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专题 08 全等三角形模型之手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.全等模型--手拉手模型...........................................................................................................................1
..................................................................................................................................................35模型1.全等模型--手拉手模型
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进
行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图， 和 均是等边三角形，A、C、B三点共线，
AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2024·绵阳市八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求
∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中
DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
例3．（23-24九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在 中， ，过点C作 于点
D，过点B作 于点M，连接 ，过点D作 ，交 于点N． 与 相交于点E，若
点E是 的中点，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的
有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1例4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 为锐角，点D为直线 上一动点，
以 为直角边且在 的右侧作等腰直角三角形 ， ， ．
(1)如果 ， ．
①当点D在线段 上时，如图1，线段 、 的位置关系为________，数量关系为________；
②当点D在线段 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2)如图3，如果 ， ，点D在线段 上运动．
探究：当 多少度时， ？请说明理由．
例5．（2023春·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB
＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．
（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 °；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 °；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 °．例6．（2023·吉林白山·八年级统考期末）知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角
的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三章《轴对称》中学习了等
腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题
问题初探:如图（1）， ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作
ADE，使∠DAE＝90°△，AD＝AE，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
△类比再探:如图（2）， ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接
MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，连接BE，则∠EBD＝ ．（直接写出答案，
不写过程，但要求作出△辅助线）
方法迁移:如图（3）， ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形
ADE，连接BE，则BD△、BE、BC之间有怎样的数量关系？ （直接写出答案，不写过程）．
拓展创新:如图（4）， ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为
一边作等边三角形MDE△，连接BE．猜想∠EBD的度数，并说明理由．例7．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知 ，小涵同学以 、 为边
向 外作等边 和等边 ，连接 ， ．这时他发现 与 的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，已知 ，小涵同学以 、 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ， ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
例8．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在 中，分别以 为边，向
外作正三角形，正四边形，正五边形， 相交于点 ．（正多边形的各边相等，各个内角也
相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使
，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②
平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧
分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连接 ，
则有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的
有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在 中， ，点 是射线 上两点，且
，若 ， ，则下列结论中① 是等腰直角三角形；②
；③ ；④ ．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在等边 中，点D为线段 上一点， ，连接 ，
点E为线段 下方一点，连接 ，且 ， ，连接 交 于点M，点F为线段
延长线上一点， ，连接 ．已知 ，则 的长为 ．
5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）如图， 和 都是等边三角形，连结 ，
若 ，则 的度数为 ．
6．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）已知：如图， 、 都是等边三角形， 、 相交于
点 ，点 、 分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；(2)求 的度数；(3)求证： 是等边三角形．7．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形 是正方形， ， 与 交
于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的大小．
8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，正方形 ，将边 绕点 顺时针旋转 ，
得到线段 ，连接 ， ，过点 作 交线段 的延长线于点 ，连接 ．
(1)当 时，求 的度数；(2)求证： ；(3)求证： ．
9．（23-24八年级上·河北·期中）如图，四边形 中， ，连接对角线 ，且 ，点
在边 上，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ．
(1)求证：① ；② ；(2)若 ， ，求 的度数．10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图， 和 中， ， ，
，连接 ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ；(2)求证： ；(3)求证： 平分 ．
11．（23-24八年级上·四川南充·期末） 都是等边三角形．
(1)如图 ，求证： ；(2)如图 ，点 在 内， 为 的中点，连 ，若
，且 ．①求证： ；②判断 与 的数量关系并证明．
12．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，点 是线段AB上除点 、 外的任意一点，分别以 、为边在线段AB的同旁作等边 和等边 ，连接 交 于 ，连接BD交CE于 ，连接
．
(1)求证： ；(2)求证： ．(3)设 和DB的交点为 ，连 ，求证： 平分 ．
13．（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）已知， 和 均为等腰三角形，
，点A、D、E在同一直线上， 交 于点F，连接 ．
(1)若 ，则 的度数为_____；
(2)如图2，若 ， ， 于点M，则 的长为_____；
(3)如图1，若 ，且 ，求证： ．
14．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图 ， 与 都是等边三角形，连接
，CD，点 ， 分别是 ，CD的中点，连接 ， ， ．【猜想证明】请证明：（1）求证： ；（2）求证： 是等边三角形．
【类比探究】如图 ， 与 都是等腰直角三角形，连接 ，CD，点 ， 分别是 ，CD
的中点，连接 ， 请探究：
（3）若点 恰好也是 的中点，且 ，求 的面积．
15．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是
由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资
料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1、两个等腰三角形 和 中， ， ， ，连接 、
如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似
大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和 全等的三角形是________，此时
和 的数量关系是________；
(2)如图2、两个等腰直角三角形 和 中， ， ， ，连接
，两线交于点P，请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知 ，以 为边分别向 外作等边 和等边 （等边三角形三条边相等，三个角都等于 ），连接 ，两线交于点P，请直接写出线段 和 的数量关系及
的度数．
16．（2024·黑龙江·八年级统考期中）如图，在等边三角形 中，E是边 上一定点，D是直线 上
一动点，以 为一边作等边三角形 ，连接 ．
【问题解决】如图①，若点D在边 上，求证： ；
【类比探究】如图②，若点D在边 的延长线上，请探究线段 ， 与 之间存在怎样的数量关系，
并直接写出这三条线段之间的数量关系．
17．（23-24七年级下·广东深圳·期末）等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，
同学们探究得到了以下判定和性质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于 的等腰
三角形是等边三角形；③等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都是 ．请应用以上知识解决下列问题：
已知线段 ，点C是平面内一动点，且 ，连接 ，点D在 右侧，且 ，
连接 交 于点E．
【初步应用】（1）如图1，若 ，则 _______°；
【深化应用】（2）如图2，在（1）的基础上，作 的角平分线 交 于F，试探究线段 与
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）若 ，当 最长时，请直接写出 的长．18．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图 为等腰三角形， ， D为直线
上一动点，以 为腰向右侧作等腰三角形 且 ，连接直线 ．
(1)求证： ； (2)若D恰好在 的中点上(如图)，求证： ；(3)
①若点D为线段 上任一点(B，C点除外)时，试探究 与 的位置关系．
②若点D为直线 线除点B，C外任意一点， 与 的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
19．（2024·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接
AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间
的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结
论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一
个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
