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专题 34 概率
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：概率的相关概念................................................................................................................................2
考点二：概率的计算方法................................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：概率的相关概念................................................................................................................................3
题型一：事件的分类................................................................3
题型二：判断事件发生可能性的大小..................................................6
题型三：理解概率的意义............................................................9
题型四：判断几个事件概率的大小关系...............................................11
考点二：概率的计算方法..............................................................................................................................14
题型一：根据概率公式计算概率.....................................................14
题型二：根据概率作判断...........................................................17
题型三：利用概率求数量...........................................................20
题型四：列举法求概率.............................................................25
题型五：画树状图法/列表法求概率..................................................32
题型六：几何概率.................................................................39
题型七：频率估计概率.............................................................50
题型八：用频率估计概率的综合应用.................................................55
题型九：放回实验概率计算方法.....................................................64
题型十：不放回实验概率计算方法...................................................71
题型十一：游戏公平性.............................................................82
题型十二：概率的应用.............................................................90
题型十三：概率与统计综合........................................................100专题 34 概率
模块一：基础知识
考点一： 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
随机事件出现的次数
概率公式： P(随机事件)= .
所有可能出现的结果数
2.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件
事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
考点二：概率的计算方法
m
1.公式法：P（A）= ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
n
2.列举法
（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过
列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
（2）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
（3）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
（4）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
3.画树状图法
（1）当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状
图法.
（2）画树状图法求概率的步骤：
①明确试验由几个步骤组成；
②画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
③根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
4.列表法
（1）当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
（2）列表法求概率的步骤：
①列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
②通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
③利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
5.用频率估计概率的方法（1）通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显
示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
（2）适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相
等时，一般通过统计频率来估计概率．
模块二：题型分类
考点一：概率的相关概念
题型一：事件的分类
1.如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷得的点数和为5 B．掷得的点数和为9
C．掷得的点数和大于15 D．掷得的点数和小于13
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、掷得的点数和为5是随机事件，故此选项不符合题意；
B、掷得的点数和为9是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷得的点数和大于15是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、掷得的点数和小于13是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【答案】D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．3.下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
4.下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
5.彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
6.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都
可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合A,B或闭合C,D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的
关键．
7.下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；
C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件
下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
题型二：判断事件发生可能性的大小
1.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可．
1
【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性= ；
10
2 1
第二个袋子摸到红球的可能性= = ；
10 5
5 1
第三个袋子摸到红球的可能性= = ；
10 2
6 3
第四个袋子摸到红球的可能性= = ．
10 5
故选：D．
【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之
比，难度适中．
2.袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能
性更大，那么袋中红球的个数是（ ）
A．2个 B．不足3个 C．4个 D．4个或4个以上
【答案】B
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【详解】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中红球的个数可能不足3个．
故选：B．
【点睛】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；
反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
3.下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．三角形的内角和是180°
C．明天会下雨 D．明天的数学测验，小明会得满分
【答案】B
【分析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
B、三角形的内角和是180°，是必然事件，属于确定事件，故符合题意；
C、明天会下雨为随机事件，故不符合题意；
D、明天的数学测验，小明会得满分为随机事件，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定
事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
4.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人
的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个
不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同
【答案】D
【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小．
1
【详解】解：每个数字抽到的概率都为： ，
3
故小星抽到每个数的可能性相同．
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键．
5.袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球
的可能性最大，则m的值不可能是（ ）A．1 B．3 C．5 D．10
【答案】D
【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得0 > >
3 2 3 6
故选：A
【点睛】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数
4.下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2
【答案】C
1
【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是 ，据此计算各个选项所代
6
表事件的概率．
1
【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为 ；
6
B、朝上点数为7的可能性为0；
3 1
C、朝上点数为2的倍数的可能性为 = ；
6 22 1
D、朝上点数不大于2的可能性为 = ．
6 3
故选C．
【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键．
5.一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，
则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】A
【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用0来表示不
可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发
生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定
为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．
【详解】解：A选项，装有1个红球和2个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
B选项，装有1个红球和2个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
1 2
C选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是 ，概率不同，不符合题意；
3 3
D选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．
6.桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机
取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．（填序号 即可）①取到75%的酒精；②取
到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液．
【答案】③②①④
【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
【详解】∵有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，
2 1
∴①取到75%的酒精的概率是 = ；
6 3
3 1
②取到双氧水的概率是 = ；
6 2
4 2
③没有取到75%的酒精的概率是 = ；
6 31
④取到84消毒液 ；
6
∴按事件发生的可能性从大到小排列：③②①④；
故答案为：③②①④．
【点睛】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总
情况数之比．
考点二：概率的计算方法
题型一：根据概率公式计算概率
1.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的
概率为 ．
1
【答案】
6
【分析】使用简单事件概率求解公式即可：事件发生总数比总事件总数．
【详解】掷骰子一次共可能出现6种情况，分别是向上点数是：1、2、3、4、5、6，
1
点数1向上只有一种情况，则朝上一面点数是1的概率P= ．
6
1
故答案为：
6
【点睛】本题考查了简单事件概率求解，熟练掌握简单事件概率求解的公式是解题的关键．
2.在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红
球的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】A
【分析】根据概率公式计算，即可求解．
3 3
【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是 = ．
3+1 4
故选：A
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
3.书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3【答案】B
【分析】根据概率公式直接求概率即可；
【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
选中的书是物理书的结果有1种，
1
∴从中任取1本书是物理书的概率= .
3
故选： B．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
4.老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
5 4 3 4
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找到全部情况的总数以及符合条件的情况，两者的比值就是其
发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，总数是4个
1
人，符合情况的只有甲一个人，所以概率是P= ，
4
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
m
件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
n
5.从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=−x+1上的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【答案】D
【分析】先列出数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再
利用概率公式的求法得出．
【详解】数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标可以为
(−1，0)、(−1，1)、(−1，2)、(0，−1)、(0，1)、(0，2)、(1，−1)、
(1，0)、(1，2)、(2，−1)、(2，0)、(2，1)共12种等可能的情况，
依次代入y=−x+1知(−1,2)、(0,1)、(1,0)、(2,−1)在直线上，
4 1
故概率为 = ．
12 3
故选：D．【点睛】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键．
6.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯
的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
2 4 3 12
【答案】B
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，依此列式计算即
可求解．
【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
25 1
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P= = ，
72+25+3 4
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；
③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 2 6 3
【答案】D
【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．
【详解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
4 2
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是 = ，
6 3
故选D．
【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
8.一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减
少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（ ）A．增加2个白球 B．减少2个黄球
C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球
【答案】D
【分析】分别求出各选项摸到白球和黄球的概率，然后比较即可解答．
4 3
【详解】解：A．增加2个白球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
7 7
2 1
B．减少2个黄球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
3 3
3 2
C．增加1个白球、减少1个黄球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
5 5
2+4 1 3+3 1
D．增加4个白球、3个黄球，摸到白球的概率是 = ，摸到黄球的概率是 = ，符合题意；
12 2 12 2
故选D．
【点睛】本题主要考查了可能性大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键．
9.如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内
的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
3
【答案】
5
【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角
形有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率．
【详解】解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三
3
角形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是：3÷5= ．
5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
m
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
n题型二：根据概率作判断
1.一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球
的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m+n=6 B．m+n=3 C．m=n=3 D．m=2，n=4
【答案】A
【详解】试题分析：∵从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，
∴m+n=6．
故选A．
考点：概率公式．
2.一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，
1
请写出概率为 的事件： ．
3
【答案】摸出红球
【分析】根据概率公式确定答案即可．
1
【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是 ．
3
故答案为：摸出红球．
【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
3.一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是
黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ）
A．m=n=8 B．n−m=8 C．m+n=8 D．m−n=8
【答案】C
【分析】先根据概率公式得出：任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率（用含m、n的代数式
表示），然后由这两个概率相同可得m与n的关系．
【详解】解：∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，
8 m+n
∴任意摸出一个球，是黄球的概率为： ，不是黄球的概率为： ，
8+m+n 8+m+n
∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，
8 m+n
∴ ＝ ，
8+m+n 8+m+n
∴m+n＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，属于基础题型，解题时注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．4.已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5，则在一定时间段内，由该元件组
成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ．
3
【答案】
4
【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为
0.25，进而由概率的意义可得一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率．
【详解】解：根据题意，某一个电子元件正常工作的概率为0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为
0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25(正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常)
故一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率=1-0.25=0.75
故答案为：0.75．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，于基础题，到的知识点为：电流正常通过的概率=1-电流不能正
常通过的概率．
5.在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同
1
种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是 ，则添加的球是（ ）
3
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
【答案】C
【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案．
1
【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是 ，
3
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是黑球，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法．
6.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概
1
率小于 ，则密码的位数至少需要（ ）位．
999
A．3位 B．2位 C．9位 D．10位【答案】A
1
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于 所在
999
的范围解答即可．
1 1
【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为 ，取两位数时一次就拨对密码的概率为 ，
10 100
1
取三位数时一次就拨对密码的概率为 ，故密码的位数至少需要3位．
1000
故答案为：3．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
m
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
7.不透明的袋子里装有红、黑、白三种颜色的小球，它们质地、形状完全相同，从袋子中随机抽取一个小
1
球，记事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到红球或黑球”，若P(A)= ，则P(B)的取值范围是
2
．
1
【答案】 ＜P(B)＜1
2
【分析】根据随机事件发生的概率解题．
1
【详解】事件B包含事件A，则P(B)> ，又因为袋子里还有黑球，则P(B)<1
2
1
故答案为： ＜P(B)＜1．
2
【点睛】本题考查随机事件的概率，是常见重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
题型三：利用概率求数量
1.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融
图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机
1
摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是 ，则n的值是 ．
5
【答案】10
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
n 1
= ，
50 5
解得n=10，故答案为：10．
【点睛】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
2.一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的
1
概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 个．
4
【答案】15
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
5 1
=
x+5 4
解得：x=15，
检验：将x=15代入x+5=20，值不为零，
∴x=15是方程的解，
∴黄球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
3.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的
球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定
在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】D
【分析】直接由概率公式求解即可.
9
【详解】根据题意得 =30%，解得：n=30，
n
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
4.一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其它
完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为（ ）A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】A
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为0.1，由此根据概率计算公
式建立方程求解即可．
2
【详解】解：由题意得， =0.1，
n+2
解得n=18，
经检验，n=18是原方程的解，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概
率值是解题的关键．
3
5.袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，
4
则这个袋中白球大约有 个．
【答案】2
【分析】根据已知概率与概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球(6+n)个，
3
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为 ，
4
6 3
∴ = ，
6+n 4
解得：n=2（经检验符合题意）．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意方
程思想的应用．
6.在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个
球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个
数约为 ．
【答案】24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系
入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，20 4
∴白球所占的比例为：1− = ，
100 5
x 4
设袋子中共有白球x个，则 = ，
6+x 5
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
7.在不透明的袋子里装有2个红球和1个蓝球，红球和蓝球除颜色外其余都完全相同．
(1)从袋子中一次摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球是一红一蓝的概率；
3
(2)若再向袋中放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为 ，求后来放入袋
4
中蓝球的个数．
2
【答案】(1)
3
(2)放入袋中的蓝球个数为5个
【分析】（1）根据题意画出树状图或列出表格，即得出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最
后根据概率公式计算即可；
（2）设后来放入袋中的蓝球个数为x个，则此时袋子里有(x+1)个蓝球，共有 (x+3)个球．根据概率公
式可列出关于x的分式方程，解出x的值即可．
【详解】（1）解：根据题意可画树状图如图，
由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两次摸到一红一蓝的结果有4种，
4 2
∴两次摸到一红一蓝的概率P = = ；
一红一蓝 6 3
（2）解：设后来放入袋中的蓝球个数为x个，则此时袋子里有(x+1)个蓝球，共有 (x+3)个球．
3
∵从袋中摸出一个蓝球的概率为 ，
4
x+1 3
∴ = ，
x+3 4
解得：x=5，经检验x=5是原方程的解．
∴放入袋中的蓝球个数为5个．
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握概率公式、
列表或画树状图求概率及方程的思想方法是解题关键．
8.在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，
1
黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
3
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
1
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率 若能，请写出如何调整白球
4
数量；若不能，请说明理由．
7
【答案】(1) ；
15
(2)能，可以将盒子中的白球拿出3个．
【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）由题意可直接进行求解．
1
【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是 ，
3
1
∴盒子中球的总数为：5÷ =15（个），
3
∴盒子中黑球的个数为：15−3−5=7（个）；
7
∴任意摸出一个球是黑球的概率为： ；
15
1
（2）解：∵任意摸出一个球是红球的概率为
4
1
∴盒子中球的总量为：3÷ =12，
4
∴可以将盒子中的白球拿出3个．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键．
9.黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色
的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放
回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率
m 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
n
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为
___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小
球”的概率．
【答案】(1)0.25
(2)1
1
(3)
2
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，
根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，
据此可得．
（2）设盒子里有x个白球，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（3）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出“摸到两个颜色相同小球”的结果数，然后
根据概率公式求解．
【详解】（1）从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为0.25；
故答案为：0.25；
x
（2）设盒子里有x个白球，根据题意，得： =0.25，
4
解得：x=1，
∴盒子里有1个白球．
（3）随机摸出两球的树状图如下：
共有12种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”6种结果，
6 1
“摸到两个颜色相同小球”的概率是 = ．
12 2【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个
固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
题型四：列举法求概率
1.现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
2
【答案】
5
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；
所以有4种方案符合要求，
4 2
故能构成三角形的概率是P= = ，
10 5
2
故答案为： .
5
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时
考虑要全面，不能重复也不能遗漏.
2.在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电
路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．2
【答案】
3
【分析】先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有 3 种情况，分别是
SS ，SS ，S S ；其中能够让一个灯泡发光的情况有SS ，SS 共2 种，
1 2 1 2 1 2
2
∴随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率为 ；
3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了列举法求解概率，正确理题意列举出所有的可能性的结果数是解题的关键．
3.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由
三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色
小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
3 8 2 3
【答案】B
【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，3
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ，
8
故选：B
【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
4.从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】B
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况，
分别是3，4，5三种情况.
1
所以和为偶数的概率为 ，
3
故选：B．
【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式.
5.有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面
上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为
．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四张卡片中，矩形，菱形，正方形为中心对称图形，
分别用A,B,C,D表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性随机抽取两张卡片共有
AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种情况，其中抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的有
BC,BD,CD，共3种情况，
3 1
∴P= = ；
6 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率．熟练掌握矩形，菱形，正方形为中心对称图形，
以及列举法求概率，是解题的关键．
6.暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位
（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法
有（ ）A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票
相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计
算原理可得．
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，
若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，
故选：B．
7.如图，三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次
1 1 1
各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB 的概率为_______________；
1
(2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端A 、B 、
1 1
C 三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
1
1
【答案】(1)
3
2
(2)
3
【分析】（1）由三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答
1 1 1
案；
（2）利用列举法可得：AC A B ，AC A C ，ACB C ，其中符合题意的有2种(AC A B 、
1 1 1 1 1 1 1 1
ACB C )，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
1 1
【详解】（1）解：∵共有三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，
1 1 1
1
∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB 的概率为： ；
1 3
1
故答案为： ；
3
（2）解：列举得：ABA B ，ABA C ，ABB C ，AC A B ，AC A C ，ACB C ，BC A B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1BC A C ，BCB C ；
1 1 1 1
∴共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种，
6 2
∴这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：P= = ．
9 3
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 18 24 64
【答案】C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可
1
能占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，
①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，
③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，
④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
1
故第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行
求解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
9.看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每
匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的
概率为 ．
马匹 中等
下等马 上等马
姓名 马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 91
【答案】
6
【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌
能赢得比赛的有5，9，7；一种
1
∴田忌能赢得比赛的概率为
6
1
故答案为：
6
【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
10.如图，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
1 2 3
2
【答案】
3
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，有3种方法，其中有两种
1 2 3
2
能够让灯泡发光，故其概率为 ．
3
【详解】解：随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，可以闭合S 、S ；S 、 S ；S 、S 三种情况，其中闭
1 2 3 1 2 1 3 2 3
合S 、 S 或S ，S 时，灯泡可以发光，
1 3 2 3
2
∴P = ．
(灯泡发光) 3
2
故答案为： ．
3
11.某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：ug/m3）如下表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI/（ug/m3） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29
AQI不高于75ug/m3表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区
的空气质量都是优良的概率是 ．3
【答案】 /0.375
8
【分析】先求出3天中空气质量都是优良的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时3天空气质量均为优良；
当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时3天空气质量均为优良；
当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时3天空气质量均为优良；
当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时2天空气质量均为优良；
当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时2天空气质量均为优良；
当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时1天空气质量为优良；
当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时2天空气质量为优良；
当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时2天空气质量均为优良；
3
∴小王该月上旬该地区度假三天那么他在该地区度假期间空气质量都是优良的概率是 ，
8
3
故答案为： ．
8
【点睛】本题考查的是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
m
出现m种可能，那么事件A的概率P(A)= ．
n
题型五：画树状图法/列表法求概率
1.周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，
星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．沙河湿地公园，
D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．
楼观台国家森林公园 黑河国家森林公园 沙河湿地公园 终南山鼓楼观景区
(1)小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 ；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
1
【答案】(1) ；
4
3
(2) ．
4
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可求解；
（2）列表求出总的结果数和两人选择的景点不同的结果数，再利用概率公式计算即可求解；本题考查了利用树状图法或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵共有A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．河湿地公园，D．终
南山鼓楼观景区四个景区，
1
∴小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率 ，
4
（2）解：根据题意列表如下：
A B C D
A （A,A）（B,A）（C,A）（D,A）
B （A,B）（B,B）（C,B）（D,B）
C （A,C）（B,C）（C,C）（D,C）
D （A,D）（B,D）（C,D）（D,D）
由表可得，一共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点不同的有12种结果，
12 3
∴两人选择的景点不同的概率= = ．
16 4
2.在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食
安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取
一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
【答案】D
【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状
图进行求解即可．
【详解】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树
状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
4 1
则两人恰好选中同一主题的概率为 = ．
16 4
故选：D．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键．
3.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 3 2
【答案】B
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7
的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为
6 1
6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是： =
36 6
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件
所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
4.为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，
则甲被抽中的概率是（ ）
1 1 3 5
A． B． C． D．
2 4 4 12
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
【详解】解：画树状图得：∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
6 1
∴P（抽到甲）= = ．
12 2
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和
小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率
公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
3 1
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为 = ．
9 3
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在
①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】C
【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.
【详解】解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
6 1
则A，B两位同学座位相邻的概率是 = .
12 2
故选C.
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.
7.一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的
方法，求2次都摸到红球的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
9
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有3个球，其中红球1个，
1
∴摸到红球的概率等于 ；
3
（2）画树状图如下：∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
1
∴2次都摸到红球的概率= ．
9
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
8.一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先
从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
1
【答案】(1)
3
4
(2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为
9
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
1
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是
3
1
故答案为： .
3
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：
(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，4
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 .
9
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9.有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为
6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为
15kg的概率．
2
【答案】(1)
5
1
(2)见解析，
5
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概
率公式计算．
2
【详解】（1）解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ，
5
2
故答案为： ；
5
（2）解：列表如下：
第二
个 6 6 7 7 8
第一个
6 12 13 13 14
6 12 13 13 14
7 13 13 14 15
7 13 13 14 15
8 14 14 15 15
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．
4 1
∴P= = ．
20 5
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结
果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率．10.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，
其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好
停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树
状图法求满足a+b<0的概率．
1 2
【答案】(1) ；
3 3
1
(2)满足a+b<0的概率为 ．
3
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；
3
2
转盘乙指针指向正数的概率是 ．
3
1 2
故答案为： ； ．
3 3
（2）解：列表如下：
乙
-1 -6 8
甲
-4 -5 -10 4
5 4 -1 13
7 6 1 15
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
3 1
∴满足a+b<0的概率为 = ．
9 3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，求出概率．题型六：几何概率
1.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
120 1
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是： = ．
360 3
故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．
2.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，
指针停止后落在黄色区域的概率是( )
1 1 1 7
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】B
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，
90 1
所以黄区域所占的面积比例为 = ，
360 4
1
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 ，
4
故选B．
【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基
础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
3.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 5 5
【答案】A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是
几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：
360°
∵正六边形的内角为180°− =120°，
6
1 √3
∴在Rt ΔACD中，∠ADC=90°,∠CAD=60°,AC=a，则AD= a,CD= a，
2 2
∴BC=2CD=√3a，
√3 3
∴在Rt ΔBCE中，∠BEC=90°,∠BCE=60°,BC=√3a，则CE= a,BE= a，
2 2
1 1 1 3
则灰色部分面积为3S =3× BC⋅AD=3× ×√3a× a= √3a2 ，
ΔABC 2 2 2 4
1 √3 3 3√3
白色区域面积为2S =2× CE⋅BE= a× a= a2 ，
ΔBCE 2 2 2 4
3
所以正六边形面积为两部分面积之和为
√3a2
，
2
3
√3a2
4 1
飞镖落在白色区域的概率P= = ，
3 2
√3a2
2
故选：A．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
4.如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，
扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没
有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
π π √10π √5π
A． B． C． D．
12 24 60 60
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，OB=√32+12=√10，
90·π×10 5π
∴阴影部分面积为： = ，
360 2
5π
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 2 π ，
=
30 12
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所
求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
5.如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧
恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1，则该点取自阴影部分的概率为 ．√2 1
【答案】 / √2
4 4
【分析】连接DE，根据勾股定理，得DE=√2，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S ，根据
2
S 的等于扇形DEC的面积减去S ，据此求解即可．
2 △ECD
【详解】解：连接DE，如下图：
∵四边形ABCD是矩形，CD=CE=1，
∴DE=√12+12=√2，∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=1，
∴AD=BC=√2，∠ADE=45°，
2
45π⋅(√2) π
∴扇形AED的面积为： = ，
360 4
1 1 π 1
∵S 的面积为： π×12− ×1×1= − ，
2 4 2 4 2
π π 1 1
∴阴影部分的面积为： − + = ．
4 4 2 2
矩形ABCD的面积为BC×CD=√2，
1
该点取自阴影部分的概率为 2 √2．
=
√2 4
√2
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性
质．
6.一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】C
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
3
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的 ，
9
3 1
∴P= = ；
9 3
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
7.“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是
用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影
部分）的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
32 24 16 8
【答案】C
【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．
1
【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的 ，
16
1
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．
16
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度
比，面积比，体积比等．
8.正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影
部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .π−2
【答案】
2
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵S =4S -S
阴影 半圆 正方形ABCD
1
=4× π×12−22
2
=2π−4，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
S
P = 阴影
(小石子落在阴影) S
正方形ABCD
2π−4
=
4
π−2
= ．
2
π−2
故答案为 ．
2
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
9.如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
π π π π
A． B．1− C． D．1−
4 4 8 8
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积
比求出概率，即可．【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
a
∴其内切圆的半径为 ，正方形的面积为a2，
2
∴阴影部分的面积为a2−π× (a) 2 = ( 1− π) a2 ，
2 4
( 1− π) a2
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是 4 π．
=1−
a2 4
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
10.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝
长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结
果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
（ ）
A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形
的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
x
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
20
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，x
综上有： =0.35，解得x=7．
20
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理
解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
11.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全
相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
3
【答案】
8
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
6 3
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= = ，
16 8
3
∴小球停在黑色区域的概率是 ；
8
3
故答案为：
8
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
12.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结BD交AF、
CH于点M、N．若DE平分∠ADB，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
．
√2 1
【答案】 / √2/0.25√2
4 4【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵DE平分∠ADB，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证 BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形△ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝△EG×sin45°＝√2x
∵ BFA≌△AED≌△CGB
∴B△F＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝(√2+1)x， BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌ MED，
在Rt BCG中， △ △
△
BC2=CG2+BG2=(4+2√2)x21
∴S =S +S =2S =2× x× (√2+1)x＝(√2+1)x2
阴影 △DEM △BGN △BGN 2
S =BC2= (4+2√2)x2
正方形ABCD
S (√2+1)x2 √2
∴ 阴影 = =
S (4+2√2)x2 4
正方形ABCD
√2
∴针尖落在阴影区域的概率为 ．
4
√2
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形
的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
13.如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF
的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
1
【答案】
16
【分析】根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三
角形相似,
1
那么第二个△DEF的面积= △ABC的面积
4
1 1
那么第三个△MPN的面积= △DEF的面积= △ABC的面积
4 16
1
∴若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为:
16
1
故答案为：
16
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第
三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式．14.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入
一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
4 2 8 20
A． B． C． D．
27 9 27 27
【答案】B
【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只
有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．
【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的
小正方体，
在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有
一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，
可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，
6 2
所以所求概率为 = ．
27 9
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
15.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域
的概率是 ．
4
【答案】
9
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，4
∴它最终停留在阴影区域的概率是 ．
9
4
故答案为：
9
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
16.如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小
明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
1
【答案】
4
1
【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，再由几何概
4
率计算求值即可；
【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
1
∴阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，
4
1
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
4
1
故答案为： ；
4
【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）
和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
题型七：频率估计概率
1.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832
射中九环以上的频
0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832
率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 .（精确到0.01）
【答案】0.83
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置
左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
2.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原
鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼
苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总
数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
5 100
鱼的概率近似= = ，解得x＝2000；
100 x
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
10 100
鱼的概率近似= = ，解得y＝1000；
100 y
∵2000>1000，
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的
等量关系．
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸
出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15【答案】C
【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．
【详解】解：设红球的个数为x个，
x
根据题意，得： =0.6，
20
解得：x=12，
即袋子中红球的个数最有可能是12，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是
事件发生的概率是解题关键．
4.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合
这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进
行判断．
1
【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符
4
合题意；
1
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为 ，不符合题意；
6
1
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，符合题意；
3
1
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为 ，不符合题意，
2
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随
机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到
红球，则口袋中红球的个数约为 ．
【答案】6
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
75
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8× =6（个）．
100
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的
近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
6.2025年3月12日是我国第47个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在
同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据
这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
7.《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜线的直径为3cm，厚度为0.2cm，一枚
铜钱的平均密度约为9g/cm3．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，
记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 g（用含m，n，π
的式子表示）．81(m−n)π
【答案】
20m
【分析】求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案．
【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．
n
∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 ，
m
3 2 n 9(m−n)π
∴铜钱的实际面积为π×( ) ×（1－ ）＝ （cm2），
2 m 4m
9(m−n)π 9(m−n)π
∴铜钱的体积为 ×0.2＝ （cm3），
4m 20m
9(m−n)π 81(m−n)π
∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 ×9＝ (g)，
20m 20m
81(m−n)π
故答案为： ．
20m
n
【点睛】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的
m
是解题的关键．
8.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后
从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”
的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；3
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
【答案】(1)0.5，0.5
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个
(3)10个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，
已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），则黑颜色的球有40−20=20（个）；
20+x 3
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，依题意得， = ，计算求解，然后作答即可．
40+x 5
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5，假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为0.5，
故答案为：0.5，0.5；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），
黑颜色的球有40−20=20（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，
20+x 3
依题意得， = ，
40+x 5
5(20+x)=3(40+x)，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入10个白球．
题型八：用频率估计概率的综合应用
1.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用
黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机
掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积
约为 cm2．
【答案】2.4【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，
∴黑色部分的面积约为：4×60%=2.4cm2，
故答案为2.4cm2．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
2.斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士队，下表是库里一段时间内在
罚球线上训练投篮的结果记录：
罚球总数 400 1000 1600 2000 2887
命中次数 348 893 1432 1802 2617
罚球命中
0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
率
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这
个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量
重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可
得出结果．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.87−0.906之间附
近，且精确到0.1，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9，
故答案为：0.9．
3.一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，
闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4
附近．
(1)估计摸到红球的概率是__________________________；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，
求n的值．3
【答案】(1)
5
(2)30
(3)30
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
12
（2）设袋子中原有m个球，根据题意得 =0.4，解之即可得出答案；
m
12+n 7
（3）根据题意得 = ，解之即可得出答案．
30+n 10
【详解】（1）解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的频率在0.6，
6 3
∴估计摸到红球的概率是 = ，
10 5
3
故答案为： ；
5
（2）设袋子中有m个球，
12 4
根据题意，得 = ，
m 10
解得m=30，
经检验m=30是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
12+n 7
（3）根据题意得： = ，
30+n 10
解得：n=30，
经检验n=30是分式方程的解，
所以n=30．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的
近似值就是这个事件的概率．
4.不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从袋子中随机摸出一个小
球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数据显示：大量重复试
验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合理的是（ ）
A．红球有2个 B．黄球有10个
C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等【答案】C
【分析】设袋子中球的总数为n，则红球的个数为0.2n，黄球的个数为n-0.2n=0.8n，进而可得答案．
【详解】解：设袋子中球的总数为n，则由题意可得，
红球的个数为0.2n，黄球的个数为n-0.2n=0.8n，
因为n的值不确定，所以唯一能确定的是黄球的数量是红球的4倍，
故选C
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确掌握频率的求法是解题的关键．
5.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符
合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进
行判断．
1
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，不符合题意；
3
13 1
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 = ，不符合题意；
52 4
1
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是 ，不符合题
3
意；
1
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是 ≈0.17，符合题意；
6
故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的
近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生
的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
6.某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：
射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500
射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455
射中靶心的频率
m 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91
n
下列说法正确的是（ ）
A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90
B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
【答案】A
【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：依题意得击中靶心频率为0.90，
A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确；
B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误；
C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误；
D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解
决问题．
7.根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落
地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 10000
“正面朝上”的次数
265 512 793 1306 1558 2083 2598 5204
n“正面朝上”的频率
n 0.530 0.512 0.529 0.522 0.519 0.521 0.520 0.520
m
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计
“正面朝上”的概率是0.520；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558
次；
其中推断合理的序号是________．
1 1
【答案】(1) ，
2 4
(2)②③
【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬
币时，硬币正面朝上的概率；
（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．
1
【详解】（1）抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是 ；
2
若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，
1
则两枚硬币都是正面朝上的概率是 ；
4
1 1
故答案为： ， ；
2 4
（2）①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，
故本选项错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次，故本选项正确，符合题意；其中推断合理的序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法
是解题的关键．
8.某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行
“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
m
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
n
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的
柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)0.1
(2)每千克至少定价2.8元
【分析】（1）根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘中损坏的频率越来越稳定在0.1左右，
由此可估计柑橘的损坏概率为0.1；
（2）根据概率计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根
据“售价＝进价＋利润”列不等式解答即可．
【详解】（1）解：根据表中柑橘损坏的频率，当实验次数增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左
右，所以柑橘的损坏概率为0.1，
故答案为：0.1；
（2）解：根据估计的概率可知，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，
设每千克柑橘的售价为x元，则根据希望这些柑橘的销售利润能超过5000元可得
9000x−2×10000>5000，
25
解得x> =2.7˙≈2.8，
9
答：出售柑橘时每千克至少定价为2.8元获利润能超过5000元．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验次数逐渐增大，频率会稳定在一个常数附近，这个常数
就是概率，根据题意列出一元一次不等式求解是解决第二个问题的关键．
9.某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自
动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系：
年均降雨量X 900≤X≤1300 1300≤X≤1700 1700≤X≤2100
喷水机需要运行台数 3 2 1
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费
用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均
值达到最大，需安装几台喷水机？
9
【答案】(1)
10
(2)2台
【分析】（1）根据过去50年的年均降雨量的统计情况，利用概率公式即可求解；
（2）由题意可知只能安装2台或者3台喷水机，计算出不同年均降雨量的概率，再分别计算两种方案下
各年均降雨量概率下的平均获利，比较即可．
10+35 45 9
【详解】（1）解：由题意可得，年均降雨量低于1700的概率为： = = ；
10+35+5 50 10
（2）由题意可知：
10
年均降雨量900≤X≤1300的概率为： =0.2，
10+35+5
35
年均降雨量1300≤X≤1700的概率为： =0.7，
10+35+5
5
年均降雨量1700≤X≤2100的概率为： =0.1，
10+35+5
又∵计划安装不少于2台大型自动喷水机，并且最缺水时也只用3台喷水机，
∴只能安装2台或者3台喷水机，
设年利润为Y，
当安装2台喷水机时：
900≤X≤1300时，Y =80×2−50=110，1300≤X≤1700时，Y =80×2=160，
1700≤X≤2100时，Y =80−40=40，
则平均年利润为：110×0.2+160×0.7+40×0.1=138万元；
当安装3台喷水机时：
900≤X≤1300时，Y =80×3=240，
1300≤X≤1700时，Y =80×2−40=120，
1700≤X≤2100时，Y =80−40×2=0，
则平均年利润为：240×0.2+120×0.7+0×0.1=132万元；
∵138>132，
∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大．
【点睛】本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌
握概率相关知识灵活运用是解题关键．
10.国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加
强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年
级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完
整的统计图表：
频
组别 睡眠时间分组 频率
数
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a=________，b=________；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________°；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，
向学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）0.2,7；（2）72；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置
作业．
频数
【分析】（1）按照频率= 进行求解，根据组别A的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再
总体数量
频数
按照公式频率= 进行求解，即可得到a，b的值；
总体数量
（2）根据（1）中所求得的a的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
频数 4
【详解】（1）根据组别A，本次调查的总体数量= = =50，
频率 0.08
频数 10
∴组别C的频率= = =0.2，
总体数量 50
∴组别E的频数=频率×总体数量=0.14×50=7，
∴a=0.2，b=7；
（2）∵（1）中求得a的值为0.2，
∴其在扇形中的度数=360°×0.2=72°；
（3）组别A和B的频率和为：0.08+0.16=0.24，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数=600×0.24=144（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，
课后少布置作业．
频数
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率= ，解答本题的关键是掌握
总体数量
频率、频数和总体数量的关系．
题型九：放回实验概率计算方法
1.甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张
卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己
制作的卡片的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 9 27
【答案】D
【分析】根据题意，三人各抽一次（抽后放回），甲乙丙三人都是从3张卡片抽一张，画出树状图即可得出答案．
【详解】设甲的生肖为A，乙的生肖为B，丙的生肖为C，梳妆图如下：
共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1种，
1
所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率= ，
27
故选：D．
【点睛】本题考查了画梳妆图或列表求概率，根据题意画出梳妆图是解决本题的关键．
2.一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然
后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
2 13 3 12
A． B． C． D．
5 25 5 25
【答案】B
【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然
后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种，
13
则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是 ．
25
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4．随机摸出一个小球，记录其
数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是 ．
3
【答案】
4
【分析】利用列表法求解所有等可能的结果有16种，而两次记录的数字不相同的情况数有12种，再利用
概率公式从而可得结论．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4)(3,4) (4,4)
一共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,3)，
(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，
12 3
∴两次记录的数字不相同的概率是： = .
16 4
3
故答案为： .
4
【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图法与列表法求概率是解
题的关键．
4.有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字−1、−2、1、2，将四张卡片背面朝上，任抽一张
卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y=ax+b的图像不经
过第二象限的概率是 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】画树状图得出所有的等可能的结果，根据当a>0，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象
限，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果
∵当a>0，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象限
∴满足条件的结果有4种
4 1
故函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是： =
16 4
1
故答案为：
4
【点睛】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值．熟记相关结论即可．
5.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，3，4，5 的小球．它们的形状、大小、质地等完全
相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小
球，记下数字为 y．
(1)列出表示点(x,y)的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=5x的图象上的概率．
【答案】(1)(1,1)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)
，(5,3)，(5,4)，(5,5)
1
(2)
16
【分析】本题主要考查用概率公式求概率以及用列表法或画树状图法求概率：
（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可．
【详解】（1）解：列表如下：
1 3 4 5
1 (1,1) (1,3) (1,4) (1,5)
3 (3,1) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,3) (4,4)(4,5)
5 (5,1) (5,3) (5,4) (5,5)
共有16种不同的结果：(1,1)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,4)，(5,5)；
（2）解：∵共有16种情形，其中落在一次函数y=5x的图象上有1种，即点(1,5)，
1
∴落在一次函数y=5x的图象上的概率为 ．
16
6.一个不透明的箱子里装有1枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外其他完全相同，每次把箱子
里的棋子摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到黑棋子
1
的频率稳定于 ．
3
(1)请你估计箱子里白棋子的数量；
(2)若一个不透明的袋子里装有2枚黑棋子和1枚白棋子，从箱子和袋子里各随机摸出一枚棋子，请用树
状图或列表法求摸出的两枚棋子颜色不同的概率．
【答案】(1)2个
5
(2)
9
1
【分析】（1）设白棋子有x个，根据多次摸棋子试验后发现，摸到黑棋子的频率稳定在 左右可估计摸
3
1
到黑棋子的概率为 ，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
3
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：∵通过多次摸白棋子试验后发现，摸到黑棋子的频率稳定在 左右，
3
1
∴估计摸到黑棋子的概率为 ，
3
设白棋子有x个，
1 1
根据题意，得： = ，
1+x 3
解得x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
∴估计箱子里白棋子的个数为2；
（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果数为5，
5
则摸出的两枚棋子颜色不同的概率为 ．
9
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
7.为庆祝党的二十大胜利召开，阳光中学举行作文比赛，题目有“科技托起强国梦”“家乡的新变化
““时代赋予我们的使命”．比赛时，将这三个作文题目写在三张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀
后正面向下放在桌面上，然后参赛学生依次抽取：乐乐先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由贝
贝从中随机抽取一张卡片，……，每人所抽取到的卡片题目均为自己此次参赛作文的题目．
(1)贝贝抽中题目“家乡的新变化“的概率是 ．
(2)请用画树状图或列表的方法表示出乐乐和贝贝两人抽取的所有可能的结果，并求出他俩抽中不同题目
的概率．（三个作文题目分别用字母A，B，C表示）
1
【答案】(1)
3
2
(2)
3
【分析】（1）根据概率的计算公式求解即可．
（2）先画出树状图，列出所有可能结果，再从中找出他俩抽中不同题目的所有结果，再根据概率的计算
公式计算即可．
1
【详解】（1）（1）贝贝抽中题目“家乡的新变化”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）树状图如图所示：6 2
共有9种等可能的情况数，其中他俩抽中不同题目的有6种，所以他俩抽中不同题目的概率为 = ．
9 3
【点睛】本题主要考查了概率的计算．如果一个实验由n中等可能的结果，事件A包含其中的m中结果，
m
那么事件A发生的概率为：P(A)= ．掌握概率的计算方法是解题的关键．
n
8.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常
数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树
状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
4
【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）
9
【分析】（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；
（2）画树状图求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
0.3600+0.3100+0.3250+0.3340+0.3325+0.3335
6
＝0.3325
≈0.33，
1
设有x个红球，根据题意，得 =0.33，
1+x
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）画树状图如下：据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
4
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）= ．
9
4
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
9
【点睛】本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画树状
图是解题的关键．
9.在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．
小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下
数字为y．
(1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果；
3
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y= 的图象上的概率．
x
【答案】(1)见解析
2
(2)
9
【分析】（1）采用列表法即可写出(x，y)的所有可能出现的结果；
3
（2）找出表中落在反比例函数y= 的图象上的点的个数再除以总的个数，即可求出答案．
x
【详解】（1）解：列表如下
x 1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)一共有9种等可能性结果；
3
（2）解：∵点(x，y)落在反比例函数y= 的图象上有2种：(1，2)或(2，1)，
x
3 2
∴点(x，y)落在反比例函数y= 的图象上的概率是 ．
x 9
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题得的关键是明确题意，列出表或画出树状图，求出相应
的概率．
题型十：不放回实验概率计算方法
1.豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购
买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计
划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），先让
乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率
是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 9 9 3
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将三枚邮票分别记作A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A BA CA
B AB CB
C AC BC
由表可知，共有6种等可能结果，其中妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的有2种结果，
2 1
所以妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率为 = ，
6 3故选：D．
2.盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿
地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三
宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别
绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．
(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为
_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，
请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；
（2）利用列表或画树状图的方法表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公
式求解．
1
【详解】（1）解：由题意知，恰好是“麋鹿”的概率为 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的情况，其中恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的情况有2种，2 1
= ，
6 3
1
因此抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率是 ．
3
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情
况，做到不重复、不遗漏．
3.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的
课本都是自己课本的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 4
【答案】B
【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，画树状图得出所有等可能的结果数以及
三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种，
1
∴三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 ，
6
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关
键．
4.中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一
个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、
“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉
字不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．1
【答案】(1)
6
1
(2)
5
【分析】（1）根据概率计算公式即可求解；
（2）运用画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：∵“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球，任取一球，
1
∴取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ，
6
1
故答案为： ．
6
（2）解：画树状图如下：
所有等可能的情况有30种，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的情
况有6种，
6 1
∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率为 = ．
30 5
【点睛】本题主要考查概率的计算，运用画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的
关键．
5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了
“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再
从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
1
【答案】
6
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立
夏”的概率．【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
2 1
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
【点睛】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
6.在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任
2
意摸出一个红球的概率为 ．
3
(1)求袋中红球的个数为___________．
(2)搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次
都摸到红球的概率．
【答案】(1)2
1
(2)
3
【分析】（1）设有x个红球，根据摸出红球的概率列式计算即可；
（2）运用树状图或表格法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法计算即可．
【详解】（1）解：设有x个红球，
x 2
∴ = ，解得，x=2，
1+x 3
∴袋中红球的个数为2个，
故答案为：2．
（2）解：画树状图为（两个红球分别表示为红1，红2）：共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
2 1
∴两次都摸到红球的概率为 = ．
6 3
【点睛】本题主要考查概率的计算方法，运用树状图或表格法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题
的关键．
7.一个不透明的箱子里装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色不同外其他都相同，则从箱子中先后不放
回摸出两个球，则摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为 ．
3
【答案】 /0.6
5
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，再由概
率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，
12 3
∴摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为 = ，
20 5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题
的关键．
8.从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1、2、2、3，将这四张扑克牌背面，朝上洗匀，
从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽取
的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
1
【答案】
3
【分析】先画树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图所示
共有12种可能的结果，其中抽取的这两张牌的版面数字之和为偶数的有4种，所以抽取的这两张牌的版
4 1
面数字之和为偶数的概率为 = ．
12 3
【点睛】本题考查的是树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．
9.将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3
个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求
2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
1
【答案】(1)
3
2
(2)见解析，
3
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用
概率公式计算可得．
【详解】（1）解：搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
1
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为 ；
3
（2）解：画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
4 2
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 = ．
6 3
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，
承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、
新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．
根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的
数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一
张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2
1
(2)
6【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以
上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比20%求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占
比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可
得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为10÷20%=50（万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为50−15−10−5−2−2−2−1.5−1−0.5−3=8（万台），
8
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为 ×100%=16%；
50
如图，
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，
2 1
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率= = ．
12 6
11.随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式．为让青少年以
享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、
九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：
收集数据：八年级20名学生的成绩如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：
等级 D C B A
成绩x
60 > ，
3 2 4
∴乙在游戏2中最容易取胜，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法和概率公式是解题的关键．
8.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）
一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
【答案】 乙 e，f．
【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，
乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a，⋯，e，f，g，h，
又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a，⋯，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a，⋯，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；
②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
9.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红
球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，
若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规
则对双方是否公平．
2
【答案】(1)P(摸出白球)＝ ；(2)这个游戏规则对双方不公平.
3
【分析】(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
2
∴P(摸出白球)＝ ；
3
(2)根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 (白1，红1) (白1，红2) (白1，白)
白2 (白2，红1) (白2，红2) (白2，白)
红 (红，红1) (红，红2) (红，白)由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
4 5
∴P(颜色相同)＝ ，P(颜色不同)＝ ，
9 9
4 5
∵ ＜ ，
9 9
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
题型十二：概率的应用
1.某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要
损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情
况后，预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，则作出决策为 （填“出海”、
“不出海”）．
【答案】出海
【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．
【详解】解：∵预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，60%>40%，
∴下月是好天气的可能性>坏天气的可能性；
又∵若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天
气好坏都要承担1000元的损失费，
出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）:5000×60%−2000×40%=2200（元)，
不出海：−1000×60%+(−1000×40%)=−1000（元)，
2200>−1000，
∴船队队长作出决策为：出海．
故答案为：出海．
【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．
2.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片
中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为w，w
的值和享受的优惠如表所示．
w的值 2 6 10实际付
8折 7折 6折
款
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；
(2)若某顾客的购物金额为a元（2000.7a，
解得：a>220．
∴当2209.5，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
6.一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的
扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，
则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数
字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转
动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
1 1
【答案】（1）P（指针指向4）＝ ；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝ ．
4 8
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【详解】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形，
1
∴P（指针指向4）＝ ．
4
（2）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7，
由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种，
2 1
∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝ = ．
16 8
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率．
7.在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的
课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的
“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题
有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用
“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的
概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
1
【答案】(1)
3
1
(2)
9
1
(3) ，建议小明在第一题使用“求助”
9
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求
得答案；
（3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答
案．
【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项，
1
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ，
3
1
故答案为 ；
3
（2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
1
∴小明顺利通关的概率为： ；
9
（3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C），
画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1，
1
所以他顺利通关的概率= ，
8
1
若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为 ，
9
1 1
而 ＞ ，
8 9
所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有
3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去
掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
1
【答案】（1） ；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析
9
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计
算；
（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结
果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题
使用“求助卡“．
【详解】解: （1）列树状图如下:共有9种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有1个，
1
所以小新顺利通过第一关的概率为
9
（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，
若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:
1
此时小新顺利通过第一关的概率为
8
1 1
因为 > ，
8 9
所以建议小新在第二题使用“求助卡”
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9.某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有
2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从
两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个
入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛
结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从
C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
1
【答案】(1)
6
1
(2)
4(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结
果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众
选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可．
【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有
1种，
1
∴甲从A口进入，C口离开的概率为 ；
6
（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，
2 1
∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为 = ．
8 4
（3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口．
理由：因为七年级80人，九年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个
通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能
够在规定时间内使所有同学都能有序离开．
题型十三：概率与统计综合
1.某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学
生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分
及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，
8，9，9，9，9，10；八年级抽取学生的测试成绩条形统计图七八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 8 a
中位数 b 8
优秀率 80% 60%
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好？请说明理由（写出
一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，
求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】(1)7，8；
(2)七年级学生的诗词知识掌握得较好，理由见解析
(3)420人
2
(4)
3
【分析】（1）找到八年级出现次数最多的数据即为a，七年级的数据排序后，第8个数据即为b；
（2）从优秀率的大小上进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的两名学生记为B、C，利用列表法求概率即可．
【详解】（1）由题意，得：a=7，b=8；
故答案为：7,8；
（2）七年级学生的诗词知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的诗词知识掌握得较好；15×80%+15×60%
（3）600× =420
30
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有420人；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的两名学生记为B、C，列表如下：
A B C
A × (A,B)(A,C)
B (B,A)× (B,C)
C (C,A()C,B)×
由表知，一共有6种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是4，
2
两人恰好是七、八年级各1人的概率是 ．
3
【点睛】本题考查数据得整理和分析．从收集的数据和条形统计图中，有效的获取信息，是解题的关键．
2.某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比
赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，
将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
(2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数；
(3)已知一班成绩A等的4人中有2个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A
等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生
的概率．
【答案】(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是9人
(2)这次预赛中一班成绩的平均数为87.5分
3
(3)
5
【分析】（1）根据一班预赛成绩统计图可得一班参加比赛的总人数，将总人数乘以二班成绩在B等及以上的百分比即可得；
（2）利用加权平均数的公式计算即可得；
（3）将一班成绩A等的2个男生记为A,B，2个女生记为C,D，二班成绩A等的2个女生记为E,F，画
出树状图，从而可得从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛的所有等可能的结果，再找出抽取
的2人中至少有1个男生的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】（1）解：一班参加比赛的总人数为4+9+5+2=20（人），
因为一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，
所以二班成绩在B等及以上的人数为20×(35%+10%)=9（人），
答：这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是9人．
100×4+90×9+80×5+70×2
（2）解： =87.5（分），
20
答：这次预赛中一班成绩的平均数为87.5分．
（3）解：二班成绩A等的人数为20×10%=2（人），
则二班成绩A等的女生人数为2人，
将一班成绩A等的2个男生记为A,B，2个女生记为C,D，二班成绩A等的2个女生记为E,F，画出树
状图如下：
由图可知，从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛共有30种等可能的结果，其中，抽取的2
人中至少有1个男生的结果有18种，
18 3
则抽取的2人中至少有1个男生的概率为P= = ，
30 5
3
答：抽取的2人中至少有1个男生的概率为 ．
5
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关
知识和列举法是解题关键．
3.某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食
习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．请根据图中给出的信息，回答下列问题：
(1)调查的样本容量为______，并把条形统计图补充完整；
(2)珞巴族所在扇形圆心角的度数为______；
(3)学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机
选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率．
【答案】(1)100，图形见详解
(2)25.2°
1
(3)
2
【分析】（1）利用汉族学生人数除以其占比即可求出样本容量，再根据条形图中的人数可求出藏族学生
人数，即可作答；
（2）珞巴族学生人数除以总人数再乘以360°即可作答；
（3）采用列表法列举即可作答．
【详解】（1）总人数：42÷42%=100（人），
藏族学生人数：100−42−7−3=48（人），
补充图形如下：
7
（2） ×360°=25.2°，
100
即珞巴族所在扇形圆心角的度数为25.2°；
（3）设用“甲”代表藏族学生，用“乙”代表其他三族的学生，画出列表如下：
甲 乙 乙 乙
甲 甲，乙 甲，乙 甲，乙乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
由图表可知，总共有12种情况，含有“甲”（藏族学生）的情况有6种，
1
故：两名主持人中有一名是藏族学生的概率6÷12= ．
2
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图以及采利用列举法求解概率的知识，正确作出列表，
是解答本题的关键．
4.某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了
以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
080 10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中a=______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“6080”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书
分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】(1)100，30
(2)54°
(3)140名
1
(4)
6
【分析】（1）将4080组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人
数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）解：∵4080”的学生人数为10人，
且10÷100×1400=140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为140名．
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标
记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
2 1
∴P= = ．
12 6【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统
计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
5.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽
取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x<70 10 0.1
70≤x<80 15 b
80≤x<90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表
或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】(1)a=35，b=0.15，c=0.4．
(2)见解析
2
(3)
3
【分析】（1）根据60≤x<70的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：抽取学生总数10÷0.1=100（人），
a=100×0.35=35，
b=15÷100=0.15，c=40÷100=0.4．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
4 2
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 = ．
6 3
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况
数与总情况数之比．
6.某市初中开放性科学实践活动是通过网络平台进行活动选课，活动项目包括六个领域，A：自然与环境，
B：健康与安全，C：结构与机械，D：电子与控制，E：数据与信息，F：能源与材料．为了了解某区学生
自主选课情况，随机抽取了一部分初三学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：(1)本次调查活动采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查抽取的学生有 人，扇形统计图中m的值是 ；
(3)已知选择“A：自然与环境”的20名学生中有12名男生和8名女生，若从这20名学生中随机抽取一名，
且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ；
(4)若该区初三共有学生3000人，则该区初三学生中选择D：电子与控制的约有 人．
【答案】(1)抽样调查
(2)200，30
2
(3)
5
(4)900
【分析】（1）由“随机抽取了一部分初三学生进行调查”可知是抽样调查；
（2）由A所对应的人数和所占百分比求出总人数，用1减去其他5个领域所占百分比即可得到m的值；
（3）由概率公式即可计算；
（4）用总人数乘D领域所占百分比即可求解．
【详解】（1）本次调查活动采取的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查；
（2）20÷10%=200（人），
1−10%−15%−10%−15%−20%=30%，
∴本次调查抽取的学生有200人，扇形统计图中m的值是30．
故答案为：200，30；
（3）∵20名学生中有12名男生和8名女生，
8 2
∴恰好抽到女生的概率是 = ．
20 5
2
故答案为： ；
5
（4）3000×30%=900（人），
该区初三学生中选择D：电子与控制的约有900人．
故答案为：900．
【点睛】本题考查调查方式、扇形统计图和条形统计图的信息关联、简单的概率计算已经样本估计总体，
从统计图中找到有用信息是解题的关键．
7.2024年，中国科技取得10项重大突破，其中4项和安徽有关，分别是A．“人造太阳”刷新世界纪录；
B．“九章2.0”和“祖冲之2.0”的出现；C．光存储时间达1小时；D．证明凯勒几何核心猜想．为调查学
生对这4项科技最想了解的情况，某校对九年级部分学生进行了随机调查（每人只能选一个），根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为________；扇形统计图中，D部分扇形所对应圆心角的度数是________；
将条形统计图补充完整；
(2)该校九年级共有800名学生，按照此调查结果，估计最想了解C项目的学生人数；
(3)在所调查的学生中随机抽取甲、乙两名学生，求恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率．
【答案】(1)40人，36°，补充的图形见解析
(2)120人
2
(3)
65
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，画条形统计图，求简单事件的概率，先列出
所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B
的概率．
（1）根据B类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；用360°乘以D类别人数所占比例即可；根据
四种类别人数人数之和等于总人数求出C类别人数即可补全图形；
（2）用800乘最想了解C项目的学生人数即可求出；
（3）列举得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参加这次调查的学生总人数为18÷45%=40（人），
4
扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是360°× =36°，
40
了解C项目的学生人数为40−18−12−4=6（人），
补充完整的统计图如下：故答案为：40人，36°；
6
（2）解：800× =120（人），
40
答：最想了解C项目的学生人数是120人．
（3）解：每个人都有被选上的可能，第一个人是甲，共40种可能，甲最想了解A项目的有12人、第二
次选乙，还有39人，共40×39种等可能的结果，其中恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的结果
12×4 2
是12×4种，所以恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为 = ．
40×39 65
2
答：恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为 ．
65
8.某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“防诈、反诈”的专题调查活动，采取随机抽样
的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“ B．比较了解”、“ C．基本了解”、
“ D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图表，请你结合图
表中的信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
(1)表中m的值为 ，n的值为 ；(2)扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 °；
(3)若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．
【答案】(1)0.25、4
(2)90
1
(3)P=
6
【分析】本题考查了频率分布表及糊阿树状图法求概率；
（1）先根据“非常了解”的频数及其频率求得总人数，再由频率=频数÷总数求解可得；
（2）用360°乘以“非常了解”的频率可得；
（3）根据树状图求概率．
【详解】（1）解： ∵本次调查的总人数为110÷0.55=200，
∴m=50÷200=0.25、n=200×0.02=4，
故答案为：0.25、4；
（2）等级为“非常了解”的学生在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角的度数360°×0.25=90°；
故答案为：90；
（3）树状图如下：
2 1
共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种，所以甲、乙两人恰好同时选中的概率P= = ．
12 6
9.在加强对中小学生“双减”和“五项管理”政策下，某校为了了解在教学改革模式下九年级期末数学成
绩，随机抽取40名学生抽测，满分为50分，并将测试成绩分成五档：A档：40≤x≤50；B档：
30≤x<40；C档：20≤x<30；D档：10≤x<20；E 档：0≤x<10，绘制频数分布图如下，已知在
20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、28、26、 26、26、24、29、27、21、
28、27．(1)在20≤x<30这一组成绩数据中，中位数为 ，众数为 ，并补全频数分布直方图；
(2)若成绩不低于40分为优秀，该校九年级有1800名学生，则该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有
多少名？
(3)该校举办“一帮一”活动，在A档中随抽取两名学生，在E档随抽取两名学生，则该4名同学中随机抽
取2名学生，恰好抽出一名A档学生和一名E档学生的概率是多少？
【答案】(1)26，26，图见解析
(2)180名
2
(3)
3
【分析】（1）先把20≤x<30这一组的数据重新排序，再根据中位数与众数的含义求解中位数与众数，
由总人数减去已知各组人数可得D组人数，再补全图形即可；
（2）由总人数1800乘以不低于40分的占比，从而可得答案；
（3）先列表得到所有等可能的结果数，再确定符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：在20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、28、26、 26、
26、24、29、27、21、28、27．
重新排列如下：20、21、22、24、26、26、 26、26、27、27、27、28、28、29．
排在第7个，第8个数分别为：26，26，
1
∴中位数为： (26+26)=26，出现次数最多的数是26，
2
∴众数是26；
而D组人数为：40−5−4−10−14=7，
补全频数分布直方图如下：
4
（2）1800× =180（名），
40
答：该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有180名，
（3）设4名同学代号分别为A ,A ,E ,E ，由题意列表如下：
1 2 1 2A A E E
1 2 1 2
A —— (A ,A ()A ,E )(A ,E )
1 1 2 1 1 1 2
A (A ,A —) — (A ,E )(A ,E )
2 2 1 2 1 2 2
E (E ,A )(E ,A )—— (E ,E )
1 1 1 1 2 1 2
E (E ,A )(E ,A )(E ,E )——
2 2 1 2 2 2 1
共有12种等可能情况，恰好抽出一名A档和一名E档学生的可能性有8种，故恰好抽出一名A档学生和
8 2
一名E档学生的概率是 ，即 ．
12 3
【点睛】本题考查的是从频数分布表中获取信息，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，利用画树
状图与列表法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
10.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”河南省
实验中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查
了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x<60范
围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
人数
课外阅读时间x（min） 等级
0≤x<20 D 3
20≤x<40 C a
40≤x<60 B 8
x≥60 A b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课
外阅读时间不少于40min的人数有______人；
(3)A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列
举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)5；144
(2)40；3601
(3)
2
【分析】（1）由调查的学生人数乘以C组所占的比例得出a的值，再由360°乘以B组所占的比例即可；
（2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可；
（3）画树状图，共有12种情况，其中恰好选择一名男生和女生的情况有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：a=20×25%=5，
8
统计图中B组对应扇形的圆心角度数为：360°× =144°
，
20
故答案为：5，144；
（2）阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是40 min，
∵b=20−3−5−8=4，
8+4
∴估计全校800名同学课外阅读时间不少于40 min的人数为：600× =360（人），
20
故答案为：40，360；
（3）样本中A等级学生人数b=20−3−5−8=4（人），即1女3男，从这4人随机选取2人，所有等
可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中1男1女的有6种，
6 1
∴恰好选择一名男生和一名女生的概率为 = ．
12 2
【点睛】本题考查了频数分布表、众数、扇形统计图、树状图法求概率及用样本估计总体，熟练掌握数
据分析中的基本定义，理解概率的算法是解决本题的关键．
