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专题01 旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）
本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中
的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高
数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型
【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成
手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第
一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
△ △3）双等腰三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
△ △
4）双正方形形型
条件： ABCFD和 CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
△ △
例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O是等边三角形ABC内的一点， ，将
BOC绕点C顺时针旋转60°得 ADC，连接OD．(1)当 时， °；(2)当 时，
△ °；(3)若 △， ， ，则OA的长为 ．例2．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，
点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接
AF，CE． (1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE； (3)当点D，E，F在同一直线上时，请
你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长．
备用图
例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在 中， ， ，点 ， 分别在边
， 上，且 ，此时 ， 成立．
（1）将 绕点 逆时针旋转 时，在图②中补充图形，并直接写出 的长度；（2）当 绕
点 逆时针旋转一周的过程中， 与 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证
明，若不成立请说明理由；（3）将 绕点 逆时针旋转一周的过程中，当 ， ， 三点在同一条
直线上时，请直接写出 的长度．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且
DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知 是等腰三角形， ．
（1）特殊情形：如图1，当 ∥ 时， ______ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：
若将图1中的 绕点 顺时针旋转 （ ）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？
请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 是等腰直角三角形 内一点，
，且 ， ， ，求 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将
绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出
的度数．例6．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2 的正方形CEFG如图1摆
放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．
（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．模型2.半角模型
【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半
思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化
1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件： ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝( BD＋EC)2+ ；
5）任意角度的半角模型（ - 型）
条件：∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。
例1．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】
如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 边上的动点，且 ，求证： ．
小明发现，当把 绕点 顺时针旋转90°至 ，使 与 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形 中，如果点 ， 分别是 ， 延长线上的动点，且
，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 ， ， 之间的数量关系______（不要
求证明）；②如图3，如果点 ， 分别是 ， 延长线上的动点，且 ，则 ， ，
之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形 的边长为6，
，求 的长．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝
∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，
CG＝4，则FG＝_____．
例3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）等边 的两边 、 所在直线上分别有两点 、 ， 为
外一点，且 ， ， ．当点 、 分别在直线 、 上移动时，
探究 、 、 之间的数量关系以及 的周长 与等边 的周长 的关系．（1）如图①，
当点 、 在边 、 上，且 时， 、 、 之间的数量关系式为______；此时 的
值是______．
（2）如图②，当点 、 在边 、 上，且 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出
你的猜想并加以证明．（3）如图③，当点 、 分别在边 、 的延长线上时，若 ，试用含
、 的代数式表示 ．例4．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形 中，在AC边上取两点
使 ．若 ， ， ， 则以 为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 的值而定
例5．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ．∠BAC＝120°，点
D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长．例6．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ，
分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：
___________；
（2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且
．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
模型3、旋转中的对角互补模型
【模型解读】
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
3）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。
结论：①PB+PC= PA；
例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕
点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)= BC，② ，
③ AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1， ， ，MN是过点A的直线，过点D
作 于点B，连接CB；过点C作 ，与MN交于点E．(1)连接AD，AD是AC的______倍；(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是
______， 与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论；
(3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若 ， ，则AB的长为______（直接写结果）；
(4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______．
例3．（2022四川宜宾八年级期末）如图1， ， 平分 ，以 为顶点作 ，
交 于点 ， 于点E. （1）求证： ；（2）图1中，若 ，求 的长；
（3）如图2， ， 平分 ，以 为顶点作 ，交 于点 ， 于点 .若
，求四边形 的面积．例4．（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将
一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理
由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给
于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
例5. 如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一个 角的顶点与点 重
合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理
由；（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与
之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.课后专项训练
1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P在 的平分线上，且
，以点P为顶点的 绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ， 相
交于M，N两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不变；
③四边形 的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有 ， ， ， 四点，且 ，以 为
边作等边 ，连接 ， ；若 ， ，则 的长是 ．
3．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E
为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝ ，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______．4．（2023.重庆市八年级期中）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究：如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝ 度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为
；
归纳证明：（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与
BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用：（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
5.（2023.山东八年级期中）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
6．（2022·江苏盐城·八年级校联考期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换
可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知， 中， ， ，点 、 在
边 上，且 .
（1）如图 ，当 时，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，
①求 的度数；②求证： ；
（2）如图 ，当 时，猜想 、 、 的数量关系，并说明理由；
（3）如图 ，当 ， ， 时，请直接写出 的长为________.
△ABD △AEC
7．（2023·福建福州市·九年级月考）如图， 和 均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
△ABD △AEC
（2）观察图，当 和 分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的
猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB 与EE 的关系是 ;它们分别在哪两个全
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等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB C D E F 的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,
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能构造出两个全等三角形？
8．（2022·上海·九年级专题练习）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为
BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30 ，DM=10．
（1）在旋转过程中，当A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为____；
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由 外的点D 转到其内的点D 处，连结D D ，如图
1 2 1 2
2，此时∠AD C=135°，CD =60，BD 的长为_____．
2 2 29．（2022秋·广东佛山·八年级校考期末）【问题探究】
(1)如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使 ， ，
，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中， ， ， ，求BD的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，当 在线段AC的左侧时，求BD的长．
10.（2023·湖北武汉·九年级统考期中）【问题背景】（1）如图1， 是正三角形 外一点，
，则 ？小明为了证明这个结论，将 绕点 逆时针旋转 请帮助小明完
成他的作图；【迁移应用】（2）如图2，在等腰 中， ，点 在 外部，使得
，若 ，求 ；
【拓展创新】（3）如图3，在四边形 中， 点 在四边形 内部．且
， 直接写出 的长．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图， ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠ED△F的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，
求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
12. 如图，一伞状图形，已知 ，点 是 角平分线上一点，且 ， ，
与 交于点 ， 与 交于点 ．(1)如图一，当 与 重合时，探索 ， 的数量关系(2)如图二，将 在(1)的情形下绕点 逆时针旋转 度 ，继续探索 ， 的数量
关系，并求四边形 的面积．
13．（2022·山东枣庄·中考模拟）在 中， ， ， 于点 ,（1）如图1，
点 ， 分别在 ， 上，且 ，当 ， 时，求线段 的长；
（2）如图2，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；
（3）如图3，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证： ;
