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专题10 手拉手全等模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、双等腰三角形型............................................................................................................1
2、双等腰直角三角形型....................................................................................................2
3、双等边三角形型............................................................................................................2
4、双正方形型....................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................8
手拉手模型，顾名思义，是指两个或多个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形、等边三角形
或等腰直角三角形等，通过它们特定顶点的连接，形成的宛如双手紧握的图形结构。这一模型的核
心特点在于“等线段、共顶点，一点四线出旋转”。以等腰三角形手拉手模型为例，两个等腰三角
形共享一个顶点，且它们的底边长度相等。通过旋转其中一个三角形，可以发现，这两个三角形能
够完全重合，展现出全等的魅力。这种旋转不变性，正是手拉手模型解决几何问题的关键所在，常
用“边角边”判定定理证明全等。
1、双等腰三角形型
这是最为基础且常见的一种类型。两个等腰三角形通过连接它们的底角顶点，形成了一个简单
而优雅的手拉手结构。这种模型在解决与等腰三角形相关的几何问题时，具有极高的应用价值。
如图，△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、双等腰直角三角形型
在等腰直角三角形中，90 度的直角和两个相等的锐角为构建手拉手模型提供了独特的条件。这
种模型在解决与角度和边长有关的几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。
如图，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
3、双等边三角形型
等边三角形由于其特殊的性质，使得构建出的手拉手模型更加复杂且富有变化。多个等边三角
形可以组合成各种美丽的几何图案，如正六边形、星形等。这些图案不仅具有观赏价值，还是解决
某些特定几何问题的有力工具。
如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
4、双正方形型
如图，四边形ABCFD 和四边形CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG，ED 交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE。
（2021·内蒙古通辽·中考真题）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（
❑√2
2
OA＜OM＜
OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON 绕点O 顺时针旋转．
①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：AM2 + BM2 ＝ 2OM2；
②当点A，M，N 在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM 的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②
或
【详解】解：(1)∵
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
又
，
,
∴
，
∴
，
真题演练
∴
；
(2)①连接BN，如下图所示：
∴
，
，
且
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
且
为等腰直角三角形，
∴
，
在
中，由勾股定理可知：
，且
∴
；
②分类讨论：
情况一：如下图2 所示，设AO 与NB 交于点C，过O 点作OH⊥AM 于H 点，
,
为等腰直角三角形，
∴
,
在
中，
,
∴
；
情况二：如下图3 所示，过O 点作OH⊥AM 于H 点，
,
为等腰直角三角形，
∴
,
在
中，
,
∴
；
故
或
．
（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG 的延长线
与直线DE 交于点H．
（1）如图1，当点G 在CD 上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．
①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：BH
DH
﹣
=❑√2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH 的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②
的长为
或
【详解】解：（1）如图1，因为四边形
和
均为正方形，
所以，
，
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
（2）如图2，
来源微信公众号：明悉数学
①在线段
上截取
，连接
．
由（1）可知，
，
∴
．
∴
．
∴
即
．
∴
为等腰直角三角形．
∴
．
∴
．
②
的长为
或
．
第一种情况：如图3 所示，当D，H，E 三点共线时，
，连接
．
由①可知
，且
．
又∵
，
∴
．
设
，则
．
∴在
中，有
．
即有
．
解得
，
（舍去）．
第二种情况：如图4 所示，当B，H，G 三点共线时，
，连接
．
设
，
∵
，
∴
．
∴在
中，有
．
即有
．
解得
，
（舍去）．
∴
的长为
或
．
1、综合与实践：已知
是等腰三角形，
．
（1）特殊情形：如图1，当
//
时，
______
．（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）发现结论：若将图1 中的
绕点
顺时针旋转
（
）到图2 所示的位置，则
（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点
是等腰直角三角形
内一点，
巩固练习
，且
，
，
，求
的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，
将
绕点
顺时针旋转90°得到
，连接
，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现
直接写出
的度数．
【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．
【详解】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴DB=EC，
故答案为：=；
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB 和△EAC 中
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE；
（3）如图，
将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC，连接PE，
∴△APB≌△AEC，
∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
在Rt△PAE 中，由勾股定理可得，PE=2
，
在△PEC 中，PE2=（2
）
2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，
∵PE2+CE2=PA2，
∴△PEC 是直角三角形，
∴∠PEC=90°，
∴∠AEC=135°，
又∵△APB≌△AEC，
∴∠BPA=∠CEA=135°．
2、正方形ABCD 和正方形AEFG 的边长分别为3 和1，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转．
（1）当旋转至图1 位置时，连接BE，DG，则线段BE 和DG 的关系为 ；
（2）在图1 中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中
BDF 的面积最大值；
（3）在旋转过程中，当点G，E，D 在同一直线上时，求线段BE 的长．
【答案】（1）
，
；（2）7.5；（3）
或
【详解】解：（1）
，
，理由如下：
如图1 中，设
交
于点
，交
于点
．
四边形
、四边形
都是正方形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）如图1 中，连接
，
，
，
，
，设
交
于点
．
四边形
、四边形
都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点F，A，K 在同一直线上时，点
到
的最大距离
，
的面积的最大值为
；
（3）如图
中，当
，
，
共线时，连接
交
于
．
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
如图
中，当
，
，
共线时，连接
交
于
．
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，满足条件的
的长为
或
．
