；
②如图2，当点P在△ABC内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD的数量关系
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还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当α=90°时，
①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由；
BD
②若点A，C，P在一条直线上，且AC=3PC，线段PC绕点P逆时针旋转α得到线段DP，求 的值．
AP
13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主
题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，
则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)操作判断 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0°b．记△ABC的面积为S．
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S ，正
1
方形BGFC的面积为S ．
2
①若S =9，S =16，求S的值；
1 2
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求
证：S −S =2S．
2 1
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积
为S ，等边三角形CBE的面积为S ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，
1 2
CF．若EF⊥CF，试探索S −S 与S之间的等量关系，并说明理由．
2 1
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.题型 03 倍长中线模型
【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二
倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
已知 图示 结论（性质）
已知点D为∆ABC中BC边中 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
点，延长线段AD到点E使
AD=DE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
已知点 D 为∆ABC 中 BC 边中 ∆BDF≌∆CDE
点，延长线段 DF 到点 E 使
DF=DE,
连接EC
23．（2019·山东淄博·统考一模）如图，ΔABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交
AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么AF的长度为 ．
24．（2020上·北京朝阳·八年级统考期末）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
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经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可
△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得 证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS
∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，
不需要写出证明过程）．
25．（2020上·河北邢台·八年级校考期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加
入．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≌△EBD．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是△≝¿的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF．
26．（2020·江苏徐州·统考模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将
△ACD绕着点D逆时针旋转180∘得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD
的取值范围是_______；
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（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连
接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个
50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，
并说明理由．
27．（2016·贵州贵阳·中考真题）阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转
180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两
边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
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28．（2020上·山西吕梁·八年级统考期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知ΔABC中，AD是BC边上的中线．
求证：AB+AC>2AD．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线∴BD=CD
在ΔBDE和ΔCDA中¿
∴ΔBDE≌ΔCDA（依据一）∴BE=CA
在ΔABE中，AB+BE>AE（依据二）
∴AB+AC>2AD．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化
到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形
和证明边之间的关系．
任务二：如图3，AB=3，AC=4，则AD的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在RtΔABE中，
∠BAE=90°，AB=AE；RtΔACF中，∠CAF=90°，AC=AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关
系，并说明理由．
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题型 04 平行线中点模型与雨伞模型
【平行线中点模型介绍】平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三
角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。
已知 图示 结论（性质）
已知AB∥CD，点E，F分别 ∆POE ≌ ∆QOF
在直线AB、CD上，点O为
线段EF的中点，延长PO交
CD于点Q
如图AP平分∠BAC，BD⊥AP， ∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，BD=CD
垂足为点D，延长BD交AC于
点C
29．（2021上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交
BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接
BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
30．（2021上·江苏南京·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，
1
BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．
2
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31．（2018下·四川成都·七年级统考期末）如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且
MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．
（1）求证：BC⊥AC；
（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,
①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；
②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．
32．（2020·全国·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF
平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．
题型 05 截长补短模型
模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，
可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指
将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法
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截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等
补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等
33．（2020上·山东济南·八年级统考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的
添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另
一短边相等，从而解决问题．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的
数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证
得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；
【拓展延伸】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段
DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离
PQ的长为______cm．
34．（2022上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，
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1
∠CAD= ∠BAE．
2
(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
35．（2022上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分
∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD=240°．
(1)求∠AOB的度数；
(2)求证：OD=OC．
36．（2018上·江苏盐城·八年级校联考期末）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，
也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长
或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间
的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，
∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE
是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段
DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
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37．（2020·辽宁沈阳·统考一模）思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是 ；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
拓展提升：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点
E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．
38．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等
边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
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（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的
√10
中点Q，连接CQ．当AB＝6√2，AD＝4√2，tan∠ABC＝2时，求CQ＋ BQ的最小值．
10
题型 06 婆罗摩笈多模型
婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C
2）等线段：BC=DC CE=CG
3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90°
已知 图示 结论（性质）
四边形 ABCD、CEFG 为正方 CH⊥BE，BE=2IC，S =S
∆DCG ∆BCE
形，连接BE、DG，I、C、H三
点共线，若点I为中点
四边形 ABCD、CEFG 为正方 点I为中点，BE=2IC，S =S
∆DCG ∆BCE
形，连接BE、DG，I、C、H三
点共线，若CH⊥BE
39．（2021上·重庆开州·八年级校联考期中）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以
AB，AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下
列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
40．（2023上·山西太原·九年级成成中学校考阶段练习）综合与实践
以△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于
M，延长MA交EG于点N.
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(1)如图①，若AB=AC，证明：EN=GN；
(2)如图②，∠BAC=90°，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说
明理由；
(3)如图③，∠BAC≠90°，AB=5，AC=√10，且AM=3，则S =________________.
△AEG
41．（2017·江西·中考真题）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜
180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是
△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中
心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2√3，DA=6．在四边形内部是否存在
点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存
在，说明理由．
42．（2019上·湖北十堰·九年级校联考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别
以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，
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1
(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝ EG，AM⊥EG；
2
(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．
43．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形
ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．
求证：
1
（1）AM= EG；
2
（2）AH⊥EG；
（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．
题型 07 半角模型
半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°
1
角包含着135°角，即出现 倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。
2
解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
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已知 图示 结论（性质）
[90°半角模型]已知正方形 ①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE
ABCD中，E，F分别是BC、CD
C
上的点，∠EAF=45°，AE、AF ③ ∆CEF=2倍正方形边长 ④S ∆ABE +S ∆ADF =S ∆AEF
分别与BD相交于点O、P ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA
⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=√2OP
(12) S ∆AEF=2S ∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
[120°半角模型] 已知∆ABC A MN=NC-BM
为 等 边 三 角 形 ， DB=DC ，
∠BDC=120°，∠MDN=60°
M N
B C
D
[135°半角模型] 在 Rt∆ABC C CB=CD+BE
中，点E、点D分别为AB、AC
边上动点，四边形AEFD是正
方形，且∠BFC=135°
D F135°
A E B
44．（2022上·广西南宁·九年级统考期中）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别
在边CD、BC上，且∠MAN＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，
旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接
AM、AN、MN．
(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写
出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
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45．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究图中线段EF，
BE，DF之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，先证明△ADF≌△ABG，再证明
△AEF≌△AEG．
①EF，BE，DF之间的数量关系为________；
②小亮发现这里△ABG可以由△ADF经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠D互补，E，F分别是边BC，CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
2
【模型应用】
(3)如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AD=6，AB=4，∠CAE=45°，求CE的长．
46．（2020下·江苏盐城·九年级统考阶段练习）已知如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别在边BC、
CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种
常用的方法．
（1）在图l中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF”，小亮将ΔADF绕点A顺时针旋转90°后解答
了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
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（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45∘，且BC=7，
DC=13，CF=5，求BE的长．
47．（2021上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，
1
∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，线段EF、BE、FD之间
2
的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量
2
关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．
48．（2022上·河北邢台·九年级统考期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE'的位置，然后证明△AFE≌△AFE'，从而可得EF=E'F．
E'F=E'D+DF=BE+DF，从而使问题得证．
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(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
1
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF= ∠BAD，直接写出EF，BE，DF之
2
间的数量关系．
1
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠EAF= ∠BAD，求证：EF＝
2
BE＋DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是⊙O的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC
与AP的关系．
49．（2021上·浙江绍兴·八年级校联考期中）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为
△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
50．（2022上·山西·九年级统考期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几
何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．
易证得EF=BE+FD．
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大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE=180°可得H、B、E
三点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF=BE+DF．
任务：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，
AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是
否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
51．（2022上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知△ABC中，AB=AC，点
1
D、E是边BC上两动点，且满足∠DAE= ∠BAC，
2
求证：BD+CE>DE．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角∠DAE两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的△AFE，然后证明与半角形
成的△ADE全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，
……
（2）【应用提升】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以
每秒1个单位长度的速度沿射线AD点D运动；点Q点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，
当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，
BE与CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t(s)，
①求∠PBE的度数；
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②试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个
定值．
52．（2020上·重庆璧山·九年级重庆市璧山中学校校考阶段练习）“半角型”问题探究：如图1，在四边
形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD
之间的数量关系．
（1）小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从
而得出结论：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF
1
＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
2
（3）如图3，边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF＝1，O为EF的中点，
动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与O、F不重合），且∠GPE＝45°，
设AG＝m，求m的取值范围．
34
