文档内容
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）
本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中
的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高
数学的综合解题能力。
....................................................................................................................................................1
模型1.旋转中的手拉手模型...........................................................................................................................1
模型2.旋转中的半角模型.............................................................................................................................16
模型3.旋转中的对角互补模型.....................................................................................................................32
..................................................................................................................................................44
模型1.旋转中的手拉手模型
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全
等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点
记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（2024·山东·八年级期末）已知 ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边 ABD和等边
BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB= ，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
例2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）实践探究题
【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在 中，
，点 为斜边 上的一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接
．
(1)【猜想证明】试猜想 与 的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点 为等腰直角三角形 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，连接 ．若 三点共线，求证： ；
(3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形 的直角边长为 ，点 是线段 上的动点，将线段绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．点 在运动过程中，当 的周长最小时，
的长为_______（直接写答案）．
例3．（2023·江苏·八年级期中）综合与实践：已知 是等腰三角形， ．
（1）特殊情形：如图1，当 ∥ 时， ______ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：
若将图1中的 绕点 顺时针旋转 （ ）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？
请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 是等腰直角三角形 内一点，
，且 ， ， ，求 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将
绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出
的度数．
例4．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2 的正方形CEFG如图1摆
放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：
△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明
理由；（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．变式1．（2024八年级·山东·培优）如图， 和 都为等边三角形，点 、 分别为 、 的
中点．(1)当点 、 分别在 、 上时（如图 ），求证： ； 为等边三角形；
(2)绕点 逆时针方向旋转 ，当点 、 、 共线时（如图 ），（ ）中的结论是否还成立，若成
立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转 ，当点 在 上时（如图 ），（ ）中的结论
是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
变式2．（2023·黑龙江·九年级期末）已知Rt ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且
DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．△如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．变式3．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他
们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大
手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图 ，若 和 均为等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，连接 ，
则 的度数为 ；线段 与 之间的数量关系是 ．
【模型应用】（2）如图 ， ， ，求证： ；
（3）如图 ， 为等边 内一点，且 ，以 为边构造等边 ，这样就有两
个等边三角形共顶点 ，然后连接 ，求 的度数是 ．
【拓展提高】（4）如图 ，在 中， ， ，点 为 外一点，点 为 中点，
， ，求 的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图 ，两个等腰直角三角形 和 中， ， ， ，连
接 ， ，两线交于点 ，请证明 和 的数量关系和位置关系．模型2.旋转中的半角模型
半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋
转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。
旋转的条件：具有公共端点的等线段；
旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。
1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，
∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故
∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件： ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝( BD＋EC)2+ ；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH= CF= BD，FH= CF= BD，
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝( BD＋EC)2+( BD)2；
5）任意角度的半角模型（ - 型）
条件：∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。证明：将△ABD绕点A逆时针 °至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°- ，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-
。
∵∠BAC= ，∠DAE= ，∴∠BAD+∠EAC= ，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE= ，∴∠DAE=∠FAE= ，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
例1．（2024·湖南湘潭·一模）【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在 中， ，点 在边 上， ．探究图中线段
之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 （如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角
形的性质以及 ，可证 ，得 ．即可得出 之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中， ______度， 之间的数量关系是______．
【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形 中，点 分别是边 上的动点，连接 交 于 ，若
．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：①线段 的数量关系是______；
②线段 的数量关系是______；请任选一个你的猜想说明理由．
【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点 ，点 ，点 位
于 轴正半轴， ，试求出点 的坐标．
例2．（2023·广东·八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝ ，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______．
例3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有 ， ， ， 四点，且 ，以
为边作等边 ，连接 ， ；若 ， ，则 的长是 ．
例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ，
分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：
___________；
（2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且
．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．变式1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【初步感知】如图1， 在正方形 中， E、F分别是 、
边上的点， 且 ， 求出图中线段 ， ， 之间的数量关系．
①小盐同学经过分析后，将 绕着点D逆时针旋转 到 位置，如图1，根据“旋转的性质”
分析 与 之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段 ， ， 之间的数量关系；
②小田同学经过分析后， 将 沿 进行翻折， 得到 ， 射线 交边 的延长线于点
M，如图2，根据全等的性质也得到了线段 ， ， 之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得
到线段 ， ， 之间的数量关系是 ．
【类比探究】如图3， 正方形 中， E、F分别在边 、 的延长线上， 且 ， 连接
， 试问线段 ， ， 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【拓展应用】如图4，在四边形 中， ， ， ，且 ，
， ，直接写出 的长．
变式 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形 中，点E、F
分别是边 、 上的一动点，连接 、 ，且 ，如图，延长 至G，使 ，通过
证明 和 可得 ，即： ．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线 、 上运动， 时，探究 、 、之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点E、F分别
在边 、 上运动，且 ，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知 是边长为5的等边三角形，点D是 外一点，连接 、 ，
且 ， ，以D为顶点作一个 角，使其角的两边分别交边 、 于点E、F，连接
，求 的周长．
变式3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】在四边形 中， ，
， ， 分别是 、 上的点，且 ，试探究图 中线段 、
、 之间的数量关系．
【初步探索】小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，则可得到 、 、 之间的数量关系是______．
【探索延伸】在四边形 中如图 ， ， ， 分别是 、 上的点，
，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】如图 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 海里
小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里 小时的速度，前进 小时后，指挥中心观测到
甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，此时两舰艇之间的距离是______
海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以 海里 小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．
模型3.旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，
又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
2）“斜边等腰直角三角形△ +直角△三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，
∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，
∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ， .
MCD NCE
3）“等边三角形对120°模△ 型”△（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
∵
△ △
。
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
△ △
。
5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC= PA；
证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，
∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；
∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。
又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，
根据勾股定理易证：PQ= PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC= PA。
例1．（2024·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题．
(1)如图1，在 中， ， ，D是 的中点，E，F分别在 上，且
，连接 ．若 ，则 ______
(2)如图2，在 中， ，D是 的中点．E，F分别在 上，连接 ．当
，请写出线段 之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在 中， ， ，D是 的中点．E为直线 上一动点，连接 ．
过点D作 ，交直线 于点F．请直接写出当 时线段 的长．
例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中， ，
(1)问题探索：如图1，当点 和点 在直线 异侧时，猜想 ， ， 三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长 到点 ，使得 ，连接 ，由于 ，证得
，从而 ，且 ，所以 ，得到等腰直角 ，则小明
得到线段 ， ， 之间的数量关系为
(2)问题解决：如图2，当点 和 在直线 同侧时， 与 交于点 ，请你借鉴 中的方法证明：
(3)思维拓展：如图3，当点 和 在直线 异侧时， 于点 ，猜想线段 ， ， 三之间
的数量关系，并写出证明过程．
例3. （23-24八年级·重庆·期末）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将
一个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理
由；（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与
之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例4．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC
于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四
边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1、（23-24八年级·湖北·期末）在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放
在斜边 的中点 处，将此三角板绕点 旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 于点 、点 ，
图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段 和 之间有怎样的大小关系？并以图②为例，
并加以证明；（2）观察线段 、 和 之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；变式2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题感知】（1）如图1，在四边形 中，
，且 ，①请直接写出 、 、 的数量关系： ；
②证明： 平分 ；
【迁移应用】（2）如图2，四边形 中， ， ， ， ，
，计算 的长度；
【拓展研究】（3）如图3，正方形 中，E为 边上一点，连接 ，F为 边上一点，且
， 垂直 交 于点G， ， ，直接写出正方形的边长．1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在正方形 中，点 为对角线 的中点，过 点的射
线 ， 分别交 ， 于点 ， ，且 ， ， 交于点 ，有下面结论：①图形中
全等的三角形只有三对；② 是等腰直角三角形；③正方形 的面积等于四边形 面积的
倍；④ ．则下列结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
2．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在 中， ，点D是边
上的一个动点，连接 ，过点C作 ，使 ，连接 ，点F是 的中点，连接 并延
长，交 边所在直线于点G，若 ，则 的长为 ．
3．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形 中， ，点E，F分别是 和 边
上的动点，且始终保持 ，连接 与 ，分别交 于点N，M，过点A作 于点
H．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
其中结论正确的序号是 ．4．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE
＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝
4，则FG＝_____．
5．（2023春·广东揭阳·九年级校考期中）已知Rt ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直
角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三△角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接
AP、BP、BQ．（1）如图1求证：AP＝BQ；（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一
直线时，求AP长．
6．（2024·广东·八年级期中） 为等边三角形， ， 于点 ． 为线段 上一点，
．以 为边在直线 右侧构造等边 ．连结 ， 为 的中点．
（1）如图1， 与 交于点 ，①连结 ，求线段 的长；②连结 ，求 的大小．
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ． 为线段 的中点．连结 、 ．当
时，猜想 的大小是否为定值，并证明你的结论．7．（2024·福建·八年级阶段练习）在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D
作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取△AE的中点P，连接DP，CP．
（1）观察猜想： 如图（1），DP与CP之间的数量关系是 ，DP与CP之间的位置关系是 ．
（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3 ， 将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，
请直接写出线段CP的长．
8．（2023·贵州·八年级校联考期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形 中，对角线 ，
垂足是O，求证： ．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ，求证：
．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接 ，若 ， ， ，则 的长_____________．（直接填写答案）
9．（23-24吉林八年级期末）（1）阅读理解：由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图
形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这
种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若 ，
， ，则 ，请证明他的发现；（2）问题解决：如图②，
， ， ．①试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明；
②若 ，线段 与线段 交于点F，连接 ，当 时，求线段 的长．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）【概念呈现】：
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把
这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形
的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三
角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【概念理解】：如图①，若 ， ， ，则四边形 （填“是”或
“否”）真等腰直角四边形；(2)【性质应用】：如图①，如果四边形 是真等腰直角四边形，且
，对角线 是这个四边形的真等腰直角线，当 ， 时， ；(3)【深度理解】：如图②，四边形 与四边形 都是等腰直角四边形，且 ，
， ，对角线 分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明 与 的数
量关系；
(4)【拓展提高】：如图③，已知：四边形 是等腰直角四边形，对角线 是这个四边形的等腰直角
线．若 正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且 ， ， ，求 的长．
12．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ，
， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ，
，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少
_________ （结果取整数，参考数据： ）．
13．（2023·江苏·八年级校联考期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可
以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知， 中， ， ，点 、 在边上，且 .
（1）如图 ，当 时，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，
①求 的度数；②求证： ；
（2）如图 ，当 时，猜想 、 、 的数量关系，并说明理由；
（3）如图 ，当 ， ， 时，请直接写出 的长为________.
14．（2024·海南·模拟预测）如图1，在正方形 内作 交 于点 交 于点 ，
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的面积；
(3)如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ．求证： ．
15．（2023·河北·九年级专题练习）如图所示，在 中， ， ， 的两边交 边于 ， 两点，将 绕 点旋转
（1）画出 绕点 顺时针旋转 后的 ；（2）在（1）中，若 ，求证：
；
（3）在（2）的条件下，若 ，直接写出 的长.
16．（2023·河南·模拟预测）（1）在 中， ， ， ，且点D，E为边
BC上的点（分别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．
①初步探究：如图1，若 ， ， ，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．
下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．
解：∵ ， ，∴ ， ， ．∴ ．
如图，将 绕点A逆时针旋转120°，得到 ，连接GE．
由旋转的性质，可知 ，∴ ， ， ．
∴ ， ． ∴ 为等边三角形．（依据：_________________）
∴ ______ ______．
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
②类比探究如图2，若 ， ， ，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情
形说明理由．（2）问题解决：如图3，在 中， ， 于点M， ， ，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．
17．（23-24七年级下·四川成都·期末）在 中， ， ，点E、 分别是 ，
上的动点（不与 ，C重合），点 是 的中点，连接 ．
(1)如图1，当 时，请问 与 全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，请求 的长；
(3)如图3，当 时，连接 ，若 ， ，请求 的面积．
18、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边
与AB相交于点D，与AC相交于点E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1
中，BD，CE与BC的数量关系是 ．(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直
接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
19．（2023山西八年级期中）如图，已知 与 ， 平分 ．(1)如图1， 与 的两边分别相交于点 、 ， ，试判断线段 与
的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解： ．
理由如下：如图1，过点 作 ，交 于点 ，则 ，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若 ， ．
①如图3， 与 的两边分别相交于点 、 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 、 、
有什么数量关系？说明理由．②如图4， 的一边与 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是
否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系；如图5， 的一边与 的延长线相交
时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系．
20．（2023·浙江·八年级专题练习）如图1， ， ，MN是过点A的直线，过点D作
于点B，连接CB；过点C作 ，与MN交于点E．
(1)连接AD，AD是AC的______倍；(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是______， 与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论；
(3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若 ， ，则AB的长为______（直接写结果）；
(4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______．
