文档内容
专题 16.7 期末复习之解答压轴题十三大题型总结
【人教版】
【题型1 与三角形面积有关的计算】......................................................................................................................1
【题型2 与双角平分线有关的计算】......................................................................................................................4
【题型3 不规则图形内角和的计算】......................................................................................................................5
【题型4 全等三角形的动态问题】..........................................................................................................................8
【题型5 手拉手模型】............................................................................................................................................10
【题型6 一线三等角模型】....................................................................................................................................12
【题型7 半角模型】................................................................................................................................................13
【题型8 确定两角度之间的关系】........................................................................................................................15
【题型9 证明线段间的关系】................................................................................................................................17
【题型10 乘法公式的几何背景】............................................................................................................................19
【题型11 因式分解的应用】....................................................................................................................................21
【题型12 分式中的阅读材料类问题】....................................................................................................................22
【题型13 分式方程的实际应用】............................................................................................................................24
【题型1 与三角形面积有关的计算】
【例1】（23-24八年级·四川成都·期中）如图所示，直角三角形ABC中
AC=2,CD=3,BD=2,AM=BM，求阴影部分的面积．
【变式1-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，AD是△ABC的中线，△ABC与
△ABD的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答：
在图中过A作AE⊥BC于点E．
∵AD是△ABC的中线，
1
∴BD= BC．
21 1 1 1
∴S = BD⋅AE= ⋅ BC⋅AE= S
△ABO 2 2 2 2 △ABC
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】
（1）如图，点D在△ABC的边BC上，点F在AD上．
①若D是BC的中点，求证：S =S ；
△ABF △ACF
②若BD=2CD，则S ：S = ．
△ABF △ACF
【拓展延伸】
（2）如图，M在BC上，N在AC上，且CN=2AN，AP：MP=2：1，求BM与CM的数量关系．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）阅读理解【解析】
提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有
什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
1
当AP＝ AD时(如图2)：
2
1
∵AP＝ AD，△ABP和△ABD的高相等，
2
1
∴S ＝ S ，
ABP 2 ABD
△ △
1
∵PD＝AD﹣AP＝ AD，△CDP和△CDA的高相等
21
∴S ＝ S ，
CDP 2 CDA
△ △
1 1
∴S ＝S ﹣S ﹣S ＝S ﹣ S ﹣ S ，
PBC 四边形ABCD ABP CDP 四边形ABCD 2 ABD 2 CDA
△ △ △ △ △
1 1 1 1
＝S ﹣ (S ﹣S )﹣ (S ﹣S )＝ S + S .
四边形ABCD 2 四边形ABCD DBC 2 四边形ABCD ABC 2 DBC 2 ABC
△ △ △ △
1
(1)当AP＝ AD时，探求S 与S 和S 之间的关系式并证明；
3 PBC ABC DBC
△ △ △
1
(2)当AP＝ AD时，S 与S 和S 之间的关系式为： ；
6 PBC ABC DBC
△ △ △
1
(3)一般地，当AP＝ AD(n表示正整数)时，探求S 与S 和S 之间的关系为： ；
n PBC ABC DBC
△ △ △
b b
(4)当AP＝ AD(0≤ ≤1)时，S 与S 和S 之间的关系式为： ．
a a PBC ABC DBC
△ △ △
【变式1-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的
作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得
折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．
(1)如图，试说明中线AD平分△ABC的面积；
(2)如图，请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；(3)在上图中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；
(4)如图，若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的
画图作适当说明．
【题型2 与双角平分线有关的计算】
【例2】（23-24八年级·安徽滁州·期中）已知△ABC中，
(1)如图1，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，∠B=80°，求∠AIC的度数；
(2)如图2，∠BCE是△ABC的外角，∠BCE、∠BAC的平分线交于点D，求∠B与∠D的数量关系；
(3)如图3，∠BCE、∠HAC是△ABC的外角，∠BCE的平分线所在的直线与∠HAC、∠BAC的平分线
分别交于点F､D．在△ADF中，如果∠F=3∠D，求∠B的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点
F．(1)【问题呈现】如图1，若∠A=100°，求∠BFD的度数；
(2)【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2=160°，求∠BFC的度
数；
(3)【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP=α，∠ACB=β．射线CF与∠APQ的
平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β
的式子表示）．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）（问题背景）
∠MON=90∘，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）.
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，求∠AEB的度数.
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D.
①若
∠BAO=70∘
，则∠D= __________；
_
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON=α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D=
__________.（用含α的代数式表示）
【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）已知：直线AB与直线CD平行，E、G是直线AB上的点，F
、H是直线CD上的点，且∠FEG=∠FHG．(1)如图1，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，猜测∠N、∠HPN，∠NFH之间的等量
关系并给出证明．
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q．若
2
∠MFN=3∠NFH，且∠GQH:∠N= ，请直接写出∠GQH的度数．
5
【题型3 不规则图形内角和的计算】
【例3】（2024八年级·全国·专题练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【变式3-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内
点C’的位置，
（1）①若∠1=200,∠2=500，则∠C= ；
②若∠C=420，则∠1+∠2= ；
③探索∠C 、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8= ；
③若将n边形A A A ⋯A 也按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠2n= ；
1 2 3 n
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置， 探索∠C、∠1与∠2之
间的数量关系，并说明理由.【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期中）阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的
等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用
笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．【题型4 全等三角形的动态问题】
【例4】（贵州省三联教育集团毕节赫章乌蒙山2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题）如图，
△ABC中，∠B=∠C，AB=8cm，BC=6cm，点D为AB边上的点，且AD=BD．点P在线段BC上以
2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以acm/s的速度由C点向A点运动，设运动时间
为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC=_____．
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【变式4-1】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图1，在四边形BCDE中，∠D=∠E=90°，点A在边上
DE上，且AC⊥AB．
(1)求证：∠DAC=∠EBA．
(2)如图2，若AC=8，AB=6．点F从点C出发，沿折线CAB以速度为每秒2个单位长度向终点B运动；
点G从点B出发，沿折线BAC以速度为每秒1个单位长度向终点C运动；F，G向DE作垂线，垂足分别为
M，N．设点G的运动时间为ts．当△AMF与A，N，G三点构成的三角形全等时，求AG的长．
【变式4-2】（23-24八年级·重庆·期中）（1）如图1，在直角△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点A
正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，
并说明理由；
（2）如图2，将①中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在l上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速
度从点A出发，沿A→C→B移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿B→C→A移动到点A，
两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PO，垂足
分别为点M、N，若AC=15cm，BC=18cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点
E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果）
【变式4-3】（23-24八年级·重庆巴南·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，
AC=16cm，BC=12cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停
止，速度为2cm/s，设运动时间为ts．
1
(1)如图1，当t= s时，S = S ；
△BPC 2 △ABC
(2)如图2，在△≝¿中，∠E=90°，DE=8cm，DF=10cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一
个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好△APQ与△≝¿全等，求点Q的运动速度．
【题型5 手拉手模型】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同
侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等
于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．试说明：
①AD=BE；
②填空∠AOE= °；
③CP=CQ．
【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若
∠AOB=∠COD=60°，连接AC、BD交于点P；
(1)求证∶△AOC≌△BOD．
(2)求∠APB的度数．
(3)如图（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，点D是射线AB上的
一点，连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE，连接BE，若BD=4cm，求BE
的值．
【变式5-2】（23-24八年级·北京海淀·期末）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线
段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED= °；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 ，并证明．
【变式5-3】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，
点D、E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．
(1)观察 猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是_______，∠MNP的大小是_______；
(2)探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△MNP面积的最大值．
【题型6 一线三等角模型】
【例6】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点
C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个
等量关系，不需要证明）．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线
段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不
可以，请说明理由．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林长春·期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学
习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实
线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，
DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．
【变式6-3】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，∠ACB=90°，AC=BC，
AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长”，请直接写出此题
答案：BE的长为________．
（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射
线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．
（3）拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在
线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15，则ΔACF与ΔBDE的面积之和为
________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【题型7 半角模型】
【例7】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，
1
∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，线段EF、BE、FD之间
2
的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量
2
关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．
【变式7-1】（2024八年级·全国·专题练习）（2024秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，1
∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，求证：EF＝BE
2
﹣FD．
【变式7-2】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
1
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
2
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，
1
若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
2
【题型8 确定两角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区
别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些
基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BE，CD．
这一图形称“手拉手模型”．求证△ABE≌△ACD，请你完善下列过程．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠1=∠DAE−∠1．
即∠2=∠3．
在△ABE和△ACD中¿
∴ △ABE≌△ACD（________）(3)．(2)【模型指引】如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，
在射线上取点D，使∠ADB=∠ACB，求∠BDC的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在
BD上找一点E，使AE=AD，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从
端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使∠ADB=∠ACB，试判断∠BAC与∠BDC有何数量关系？
并写出简要说明．
【变式8-1】（23-24八年级·北京西城·开学考试）已知△ABC，点D为BC中点，F，E为边AC，AB上的
动点，且满足DE=DF，G为平面内一点，¿⊥AB，GF⊥AC，连接BG，CG．
(1)若点G为△ABC边AB和边AC上的高的交点，求证：∠ABG=∠ACG；
(2)若点G不与三角形高的交点重合，∠ABG与∠ACG是否还有上述关系？请说明理由．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D点在边AC上，
∠ADB=2∠ABC．
(1)在图1、图2中，请用直尺和圆规作图：画出△ABC关于直线AB对称的△ABE；
(2)利用1中画出的图形，求证：BD=CD+2AD；
(3)如图2，已知P点在BC边上，且∠ADB=∠CDP，连接PE，试探索∠BPE和∠CPD之间的数量的关
系，写出你的结论并证明．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不
与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度．
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量为关系，试说明理由．
②点D是在线段CB延长线上移动时，则①中α、β之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关
系，试说明理由．
【题型9 证明线段间的关系】
【例9】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE，
AC=DC，BC=EC，AB与DE所在直线相交于点F，CM⊥AB于点M．
(1)如图1，连接CF，求证：FC平分∠AFE；
3
(2)如图1，若S =6，CM= ，则FM的长为___________；
四边形CAFD 2
(3)如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，AF=EF，连接AE，交CF于点H．
①CF是否为线段AE的垂直平分线？并说明理由；
②过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于点G，直接写出GB+GH与AE之间的数量关系．
【变式9-1】（23-24八年级·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形ABC，点P和Q分别从A和C两点同
时出发，它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，
作PE⊥AC于E；(1)当△DCQ为等腰三角形时，过点D作AB的平行线，交BC于M，试探究线段DM与AP的大小关系，并
加以证明．
(2)①当点P在边AB上时，直接写出DE与AC的数量关系（不需要证明）；
②当点P在AB的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出DE
与AC的关系并说明理由．
【变式9-2】（23-24八年级·河北沧州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO
交BC于点D，点H为AO上一动点，（不与点A重合）过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线
AB、AC、BC于点N、E．M．
(1)如图1，判断AN与AE的数量关系并证明．
(2)当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
(3)当M是BC中点时，请直接写出CE和CD之间的等量关系．
【变式9-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在
AC边上取一点D，连接BD，点E为线段BD上一点，以BE为斜边作等腰Rt△BEF．连接AE、AF、CE，
AF交BD于G．
(1)如图1，若AE垂直平分GD，①求证：∠AFE=∠CBD；
②判断CE与BF的关系，并说明理由；
(2)如图2，M是线段CE上一点，若∠FAM=45°，求证：CM=ME．
【题型10 乘法公式的几何背景】
【例10】（23-24八年级·北京·期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形(m>n)，沿图中虚线用剪刀
均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______；
(2)观察图2，直接写出代数式 ， ， 之间的关系：_______
(m+n) 2 (m−n) 2 mn
(3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题：
①已知 ， ，则 的值为______；
m+n=7 mn=6 (m−n) 2
②已知： ，求 的值；
(4−x)(5−x)=6 (9−2x) 2
(4)两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+ y2=34，BE=2，求图中阴影部分
面积和．
【变式10-1】（23-24八年级·上海·期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且
m+pb．
(1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运
用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____．
(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为(5a+7b)(4a+3b)的长方形，那么x+ y+z的值为_____．
(3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按
原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长．
(4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多
5．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴
合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S ；
1
情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸
片间有重叠，记图中阴影部分面积为S ．
2
如果S −S =24，求2号卡片的边长．
2 1
【题型11 因式分解的应用】
【例11】（23-24八年级·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么
称这个正整数为“和谐数”．如∶ 8=32−12，16=52−32，24=72−52，因此8，16，24都是“和谐
数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k−1和2k+1，其中k是正整数，那么“和
谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且 ，若 和 都是“和谐数”．判断
m>n 92−(m−n) 2 m+n−1 7m−5n−3
是否为“和谐数”，说明理由．
【变式11-1】（23-24八年级·上海青浦·期中）用简便方法计算：(20202−2026)(20202+4037)×2021．
2017×2019×2022×2023
【变式11-2】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及
a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的
项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一
些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1) 2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
再例如求代数式 的最小值， ．
2x2+4x−6 2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1) 2−8可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式−a2+2a+3的最大值为： ；
(2)若M=a2+b2+11与N=6a−2b，判断M、N的大小关系，并说明理由；
(3)已知：a−b=2，ab+c2−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【变式11-3】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数
字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，∵12=4×(1+2)，∴12是“宁
静数”；34不是“宁静数”，∵34≠4×(3+4)，∴34不是“宁静数”．
材料二：一个四位自然数M=1000a+100b+10c+d，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作ac，
将其百位数字与个位数字组成的两位数记作bd，若ac和bd都均为“宁静数”，则称M为“致远数”，将
M千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数M′，记
M+M′
F(M)= ．
303
(1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；
(2)若一个四位自然数N是“致远数”，且F(N)与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”
N．
【题型12 分式中的阅读材料类问题】
【例12】（23-24八年级·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
3x2+4x−1
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
x+1
解：由分母为 ，可设 .
x+1 3x2+4x−1=(x+1)(3x+a)+b
因为 ，
3(x+1)(3x+a)+b=3x2+ax+3x+a+b=3x2+(a+3)x+a+b
所以 .
3x2+4x−1=3x2+(a+3)x+a+b
{ a+3=4 ) { a=1 )
所以 ，解之，得 .
a+b=−1 b=−2
3x2+4x−1 (x+1)(3x+1)−2
所以 =
x+1 x+1
(x+1)(3x+1) 2 2
= − =3x+1−
x+1 x+1 x+1
3x2+4x−1 2
这样，分式 就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 的差的形式.
x+1 x+12x2+3x+6
问题：（1）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
x−1
（2）请将分式5x4+9x2−3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
x2+2
【变式12-1】（23-24八年级·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，
3 1
例如： =1+ ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们
2 2
称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
x+1 x2 1 x
例如： ， ·····像这样的分式是假分式；像 ， ·····这样的分式是真分式，类似的，假
x−2 x+2 x−2 x2−1
x+1 (x−2)+3 3
分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： = =1+ ；
x−2 x−2 x−2
x2 (x+2)(x−2)+4 4
= =x−2+ ，解决下列问题：
x+2 x+2 x+2
x−2
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
x+3
x2+2x
（2）如果分式 的值为整数，求x的整数值
x+3
【变式12-2】（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下面的解题过程：已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知，x≠0，所以 =3，即x+ =3.
x2+1 3 x x
所以x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7 .所以 x2 = 1.
x2 x2 x x4+1 7
该题的解法叫做“倒数法”．
x 1
已知： =
x2−3x+1 5
请你利用“倒数法”求 x2 的值．求 1 的值．
2x2−8x+
x4+x2+1 x2
【变式12-3】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把1−3x 1−3x M N
这个分式表示成“部分分式”．例：将分式 表示成部分分式．解：设 = + ，将等
x2−1 x2−1 x+1 x−1
式右边通分，得
M(x−1)+N(x+1)
=
(M+N)x+(N−M)
，依据题意，得
{M+N=−3)
，解得
(x+1)(x−1) x2−1 N−M=1
{M=−2)
，所以
1−3x
=
−2
+
−1
请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
N=−1 x2−1 x+1 x−1
1 A B
(1) = + （A，B为常数），则A= ，B= ；
n(n+1) n n+1
1 1 1
(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L，第2次倒出的水量是 L的 ，第3次倒出
2 2 3
1 1 1 1 1 1
的水量是 L的 ，第4次倒出的水量是 L的 ……第n次倒出的水量是 L的 ……按照这种倒水的方
3 4 4 5 n n+1
法，请说明这1L的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
1
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L，第2次倒出的水量是
3
1 1 1
L，第3次倒出的水量是 L，第4次倒出的水量是 L，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否
15 35 63
100
变成原来水量的 ？试说明理由．
199
【题型13 分式方程的实际应用】
【例13】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依
托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到
全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次
购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月
份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；
12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数
量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到
2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价
上涨后的销售总金额为多少元？【变式13-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米
长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工
程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施
工改造方案：
1 1
方案一：前 S米的道路由甲工程队改造，后 S米的道路由乙工程队改造；
2 2
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【变式13-2】（23-24八年级·辽宁大连·期末）某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小
麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用
含a、m的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，
求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【变式13-3】（2024八年级·浙江·专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，
湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两
种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆
道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.
（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？
（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫
工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？
（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加
了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围
60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相
同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？
